METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ORDE DUA PADA PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARABOLIK

ADOMIAN DECOMPOSITION METHOD TO SOLVE PROBLEMS AT THE SECOND ORDER PARABOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS

Muh. Kaprawi, Jeffry Kusuma, Suarga

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Hasanuddin.

Alamat Korespondensi:

Muh. Kaprawi

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar,

HP: 082345672560

Email: Kaprawi1988@yahoo.com

ABSTRAK

Penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan diferensial parabolik, yang

merupakan review sekaligus perbaikan beberapa kekeliruan yang terdapat dalam artikel Javidi dan Golbabai

yang berjudul Adomian Decomposition Method for Approximating the Solution of Parabolic Equations.

Penelitian ini bertujuan menyelesaikan numerik persamaan diferensial parabolik dengan menggunakan metode

dekomposisi adomian dan penerapan numerik persamaan diferensial parabolik dengan menggunakan metode

dekomposisi adomian pada program Matlab. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode

dekomposisi adomian. Dari beberapa metode pada numerik, metode dekomposisi adomian memberikan solusi

nilai galat atau nilai eror yang cukup akurat pada persamaan parabolik dan membandingkannya dengan Metode

FTCS (Forward-Difference). Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari perbandingan Metode Dekomposisi

Adomian dan FTCS dari contoh persamaan diferesial parabolik, menunjukkan bahwa metode dekomposisi

adomian membuktikan sebuah pendekatan yang sangat akurat.

Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, persamaan parabolic, metode FTCS.

ABSTRACT

Application of Adomian decomposition method to solve a parabolic differential equation which is a review as

well as fix of some errors contained in the article of Javidi and Golbabai entitled Adomian decomposition

method for approximating the Solution of Parabolic Equation. This research aimed to finish parabolic

differential equations numerically using the method of decomposition adomian and Application of parabolic

differential equations numerically using the method of decomposition adomian at the Matlab program. The

method used in this study is, adomian decomposition method. Of some of the numerical methods, the

decomposition method provides a solution adomian error value or an error that reasonably accurate values on

the parabolic equation and compare it with FTCS Method (Forward – Difference). The results of the

comparison showed that the Adomian Decomposition Method and FTCS of examples differential parabolic

equation, shows that the decomposition method adomian provided highly accurate approach.

Key Words: adomian decomposition method, parabolic equation, FTCS method.

PENDAHULUAN

Pandanglah persamaan diferensial parsial linier orde dua berikut

𝐴𝑢𝑥𝑥 + 𝐵𝑢𝑥𝑡 + 𝐶𝑢𝑡𝑡 + 𝐷𝑢𝑥 + 𝐸𝑢𝑡 + 𝐹𝑢 + 𝐺 = 0 (1.1)

Dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹dan 𝐺 adalah fungsi bernilai real dalam 𝑥 dan 𝑡 pada domain yang

ditetapkan dan 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 ≠ 0. Persamaan (1) dikatakan persamaandiferensial parabolik

apabila 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0. Ault, J.C dkk. (1992). Salah satu persamaan parabolik yang banyak

didiskusikan adalah dengan bentuksebagai berikut :

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑁(𝑢) + 𝑔(𝑥, 𝑡)(𝑥, 𝑡) ∈ [𝑎, 𝑏]x[0, 𝑡) (1.2)

Dengan syarat awal

𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥, 0) (1.3)

Soeharjo (1996), metode dekomposisi Adomian merupakan metode yang

dikembangkan oleh George Adomian dan merupakan metode yang termasuk model semi-

analytical. Metode dekomposisi Adomian merupakan metode yang digunakan untuk

memperoleh solusi dari persamaan linier maupun non linier bahkan yang memiliki orde besar

sekalipun. Baiduri (2010), pendekatan yang diberikan dari metode dekomposisi Adomian

bersifat rekursif. Metode ini memberikan solusi dari pendekatan near-field dimana

mencerminkan pendekatan near-field cukup akurat dalam daerah hasil. Menurut Braun M

(2010), penerapan dari metode dekomposisi Adomian tidak hanya digunakan untuk

menyelesaikan beberapa masalah persamaan turunan, namun juga telah diterapkan dalam

beberapa bidang dalam bidang ilmu dan teknologi yang berkembang saat ini.

