METODE SIMPLEKS

(PERMASALAHAN BENTUK STANDAR)

safrudiannur 1

PENGANTAR METODE SIMPLEKS

METODE SIMPLEKS: Suatu metode sistematis untuk

menyelesaikan masalah PL dalam bentuk standar (atau

distandarkan) melalui serangkaian perhitungan berulang

(hingga diperoleh penyelesaian yang optimal).

Metode simpleks efektif digunakan untuk menyelesaikan

masalah PL yang melibatkan lebih dari dua kegiatan (atau

dua peubah)

Algoritma yang digunakan dalam metode simplek lazim

disebut metoda simplex table.

safrudiannur 2

Contoh masalah awalPerusahaan sepatu “IDEAL” membuat dua jenis sepatu, A dan B. Sepatu A

dengan sol karet dan sepatu B dengan sol kulit. Untuk membuat keduanya,

perusahaan memiliki 3 jenis mesin. Mesin P membuat sol karet, mesin Q

membuat sol kulit, dan mesin R membuat bagian atas dan merakitnya dengan

sol. Setiap lusin sepatu A mula-mula dikerjakan di mesin P selama 2 jam

kemudian dilanjutkan di mesin R selama 6 jam. Setiap lusin sepatu B mula-

mula dikerjakan di mesin Q selama 3 jam kemudian dilanjutkan di mesin R

selama 5 jam.

Dalam 1 hari, Jam kerja maks mesin P = 8 jam, mesin Q = 15 jam, dan mesin

R = 30 jam. Laba yang diperoleh dari setiap lusin sepatu A = Rp 30.000 dan

dari setiap lusin sepatu B = Rp 50.000

Tentukan berapa lusin sepatu A dan sepatu B yang sebaiknya diproduksi agar

laba yang diperoleh maksimumsafrudiannur 3

Model Masalah Awal

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Batasan

(1) 2X1 ≤ 8

(2) 3X2 ≤ 15

(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

(4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

safrudiannur 4

TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar) Merumuskan model PL

Mengubah fungsi tujuan menjadi fungsi implisit

Contoh: Z = 3X1 + 5X2 menjadi Z – 3X1 – 5X2 = 0

Mengubah fungsi-fungsi batasan (syarat, kendala) dan fungsi

batasan dengan cara menambah slack variabel (S).

Contoh: (bentuk standar: semua batasan berelasi ≤)

(1) 2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + S1 = 8

(2) 3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + S2 = 15

(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 menjadi 6X1 + 5X2 + S3 = 30

(4) Z – 3X1 – 5X2 = 0 menjadi Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0safrudiannur 5

LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)

Menyusun persamaan-persamaan pada langkahsebelumnya ke dalam tabel simpleks

Tabel Awal:Iterasi

No Var.Dasar

KoefVar

C1 C2 … Cn 0 0 … 0 bi Ri

X1 X2 … Xn S1 S2 … Sm

1

1 S1 0 a11 a12 … a1n 1 0 … 0 b1

2 S2 0 a21 a22 … a2n 0 1 … 0 b2

… … … … … … … … … … … …m Sm 0 am1 am2 … amn 0 0 … 1 bm

4 Evaluasi (Zj) C1 C2 … Cn 0 0 … 0 0

safrudiannur 6

LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Masalah dalam bentuk standar)Contoh Tabel Simpleks

(1) 2X1 ≤ 8 menjadi 2X1 + S1 = 8

(2) 3X2 ≤ 15 menjadi 3X2 + S2 = 15

(3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 menjadi 6X1 + 5X2 + S3 = 30

(4) Z – 3X1 – 5X2 = 0 menjadi Z – 3X1 – 5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 82 S2 0 0 3 0 1 0 153 S3 0 6 5 0 0 1 30

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

safrudiannur 7


Memilih kolom kunci: yaitu kolom yang memiliki nilai Zjnegatif terkecil

Contoh

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 82 S2 0 0 3 0 1 0 153 S3 0 6 5 0 0 1 30

4 Evaluasi (Zj) -3 -5* 0 0 0 0

safrudiannur 8


Menghitung indeks tiap baris (Ri):Ri = nilai bi : nilai kolom kunci

Memilih baris kunci: yaitu baris dengan indeks positif terkecilNilai yang masuk dalam kolom dan baris kunci disebut angka kunciContoh

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf

2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*

3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

Angka kunci di atas adalah 3safrudiannur 9


Mengubah nilai pada baris kunci, dengan cara membagi setiapnilai dengan angka kunci

Mengubah variabel dasar dengan variabel di atas kolom kunciContohNilai Awal: 0 3 0 1 0 15Nilai Baru: 0/3=0 3/3=1 0/3=0 1/3 0/3=0 15/3=5

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

2

1 S1 0 2 0 1 0 0 82 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 S3 0 6 5 0 0 1 30

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0safrudiannur 10

LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Mengubah nilai pada baris lainnya:

Nilai baris baru = nil. Baris lama – (nil. pd kolom kunci x nilai pada baris kunci)Contoh: Nilai Awal (baris 1) : 2 0 1 0 0 8

0 x 0 0 x1 0 x 0 0 x 1/3 0 x 0 0 x 5 -Nilai Baru (baris. 1): 2 0 1 0 0 8Nilai Awal (baris 3) : 6 5 0 0 1 30

5 x 0 5 x1 5 x 0 5 x 1/3 5 x 0 5 x 5 -Nilai Baru (baris. 3): 6 0 0 -5/3 1 5Nilai Awal (baris Z) : -3 -5 0 0 0 0

