Metode Alter Nat If Menghitung Rataan Data Kelompok

Page | 1 Rumus Ramdani untuk Menghitung Rataan Data Kelompok, © Singgih S. Wibowo, February 2008

METODE ALTERNATIF MENGHITUNG RATAAN DATA KELOMPOK DENGAN RUMUS RAMDANI

Singgih Satrio Wibowo*

*Simulatec Mandiri

*Atlantech Global System *Matriks Tutorial Club *Sony Sugema College

Metode yang akan disajikan ini adalah metode yang ditemukan oleh sahabat baik saya Pak Ramdani, seorang pengajar di Bimbingan Belajar SSC Bandung (hingga saat ini saya belum menemukan teknik seperti ini bahkan dari referensi internasional sekalipun). Beliau adalah alumni ITB angkatan 95 (Geodesi dan Geomatika) tapi jika ada yang ingin mengenal lebih lanjut tentang Pak Ramdani silahkan kunjungi website SSC Bandung dan kemudian cari profil guru (disana ada juga profil saya lho kekeke).

PEHDAHULUAN Mari kita mulai dengan perkenalan metode Ramdani. Perhatikan contoh soal‐soal berikut ini:

Contoh soal pertama C‐1. (Ebtanas SMA tahun 1999) Rataan hitung dari data pada table berikut adalah

A. 162,3 D. 163,7 B. 162,7 E. 164,7 C. 163,3

Solusi dengan Metode Ramdani: Langkah pertama adalah tentukan sembarang rataan sementara, kita simbolkan . Misalkan saja data ketiga kita pilih sebagai rataan sementara. Selanjutnya buat hubungan pada data pertama (satu data sebelem dan sesudah rataan sementara) kita sebut ini sebagai panah 1. Kemudian buat untuk data kedua (dua data sebelum dan sesudah rataan sementara), kita sebut ini sebagai panah 2, dan begitu seterusnya sehingga setiap data memiliki pasangan . Setiap panah kita kurangkan nilai frekuensinya sesuai tanda panah, sehingga untuk panah 1 kita memiliki ∆ 8 6 2 dan untuk panah 2 kita memiliki ∆ 43 1. Agar lebih paham lihat kembali table di bawah, Jadi jawaban yang benar adalah B.

Tinggi Badan Titik Tengah 150 – 154 … 3 155 – 159 … 6 160 – 164 162 9 165 – 169 … 8 170 – 174 … 4

1 2

∑ · ∆∑ ·

1 · ∆ 2 · ∆∑ ·

1621 · 2 2 · 1

30· 5 162

46

162,7

Tinggi Badan Titik Tengah 150 – 154 … 3 … … 155 – 159 … 6 … … 160 – 164 162 9 … … 165 – 169 … 8 … … 170 – 174 … 4 … …


Coba perhatikan, mudah khan? Nah sekarang mari kita buktikan secara matematis kebenaran rumus di atas. Pembuktian ini adalah asli kontribusi saya sendiri, karena Pak Ramdani tidak memberitahukan pembuktian rumusnya, hanya memberikan hasilnya saja. Namun demikian, saya tetap menaruh hormat (dan bangga) kepada beliau karena beliau yang pertama menggunakan rumus ini, dan karenanya saya sebut sebagai rumus Ramdani.

PEMBUKTIAN RUMUS RAMDANI Perhatikan data kelompok untuk suatu data seperti berikut ini. Misalkan saja ada kelompok data dengan lebar kelas (lebar kelas = interval, dan karenanya biasa disimbolkan ). Kita mulai dengan pembuktian untuk ganjil. Sebut saja data tengah untuk tiap kelas adalah dan frekuensi untuk tiap kelas adalah . Jika kita telaah, kita akan mengetahui bahwa merupakan barisan aritmetika sehingga . Sekarang kita ambil rataan sementara tepat di tengah‐tengah barisan data tengah, sehingga .

Selanjutnya kita dapat memberikan indeks untuk frekuensi data pertama, kedua, ketiga dan seterusnya untuk sebelum dan sesudah adalah , , , … dan , , , … , ..

Sedangkan frekuensi adalah , , , … dan , , , … , .