Cheng Wu, dkk. (2010), memperkenalkan Adomian decomposition method and non-

analytical solutions of fractional differential equations. Penelitian Cheng Wu,

memperlihatkan proses dari algoritma metode ADM yang sangat relevan dan mudah

dipahami. Metode ADM memiliki solusi eror yang sangat baik bila dibandingkan dengan

metode yang lain.

Cheniguel A. (2011). Solving Heat equation by the adomian decomposition method.

Penelitian Cheniguel menerapkan metode ADM pada persamaan heat, persamaan heat

termasuk pada persamaan parabolik. Dari penelitian Biazard (2009), memperlihatkan model

dari metode ADM yang menerapkan pada persamaan parabolik. Dari hasil yang diberikan

metode ADM memiliki nilai eror yang sangat akurat.

Biazard J, dkk. (2009). Memperkenalkan An approximation to the solution of

parabolic equation by Adomian decomposition method and comparing the result with Crank-

Nicolson method. Biazar and Z. Ayati memperlihatkan Pemodelan matematika dalam ilmu

terapan pada persamaan parabola. Jadi solusi dari persamaan tersebut adalah dari antar dua

metode tersebut. Solusi numerik seperti pendekatan beda hingga membutuhkan ukuran besar

dari perhitungan. Metode dekomposisi Adomian yang membutuhkan perhitungan yang

kurang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial parabola dan hasilnya

akandibandingkan dengan hasil metode FTCS.

Bhadauria R. (2012). Memperkenalkan Solution Of Reaction–Diffusion Equation By

Adomian Decomposition Method. Rahul Bhadauria memperlihatkan proses kerja Metode

dekomposisi adomian dalam menyelesaikan persamaan reaksi-diffusi. Dalam karya Rahul

Bhadauria memperlihatkan contoh persamaan reaksi-diffusi non linier dan linier.

Rochdi J. (2013). Memperkenalkan Adomian Decomposition Method for Solving

Nonlinier Heat Equation with Exponential Nonlnearity. Dalam tulisan Rochdi Jebari, metode

dekomposisi adomian diterapkan untuk persamaan panas non-linier dengan nonlinier

eksponensial. Metode ini diuji untuk beberapa contoh. Hasil yang diperoleh menunjukkan

bahwa metode ini efisien dan akurat. Penelitian ini menunjukkan juga, kecepatan dari

kekonvergenan pada metode dekomposisi Adomian.

Javidi, M. dkk. (2011). Penelitian beliau mengenai Adomian decomposition Method

for approximating the solution of the parabolic equation. Penelitian ini menunjukan aplikasi

metode ADM pada persamaan panas satu dimensi. Metode ADM memiliki nilai akurasi eror

yang sangat signifikan pada persamaan parabolik, hiperbolik, dan lain-lain. Javidi

memperlihatkan galat eror yang sangat akurat.

Benito J.J. (2010). Memperlihatkan Solving parabolic and hyperbolic equations by

the generalized finite difference method . Dalam karya Benito J.J memperlihatkan

penyelesaian masalah parabolik dan hiperbolik menggunakan metode beda hingga. Benito J.J

menunjukan contoh penyelsaian kasus 1 dimensi, 2 dimensi , dan 3 dimensi.

Fadei J. (2011). Application of laplace–Adomian decomposition method on linear and

nonlinear system PDEs. Penelitian ini menjelaskan metode ADM pada aplikasi laplace,

dimana pada metode ADM, bentuk metode ADM memeprlihatkan bentuk laplace untuk

menghasilkan solusi eksak dan numerik.

Ghoreishe, dkk. (2010). Memperlihatkan Adomian Decomposition Method (ADM)

for Nonlinier Wave-like Equations with Variable Coefficient memperlihatkan penyelesaian

masalah parabolik dan hiperbolik menggunakan metode beda hingga dan metode dekomposisi

adomian, dan menunjukan metode dekomposisi adomian memiliki akurasi yang sangat baik.

