•

PRAKATA

Laporan ini kami susun setelah mempelajari mater~

dari li teratur-li terat.ur yang ber~asil kami kumpulkan •

Pada kesempatan iai kami mengucapkaa terima ltasih yuc aebesar-besar-.

nya kepada Bapak Drs.R.Soemantri yang telah beraedia menjad:i pembim­

bing dalam peneli tian /ini. Juga kami ucapkan teriraa kaaih kepada para

senior di FMIPA UGM, khusuanya di Jurusan Matematika, ataa segala sa-

ran dan petunjuk yang diberikan kepada kami. Tak lupa pula kami ucap-

kan terima kasih kepada Sdr.R.Sutadi B.A. ·yang telah membantu menger-

jakan pengetikannya.

Tent.u saja laporan ini, khususnya basil penelitian,.raasih

jauh dari sempurna karena keterbatasan yang kami miliki. Oieh karena "_ - ·4~-· ·_ \7_:

itu, segala kritik dan saran akan kami terima densan ••nang hati ~ . ',1.

1

Yogyakarta, Juni 1987

Penyusun . . Y .. M.Sri Daru Unonincaih

, . •

-··.

'-·~.

I •

II •

III •

IV •

PRAKATA

INTISARI

PENGAN'l'AR

CARA PENELI'l'IAN

DAFTAR ISI

HASIL DAN PEMBAHASAN

III.1. Ruang Topologi

III.2. Himpunan Terhubung

IIt.3. Himpunan Terhubung Path

III.4. Himpunan Terhubung Lokal

KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

hal a man

i

ii

iii

iv

1

1

9

2.5

39

42

43

INTISARI

Sifat himpunan dalam ruang metrik dapat dilihat dengan

cara melihat sifat himpunan itu dalam ruang topologi, eebab

ruang metrik selalu bisa dipandang sebagai ruang topologi.

Demikian pula halnya tentans sifat himpunan terhubung dalam

ruang metrik •

Penelitian ini dilakukan dengan cara etudi literatur

dan hasilnya berupa uraian tentang hiapunan terhubung dalam

ruang tipologi. Selain pengertian terhubung suatu himpunan,

dikembangkan pula pengertian terhubung path dan t'erhubung lo­

kal. Semua pengertian tadi ternyata sangat bermanfaat untuk

mempelajari Analisis Real dan Kompleks •

ii

I. PENGANTAR

Himpunan tak terhubuns adalah suatu himpunan yang terdiri

atas gabungan paling aedikit dua himpunan yang aaling terpiaah.

Akan tetapi untuk melihat apakah auatu himpunan itu terhubung

atau tidak kadang-kadang sangat aulit, meskipun himpunan tadi

dapat disajikan cara geometri. Dengan bantuan pengertian him -

punan terhubung dalam ruang topologi, keaulitan ini dapat di -

atasi •

Dalam buku " Topology A Firat Course ", tuliaan James H.

Munkres yang diterbitkan tahun 1978, diuraikan tentang himpunan

terhubung beserta macam-macam"keterhub.ungan" dalam ruang topo­

logi. Selain pengertian terhubung, dikemukakan juga terhubung

path dan terhubung lokal. Juga Sze-Taen-Hu dalam bukunya

" Element of General Topology " yang terbit tahun 1964, selain

menguraikan hal-hal di ataa menguraikan pula keterkaitan antara

fungsi kontinu dan himpunan terhubuns.

Berdaaarkan pengertian-pengertian di ataa, dicoba untuk

menyeleaaikan beberapa contoh himpunan terhubung, terhubung path

maupun terhubung lokal •

iii

II. CARA.PENELITIAN

Penelitian dilakukan dengan cara etudi literatur.

Langkah pertama adalah mengumpulkan materi penelitian

yang diambil dari enam judul buku tentang Topologi dan Analisis

Kompleks, seperti yang tercantum dalam Daftar Puetaka.

Langkah kedua mempelajari materi penelitian dan meng­

olahnya dengan bantuan teori-teori daear dalam Matematika, se­

perti Logika, Teori Himpunan, Topologi dan Alalisie. Hasil

penelitian ini berupa uraian tentang "Himpunan Terhubung Dalam

Ruang Topologi " yang tersueun dalam euatu urutan berjenjang

dalam bentuk definisi, lemma dan teorema. Dicoba pula untuk me­

mecahkan beberapa contoh aoal, terutama soal yang banyak muncul

dalam Analisis.

