MODUL PRAKTIKUM 6

Determinan dan Sistem Persamaan Linier

Determinan sebuah matriks A yang berorde 2 x 2 didefinisikan sebagai

A=∣a11 a12a21 a22∣=a11a22−a12a21

Untuk menentukan determinan A dalam Matlab sangat mudah yaitu

cukup dengan perintah det(A). Coba lihatlah contoh di bawah ini

>> A=[1,2;3,1];

>> det(A)

ans =

-5

Dengan memahami tentang determinan, maka kita dapat menemukan

satu set persamaan simultan linier. Sebagai contoh jika kita memilki satu set

persamaan linier

3 x2 y− z=3

x3 y2 z=5

−4 x3 y−5z=1

Untuk memperoleh harga x, y dan z yang memenuhi persamaan tersebut maka

• Tentukan matriks A yaitu

◦ A= 3 2 −11 3 2−4 3 −5

• Tentukan matriks b yaitu

◦ b=3511

• Gunakan operasi bagi kiri untuk memperoleh harga x,y dan z yang

memenuhi persamaan tersebut.

>> A=[3,2,-1;1,3,2;-4,3,-5];

>> b=[3;5;1];

>> A\b

ans =

0.2500

1.3214

0.3929

Ini berarti bahwa x,y dan z masing-masing berharga 0.2500, 1.3214 dan

0.3929.

Invers Matriks

Invers matriks A dinotasikan dengan A-1. Hubungan antara keduanya

dapat dinyatkan

AA−1=A−1 A= I

dimana I merupakan matriks identitas. Misalnya kita memiliki tiga persamaan

linier simultan

a11 xa12 ya13 z=b1a21 xa22 ya23 z=b2a31 xa32 ya33 z=b3

maka kita dapat menyederhanakan dalam bentuk matriks

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 xyz=

b1b2b3

atau disingkat menjadi

A X=b

Untuk memperoleh harga X

2

A−1A X=A−1bX=A−1b

dimana A-1A=I

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini.

3 x2 y− z=3

x3 y2 z=5

−4 x3 y−5z=1

Penyelesaian

>> A=[3,2,-1;1,3,2;-4,3,-5];

>> b=[3;5;1];

>> X=inv(A)*b

X =

0.2500

1.3214

0.3929

Kita dapat lihat bahwa penyelesaian ini persis sama dengan penyelesaian

sebelumnya. Dalam contoh di atas memang benar bahwa A-1A=I.

>> A=[3,2,-1;1,3,2;-4,3,-5];

>> inv(A);

>> inv(A)*A

ans =

1.0000 -0.0000 0

0 1.0000 -0.0000

0 0.0000 1.0000

Kalau kita perhatikan hasil perkalian A-1A mengandung suku -0.000. Apa

yang terjadi sebenarnya? Dalam hal ini kita hasrus ingat bahwa didalam

3

perhitungan numerik terdapat beberapa kesalahan hasil perhitungan

diantaranya adalah kesalahan pembulatan. Oleh sebab itu, hasil yang diperoleh

merupakan pendekatan, namun begitu akurasi dapat diandalkan.

Dekomposisi Matriks

Matlab mampu dengan cepat melakukan dekomposisi matriks LU,QR

maupun SVD. Dalam pasal ini kita akan lihat bagaimana dekomposisi LU (Lower

Upper) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan simultan linier. Untuk

mendapatkan hasil dekomposisi matriks dengan Matlab perintahnya adalah

[L,U]=lu(A),

dimana L adalah matriks Lower (bawah) dan U adalah matriks Upper (atas).

Sebagai contoh kita akan melakukan dekomposisi terhadap matriks

A= 3 2 −11 3 2−4 3 −5

Penyelesaian

>> A=[3,2,-1;1,3,2;-4,3,-5];

>> [L,U]=lu(A)

L =

-0.7500 1.0000 0

-0.2500 0.8824 1.0000

1.0000 0 0

U =

-4.0000 3.0000 -5.0000

0 4.2500 -4.7500

0 0 4.9412

Setelah kita peroleh matriks L dan U, selanjutnya akan kita gunakan untuk

menyelesaikan persamaan simultan linier seperti contoh di pasal sebelumnya.

4

Jika

b=351maka penyelesaian dapat diperoleh dengan dua kali bagi kiri, yaitu

X=L\(U\b)

Kita dapatkan

>> A=[3,2,-1;1,3,2;-4,3,-5];

>> b=[3;5;1];

>> [L,U]=lu(A);

>> X=U\(L\b)

X =

0.2500

1.3214

0.3929

Operator Colon (titik dua)

Operator colon merupakan operator yang powerful dalam Matlab dan

memberikan cara yang efisien dalam menghendel matriks.

Menyederhanakan ungkapan matriks.