Gokhan, dkk. (2013). Memperlihatkan decomposition method for heat conduction in

an Annular finof hyperbolic profile with temperature dependent Thermal conductivity. Jurnal

tersebut memperlihatkan kondisi kestabilan metode dekomposisi yang diterapkan ke

hiperbolik.

Dari beberapa hasil penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa metode dekomposisi

adomian sangat akurat dalam memperoleh nilai galat eror, baik dalam bentuk dua dimensi

maupun tiga dimensi. Penelitian ini bertujuan memperlihatkan perbandingan metode

dekomposisi adomian dan metode FTCS ( Forward Time Central Space ) dari bentuk nilai

galat eror dari kedua masing-masing metode.

BAHAN DAN METODE

Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah: Mendefenisikan sebuah fungsi

dari persamaan diferensial parabolik 0 t,x0 ),,(),(2

22

tx

t

uyx

t

u

dan syarat

awal x0 )()0,( xfxu serta syarat batas 0 t,0),(),0( tutu . Jika fungsi dari

persamaan diferensial parabolik bersifat linear, maka lanjut ke langkah 3 dan jika fungsi dari

persamaan diferensial parabolik bersifat nonlinear maka diterapkan polynomial adomian

.

,!3

,!2

,

,

03

0

33

102

0

2

210

0

33

02

0

22

10

0

22

0

0

11

00

uNdu

duuN

du

duuuN

du

duA

uNdu

duuN

du

duA

uNdu

duA

uNA

Kemudian menjumlahkan nA untuk n sama dengan nol sampai takhingga

0

0

0

0 !uN

n

uuAuN n

n

n

n

n

selanjutnya membetuk deretan nu yang diperoleh secara rekursif

,0

1

0

11

0

0

n

n

n

n

n

n ALuRLgLuu

setelah terbentuknya

0n

nu

maka diperoleh deretan nu , dengan perluasan deret Taylor

0n

nu

diperoleh solusi eksak. Mencari solusi aproksimasi atau solusi numerik dengan menggunakan

deret potong

M

n nM txutxu0

,,,

dengan

txutxuMM ,,lim .

Terakhir mencari nilai galat atau nilai eror dari selisih solusi eksak dan solusi numerik.

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode dekomposisi Adomian. Penelitian

ini merupakan penelitian kajian pustaka.

HASIL

Pandang persamaan

1.2,,, txgtxuF

dengan F merupakan operator diferensial nonlinear yang memuat bentuk linear dan nonlinear,

g(x,t) adalah fungsi yang diketahui dan u(x,t) adalah fungsi yang akan ditentukan. Metode

dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi NRLF dengan L

adalah operator linear yang mempunyai invers, R adalah operator linear lainnya dan N adalah

bentuk nonlinear. Jadi persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi

2.2,NuRugLu

selanjutnya, dengan menerapkan L-1 pada kedua ruas persamaan (2.2), maka

3.2.1111 NuLRuLgLLuL

Untuk masalah nilai awal berorde n, operator 1L didefinisikan sebagai integral lipat-n dari 0

ke t dengan n

n

dt

dL

.. , sehingga ...

0 0 0

1 dtdtdtLt t t

Jika L operator orde satu atau dt

dL , maka

t

dtLuLuL0

1

4.2.01 utuLuL

Substitusikan persamaan (2.4) ke persamaan (2.3), diperoleh

𝑢 = 𝑢(0) + 𝐿−1𝐺 − 𝐿−1𝑅𝑢 − 𝐿−1𝑁𝑢.

Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan solusi u berbentuk ,0

n nuu sedangkan

suku nonlinear Nu dinyatakan dalam suatu polinomial khusus yaitu

,,,,0 10

n nn uuuANu An disebut polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai

5.2,2,1,0,!