Langkah ketiga menyusun basil penelitian ini dalam ben­

tuk laporan penelitian •

iY

III. HASIL· DAN PEMBAHASAN

III.1. Ruang Topologi •

Dalam III.1 ini cli_beriku pencertian-pencertian daaar dalu

topoloci yanc nantinya ~icunakan untuk meaahami pembicaraan ten•

tanc himpunan terhubunc. Selain detiniai ruanc topoloci, sekitar

dan topologi relatif, diberik.D pula pengertian titik limit dan

tipe-tipe himpunan dalam ruanc topologi. Ruane aetrik yang di -

kenal dalam Analiaia aelalu biaa dipandanc aebacai ruanc topolo-

gi, khuausnya nanti diperkenalku tentanc topoloci usual dalam

ruang Euclid S\ n • Selanjutnya diberikan pengertian fungai kon­

tinu dan dua ruang topoloci yang homeomorfik.

Definiai 1.1. :

Ruane topolosi adalah pasancan ( X, T ) dencan X himpunan

tak kosong dan T keluarca dari himpunan-himpunan bagaian X

yang memenuhi :

1). ¢ e T clan X 6 T .-

2). Bila u1, 1:(2 E. T ' maka u1 () U.2 € T •

3). Bila u1, u2, . ' . e. T ' maka u ui e T • i& I

Definisi 1.2. :

Dalam Definisi 1.1., anggota-angsota T disebut himpunan

terbuka , dan komplemellllya diaebut himrunan tertutup. T disebut

topologi pada X •

Contoh 1.1 :

X • { a, 'b, c, d, • } •

1

T1 = { x, -' fa} ' . { c, cl J , { a, c, d } , { lt, c, d, e J l . T2 • t x, ¢ t [a j ' ( ..• l t {a, c, cl J, { lt, c, d} }

• Terlihat ( X, T1 ) ruanc topoloci , aedanckan T2 'bukan

topologi untuk X ae'bab ' [ a, c, d ~ U { 'b, c, cl ~ • { a, 'It, c, tl 1

bukan anggota T2• Jadi ( X, T2 ) bukan ruanc topolop.

Contoh 1.2. :

Misalkan X hiapunan_ tak kosoac. Maka T • { ¢, X }

adalah topoloci pada X dan biasa diaebut topolosi indiakrit •

( X, T ) disebut ruanc topoloJi incliakrit.

Sedangkan PX •

X • ( x, { A I A ~ X } diaebut topoloci diskrit pacla

PX ) adalah ruanc topololi diskrit •

Contoh 1.3. :

Miaalkan X himpunan tak koaonc. Keluarga T terdiri

atas ¢ clan semua komplemen clari hiapunan 7&nl finite(berhingga)

adalah topologi pacla X dan diaebut topololi cofinite •

Definiai 1.3. :

Miaalkan x e. X clalam ruang topologi ( X, T ) •

Himpunan A C X disebut aekitar dari x bila ada U ~ T

dengan x G A C U •

2

De!inisi 1.4. :

Sub keluarsa B dari T dalaa ruans topolosi ( X, T )

disebut basis untuk T bila eetiap anssota T dapat dinyata-

kan sebasai gabunsan ansgota-anssota B ( - adalah

dengan U i e T ) •

Definiei 1.5. :

U u1 i~¢

Misalkan ( X, T ) ruanc topologi dan A C. X •

Titik p e X disebut titik liait dari A bila setiap seki­

tar dari p memuat suatu titik a ~ A densan a ~ p •

' Himpunan semua titik limit dari A ditulis ciencan lambang A •

Contoh 1.4 :

Perhatikan kembali ruanc topologi ( X, T ) dalam contoh

1.1. Ambil himpunan A • [ a, b, c } • Ti tik b E. X adalah

titik limit dari A , eebab sekitar dari b adalah f b,c,d,e }

dan X sendiri dan kedua eekitar ini aeauat titik anggota A

yang tidak sama dengan b • Tetapi a G X bukanlah titik li­

mit dari A , sebab { a J adalah sekitar ~ari a yanc tidak

memuat titik ansgota A selain a eendiri •

' Himpunan eemua titik limit dari A adalah A • { b, d, e } •

Densan definisi titik liait di atas, biea dibuktikan

suatu eifat yans mengatakan :

' Himpunan A tertutup bila dan han7a bila A C. A •

Buktinya tidak ciibicarakan dalaa tulisan ini •

'

Definiai 1.6. :

Misalkan ( X, T ) ruans topolosi dan A C X •

Penutupan dari A ( closure of A i , ditulis l t adalah

irisan dari seaua hiapunan tertutup JUS aeauat A •

Jadi I • ~ { r1 I 1'1 tertutup 8c A C F1 J Sifat yans berkaitan dengan hal di atas adalah :

1). A tertutup bila dan haDJa.bila I • A • - . 2). A • A U A

Buktinya tidak dibicarakan dalaa tulisan ini.