Untuk menyatakan metriks a

a =

1 2 3 4

3 4 5 6

5 6 7 8

7 8 9 10

dapat dinyatkan dengan cara sederhana dengan

5

>> a=[1:4;3:6;5:8;7:10];

Mengakses elemen matriks

Untuk menampilkan seluruh elemen pada baris ketiga, dapat dinyatakan

>> a(3,:)

ans =

5 6 7 8

Untuk menampilkan elemen mariks pada seluruh kolom pertama dan

kedua saja, misalnya dapat dinyatakan dengan

>> a(:,[1 2])

ans =

1 2

3 4

5 6

7 8

Untuk menampilkan seluruh elemen pada baris ketiga dan keempat saja

dapat dinyatakan

>> a([3 4],:)

ans =

5 6 7 8

7 8 9 10

Untuk mengakses elemen matriks a yang berada pada baris ke 1 dan 2 dan

kolom 3 dan 4 dapat dinyatakan dengan

>> a(1:2,3:4)

ans =

3 4

5 6

6

Jika kita menginginkan mengganti seluruh elemen matriks pada baris ke

2,3 dan4 dan kolom 1,2 dan 3 dengan elemen-elemen berharga 1.

>> a(2:4,1:3)=ones(3)

a =

1 2 3 4

1 1 1 6

1 1 1 8

1 1 1 10

Kita dapat membuat tabel dengan menggunkan operator colon. Contoh,

kita ingin membuat tabel sinus dan cosinus dari sudut tertentu, misalnya

dibuat kelipatan 30o

>> x=[0:30:180]';

>> trig(:,1)=x;

>> trig(:,2)=sin(pi/180*x);

>> trig(:,3)=cos(pi/180*x);

>> trig

trig =

0 0 1.0000

30.0000 0.5000 0.8660

60.0000 0.8660 0.5000

90.0000 1.0000 0.0000

120.0000 0.8660 -0.5000

150.0000 0.5000 -0.8660

180.0000 0.0000 -1.0000

Operator colon dapat digunakan untuk operasi elemen-elemen pada

metode eliminasi Gauss.

7

>> a=[-1,1,2,2;8,2,5,3;10,-4,5,3;7,4,1,-5];

>> a(2,:)=a(2,:)-a(2,1)/a(1,1)*a(1,:)

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

10.00 -4.00 5.00 3.00

7.00 4.00 1.00 -5.00

>> a(3,:)=a(3,:)-a(3,1)/a(1,1)*a(1,:)

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

0 6.00 25.00 23.00

7.00 4.00 1.00 -5.00

>> a(4,:)=a(4,:)-a(4,1)/a(1,1)*a(1,:)

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

0 6.00 25.00 23.00

0 11.00 15.00 9.00

>> a(3,:)=a(3,:)-a(3,2)/a(2,2)*a(2,:)

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

0 0 12.40 11.60

0 11.00 15.00 9.00

>> a(4,:)=a(4,:)-a(4,2)/a(2,2)*a(2,:)

8

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

0 0 12.40 11.60

0 0 -8.10 -11.90

>> a(4,:)=a(4,:)-a(4,3)/a(3,3)*a(3,:)

a =

-1.00 1.00 2.00 2.00

0 10.00 21.00 19.00

0 0 12.40 11.60

0 0 0 -4.32

Kata kunci end dapat menyatakan elemen paling akhir dari sebuah

matriks. Misal, kita memiliki sebuah vektor

>> a=[1:6]

a =

1 2 3 4 5 6

>> a(end)

ans =

6

>> sum(a(2:end))

ans =

20

Operator colon juga dapat berfungsi sebagai subscript tunggal. Dalam

kasus ini, operator ini akan berperilaku lain ketika berada di ruas kiri dan

ruas kanan. Ketika berada di ruas kanan, operator colon akan

menampilkan seluruh elemen dalam format kolom.

9

>> a=[1,2,3;2,3,4];

>> b=a(:)

b =

1

2

2

3

3

4

Sedangkan, ketika berada di ruas kiri operator colon akan mereshapes

matriks a yang sebeleumnya sudah ada. a(:) menyatakan matriks dengan

dimensi (orde) yang sama dengan a tetapi konten elemen diambil dari

matriks pada ruas kanan.

>> b=[1,2,3,3;4,5,6,7]

b =

1 2 3 3

4 5 6 7

>> a=zeros(4,2)

a =

0 0

0 0

0 0

0 0

>> a(:)=b

a =

1 3

10

4 6

2 3

5 7

Sebagai kasus khusus, operator colon dapat digunakan untuk mengganti

seluruh elemen matriks.