Sekarang kita mulai dengan definisi dari rataaan (rata‐rata), yaitu

∑ ·∑ (1)

Sekarang mari kita ganti variable‐variabel pada persamaan (1) di atas menjadi

Kelompok Data Tengah 1 2 3 … … …

… … … 2 1

Kelompok Data Tengah

1 1

2

… … …

2 2

1

1

2 2

… … …

1

2


12 2

∑1

2∑

∑1

23

2 2 1∑

∑

1 2 3 12

∑

∑∑

∑ · ∆∑ ·

∑ · ∆∑ ·

Atau singkatnya ditulis (agar mudah diingat)

∑ · ∆∑

·1 · ∆ 2 · ∆ 3 · ∆ · ∆

∑ · (2)

Dimana angka 1, 2, 3, … , ( adalah banyak pasangan yaitu ) dan juga selisih frekuensi ∆ , ∆ , …, ∆

dapat dengan mudah dihafal jika dihubungkan dengan table dan gambar seperti berikut ini. Nah pembuktian yang cukup panjang dan sederhana ini (masa sih.. hehe.. kalo menurut saya ini pembuktian paling sederhana yang bisa saya berikan) belum selesai lho. Koq bisa? Lha kan tadi sudah ditulis bahwa pembuktian di atas untuk ganjil, nah sekarang gimana kalo genap? Kalo genap, kita (apa saya

Kelompok Data Tengah 1 … … …

2

1

1

2 2

… … …

2

1

k

1 · ∆ 2 · ∆ · ∆∑ ·


ya?.. maksud saya mudah‐mudahan andapun dapat memahami pembuktian ini, jadi kita buktikan bersama‐sama.. gitu) dapat membuktikan dengan cara menambahkan satu suku lagi yaitu , yang berarti menambahkan 1 kelas data baru sehingga kita memiliki banyak data ganjil. Karena sebenarnya data ini tidak ada, maka kita mendefiniskan frekuensinya adalah nol, 0. Banyaknya pasangan menjadi

. Sehingga dari rumus Ramdani, kita mendapatkan

∑ · ∆∑ ·

∑ · ∆∑ · (3)

Dimana . Kita harus membuktikan bahwa penjabaran rumus awal akan menghasilkan rumus (3)

di atas, yaitu

Persamaan di atas terpenuhi sebab kita sudah mendefinisikan 0. Dengan cara yang sama seperti sebelumnya maka kita memperoleh

2 2∑

2∑

∑

2 2 1 2 1∑

∑

1 2 3 2∑

∑∑

∑ · ∆∑ ·

∑ · ∆∑ ·

Dengan demikian terbukti bahwa rumus Ramdani juga berlaku untuk genap, maka selesailah sudah pembuktian rumus ini. Hasil pembuktian menyimpulkan bahwa rumus Ramdani berlaku umum untuk berapa banyakpun (semua) data kelas. Dengan metode yang serupa, kita pun dapat membuktikan bahwa pemilihan rataan sementara tidak harus ditengah‐tengah data, tapi dimana pun kita mau, dan selanjutnya


kita menambahkan data sedemikian sehingga pilihan kita tadi ada di tengah‐tengah data baru. Jika ini yang kita lakukan maka jangan lupa untuk menambahkan data baru dengan frekuensi sama dengan nol. Untuk lebih memahami metode ini, mari kita berlatih untuk soal‐soal yang laen berikut ini

PENGGUNAAN RUMUS RAMDANI

Contoh soal kedua C‐2. (UAN SMK Teknologi dan Industri tahun 2003) tinggi badan 40 orang anggota PMR di suatu SMK

disajikan pada table berikut ini. Maka rata‐rata dari data ini adalah

A. 145,87 D. 173,84 B. 153,87 E. 183,84 C. 163,88

Solusi dengan Metode Ramdani: Sekarang misalkan data ketiga kita pilih sebagai rataan sementara, yaitu 162, sehingga kita perlu menambah data di awal dan kita set frekuensinya nol. Selanjutnya kita punya, lihat gambar Jadi jawaban yang benar adalah C.

Contoh soal ketiga C‐3. (UAN SMK Teknik Pertanian tahun 2004) Data berat badan 30 orang peserta PON sebagai berikut.

Rata‐rata berat badan peserta PON adalah

A. 66,85 D. 72,85 B. 68,37 E. 73,80 C. 69,83

Tinggi Badan Frukensi 145 – 149 0 150 – 154 3 155 – 159 4 160 – 164 16 165 – 169 10 170 – 174 6 175 – 179 1

Berat Badan (kg) Frekuensi 40 – 49 3 50 – 59 5 60 – 69 7 70 – 79 7 80 – 89 4 90 – 99 4

1 · ∆ 2 · ∆ 3 · ∆∑ ·

1621 · 6 2 · 3 3 · 1

40· 5 162

158

163,88

Tinggi Badan Frekuensi 150 – 154 3 155 – 159 4 160 – 164 16 165 – 169 10 170 – 174 6 175 – 179 1

1 2

3


Solusi dengan Metode Ramdani: Misal kita pilih data keempat sebagai rataan sementara yaitu 74,5. Karena banyak data genap dengan

10, kita tambahkan data ketujuh dengan frekuensi nol, sebagai berikut Jadi jawaban yang benar adalah C.

