metnum

Curve Fitting

Pertemuan 8

Contoh Kasus

Diketahui hasil eksperimen mengenai hubungan jarak

tempuh benda yang jatuh bebas terhadap waktu

tempuhnya.

Berapa jarak tempuh benda ketika waktu tempuhnya

12.5 detik?

Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang

mencocokkan (fit) dalam tabel di atas => curve fitting

Lya Hulliyyatus S, SST - STIS 2

Curve Fitting

Curve Fitting (pencocokkan kurva) adalah sebuah

metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah

kurva fungsi.

Fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini

merupakan fungsi hampiran, sehingga nilai fungsinya

merupakan nilai hampiran

Dapat digunakan menghitung nilai numerik lainnya,

seperti nilai integral atau turunan


Curve Fitting (2)

Contoh: Hitung nilai dari:

Dapat diselesaikan, dg menyederhanakan fungsi f(x) menjadi polinom pn(x) yang berderajat n,

Untuk membentuk polinom ini, diperlukan beberapa titik diskrit yang umumnya berjarak sama dari fungsi f lalu direpresentasikan dalam bentuk tabel. Selanjutnya titik-titik data ini dicocokkan untuk menentukan polinom p(x) agar menghampiri fungsi asalnya


Metode Curve Fitting


Interpolasi


Interpolasi adalah estimasi nilai fungsi pada titik

pertengahan yang berada di antara titik-titik yang

tepat.

Hanya ada satu polinomial orde ke-n yang secara

tepat cocok dengan n+1 titik, dengan beragam bentuk

matematik.

n

nxaxaxaaxf 2

210)(

Contoh Interpolasi


(a) first-order (linear) meghubungkan 2 titik

(b) second-order (quadratic or parabolic) menghubungkan 3

titik

(c) third-order (cubic) meghubungkan 4 titik

Metode Interpolasi


Polinomial Newton


Polinomial newton => Newtons Divided-Difference Interpolating Polynomials

Terdiri dari:

Linear Interpolation => memerlukan 2 titik

Quadratic Interpolation => memerlukan 3 titik

General Form of Newtons Interpolation => memerlukan n+1

titik

10

Linear Interpolation

Menghubungkan 2 titik dengan garis

lurus

f1(x) menunjukan interpolasi

polinomial orde ke-1

)()()()(

01

01

0

01

xx

xfxf

xx

xfxf

Linear-interpolation

formula

Finite divided

difference

)()()(

)()( 001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

narnyaHarga_sebe

narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasit

Contoh


Estimasi nilai ln2 dg linear interpolation.

Jika diketahui ln 1 = 0 dan ln 6 = 1.791759.

Jika diketahui ln 1 = 0 dan ln 4 (1.386294).

Nilai sebenarnya ln 2 = 0.6931472.

Jawab:

Contoh


Interval yg lebih kecil menghasilkan estimasi yg lebih baik

Latihan

Diketahui suatu nilai tabel distribusi Student t sebagai

berikut :

t5% = 2,015

t2,5% = 2,571

Berapa t4% = ?


Latihan

Penyelesaian

x0 = 5 f(x0) = 2,015

x1 = 2,5 f(x1) = 2,571

x = 4 f(x) = ?

Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :

001

0101 xx

xx

xfxfxfxf

237,22374,2

5455,2

015,2571,2015,2


15

Jika ada 3 titik tersedia, estimasi diperbaiki dengan membuat beberapa lekukan menjadi garis yang menghubungkan titik-titik tersebut.

Merupakan interpolasi polinomial orde ke-2 (parabola)

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

Could you

figure out how

to derive this

using the

above

equation?

Quadratic Interpolation

012

02

01

01

12

12

2

01

01

011

00

,,

,

xxxfxx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

xxfxx

xfxfb

xfb

Pendekatan dengan

kelengkungan

Pendekatan dengan

garis linier

))(()()( 102010 xxxxbxxbbxf

))((

)()()(

)()(

))((

)()()(

)()( )(

1202

02

01

0102

2

1202

0210222

01

01100

xxxx

xxxx

xfxfxfxf

bxxxx

xxbxfxfbxx

xx

xfxfbxfb

))((

)(

)))(()((

)(

)))(()((

1202

01

1201

12

1212

2xxxx

xx

xxxfxf

xx

xxxfxf

b

)(

)(

)()(

)(

)()(

02

01

01

12

12

2xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

))((

)(

)))(()(()))(()(())()((

)(

)))(()((

1202

01

0101120101

12

1212

2xxxx

xx

xxxfxfxxxfxfxfxf

xx

xxxfxf

b

))((

)(

)))(()((

)(

)))(()()()((

1202

01

011201

12

120112

22xxxx

xx

xxxxxfxf

xx

xxxfxfxfxf

bxx

16

Atau, dengan menggunakan formula berikut:

f2(x) = a0 + a1x + a2x2

dengan :

a0 = b0 b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 b2x0 + b2x1

a2 = b2

Quadratic Interpolation


Contoh

18

Gunakan quadratic interpolation utk mengestimasi nilai

ln2, jika diketahui:

Jawab:

f2(x) = 0+ 0.4620981 (x-1) 0.0518731 (x-1)(x-4)