>> a=[1:4;5:8]

a =

1 2 3 4

5 6 7 8

>> a(:)=-1

a =

-1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1

Menggandakan baris dan kolom

Kadang-kadang kita perlu membangkitkan kembali elemen-elemen yang

ada pada baris atau kolom karena kebetulan elemen-elemen yang pada

baris/kolom berikutnya sama. Kita dapat menggunakan perintah repmat untuk

menggandakan baris/kolom tersebut.

>> a=[1;2;3];

>> b=repmat(a,[1 3])

b =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Hasil di atas (matriks b) dibangkitkan dari vektor a yang berdimensi 3 x 1

11

menjadi matriks b yang berdimensi 3 x 3. Perintah repmat(a,[1 3]) berarti

gandakan sebanyak 1 baris dan 3 kolom dari matriks a.

>> c=repmat(a,[2 1])

c =

1

2

3

1

2

3

Perintah repmat(a,[2 1]) berarti gandakan sebanyak 2 baris dan 1 kolom

dari matriks a.

Perintah alternatif yang dapat digunakan, misalnya repmat (a,[1 3]) dapat

dinyatakan dengan repmat(a,1,3) dan repmat (a,[2 1]) bisa dinyatakan dengan

repmat(a,2,1).

Menghapus baris dan kolom matriks

Kita dapat menggunakan operator colon dan larik kosong [ ] untuk

menghapus elemen matriks di kolom maupun di baris.

>> b=[1,2,3;3,4,5;6,7,8]

b =

1 2 3

3 4 5

6 7 8

>> b(:,2)=[]

b =

1 3

12

3 5

6 8

Kalau yang akan dihapus adalah elemen matriks b pada kolom 2 dan 3,

maka

>> b=[1,2,3;3,4,5;6,7,8];

>> b(:,[2 3])=[]

b =

1

3

6

Demikian pula, jika kita akan menghapus elemen matriks b pada kolom 2

dan 3, maka

>> b=[1,2,3;3,4,5;6,7,8];

>> b([2 3],:)=[]

b =

1 2 3

Manipulasi matriks

Di bawah ini diberikan beberapa fungsi untuk manipulasi matriks, antara

lain

diag, fungsi ini digunakan untuk membuat matriks diagonal. Jika kita

memiliki sebuah vektor v, maka diag(v) akan menghasilkan matriks

diagonal dengan elemen diagonal adalah elemen-elemen pada v.

>> v=[1:4];

>> diag(v)

ans =

1 0 0 0

13

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

Untuk menggeser diagonal ke kanan atau ke bawah, digunakan

perintah diag(v,b) yang akan menggeser kekanan atau ke bawah

sebesar b kolom.

>> diag(v,2)

ans =

0 0 1 0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 3 0

0 0 0 0 0 4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

>> diag(v,-2)

ans =

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0

0 0 0 4 0 0

fliplr, perintah ini digunakan untuk mempertukarkan elemen-elemen

matriks yang berada di sebelah kanan dengan elemen-elemen yang berada

di sisi kiri.

14

>> a=[1,2,3;4,5,6]'

a =

1 4

2 5

3 6

>> fliplr(a)

ans =

4 1

5 2

6 3

Kalau a berupa vektor, maka seperti terlihat di bawah ini

>> a=[1,2,3,4,5,6]

a =

1 2 3 4 5 6

>> fliplr(a)

ans =

6 5 4 3 2 1

flipud, fungsi ini digunakan untuk mempertukarkan elemen matriks yang

berada di atas dengan yang ada di bawah.

>> a=[1,2,3;4,5,6]

a =

1 2 3

4 5 6

>> flipud(a)

ans =

4 5 6

15

1 2 3

rot90, fungsi ini digunakan untuk merotasikan matriks A sebesar 90o

menentang arah dengan arah jarum jam.

>> a=[1,2,3;4,5,6]

a =

1 2 3

4 5 6

>> rot90(a)

ans =

3 6

2 5

1 4

tril, fungsi ini digunakan untuk menentukan elemen segitiga bawah dari

matriks tertentu. Sedankan triu, untuk menentukan elemen segitiga atas

matriks.

>> a=[1,2,3;4,5,6]

a =

1 2 3

4 5 6

>> tril(a)

ans =

1 0 0

4 5 0

>> triu(a)

ans =

1 2 3

16

0 5 6

Fungsi matriks lainnya

Masih ada banyak fungsi yang dapat digunakan untuk manipulasi

matriks. Beberapa diantaranya

det,fungsi ini digunakan untuk menentukan determinan matriks. Ingat,

bahwa matriks yang memimiliki determinan hanyalah matriks bujur

sangkar.

>> a=[1,2,3;4,3,-2;-1,5,2];

>> det(a)

ans =

73

eig, ini digunakan untuk menentukan nilai eigen.

