KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN MENENTUKAN AKAR SUKU BANYAK

Akar-akar suatu suku banyak merupakan nilai yang menyebabkan suku banyak tersebut bernilai nol. Akar-akar suatu suku banyak dapat diperoleh dengan cara memfaktorkan suku banyak tersebut. Dari faktor-faktor suku banyak yang diperoleh, maka dapat ditentukan akar-akarnya. Secara umum, bentuk yang seringkali muncul dalam soal adalah sebagai berikut :

Jika f(x) habis dibagi (x - a) → akarnya x = a Jika f(x) habis dibagi (x + a) → akarnya x = -a Jika f(x) habis dibagi (ax - b) → akarnya x = b/a Jika f(x) habis dibagi (ax + b) → akarnya x = -b/a Jika f(x) habis dibagi (x - a)(x - b) → maka akarnya x = a atau x = b.

Kumpulan Soal Menentukan Akar Suku Banyak

1. Banyaknya akar-akar real dari x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 = 0 adalah ...

A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6

Pembahasan x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 = 0⇒ (x + 1)(x3 - 4x2 + x + 6) = 0⇒ (x + 1)(x + 1)(x2 - 5x + 6) = 0⇒ (x + 1)(x + 1)(x - 3)(x - 2) = 0⇒ x = -1 atau x = -1 atau x = 3, atau x = 2.Karena terdapat akar yang sama yaitu -1, maka banyak akarnya hanya ada 3 ---> opsi B.

 

2. Salah satu akar persamaan x3 + 5x2 - 9x - n = 0 berlawanan dengan akar lainnya maka nilai x12 + x22 + x32 sama dengan ...

A. 48B. 46C. 44D. 43E. 40

PembahasanJika suku banyak berderajat tiga memiliki akar x1, x2, dan x3, maka berlaku :x1 + x2 + x3 = -b/ax1.x2.x3 = -d/ax1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Karena salah satu akar berlawanan dengan akar lainnya, maka kita dapat memisalkan x1 = -x2.Dari x3 + 5x2 - 9x - n = 0  diperoleh a = 1, b = 5, c = -9 dan d = -n.⇒ x1 + x2 + x3 = -5/1 = -5⇒ -x2 + x2 + x3 = -5⇒ x3 = -5.Selanjutnya dari rumus no 3 diperoleh :⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = -9/1 = -9⇒ x1.x2 + x3(x1 + x2) = -9⇒ x1.x2 + -5(-x2 + x2) = -9⇒ x1.x2 = -9⇒ -x2.x2 = -9⇒ x22 = 9⇒ x2 = 3 , maka x1 = -3Dengan demikian, maka :x12 + x22 + x32  = (-3)2 + 32 + (-5)2  = 9 + 9 + 25 = 43 ---> opsi D.

3. Persamaan 2x3 + px2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ...

A. -9B. 2½C. 3D. 4½E. 9

Pembahasan Karena x = 2 adalah akar suku banyak, maka berlaku f(2) = 0.f(x) = 2x3 + px2 + 7x + 6  ⇒ f(2) = 2(2)3 + p(2)2 + 7(2) + 6 = 0⇒ 16 + 4p + 14 + 6 = 0⇒ 4p + 36 = 0⇒ p = -9Dengan demikian diperoleh 2x3 - 9x2 + 7x + 6 dengan a = 2, b = -9 , c = 7 dan d = 6.Berdasarkan rumus x1 + x2 + x3 = -b/a, maka diperoleh : ⇒ x1 + x2 + x3 = -(-9)/2 = 4½ ---> opsi D.

4. Jika akar-akar persamaan x3 - 12x2 + 44x + k = 0 membentuk barisan aritmatika, maka nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah ...

A. -48B. -42C. -24D. 40E. 48

PembahasanDari x3 - 12x2 + 44x + k = 0 diperoleh a = 1, b = -12, c = 44, dan d = k.⇒ x1 + x2 + x3 = -b/a⇒ x1 + x2 + x3 = -(-12)/1 = 12Karena x1, x2, dan x3 membentuk barisan aritmatika, maka :⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) = 12⇒ 3x1 + 3b = 12⇒ x1 + b = 4

Karena pada barisan aritmatika suku awal biasa dilambangkan dengan huruf a, maka kita dapat merubah x1 menjadi a sebagi berikut :

⇒ a + b = 4 atau b = 4 - a

Selanjutnya :

⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

⇒ a(a + b) + a(a + 2b) + (a + b)(a + 2b) = 44

⇒ a(4) + a(a + 2b) + 4(a + 2b) = 44 → substitusi b = 4 - a⇒ 4a + a(a + 2(4 - a)) + 4(a + 2(4 - a) = 44⇒ 4a + a(8 - a) + 4(8 - a) = 44⇒ 4a + 8a - a2 + 32 - 4a = 44⇒16a - a2  + 32 = 44⇒ -a2 + 16a - 12 = 0⇒ (a - 6)(a - 2) = 0⇒ a = 6 atau a = 2

Ambil saja salah satu, misal a =2 maka b = 4 - a = 4 - 2 = 2Selanjutnya, dari rumus perkalian akar diperoleh :⇒ x1.x2.x3 = -d/a⇒ a(a + b)(a + 2b) = -k/1⇒ 2 (4) (6) = -k⇒ k = -48 ---> opsi A.

5. Bila akar-akar persamaan x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0 membentuk deret aritmatika dengan beda 2, maka :

A. a = -8, b = -15, c = 16B. a = 8, b = 15, c = -16C. a = 14, b = -8, c = 15D. a = -16, b = 8, c = -15E. a = 14, b = -8, c = -15

Pembahasan Misal akar-akarnya adalah x1, x2, x3, dan x4.dari x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0 diperoleh a = 1, b = -8, c = a, d = -b dan e = c.

Dari rumus penjumlahan akar diperoleh :x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a⇒ x1 + (x1 + b) + (x1 + 2b) + (x1 + 3b) = -(-8)/1⇒ 4x1 + 6b = 8 ---> dari soal diketahui beda = b = 2⇒ 4x1 + 12 = 8⇒ 4x1 = -4⇒ x1 = -1 maka x2 = 1; x3 = 3; dan x4 = 5.

Dengan demikian, maka persamaan suku banyaknya adalah :(x + 1)(x - 1)(x -3)(x - 5) = x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0x4 - 8x3 + 14x2 + 8x - 15 = x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0Dari persamaan itu  diperoleh a = 14, b = -8, dan c = -15 ---> opsi E.