KESIMPULAN Dari contoh‐contoh soal yang ada, kita dapat melihat bahwa rumus Ramdani ini ok banget, dan dapat memudahkan pengerjaan untuk banyak soal yang berkaitan dengan data kelompok (hanya untuk menghitung rataan data kelompok). Ingat! saya katakan banyak soal, ini artinya memang tidak selalu lebih mudah sebab boleh jadi lebih mudah dengan cara lain yaitu rataan sementara yang sudah umum (halo.. inget ngga sih dengan metode rataan sementara? Kalo belum inget ya baca donk bab tentang statistik hehe..). Yang paling membuat saya bangga, Pak Ramdani ini sahabat baik saya, dan tentu saja orang asli Indonesia, itu sebabnya saya mencoba membuktikan rumus beliau dan sekaligus mempopulerkan melalui tulisan sederhana ini secara cuma‐cuma. Ya bener.. pengetahuan ini buat anda semua dan gratis, khususnya kalian anak‐anak sekolah yang sebentar lagi akan ikut UAN. Oya sebetulnya saya juga sudah membuat generalisasi dan modifikasi Rumus Ramdani ini, tapi saat ini belum saatnya saya sampaikan.. alasanya sederhana.. cape nulisnya.. huehehehe..

UCAPAN TERIMA KASIH Saya mengucapkan banyak terima kasih kepada Pak Ramdani atas info rumusnya dan ijin untuk menyebarluaskan rumus ini, Mas Fadhly atas pinjeman komputernya buat nulis.. dan Kekasih Maha Tinggi Yang Maha Takterbayangkan atas segala karunia‐NYA.

REFERENSI Sebetulnya saya tidak make referensi apa‐apa untuk membuktikan dan menggunakan rumus ini, kecuali info dari P Ramdani sendiri tentang rumus buatannya. Sementara contoh‐contoh soal saya dapatkan dari buku 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA karangan Ahmad Zaelani, Cucun Cunayah dan Etsa Indra Irawan, terbitan Yrama Widya, 2007.

Berat Badan (kg) Frekuensi 40 – 49 3 50 – 59 5 60 – 69 7 70 – 79 7 80 – 89 4 90 – 99 4 100– 109 0

1 2

3

1 · ∆ 2 · ∆ 3 · ∆∑ ·

74,51 · 3 2 · 1 3 · 3

30· 10

74,5143

69,83


TENTANG PENGGAGAS RUMUS DAN PENULIS Tentang Pak Ramdani, saya persilahkan anda untuk cek di website SSC Bandung, kemudian cari profil guru. Yang pasti beliau adalah pengajar favorit Matematika SSC dan tentu saja jagoan Matematika. Kalian tentu juga pengen menjadi jagoan Matematika khan.. amiin..

Singgih Satrio Wibowo Penulis lahir di Probolinggo, Jawa Timur pada tahun 1980. Menyelesaikan sekolah dasar di SDN Sukodadi 1 pada 1992, sekolah menengah pertama di SMPN 1 Paiton pada 1995, dan sekolah menengah atas di SMAN 3 Malang pada tahun 1998. Pendidikan tinggi diselesaikan pada tahun 2002 di departemen Teknik Penerbangan (Aeronautic & Astronautic) ITB. Pendidikan S2 diselesaikan di jurusan yang sama pada tahun 2006. Matematika adalah ilmu yang dicintai penulis disamping Fisika dan ilmu pengetahuan alam yang lain. Selama menempuh pendidikan di ITB, penulis aktif terlibat dalam beberapa riset, diantaranya adalah desain pesawat terbang Wing in Surface Effect (WiSE), kaji ulang pesawat N250, dan beberapa riset yang lain. Selain pengalaman riset, penulis juga memiliki pengalaman mengajar siswa/siswi mulai dari tingkat TK (Taman Kanak‐kanak), SD, SMP, SMA, dan Universitas tingkat sarjana dan pasca‐sarjana (S1, S2 dan S3). Saat ini penulis aktif mengajar di Lembaga Bimbingan Belajar SSC Bandung sebagai tentor Matematika, dan menjadi konsultan teknologi di berbagai tempat serta turut terlibat dalam beberapa proyek riset. Bersama beberapa teman dekatnya penulis mendirikan Atlantech Global System (AGS) sebuah software house yang memberikan pelayanan analisis dan pembuatan software (aplikasi, 3D design, jaringan). Matriks Tutorial Club sebuah kelompok belajar untuk Mahasiswa S1 dan Pelajar SMA, dan turut membangun grup riset Simulatec Mandiri, sebuah grup konsultan untuk general engineering. Beberapa produk dari Simulatec Mandiri saat ini telah dipakai di TNI‐AU dan LAPAN berupa simulator soft‐real time untuk dinamika pesawat F‐16 dan roket. Penulis dapat dihubungi melalui alamat e‐mail: [email protected] dan [email protected].

Metode Alter Nat If Menghitung Rataan Data Kelompok

Documents

Transcript of Metode Alter Nat If Menghitung Rataan Data Kelompok