1

MENENTUKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DALAM

BENTUK SISTEM KONSISTEN DAN INKONSISTEN

Dwi Narariah1

ABSTRAK

Sistem persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat

eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan

peubah lain atau dirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kita

dapat menemukan bentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaan

linier nonhomogen dan sistem persamaan linier homogen perbedaannya yaitu terletak

pada matriks konstanta (G) dari sistem persamaan yang disusun dalam bentuk

matriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol

(G≠0) sedangkan pada persamaan linier homogen G bernilai sama dengan nol (G=0).

Dari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan maka dapat ditentukan apakah

persamaan tersebut bersifat sistem konsisten atau inkonsisten. Adapun salah salah

satu metode/cara yang digunakan yaitu metode eliminasi Gauss dan Operasi Baris

Elementer (OBE) dalam bentuk sistem persamaan linier atau matriks.

Kata kunci : sistem persamaan linier (SPL), SPL nonhomogen, SPL homogen, sistem

konsisten, sistem inkonsisten.

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang wajib diikuti oleh

siswa mulai dari tingkat sekolah dasar sampai tingkat sekolah menengah bahkan

sampai ke perguruan tinggi. Hal ini disebabkan matematika sangat dibutuhkan dan

berguna dalam kehidupan sehari-hari bagi sains, pedagangan, dan industri. Di

samping matematika menyediakan suatu daya, alat komunikasi yang singkat dan

1 Mahasiswi Prodi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN Raden Fatah Palembang

2

tidak ambigius serta berfungsi sebagai alat untuk mendeskripksikan dan memprediksi

(Jailani dalam Hamzah, 2008: 129).

Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan matematika telah diterapkan dalam

berbagai hal, seperti menentukan harga suatu barang, pengaturan kuota hasil,

contohnya dalam menentukan kestabilan harga BBM, negara-negara anggota OPEC

berusaha mengatur kuota hasil dari pasokan sunber-sumber minyaknya. Keberhasilan

pengaturan initidak akan dapat lepas dari kemampuan OPEC dalam memahami

persamaan linier.

Dari ilustrasi contoh di atas, maka sistem persamaan linier dapat diterapkan

dalam kehidupan sehari-hari. Suatu sistem persamaan linier tidak melibatkan hasil

kali atau akar peubah, semua peubahnya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak

muncul sebagai peubah bebas dari sebuah fungsi trigonometri, logaritma atau

eksponensial (Anton, 2007).

Dalam suatu persamaan linier, kita dapat menyelesaikan persamaan tersebut

dalam berbagai cara/solusi, namun jika ditinjau dari bentuk matriksnya sistem

persamaan linier dapat dibedakan lagi menjadi sistem persamaan linier nonhomogen

dan sistem persamaan linier homogen, perbedaannya yaitu terletak pada matriks

konstanta (G) dari sistem persamaan yang telah disusun dalam bentuk SPL atau

Matriks, jika pada persamaan linier nonhomogen G bernilai bukan sama dengan nol

(G≠0) sedangkan pada sistem persamaan linier homogeny G bernilai sama dengan nol

(G=0).

Adapun cara/metode yang digunakan oleh penulis yaitu dengan metode Gauss

dan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam bentuk SPL atau Matriks. Solusi

penyelesaian Gauss yang dipilih dikarenakan melalui eliminasi Gauss lebih mudah

dalam hal jumlah operasi aritmatika yang lebih sedikit (untuk sistem persamaan yang

lebih besar) hitungan dilakukan dengan komputer.

3

Dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier, tidak

semua sistem persamaan linier mempunyai penyelesaian (Anton, 2007 : 23).

Misalnya : x + y = 5 dan 2x + 2y = 6

Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan akan terbukti

bahwa tidak ada penyelesaian karena sistem ekuivalen yang dihasilkan mempunyai

persamaan yang kontradisi x + y = 4

2x + 2y = 6

Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian disebut dengan

sistem inkonsisten sedangkan jika suatu persamaan memiliki penyelesaian disebut

sistem konsisten. Dalam konsisten ada dua jenis yaitu penyelesaian tunggal (unique)

dan banyak penyelesaian (dependen).