1,,,

00

10

nuNd

d

nuuuAA

i

i

i

n

n

nnn

dengan adalah suatu parameter. Untuk memudahkan perhitungan, An dapat disajikan dalam

bentuk rekursif berikut :

.

,!3

,!2

,

,

03

0

33

102

0

2

210

0

33

02

0

22

10

0

22

0

0

11

00

uNdu

duuN

du

duuuN

du

duA

uNdu

duuN

du

duA

uNdu

duA

uNA

Jadi dengan menjumlahkan An untuk n sama dengan nol sampai tak hingga, setelah

penyederhanaan didapat

6.2

!0

0

0

0

uNn

uuAuN n

n

n

n

n

yang tidak lain adalah perluasan Taylor dari N(u) di sekitar uo. Selanjutnya, dengan

mensubsitusikan

0n nuu dan ,0

n nANu ke persamaan (2.5), maka diperoleh

7.2.0

1

0

11

0

0

n

n

n

n

n

n ALuRLgLuu

Dari persamaan (2.7), komponen un(x,t) dapat ditentukan dengan relasi rekursif berikut :

8.2,2,1,0,11

1

nALRuLu nnn

akan tetapi dalam penerapannya nilai dari txun n ,

0

tidak dapat ditentukan secara eksak.

Oleh karena itu digunakan solusi aproksimasi dengan menggunakan deret terpotong

M

n nM txutxu0

,, dengan txutxuMM ,,lim .

Sebagai penerapannya, beberapa kasus yang deselesaikan dengan metode dekomposisi

adomian. Kasus pertama yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut denga metode

dekomposisi Adomian

)1.3(],1,0[1,0,,2

2

2

txeex

u

t

u uu

dengan sayarat awal 2ln0, xxu .

Penyelesaian: Dari persamaan (3.1) diketahui ,0, ,2 txgeeu uu dan

2ln xxf . Dengan menerapkan polinomial (2.5) Adomian ke bentuk nonlinear u

diperoleh

00 2

00

uueeuA

0

0

11 udu

duA

00 2

1 2uu

eeu

02

0

22

10

0

22!2

udu

duu

du

duA

00 2

2

2

1

2

12 222

1 uueuueuu

03

0

33

102

0

2

210

0

33!3

udu

duu

du

duuu

du

duA

00 23

1321

3

12133

424

6

1 uueuuuueuuuu

karena 0, txg menjadi

)2.3(.,0,,0

1

0

1

0

n

nt

n

nxxt

n

n ALtxuLLxutxu

Selanjutnya, un pada (3.2) dapat diperoleh secara rekursif sebagai berikut:

2ln0,0 xxuu

00

1

1 AuLu xxt

2

x

t

11

1

2 AuLu xxt

22

22

x

t

22

1

3 AuLu xxt

33

23

x

t

sehingga diperoleh

3210, uuuutxu

n

nn

xn

t

x

t

x

t

x

txtxu

2

1

232222ln,

1

3

3

2

2

atau

)3.3( 2ln, txtxu

persamaan (3.3) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.1). Eror atau selisih antara

solusi numerik dengan solusi eksak untuk kasus 1 menggunakan deret terpotong dengan 5

suku.

Kasus kedua yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut dengan metode

dekomposisi Adomian

)4.3( t0 10,02

2

x

x

u

t

u

dengan syarat awal 10 )sin()0,( xxxu

dengan syarat batas .0 0),1(),0( ttutu

Penyelesaian :

),()0,( 1

0 txgLxuu t

0)sin( 1 tLx

)sin( x t

0

0

)sin( x

1

1

tLu )( 0uLxx

1 tL

)( 02

2

ux

1 tL 2 )sin( x

t

x0

2 )sin( dt

tx 2 )sin(

1

2

tLu )( 1uLxx

1 tL

)( 12

2

ux

1 tL tx 4 )sin(

t

tx0

4 )sin( dt

24 )sin( 2

1tx

1

3

tLu )( 2uLxx

1 tL

)( 22

2

ux

1 tL

26 )sin(

6

1tx

t

tx0

26 )sin( 6

1 dt

36 )sin( 6

1tx

dengan cara yang sama, maka diperoleh

48

4 )sin( 24

1txu

510

5 )sin( 120

1txu

sampai nu , maka diperoleh ),( txu

...),( 543210 uuuuuutxu

510483624 )sin( 120

1 )sin(

24

1 )sin(

6

1 )sin(

2

1)sin(),( txtxtxtxxtxu

...