Lya Hulliyyatus S, SST - STIS

Contoh


Secara umum:

f1(x) = b0 + b1(x-x0)

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +

b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +

b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + +

bn(x-x0) (x-x1)(x-x2)(x-xn-1)

General Form of Newtons Interpolating Polynomials


General Form of Newtons Interpolating Polynomials

)()(

],[ji

ji

jixx

xfxfxxf

Bracketed function

evaluations are finite

divided differences

],,,,[ ],,[ ],[ )(

)())(())(()()(

011012201100

110102010

xxxxfbxxxfbxxfbxfb

xxxxxxbxxxxbxxbbxf

nnn

nnn

],[],[

],,[ki

kjji

kjixx

xxfxxfxxxf

0

02111011

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn

],,,[],,,[],,,,[

21

22

xi f(xi)

x0 f(x0)

x1 f(x1)

x2 f(x2)

x3 f(x3)

x4 f(x4)

f[xi,xj]

f[x1,x0]

f[x2,x1]

f[x3,x2]

f[x4,x3]

f[xi,xj,xk]

f[x2,x1,x0]

f[x3,x2,x1]

f[x4,x3,x2]

f[x,x,x,x]

f[x3,x2,x1,x0]

f[x4,x3,x2,x1]

f[x,x,x,x,x]

f[x4,x3,x2,x1, x0]

DIVIDED DIFFERENCE TABLE

Contoh

23

Estimasi ln 2 dg third-order Newtons interpolating

polynomial, diketahui x0=1;f(x0)=0;x1=4;f(x1)=1.386294;

x2=6;f(x2)=1.791759;x3 = 5; f (x3) = 1.609438

Jawab:

First divided difference


Contoh


Second divided difference

Third divided difference

Contoh


xi f(xi) f[xi,xj] f[xi,xj,xk] f[xi,xj,xk,xl]

1 0

4 1.386294 0.4620981

6 1.791759 0.2027326 -0.05187311

5 1.609438 0.1823216 -0.02041100 0.007865529

Contoh

26 Lya Hulliyyatus S, SST - STIS

27

Formula menghitung error interpolasi newton:

Dengan asumsi, (n+1)th-order prediction lebih mendekati nilai yg sebenarnya dibandingkan nth-order prediction, maka:

)())(](,,,,[ 10011 nnnnn xxxxxxxxxxfR

Error dari Interpolasi Newton

28

Contoh sebelumnya:

x0=1 f(x0)=0

x1=4 f(x1)=1.386294

x2=6 f(x2)=1.791759

f(x) = 0.4620981 (x-1)

0.0518731 (x-1)(x-4)

f(2) = 0.5658444

Contoh penghitungan error:

Tambahkan 1 titik:

x3=5 f(x3) = 1.609438

Lalu estimasi error dari ln(2)= f(2) Jawab:

2nd order polynomial estimation: f(2) = 0.5658444

True error = ln(2) f(2) = 0.6931472 - 0.5658444 =

0.1273028

R2= f3(x)-f2(x) = f[ x3, x2, x1, x0] (x- x0)(x- x1)(x- x2)

atau

R2= 0.007865529*(x- 1)(x- 4)(x- 6)

Untuk x=2:

R2= 0.007865529*(2- 1)(2- 4)(2- 6) = 0.0629242

Yg merupakan dari true error (pd orde yg sama)

Polinomial Newton Gregory

29

Polinomial newton untuk kasus khusus: data berjarak

sama.

Ada 2 macam:

Polinom newton gregory maju

Polinom newton gregory mudur


Newton Gregory Maju


Misal 5 titik

Newton Gregory Maju


Taksiran Galat Newton Gergory Maju


Contoh


Contoh


Ambil 4 titik

h=0.125

Manfaat Tabel Selisih Maju


Perhatikan tabel berikut



Apa kesimpulannya?



Bila di dalam tabel selisih ditemukan k bernilai (hampir)

konstan (0) maka polinom yang tepat menginterpolasi

titik-titik itu adalah polinom berderajat k.

Contoh


Newton Gregory Mundur


Contoh


Contoh


mundur berderajat 3

Contoh


Latihan

1. Estimasi log 10 menggunakan linear interpolation. Kemudian hitung error relatif berdasarkan nilai yg sebenarnya.

(a) Antara log 8 = 0.9030900 and log 12 = 1.079181

(b) Antara log 9 = 0.9542425 and log 11 = 1.041393

2. Gunakan interpolasi newton orde ke-2 untuk mengestimasi log 10 dengan x 8,9, dan 11 (dari soal no 1). Lalu hitung error relatif berdasarkan nilai yg sebenarnya.

3. Gunakan interpolasi newton orde ke-3 untuk mengestimasi log 10 dg data pada no 1. Lalu hitung error relatif berdasarkan nilai yg sebenarnya.


Latihan


4. Diketahui data sbb:

(a) Hitung f(2.8) menggunakan interpolasi newton dari orde

1 hingga orde 4. Pilih titik-titik untuk mencapai

kemungkinan akurasi terbaik.

(b) Hitung error (R) untuk tiap hasil estimasi

metnum

Documents

Transcript of metnum