-5 x 0 -5 x1 -5 x 0 -5 x 1/3 -5 x 0 -5 x 5 -Nilai Baru (baris. Z): -3 0 0 5/3 0 25

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

2

1 S1 0 2 0 1 0 0 82 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5

4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25safrudiannur 11

LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Melanjutkan pengubahan nilai-nilai pada

baris hingga diperoleh penyelesaianyang optimal. Dimulai dari langkahpemilihan kolom kunci hingga langkahpengubahan nilai tiap baris

Penyelesaian optimal diperoleh jikanilai-nilai pada baris Z tidak ada yang negatif.

safrudiannur 12

LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL

Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

2

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 42 X2 -5 0 1 0 1/3 0 5 tdf3 S3 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6*4 Evaluasi (Zj) -3 0 0 5/3 0 25

Karena masih ada nilai pada baris Z yang bertanda negatifmaka perhitungan perlu dilanjutkan ke iterasi ke-3.

safrudiannur 13


Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

2


3

1234 Evaluasi (Zj)

(Pemilihan kolom kunci, penentuan indeks Ri dan penentuan kolom kuncisafrudiannur 14

LANJUTAN CONTOH TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL (Mengubah nilai pada baris kunci)

Mengubah nilai pada baris kunci, dengan cara membagi

setiap nilai dengan angka kunci

Mengubah variabel dasar dengan variabel di atas kolom

kunci

Nilai Awal: 6 0 0 -5/3 1 5

Nilai Baru: 6/6=1 0/6=0 0/6=0 (-5/3)/6= -5/18 1/6 5/6

safrudiannur 15


Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

2


3

1 S1 02 X2 -53 X1 -3 1 0 0 -5/18 1/6 5/64 Evaluasi (Zj)

Diperoleh penyelesaian optimal: Z = 55/2 dengan X1 = 5/6 dan X2 = 5safrudiannur 16

LANJUTAN TAHAPAN METODE SIMPLEX TABEL Mengubah nilai pada baris lainnya:

Nilai baris baru = nil. Baris lama – (nil. pd kolom kunci x nilai pada baris kunci)

Contoh:

Nilai Awal (baris 1) : 2 0 1 0 0 82 x (1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -

Nilai Baru (baris. 1): 0 0 0 5/9 -1/3 19/3

Nilai Awal (baris 2) : 0 1 0 1/3 0 50 x (1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -

Nilai Baru (baris. 2): 0 1 0 1/3 0 5

Nilai Awal (baris Z) : -3 -5 0 0 0 0-3 x(1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) -

Nilai Baru (baris. Z): 0 0 0 5/6 1/2 55/2

safrudiannur 17


Iterasi No Var.

DasarKoefVar

-3 -5 0 0 0bi Ri

X1 X2 S1 S2 S3

1

1 S1 0 2 0 1 0 0 8 tdf2 S2 0 0 3 0 1 0 15 5*3 S3 0 6 5 0 0 1 30 6

4 Evaluasi (Zj) -3 -5 0 0 0 0

2


3

1 S1 0 0 0 1 5/9 -1/3 19/32 X2 -5 0 1 0 1/3 0 53 X1 -3 1 0 0 -5/18 1/6 5/64 Evaluasi (Zj) 0 0 0 5/6 1/2 55/2

Diperoleh penyelesaian optimal: Z = 55/2 dengan X1 = 5/6 dan X2 = 5safrudiannur 18

Interpretasi penyelesaian optimal

Keuntungan maksimum perusahaan

adalah 55/2 x 10.000 = 275.000

dengan memproduksi sepatu A

sebanyak 5/6 lusin dan sepatu B

sebanyak 5 lusin.

safrudiannur 19

KETENTUAN TAMBAHAN Terdapat lebih dari satu kolom yang memiliki

nilai negatif terkecil yang sama pada baris Z

Solusi: Pilih salah satu kolom secara bebas untuk

menjadi kolom kunci

Terdapat lebih dari satu baris yang memiliki

indeks positif terkecil yang sama

Solusi: Pilih salah satu baris secara bebas untuk

menjadi baris kuncisafrudiannur 20

Soal 1

Maksimumkan Z = 30X1 + 15X2 + 40 X3

Syarat: 1) 2X1 + X2 + 2X3 ≤ 80

2) 6X1 + 3X2 + 2X3 ≤ 180

3) 4X1 – 5X2 + 10X3 ≤ 300

4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0

safrudiannur 21

Soal 2Toko “ANAK CERIA) yang menjual mainan anak-anak akanmembuat 3 jenis bingkisan tahun baru, yaitu Standard, DeLuxe, dan Super De Luxe. Setiap jenis bingkisan akan berisikombinasi: mobil, motor, dan pesawat mainan.

Bingkisan Standar berisi 4 mobil, 4 motor, dan 2 pesawatdengan harga jual Rp 35.000,- per bingkisan.Bingkisan De Luxe berisi 5 mobil, 6 motor, dan 5 pesawatdengan harga jual Rp 40.000,- per bingkisanBingisian Super De Luxe berisi 6 mobil, 8 motor, dan 5pesawat dengan harga jual Rp 60.000,- per bingkisanJumlah barang yang tersedia adalah 55.000 mobil, 75.000motor, dan 45.000 pesawat.

Tentukan banyaknya masing-masing bingkisan yang harusdiproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum.

safrudiannur 22

safrudiannur 23

METODE SIMPLEKS

Documents

Transcript of METODE SIMPLEKS