Berdasarkan uraian di atas, maka tujuan makalah ini memaparkan sistem

persamaan linier dengan memperhatikan himpunan penyelesaiannya melalui metode

eliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE), sehingga dapat ditentukan dari

penyelesaian sistem persamaan linier menjadi sistem konsisten atau inkonsisten. Oleh

karena itu dalam makalah ini penulis mengambil judul “MENENTUKAN SISTEM

PERSAMAAN LINIER DALAM BENTUK SISTEM KONSISTEN DAN

INKONSISTEN”.

RUMUSAN MASALAH

Masalah yang akan dibahas pada makalah seminar ini adalah bagaimana cara

menentukan sistem persamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atau

inkonsisten ?

4

BATASAN MASALAH

Adapun batasan-batasan masalah yang akan diambil pada pembahasan

terhadap rumusan masalah di atas, yaitu menentukan penyelesaian sistem persamaan

linier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten dengan menggunakan metode

eliminasi Gauss dan Operasi Baris Elementer (OBE).

TUJUAN

Penulisan makalah seminar matematika ini bertujuan menentukan sistem

persamaan linier apakah bersifat sistem konsisten atau inkonsisten.

5

KAJIAN PUSTAKA

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat

eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan

peubah lain atau dirinya sendiri. Persamaan linier adalah Suatu persamaan linier

dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :

a11x11 + a12x12 + . . . + a1nx1n = b1

a21x21 + a22x22 + . . . + a2nx2n = b2

.

.

.

am1xm1 + am2xm2 + . . . + amnxmn = bm

dimana x1, x2, . . . , xn : bilangan tak diketahui

a,b : konstanta.

Perhatikan contoh sistem persamaan linier berikut :

2x1 – x2 + 2x3 = 7

x1 + 3x2 – 5x3 = 0

- x1 + x3 = 4

Dengan notasi matriks

4

0

7

101

531

212

3

2

1

x

x

x

6

A X = G

Contoh 2 :

3x1 – 7x2 + x3 = 0

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 0

Dengan notasi matriks :

A X = G

A= matriks koefisien

X= matriks variabel / peubah

G= matriks konstanta.

4101

0531

7212

3

2

1

x

x

x

0

0

432

173

7

1. Sistem persamaan linier nonhomogen

Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan

dalam bentuk contoh persamaan di atas akan berbentuk AX = G dengan G ≠

0. Sistem persamaan linier nonhomogen mempunyai solusi atau cara untuk

menyelesaikan suatu persamaan maka akan dibedakan dalam beberapa jenis

yaitu jika suatu persamaan mempunyai penyelesaian disebut sistem konsisten,

dalam sistem konsisten dibedakan lagi menjadi sistem penyelesaian jawab

tunggal (unique) dan sistem dependen (memiliki banyak penyelesaian).

Kemudian sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan sistem

inkonsisten (tidak mempunyai penyelesaian).

2. Sistem persamaan linier homogen.

Sistem persamaan linier homogen yaitu dimana jika dituliskan dalam

bentuk contoh persmaan di atas berbentuk AX = G dengan G = 0. Tiap-tiap

sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena G = 0

selalu merupakan penyelesaian, penyelesaian ini dinamakan penyelesaian

trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogeny

tersebut, maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian nontrivial (tak

trivial). Sistem persamaan liner homogen dengan lebih banyak bilangan tak

diketahui (peubahnya) dari pada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak

hingga banyak penyelesaian.

8

PEMBAHASAN

STRATEGI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Metode Gauss

Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama

(ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Tiga operasi yang mempertahankan penyelesaian SPL

SPL

1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana

sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris.

Contoh penyelesaian dari sistem persamaan linier nonhomogen.