Definisi 1.7. a

Misalkan ( X, T ) ruans topolosi dan A C X •

Interior dari A, ditulia A0, adalah hiapunan terbuka terbesar

yans termuat dalaa A • Ja•i

A0

• U f U I U E. T , U C A J .

Definiai 1.8. :

Misalkan ( X, T ) ruans topolosi dan A C X • -Boundar: ( frontier ) dari A , di tulia C> A, adalah I (') A 0

Definisi 1.9. 1

Miaalkan ( X, T ) ~&DI topolosi dan A C X •

A disebut ••n•• dalaa X bila I • X •

Definisi 1.10. 1

Biapuaa A C. X clalaa ruaac topoloci ( X, T )

disebut boun4!£l ~ila A0 • ¢ •

4

A disebut nowhere dense bila I

Ruane topolosi ( X, T > disebut separable bila X

memuat himpunan bacian 7anc countable dan dense dalaa X •

Ditinisi 1.12. :

Misalkan A himpunan bacian yanc tidak kosonc dari X

dalam ruanc topoloci ( X, T ) • Keluarca V terdiri atas

semua himpunan berbentuk A () U densan U £ T disebut

to:polo.si relatit pada A dan ruanc topoloci ( A , "C ) disebut sub ruans dari ( X, T ) •

Definisi 1.13. :

Misalkan X hiapunan tak kaaanc • Suatu funssi ber-

harga real d yanc didetinisikan pada X x X disebut metrik

pada X bila untuk setiap a, b, c, ~ X dipenuhi aksioma ~

aksioma :

1. d( a, 1t ) > .... 0 •

d( a, b ) • 0 bila. dan han7a 'bila a • 'b •

2. d( a, 'b ) • d ( b, a )

'· d( a, c ) ~ cl( a, b ) + cl ( b, c ) . Pasangan ( X, ·d ) disebut ruans metrik •

Contoh 1.5. :

Funsai cl yans didetinisikan pacla ii=\ n x 1A. n

·5

dengan aturan

d( p, q )

adalah metrik pada

Definiei 1.14. :

, biaea dieebut

.. .. + (a - b )2

D D

metrik usual pada 1R D.

Mi salkan ( X, d ) ruanc me trik dan p e X •

Untuk S ) 0 t himpuu

s ( Pt '5 ) • t X 6 X I •< ,, X ) < 5 }

diaebut aekitar dari p •

Definiai 1.15. :

Miaalkan ( X, d ) ruanc metrik du A C X •

Ti t1k p c X d1eebut t1 t1k 11•1 t dar1 A b1la aetiap sek1 tar

dar1 p memuat suatu ansgota A rans tidak s .. a dengan p •

Jadi untuk aet1ap · ~ ) 0

( S ( p, b ) () A ) ' { p } rf.. - •

Def1n1a1 1.16. :

M1salkan ( X, d ) ruans metr1k dan A C X •

Himpunan A d1aebut terbuka dalam ( X, d ) bila untuk a~tiap

a E. A dapat d1 teaukan aeki tar S(a, S ) rans termuat dalam A.

Def1n1a1 1.17. :

M1aalkan ( X, d ) ruans metr1k dan A C X •

Hiapunan A diaebut tertutup b1la A0 terbuka •

Detinisi 1.18. :

Misalkan ( X, d ) ruans metrik dan T keluarsa terdiri

atas semua himpunan terbuka dalu ( X, cl ) • Maka T adalah

topolosi untuk X dan disebut topologi yang dibangun oleh metrik (.