120

1

24

1

6

1

2

11 )sin(),( 510483624 ttttxtxu

...

!5

1

!4

1

!3

1

!2

11 )sin(),( 510483624 ttttxtxu

!

)1(...

!5

1

!4

1

!3

1

!2

11 )sin(),(

2510483624

n

tttttxtxu

nnn

txtxu2

e )sin(),(

5.3 e )sin(),(2txtxu

persamaan (3.5) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.4). Eror atau selisih antara solusi

numerik dengan solusi eksak untuk kasus ke dua menggunakan deret terpotong dengan 50

suku.

Kasus ke tiga yaitu menyelesaikan persamaan parabolik berikut dengan metode

dekomposisi Adomian

)6.3(3t0 , 0,2

2

x

x

u

t

u

dengan syarat awal )sin()0,( xxu

dengan syarat batas .0),(),0( tutu

Penyelesaian :

),()0,( 1

0 txgLxuu t

0)sin( 1 tLx

)sin(x t

0

0

)sin(x

1

1

tLu )( 0uLxx

1 tL

))(sin(

2

2

xx

1 tL )sin(x

t

x0

)sin( dt

tx)sin(

1

2

tLu )( 1uLxx

1 tL

))sin((

2

2

txx

1 tL tx)sin(

t

tx0

)sin( dt

2 )(sin 2

1tx

1

3

tLu )( 2uLxx

1 tL

) )(sin

2

1( 2

2

2

txx

1 tL

2 )(sin

2

1tx

t

tx0

2 )(sin 2

1dt

3)(sin 6

1tx

dengan cara yang sama, maka diperoleh

4

4 )(sin 24

1txu

5

5 )(sin 120

1txu

sampai nu , maka diperoleh ),( txu

...),( 543210 uuuuuutxu

...)(sin 120

1)(sin

24

1)(sin

6

1)(sin

2

1)sin()(sin),( 5432 txtxtxtxtxxtxu

...

120

1

24

1

6

1

2

11 )(sin),( 5432 tttttxtxu

...

!5

1

!4

1

!3

1

!2

11 )(sin),( 5432 tttttxtxu

!

)1(...

!5

1

!4

1

!3

1

!2

11 )(sin),( 5432

n

ttttttxtxu

nn

txtxu e )(sin),(

7.3 e )(sin),( txtxu

persamaan (3.7) adalah solusi yang memenuhi persamaan (3.6). Eror atau selisih antara solusi

numerik dengan solusi eksak untuk kasus ke tiga menggunakan deret terpotong dengan 14

suku.

PEMBAHASAN

Pada kasus pertama, perbandingan metode ADM dengan metode FTCS

memperlihatkan nilai galat eror masing-masing. Pada saat 𝑥 = 0 sampai 1 dan 𝑡 = 0.01

dari kedua metode ADM dan FTCS memperoleh galat eror sangat signifikan dimana metode

ADM memperoleh galat eror sebesar 8 sedangkan metode FTCS memperoleh eror sebesar 4.

Dari kasus dua dan tiga menunjukan hasil yang sama dari kasus pertama. Hal ini

memperlihatkan bahwa metode dekomposisi adomian memeliki tingkat akurasi galat eror

yang sangat baik bila dibandingkan dengan metode FTCS (Forward Time Central Space).

Pada penelitian Biazar J, dkk. (2006). Mempelihatkan perbandingan metode ADM dan

Crank–Nicolson, dimana pada saat 𝑥 = 0 sampai 1 dan 𝑡 = 0.01 menunjukan metode

ADM memiliki nilai akurasi galat eror yang sangat baik bila dibandingkan dengan metode

FTCS, begitupun dengan penelitian Javidi, M. dkk. (2011). Memperlihatkan bentuk proses

kinerja dari metode ADM, Javidi menunjukan proses ADM yang sangat sederhana tetapi

memiliki galat eror yang sangat baik.