Contoh 1 : Cari penyelesaian dari sistem :

x1 – 2x2 + x3 = -5……………... (i)

3x1 + x2 – 2x3 =11…………….. (ii)

-2x1 + x2 + x3 = -2…………….. (iii)

9

Penyelesaian :

1) ELIMINASI MAJU

ELIMINASI X1 DALAM (2) DAN (3)

Baris (i) dikalikan 3 dikurang baris (ii)

Baris (i) dikalikan -2 dikurang baris ke (iii)

ELIMINASI X2 DALAM PERS. (3)

Baris (ii) dibagi -7

Baris (ii) dikalikan 3 dikurang baris (iii)

Baris (iii) dibagi

2112

11213

5121

2112

26570

5121

12330

26570

5121

123307

26

7

510

5121

7

6

7

600

7

26

7

510

5121

10

2. SUBSTITUSI BALIK

x3 = -1

x2 + x3 =

x2 + (-1) = X2 = - = 3

x1 – 2 x2 - x3 = -5 x1 – 2 (3) – (1) = -5

x1 – 7 = -5

x1 = 2

r(A) = 3

r(A G) = 3

n = 3

Diperoleh penyelesaian x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1 , jadi persamaan tersebut termasuk

persamaan nonhomogen dengan sistem konsisten penyelesaian tunggal (unique).

Contoh 2 :

Selesaikan sistem persamaan :

x1 – 2x2 + x3 = 2

-2x1 + 3x2 – 4x3 = 1

-5x1 + 8x2 – 9x3 = 0

11007

26

7

510

5121

11

Penyelesaian :

Lakukan OBE, bahwa (A,G) menjadi bentuk Echelon

Kalikan persamaan (i) dengan 2 , kemudian tambahkan ke persamaan (ii).

Kalikan persamaan (i) dengan 5 , ditambahkan ke persamaan (iii)

Kalikan persamaan (ii) dengan -2 ditambahkan persamaan ke (iii)

r(A) = 2

r(A G) = 2

n = 3

Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3

0985

1432

2121

0985

5210

2121

10420

5210

2121

0000

5210

2121

12

Persamaan baru menjadi :

x1 – 2x2 + x3 = 2

– x2 – 2x3 = 5

Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian

subtitusikan pada persamaan baru.

Misalkan x3 = α, dng α bil Real

-x2 – 2x3 = 5 -x2 - 2α = 5

x2 = -2α -5

x1 – 2x2 + x3 = 2 x1 – 2(-2α – 5) + α = 2

x1 = -5α – 8

Jadi, penyelesaian umum : {(-5a-8, -2a-5, a)}

Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

Dengan demikian sistem persamaan tersebut disebut SPL nonhomogen dengan

banyak penyelesaian (sistem dependen).

Contoh 3 :

Selesaikan sistem persamaan berikut :

x1 – x2 + 2x3 – 3x4 = - 2

-x1 + x2 – 3x3 + x4 = 1

2x1 – 2x2 + 3x3 – 8x4= - 3

Solusi :

(A G) =

38322

11311

23211

13

Persamaan (i) + persamaan (ii)

Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii)

Persamaan (ii) ditambah persamaan (iii)

r(A) = 2

r(A G) = 3

n = 4

r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ?

Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca :

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 =

Apakah ada nilai x yang memenuhi ?

Sistem tidak punya penyelesaian, berarti sistem persamaan tersebut sistem persamaan

linier nonhomogen yang tidak mempunyai penyelesaian (sistem inkonsisten).

38322

12100

23211

714100

12100

23211

2

10000

12100

23211

14

Penyelesaian dari sistem persamaan linier homogen.

Persamaan linier homogen dengan himpunan penyelesaian jawab tunggal

/trivial / hanya jawab nol.

Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi

bentuk echelon.

