METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

(untuk sistem linier dengan 3 variabel)

• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem

persamaan linier dengan 3 variabel

• Jika diketahui sistem persamaan linier:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:

a11 a12 a13 x1 b1

a21 a22 a23 x2 = b2

a31 a32 a33 x3 b3

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2

a31 a32 a33 b3

• Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi

matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1,

sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk matriksnya

adalah seperti berikut:

• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks

segitiga atas, yaitu berbentuk:

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

• Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:

� Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11.

� R1 baru = R1/a11

� Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 dengan cara:

� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1

� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1

� Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22.

� R2 baru = R2/a22

� Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a12 ,a32 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a12/a22).R2

� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2

� Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33.

� R3 baru = R3/a33

� Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a13 ,a23 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a13/a33).R3

� R2 baru = R2 – (a23/a33).R3

Catatan:

� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:

- a11, a12, a13, b1

� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:

- a21, a22, a23, b2

� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:

- a31, a32, a33, b3

� Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut:

1 0 0 b1

0 1 0 b2

0 0 1 b3

� Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah:

1.x1 + 0.x2 + 0.x3 = b1

0.x1 + 1.x2 + 0.x3 = b2

0.x1 + 0.x2 + 1.x3 = b3

atau

x1 = b1

x2 = b2

x3 = b3

� Solusi ditemukan.

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

(untuk sistem linier dengan 4 variabel)

• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem

persamaan linier dengan 4 variabel

• Jika diketahui sistem persamaan linier:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3

a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:

a11 a12 a13 a14 x1 b1

a21 a22 a23 a24 x2 = b2

a31 a32 a33 a34 x3 b3

a41 a42 a43 a44 x4 b4

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:

a11 a12 a13 a14 b1

a21 a22 a23 a24 b2

a31 a32 a33 a34 b3

a41 a42 a43 a44 b4

• Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi

matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1,

sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk matriksnya

adalah seperti berikut:

1 0 0 0 b1

0 1 0 0 b2

0 0 1 0 b3

0 0 0 1 b4

• Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:

� Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11.

� R1 baru = R1/a11

� Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 , a41 dengan cara:

� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1

� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1

� R4 baru = R4 – (a41/a11).R1

� Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22.

� R2 baru = R2/a22

� Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a12 ,a32 ,a42 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a12/a22).R2

� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2

� R4 baru = R4 – (a42/a22).R2

� Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33.

� R3 baru = R3/a33

� Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a13 ,a23 ,a43 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a13/a33).R3

� R2 baru = R2 – (a23/a33).R3

� R4 baru = R4 – (a43/a33).R3

� Tahap 4a. Bagilah semua elemen di baris 4 dengan a44.

� R4 baru = R4/a44

� Tahap 4b. Eliminasi (nol-kan) nilai a14 ,a24 ,a34 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a14/a44).R4

� R2 baru = R2 – (a24/a44).R4

� R3 baru = R3 – (a34/a44).R4

Catatan:

� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:

- a11, a12, a13, a14, b1

� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:

- a21, a22, a23, a24, b2

� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:

- a31, a32, a33, a34, b3

� R4 berarti setiap elemen pada baris ke-4, yaitu:

- a41, a42, a43, a44, b4

� Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut:

1 0 0 0 b1

0 1 0 0 b2

0 0 1 0 b3

0 0 0 1 b4

� Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah:

1.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = b1

0.x1 + 1.x2 + 0.x3 + 0.x4 = b2

0.x1 + 0.x2 + 1.x3 + 0.x4 = b3

0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 1.x4 = b4

atau

x1 = b1

x2 = b2

x3 = b3

x4 = b4

� Solusi ditemukan.

CONTOH PERHITUNGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN:

Diketahui sistem persamaan linier berikut:

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 9

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 3

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 9

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = -1

Maka dapat dituliskan sebagai berikut:

1 2 3 4 9

2 3 4 1 3

3 4 1 2 9

4 1 2 3 -1

• Tahap 1

� Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11.

� R1baru = R1/1

Menghasilkan matriks:

1 2 3 4 9

2 3 4 1 3

3 4 1 2 9

4 1 2 3 -1

� Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 , a41 dengan cara:

� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1, maka R2 baru = R2 – (2/1).R1

� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1, maka R3 baru = R3 – (3/1).R1

� R4 baru = R4 – (a41/a11).R1, maka R4 baru = R4 – (4/1).R1

Menghasilkan matriks:

1 2 3 4 9

0 -1 -2 -7 -15

0 -2 -8 -10 -18

0 -7 -10 -13 -37

� Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22.

� R2 baru = R2/(-1)

Menghasilkan matriks:

1 2 3 4 9

0 1 2 7 15

0 -2 -8 -10 -18

0 -7 -10 -13 -37

� Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a12 ,a32 ,a42 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a12/a22).R2, maka R1 baru = R1 – (2/1).R2

� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2, maka R3 baru = R3 – (-2/1).R2

� R4 baru = R4 – (a42/a22).R2, maka R4 baru = R4 – (-7/1).R2

Menghasilkan matriks:

1 0 -1 -10 -21

0 1 2 7 15

0 0 -4 4 12

0 0 4 36 68

� Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33.

� R3 = R3/(-4)

Menghasilkan matriks:

1 0 -1 -10 -21

0 1 2 7 15

0 0 1 -1 -3

0 0 4 36 68

� Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a13 ,a23 ,a43 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a13/a33).R3, maka R1 baru = R1 – (-1/1).R3

� R2 baru = R2 – (a23/a33).R3, maka R2 baru = R2 – (2/1).R3

� R4 baru = R4 – (a43/a33).R3, maka R4 baru = R4 – (4/1).R3

Menghasilkan matriks:

1 0 0 -11 -24

0 1 0 9 21

0 0 1 -1 -3

0 0 0 40 80

� Tahap 4a. Bagilah semua elemen di baris 4 dengan a44.

� R4 baru = R4/40

Menghasilkan matriks:

1 0 0 -11 -24

0 1 0 9 21

0 0 1 -1 -3

0 0 0 1 2

� Tahap 4b. Eliminasi (nol-kan) nilai a14 ,a24 ,a34 dengan cara:

� R1 baru = R1 – (a14/a44).R4, maka R1 baru = R1 – (-11/1).R4

� R2 baru = R2 – (a24/a44).R4, maka R2 baru = R2 – (9/1).R4

� R3 baru = R3 – (a34/a44).R4, maka R3 baru = R3 – (-1/1).R4

Menghasilkan matriks:

1 0 0 0 -2

0 1 0 0 3

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 2

� Maka solusinya adalah:

x1 = -2

x2 = 3

x3 = -1

x4 = 2