KESIMPULAN DAN SARAN

Bentuk penyelesaian numerik masalah persamaan diferensial parabolik orde dua

menggunakan metode dekomposisi Adomian yaitu Pandanglah persamaan parabolik

),()(2

2

txgux

u

t

u

dengan syarat awal, )0,()0,( xfxu kemudian nyatakan operator

t

Lt

.. dan

2

2 ..

xLxx

dengan

t

t dtL0

1 .. , sehingga persamaan

),()(2

2

txgux

u

t

u

menjadi

)1.3(,,txguuLuL xxt

selanjutnya dengan menerapkan 1

tL pada kedua ruas persamaan (54/3.1), maka diperoleh

)2.3(.,0,, 111 txgLuLuLLxutxu ttxxt

Sekarang nyatakan solusi txu , ke dalam deret takhingga

)3.3(,,,0

n

n txutxu

dan bentuk nonlinear u dalam bentuk deret takhingga dari polinomial Adomian yaitu

)4.3(.,,,0

10

n

nn uuuAu

Bila disubsitusikan persamaan (3.3) dan (3.4) ke dalam persamaan (3.2), diperoleh solusi

untuk txu , dengan bentuk

)5.3(.,,0,, 1

0

1

00

1 txgLALtxuLLxutxu t

n

nt

n

n

n

xxtn

Adapun saran untuk penelitian kali ini yaitu pertama bagaimana membandingkan

penyelesaian persamaan diferensial parabolik dan hiperbolik menggunakan metode

dekomposisi Adomian. Kedua menguji kestabilan metode dekomposisi adomian dalam

menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

DAFTAR PUSTAKA

Ault, J.C dkk. (1992). PersamaanDiferensial. Jakarta: Erlangga

Baiduri. (2010). Persamaan Diferential. Bandung: Alfa Beta.

Benito J.J. (2010). Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite

difference method.Journal of Computational and Applied Mathematics, 9(1): 208-217.

Bhadauria R. (2012). Solution Of Reaction–Diffusion Equation By Adomian

Decomposition Method. Journal Engineering Science dan Technology 4 (6): 650-661.

Biazar J, dkk. (2009). An approximation to the solution ofparabolic equation by

Adomian decomposition method and comparing the resultwith Crank-Nicolson method.

International Mathematical Forum, 39(1): 1925-1933

Braun M. (1993).Differential Equation and Their Aplication. New York: Springer

Cheng Wu, Guo. (2010). Adomian decomposition method and non-analytical Solutions of

fractional differential equations. Journal Phys, 56(7): 873-880.

Cheniguel, A. (2011). Solving Heat Equation by the Adomian Decomposition Method.

Journal Applied Mathematical Sciences, 1(6): 145-149.

Fadei J. (2011). Application of laplace – Adomian decomposition method on linear and

nonlinear system PDEs. Journal applied Mathematical Sciences, 5(27): 1307 – 1315.

Ghoreishe, dkk. (2010). Adomian Decomposition Method (ADM) for Nonlinier

Wave-like Equations with Variable Coefficient. Journal Applied Mathematical Sciences,

49(4): 2431 – 2444.

Gokhan, dkk. (2013). Adomian decomposition method for heat conduction in an Annular fin

of hyperbolic profile with temperature dependentThermal conductivity. Journal of

Thermal Science and Technology, 33(1): 69-77.

Javidi, M. dkk. (2011). Adomian Decomposition Method for Approximating The

Solution of The Parabolic Equations. Applied Mathematical Sciences, 15(1): 219-225.

Rochdi Jebari.(2013) Adomian Decomposition Method for Solving Nonlinear Heat Equation

with Exponential Nonlinearity. Journal of Math Analysis, 7(15): 725 – 734.

Soeharjo. (1996). Persamaan Diferensial Parsial. Jogyakarta: Yudistira