Contoh 1 :

Selesaikan persamaan :

x1 – 2x2 + x3 = 0

-x1 + 3x2 – 2x3 = 0

2x1 + x2 – 4x3 = 0

(A 0) =

Persamaan (i) ditambah persamaan (ii)

Persamaan (i) dikalikan 2 dikurang persamaan (iii)

Persamaan (ii) dikali -5 ditambah persamaan (iii)

0412

0231

0121

0412

0110

0121

0650

0110

0121

0100

0110

0121

15

r(A) = 3 ; r(A 0) = 3

n = 3

Sistem hanya mempunyai jawab nol, dari persamaan baru dapat dibaca :

x1 – 2x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

– x3 = 0

Dengan subtitusi balik diperoleh :

x3 = 0, x2 = 0, dan x1 = 0

Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi

khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A;

dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

Persamaan linier homogen dengan banyak penyelesaian.

Conoth 2 :

Selesaikan persamaan berikut :

x1 – 2x2 + x3 = 0

-x1 + 3x2 – 2x3 = 0

2x1 + x2 – 3x3 = 0

Solusi :

Persamaan (i) ditambah persamaan (ii)

312

231

121

16

Persamaan (i) dikalikan dengan -2 ditambah persmaan (iii)

Persamaan (ii) dikalikan -5 ditambah persamaan (iii)

r(A) = 2

n = 3

Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1

Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x3

Dari persamaan baru dapat dibaca :

x1 – 2x2 + x3 = 0

x2 – x3 = 0

Misalkan x3 = α, dng α bil Real

Dengan subtitusi balik diperoleh :

x2 – x3 = 0 x2 = α

x1 – 2x2 + x3 = 0 x1 = α

Jadi penyelesaian umum : {(α, α , α)}. Misal diambil nilai α = 1, maka salah satu

penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

312

110

121

550

110

121

000

110

121

17

GRAFIK SISTEM PERSAMAAN LINIER

Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapat

diperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut :

y k l

k k,l

l

x

(a) (b) (c)

Untuk kasus (a) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa

persamaan dalam sistem tidak konsisten (inkonsisten) yaitu tidak memiliki

penyelesaian.

Untuk kasus (b) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa

sistem persamaan konsisten (tunggal / unique).

Untuk kasus (c) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem

bergantung (dependen)yaitu mempunyai penyelesaian banyak / tak hingga.

18

KESIMPULAN

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat kita simpulkan bahwa sistem

persamaan linier itu persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial,

trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau

dirinya sendiri. Dalam menyelesaikan suatu persamaan linier kita dapat menemukan

bentuk dari sistem persamaan tersebut yaitu sistem persamaan linier nonhomogen dan

sistem persamaan linier homogen.

Sistem persamaan linier nonhomogen yaitu dimana jika dituliskan dalam

bentuk matriks A X = G, dengan G ≠ 0 maksudnya matriks konstanta (G) bernilai

bukan sma dengan nol. Sedangkan sistem persamaan linier homogen yaitu matriks

konstantanya sama dengan nol (G=0). Adapun berbagai solusi dari sistem persamaan

linier pada makalah ini penulis menggunakkan metode Gauss dan Operasi Bilangan

Elementer (OBE), yang disajikan terlebih dahulu dalam bentuk SPL atau Matriks.

Setelah didapatkan himpunan penyelesaiannya maka dapat kita tentukan juga sistem

dari penyelesaian tersebut yaitu dibedakan menjadi sistem konsisten yang berarti

mempunyai penyelesaian tunggal (Unique) dan penyelesaian banyak (Dependen),

sistem inkonsisten yaitu sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian. Agar

lebih mudah memahami dari sistem persamaan linier yang termasuk konsisten

(tunggal / dependen), sistem inkonsisten maka dapat disajikan dalam bentuk grafik.

19

DAFTAR PUSTAKA

Aminulhayat. 2005. Matematika SMA Kelas X. Bandung : Regina.

Anton, Howard. 2003. Dasar-dasar Aljabar Linear. Tanggerang : Binarup Angkasa

Publisher.

Wiley, Jhon. 2004. Dr. Math ‘Menjelaskan Aljabar’. Bandung : Pakar Raya Pustaka.