FISIKA KUANTUM II

METODE PENDEKATAN WENTZEL-KRAMERS-BRILLOUIN (WKB)

OLEH :

I MADE OKA GUNA ANTARA (1108205007)

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Mekanika kuantum adalah cabang dasar fisika yang menggantikan mekanika

klasik pada tataran atom dan subatom. Ilmu ini memberikan kerangka matematika

untuk berbagai cabang fisika dan kimia, termasuk fisika atom, fisika molekular, kimia

komputasi, kimia kuantum, fisika partikel, dan fisika nuklir. Mekanika kuantum adalah

bagian dari teori medan kuantum dan fisika kuantum umumnya, yang, bersama

relativitas umum, merupakan salah satu pilar fisika modern. Dasar dari mekanika

kuantum adalah bahwa energi itu tidak kontinyu, tapi diskrit berupa 'paket' atau

'kuanta'. Konsep ini cukup revolusioner, karena bertentangan dengan fisika klasik yang

berasumsi bahwa energi itu berkesinambungan.

Mekanika kuantum modern lahir pada tahun 1925, ketika Werner Karl

Heisenberg mengembangkan mekanika matriks dan Erwin Schrödinger menemukan

mekanika gelombang dan persamaan Schrödinger. Schrödinger beberapa kali

menunjukkan bahwa kedua pendekatan tersebut sama.

1.2. Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)?

2. Bagaimana aplikasi persamaan Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)

terhadap penyelesaian masalah dalam mekanika kuantum?

1.3. Batasan Masalah

Masalah yang dibahas hanya mencakup:

Pengertian dari Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) serta aplikasi

persamaan Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) terhadap penyelesaian

masalah dalam mekanika kuantum.

1.4. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan makalah ini yaitu:

1. Mengetahui pengertian dari Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB).

2. Dapat mengaplikasikan persamaan Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)

terhadap penyelesaian masalah dalam mekanika kuantum.

1.5. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan makalah ini yaitu:

Makalah ini dapat dijadikan referensi pembelajaran dalam mempelajari

Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)dalam mekanika kuantum.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Di dalam fisika, metode WKB merupakan pendekatan yang sering dilakukan dalam

penyelesaian masalah mekanika kuantum. Di dalam kuantum, keadaan suatu partikel diwakili

oleh suatu fungsi gelombang yang berbentuk sinusoidal atau eksponensial. Fungsi gelombang

mengandung semua informasi keadaan sistem setiap saat dan tidak dapat diukur secara

langsung.

Metode ini merupakan singkatan dari Wentzel-Kramer-Brillouin, atau sering disebut

juga metode WKBJ, dimana J adalah singkatan Jeffreys. Metode ini mulai berkembang pada

tahun 1926. Pada tahun 1923, matematikawan Harold Jeffreys telah mengembangkan suatu

metode pendekatan umum untuk menyelesaikan masalah linier, persaman diferensial orde

dua, dan juga persamaan Schrödinger.

Secara umum, WKB merupakan pendekatan untuk menyelesaikan persamaan

differensial orde yang tinggi yang dikalikan suatu ε yang merupakan parameter kecil. Untuk

persamaan diferensial :

εdn ydxn +a ( x ) dn−1 y

dxn−1 +…+k ( x ) dydx

+m (x ) y=0

Dengan menganggap bentuk penyelesaian dari ekspansi deret asimtotik

y (x ) exp [ 1δ∑n=0

∞

δn Sn(x)]Dengan membatasi δ → 0. Pergantian tersebut di atas substitusikan ke dalam persamaan

diferensial dan melihat syarat-syarat batas eksponensial memungkinkan seseorang untuk

memecahkan jumlah sebarang Sn(x ) dengan cara ekspansi. Metode WKB merupakan kasus

khusus dari analisis beberapa skala.

BAB III

PEMBAHASAN

3.1. Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)

Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) adalah perhitungan semiklasik

pada kuantum mekanik dalam fungsi gelombang yang diasumsikan sebagai fungsi

eksponensial dengan amplitude dan fase secara lamban, banyak dibandingkan dengan

fungsi gelombang de Broglie (λ) dan kemudian diperluas secara semiklasik.