>> a=[1,2,3;4,3,-2;-1,5,2];

>> eig(a)

ans =

5.5031

0.2485 + 3.6337i

0.2485 – 3.6337i

inv, fungsi ini digunakan untuk melakukan invers matriks seperti telah

dijelaskan di atas.

lu, adalah fungsi untuk melakukan dekomposisi matriks menjadi matriks

segitiga bawah dan matriks segitiga atas.

>> a=[1,2,3;4,3,-2;-1,5,2];

>> [L,U]=lu(a)

L =

0.25 0.22 1.00

17

1.00 0 0

-0.25 1.00 0

U =

4.00 3.00 -2.00

0 5.75 1.50

0 0 3.17

Matriks jarang (sparse)

Dalam masalah sains dan teknik kita sering menemui permasalahan yang

melibatkan ukuran matriks yang sangat besar. Sedangkan elemen-elemen yang

berharga tidak sama dengan nol dari matriks tersebut jarang. Bayangkan kalau

ukuran matriks sangat besar, misalnya 1000 x 1000 dengan diagonal berharga 2

dan diapit oleh elemen berharga -1.

Matlab memberikan cara yang mudah untuk menyatakan jenis matriks

semacam ini yaitu dengan menggunakan fungsi sparse. Bentuk umum

penggunaan fungsi sparse adalah

sparse(baris,kolom,masukan,m,n)

Contoh kasus sederhana, jika kita ingin menyatakan matriks ukuran 5 x 5

dengan elemen-elemen seperti di bawah ini

[ 2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 00 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 2

]maka caranya

>> p=sparse(1:5,1:5,2,5,5);

>> p=p+sparse(2:5,1:4,-1,5,5);

>> p=p+sparse(1:4,2:5,-1,5,5);

18

>> full(p)

ans =

2.00 -1.00 0 0 0

-1.00 2.00 -1.00 0 0

0 -1.00 2.00 -1.00 0

0 0 -1.00 2.00 -1.00

0 0 0 -1.00 2.00

Keterangan

Pertama dibuat matriks ukuran 5 x 5 dengan diagonal berharga 2.

kedua ditambahkan pada baris 2 hingga n dan kolom 1 hingga n-1 dengan

harga -1.

ketiga, ditambahkan pada kolom 2 hingga n dan baris 1 hingga n-1

dengan19 -1.

19

TUGAS

1. Diketahui dua buah vektor yaitu A=(1 -3 2 5 6) dan B=(4 1 3 5 1)

tentukan

(a) magnitud dari masing-masing vektor

(b) hasil perkalian antar elemen yang seletak

(c) hasil bagi antar elemen yang seletak.

2. Diketahui vektor A=(2+i -3+5i 5 1-3i 2).

(a) tentukan transpose matriks A.

(b) tentukan transpose konjugat dari matriks A.

(c) tentukan magnitud matriks A.

3. Anggaplah kita memiliki bilangan 3,2,3,1 dan 6. Buatlah vektor kolom A

dan vektor baris dengan elemen-elemen tersebut.

4. Bagaimanakah untuk memerintahkan Matlab untuk membuat matriks

dengan orde 7 x 7 dengan seperti di bawah ini

(a) A=3 0 0 0 0 0 00 3 0 0 0 0 00 0 3 0 0 0 00 0 0 3 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 3 00 0 0 0 0 0 3

(b) A=

3 4 5 6 7 8 94 3 0 0 0 0 05 0 3 0 0 0 06 0 0 3 0 0 07 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 3 09 0 0 0 0 0 3

5. Jika diketahui A=[1,2,3,5,3] dan B=[ 4;3;2;5;2]. Tentukan

20

(a) hasil kasil cross vektor A dengan vektor B

(b) transpose dari ketor B

(c) hasil kali dot vektor A dengan vektor B'.

6. Diketahui dua buah matriks

A= 3 2 −1 2 4−2 1 1 3 28 2 −4 3 −5 B=4 1 −1 2 7

6 3 0 3 61 −2 14 2 −5

(a) tentukan hasil perkalian matriks A dengan B.

(b) tentukan invers dari matriks A dan invers matriks B.

(c) tentukan AA-1 , AB, BB-1 dan A-1B-1.

6. Diketahui empat buah persamaan linier

2p + 3p + 4q -5s =10

p - 5p + 6q – 10s =-2

4p + 2q – 7r – 10s = 9

-2p + 10q + 2r – 4s = 6

(a) tentukan determinan dari matriks koefisien A.

(b) tentukan invers matriks koefisien.

(c) dapatkan nilai p, q, r dan s.

7. Diketahui satu set persamaan linier sebagai berikut

2 x5 y6 z=75 x−6 y2 z=1

−5 x−2 y8 z=−2(a) gunakan bagi kiri untuk memperoleh x, y dan z.

(b) tentukan matriks L dan U dengan mendekomposisi matriks koefisien

A.

(c) dapatkan hasilnya setelah matriks L an U diperoleh.

8.

21

22