Dari Definisi 1.18. jelas bahwa setiap'ruans metrik

( X, d ) selalu bisa dipandans sebasai ruans topolosi, sebab

dari metrik d selalu bisa dibansun topolosi T terdiri atas

semua himpunan terbuka dalam ( X, d ) •

Contoh 1.6. :

Ruang metrik ('JR. n, d ) seperti pada Contoh 1.5. Juga

merupakan ruans topolosi densan topolosi rans dibangun oleh metrik

usual d • Topologi pada 'R n ini disebut topoloci usual •

Definisi 1.19. :

Misalkan ( X, T ) dan ( Y t 1) ) dua ruans topolosi dan

tungsi t : X ---~ Y • Funsai t disebut kontinu (pada X )

bila untuk setiap V ~ '[> , maka t•1 ( V ) e T •

Teoreaa 1.1. :

Misalkan ( X, T ) dan ( Y, 'f' ) dua ruans topolosi dan

tungsi t : X ---~ Y • Maka ketisa pernrataan di bawah ini

ekuivalen :

1. t kontinu •

2. Untuk setiap A C X ' r<I> c mr. '· Untuk setiap himpunan tertutup B dalam Y ,

7

himpunan t-1( B ) tertutup dalam X •

Bukti teorema ini tidak dibicarakan.

Detinisi 1.20. :

Misalkan { X, T ) dan { Y, [l) dua ruanc topoloci dan

f X y funcai bijektif. Bila f -1 ---.:.- maupun f :Y -~

keduanya kontinu, maka f diaebut ho .. 8morfisma • Kedua ruang

topologi ( X, T ) dan (J, v) diaebut homeoaortik •

Himpunan terhubung, khuauanya ru~c topologi terhubung,

dapat digambarkan sebagai suatu himpunan yang "men7atu" , yaitu

X

himpunan yang anggota-anggotanya saline melekat satu dengan yang

lain. Gambaran yang lebih audah adalah keadaan sebaliknya,yaitu

suatu himpunan tak terhubung bila himpunan itu terdiri atas pa­

ling sedikit dua himpunan bagian yang saling "terpisah".

Konsep "keterhubungan-ini menarik untuk dilihat, terutama karena

peranannya dalam Analiaia, khu•usnya Analiais Real dan Kompleks

yang cukup familier bagi Jane pernah belajar matematika. .

8

..

III.2. Himpunan Terhubun1 •

Sebelum supai kepada si·tat-sitat himpunan terhubung,

terlebih dahulu diberikan pengertian biapunan terhubung melalui

detinisi ruang topologi terbubung. Dibicarakan pula tipe himpunan

terhubung pada garis real. Sedangkan Teorema Nilai Menengah dan

Teorema Titik Tetap adalah aalah satu aplikaainya. Pada akhir III.2.

diberikan pengertian komponen •

Definiai 2.1. :

Ruang topologi ( X, T ) diaebut terhubun« (connected) bila

tak ada paaangan himpunan terbuka yang tidak koaong ( U, V ) de­

ngan U () V • ~ dan X • U () V •

Sedangkan ( X, T ) disebut tak terhubung (disconnected),

bila ada paaangan himpunan terbuka yang tidak kosong ( U, V ) de­

ngan U n V • ; dan X • U () V •

Bila A himpunan bagian dari ruang topologi ( X, T ), ma­

ka aelalu bisa dibentuk topologi relatif {) , aehingga ( A, [' )

merupakan ruang topologi. Bimpunan A disebut terhubuns dalam

( X, 'l' ) bila ( A, [}) ruang topologi terhubung. Demikian pula

A tidak terhubuns bila ( A, Z: ) tidak terhubung. Ber•aaarkan

pengertian ini mudah dipahami bahwa ~ merupakan himpunan terhu­

bung dalam setiap ruang topologi.

Cara lain untuk menyatakan ruang terhubung diberikan oleh

definisi di bawah ini •

9

Definisi 2.2. :

Suatu ruang topologi ( X, T ) disebut terhubun§ bila

himpunan-hiapunan bagian dari X ~ang sekaligus terbuka dan ter­

tutup hanyalah ; dan X sendiri •

Dapat ditunjukkan bahwa ruanc topologi yanc terhubung me­

nurut Definisi 2.1. juca terhubunc menurut Detiniei 2.2.,atau

dengan kata lain kedua detini~i di atae ekuivalen. Buktinya bisa

diikuti demikian :

1). Diketahui ( X, T ) ruanc topologi yanc tak terhubuns

menurut Detiniei 2.2., yaitu ada himpunan tak kosong A C, X

yang sekaligus terbuka dan tertutup dengan A ~ X •

Dibentuk v A c Maka An v ; dan X A U V • = • • •

Sedangkan A dan v keduanya terbuka • Jadi ( x, T ) tak

terhubung menurut Detiniei 2.1. Dengan kontraposisi, bila

( x, T ) terhubung menurut Detinisi 2.1., maka ( X, T ) terhubung

menurut Detinisi 2.2.