Ketika Wentzel, Kramers, dan Brillouin mengembangkannya sekitar tahun 1926,

sekitar tahun 1923 Harold Jeffreys telah mengembangkan sebuah metode umum

menyelesaikan masalah linier, persaman diferensial orde dua, dan juga persamaan

Schrödinger.

Secara teknik metode pendekatan ini bukan solusi eksak untuk persamaan

Schrödinger, metode pendekatan ini sangat simple untuk solusi gelombang dan

perhitungan koefesien transmisi pada konstanta barriers potential. Metode WKB

banyak diaplikasikan untuk kasus 1 dimensi tapi baik juga diaplikasikan untuk kasus 3

dimensi pada bola simetri (lihat Bohm 1951). Pendekatan WKB secara khusus berguna

dalam memperoleh arus tembusan pada sebuah diode tembusan.

3.2. Aplikasi Persamaan Pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)

Aplikasi untuk persamaan Schrödinger

Untuk persamaan Schrödinger satu dimensi dan tak gayut waktu :

−ℏ2

2 md2

dx2 Ψ ( x )+V ( x ) Ψ (x )=EΨ ( x )

dapat ditulis kembali sebagai :

d2

dx2 Ψ ( x )=2 mℏ2 (V ( x )−E )Ψ ( x )

Sehingga didapatkan penyelesaian umum fungsi gelombang, yaitu :

Ψ ( x )=eΦ(x)

kemudian didapatkan

Φ} left (x right ) + {left [{Φ} ^ {'} (x) right ]} ^ {2} = {2m} over {{ } ^ {2}} left (V left (x right ) -E right ℏ ¿

dimana Φ' merupakan turunan pertama Φ terhadap x. Turunan Φ'(x) dapat dipisahkan

menjadi bagian real dan imajiner dengan koefisien nyata A dan B:

Φ ' ( x )=A ( x )+iB( x)

Dan memberikan amplitudo fungsi gelombang exp [∫0

x

A ( x ' ) dx ' ], dimana fasenya adalah

∫0

x

B ( x ' ) dx '. Bagian real dan imajiner dari persamaan Schrödinger kemudian menjadi

A' ( x )+ A (x)2−B ( x )2=2m

ℏ2 (V ( x )−E )

B' ( x )+2 A ( x ) B(x)=0

Selanjutnya, digunakan pendekatan secara klasik. Ini berarti bahwa setiap fungsi

diperluas sebagai deret pangkat dalam ℏ. Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa deret

pangkat harus mulai dengan setidaknya urutan ℏ−1 untuk memenuhi bagian real dari

persamaan. Dalam memenuhi syarat batas klasik, dibutuhkan energi yang besar dengan

konstanta Planck

A ( x )= 1ℏ∑n=0

∞

ℏn An(x)

B (x )=1ℏ∑

n=0

∞

ℏn Bn ( x )

Sehingga persamaan pertama dalam ekspansi ini, dimana A dan B dapat ditulis:

A0 ( x )2−B0 (x )2=2m (V ( x )−E )

A0 ( x )2−B0 (x )2=0

Jika amplitudo bervariasi cukup lambat dibandingkan dengan fase ( A0( x)=0),

maka

B0(x )=±√2m(E−V (x))

yang hanya berlaku ketika energi total lebih besar daripada energi potensial, seperti

yang selalu terjadi dalam gerakan klasik . Setelah prosedur yang sama pada urutan

berikutnya ekspansi maka

Ψ ( x )≈ C0e

i∫dx √2 mℏ2 (E−V ( x ))+θ

4√ 2m

ℏ2 (E−V (x ))

Disisi lain, jika fase yang bervariasi lebih lambat (dibandingkan dengan amplitudo),

(B¿¿0 ( x )=0)¿ maka

A0(x )=±√2 m (V ( x )−E )

yang hanya berlaku ketika energi potensial lebih besar dari energi total.

Ψ ( x )≈ C

+¿e+∫ dx√ 2m

ℏ2(V (x ) −E)

+C

−¿e−∫dx √2m

ℏ2( V ( x)−E)

4√ 2mℏ2 (V ( x )−E )

¿

¿

Dengan melihat penyebut, bahwa kedua solusi perkiraan menjadi tunggal dekat

titik balik klasik dimana E=V(x) dan tidak dapat berlaku. Ini adalah solusi dari

perkiraan potensial bukit dan di bawah bukit potensial. Jauh dari bukit potensial,

partikel berprilaku yang sama dengan fase-gelombang bebas yang berosilasi. Di bawah

bukit potensial, partikel mengalami perubahan amplitudo eksponensial.

Untuk melengkapi derivasi, perkiraan solusi harus ditemukan di mana-mana dan

koefisien mereka cocok untuk membuat solusi perkiraan global. Solusi perkiraan dekat

titik balik klasik E=V(x) belum ditemukan.

Untuk titik dimana x1 dan dekat dengan E=V(x1), dimana dapat diperluas, yaitu :

2m

ℏ2 ( V ( x )−E )=U 1 ( x−x1 )+U 2 ¿

Sehingga didapat

d2

dx2 Ψ ( x )=U 1 ( x−x1) Ψ ( x )

Persamaan diferensial ini dikenal sebagai persamaan Airy,dan solusinya dapat

ditulis dalam bentuk fungsi Airy :

Ψ ( x )=C A A i ( 3√U 1 ( x−x1 ))+CB Bi ( 3√U 1 ( x−x1 ))Penyelesaian ini harus menghubungkan persamaan-persamaan diatas. Mengingat 2

koefisien pada satu sisi dari titik balik klasik, 2 koefisien pada sisi lain titik balik klasik

dapat ditentukan dengan menggunakan solusi lokal untuk menghubungkannya. Dengan

demikian, hubungan antara C0, θ dan C+¿¿,C−¿¿ dapat ditemukan.

C+¿=

+12

C0 cos(θ−π4 )¿

C−¿=

−12

C0 cos (θ−π4 )¿

BAB IV

KESIMPULAN

Demikian makalah tentang metode pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) yang

telah dibuat, semoga dapat bermanfaat dan berguna bagi kita semua.

4.1. Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang didapatkan dalam makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Metode WKB banyak diaplikasikan untuk kasus 1 dimensi tapi baik juga

diaplikasikan untuk kasus 3 dimensi pada bola simetri. Pendekatan WKB secara

khusus berguna dalam memperoleh arus tembusan pada sebuah diode tembusan.

2. Solusi dalam bentuk fungsi Airy yaitu :

Ψ ( x )=C A A i ( 3√U 1 ( x−x1 ))+CB Bi ( 3√U 1 ( x−x1 ))3. Hubungan antara C0, θ dan C+¿¿,C−¿¿ adalah

C+¿=

+12

C0 cos(θ−π4 )¿

C−¿=

−12

C0 cos (θ−π4 )¿

4.2. Saran

Adapun saran yang dapat disampaikan antara lain :

Untuk menambah pemahaman tentang metode pendekatan Wentzel-Kramers-

Brillouin (WKB) pembaca diharapkan membaca referensi lain. Tulisan tentang metode

pendekatan Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) ini jauh dari kesempurnaan,

diharapkan pembaca serta dosen pengampu mata kuliah dapat memberi saran dan kritik

yang membangun agar nantinya tulisan ini lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

______. 2014. 4 WKB approximation. fizika.unios.hr.

http://www.fizika.unios.hr/~ilukacevic/dokumenti/materijali_za_studente/qm2/

Lecture_4_WKB_approximation.pdf. Diakses pada tanggal 08-01-2014.

______. 2014. WKB. nanohub.org. http://nanohub.org/resources/4985/download/wkb.pdf.

Diakses pada tanggal 08-01-2014.

______. 2014. Introduction to Quantum Mechanics 2th Edition. thebestfriend.org.

http://www.thebestfriend.org/wp-content/uploads/IntroductiontoQuantumMechanics2th

Edition.pdf. Diakses pada tanggal 08-01-2014.