2). Diketahui ( U, V ) pasangan himpunan terbuka yang

tidak kosong dengan U (') V • ; dan X • U U V • Karena

V terbuka maka Vc • U tertutup • Sedanckan U juga terbuka.

Karena V ~ ¢ , maka U ~ X • Terlihat U sekaligus ter­

buka dan tertutup dengan U ~ X dan U # ~ •

Jadi ( X, T ) tak terhubung aenurut Definiei 2.1. Dengan kon­

traposisi, bila ( X, T ) terhubung aenurut Detiniei 2.2., maka

( X, T ) terhubung menurut Detinisi 2.1.

Akibat 10

Bila ( X, T ) tak terhubung, aaka ada paaangan himpunan

bagian sejati dari X , aebut ( A, B ), dengan A dan B se­

kaligus terbuka dan tertutup dal.. X •

Lellllla 2.1. :

Bila Y hiapunan basian dari ruang topologi ( X, T )

dan ( A, B ) adalah pasangan himpunan bagian dari Y yang ti­

dak kosong dengan Y • A U B, aaka Y tidak terhubung bila

dan hanya bila A tidak aemuat titik limit dari B dan B ti-

dak memuat titik limit dari A.

Bukti . . 1). Misalkan Y tidak terhubung dengan ( A, B ) pasangan

himpunan bagian sejati dari Y 1ang sekaligus terbuka dan ter­

tutup dalam Y • Penutupan A di Y adalah 'i (\ Y. Karena

A tertutup dalam Y, maka A • I (\ Y • Ini berarti

'i () B = - , a tau B tidak memuat ti tik limit dari .l .• ,

Dengan arguaeatasi yang aaaa, A juga tak memuat titik limit da-

ri B •

2). Misalkan A tak aeauat titik limit dari B

tak memuat titik limit dari A. Maka I {) B • - dan

n - ¢ - n A B • • Dari sini diaimpulkan A y • A

13 n y = B • Ja.di A dan B keduanya tertutup dan

gus terbuka dalam Y dengan A ~ Y dan B ~ Y •

Ini berarti Y tidak terhubung •

Contoh 2.1.

11

dan B

dan

sekali-

( X. T ) adalah ruans .topologi densan T topologi indis­

krit. Maka t x, :~} densan x, y G X dan x 1: 1 terhubung.

Contoh 2.2.

CH\ , T ) ruang topologi usual pada saris real dan

Y = [ -1 , 0 ) l) ( 0, . 1 J sub ruans dari ( '\R , T ) Maka Y

tak terhubung, sebab A = [ -1, 0 ) dan B = ( O, 1 ] keduanya

terbuka dalam Y dengan A tax -emuat titik limit dari B dan

B tak memuat titik limit dari A •

Contoh 2.3.

Himpunan semua bilangan rasional ~ tak terhubung da­

lam ruang topologi usual ( ~ , T ) sebab tak ada pasangan him­

punan terbuka yang tidak kosong ( u' v ) dengan u n v = ¢

dan Q.= uVv.

Contoh 2.4.

( 1R. 2 , T ) ruans topologi dengan T

topologi usual pada bidang datar •

Bimpunan

X • { .x, y. I y = 0 } \.} { x, y /x ) 0

dan 1 = ~ } tidak terhubuns dalam ruans topologi di atas,

sebab :

A = {<x, Y)/ y • oJ dan B = {<x, :r>f x )o dan y = ~} keduanya terbuka dalam XB densan A tak memuat titik limit

dari B dan B tak memuat ti tik limit dari A dan X = A \) B.

Contoh-contoh di atas memperlihatkan himpunan tak ter-

12

hubung dalam ruang topologi. Tentunya akan timbul pertanyaan ,

seperti apakah sebenarnya hiapunan terhubuns itu. Sebelum sampai

kepada contoh himpunan terhubuns, lebih dahulu akan diberikan

beberapa lemma dan teorema.

Lemma 2.2. :

Mi~alkan X ruang tak terhubuns dengan ( C, D ) pasangan

himpunan bagian sejati dari X yang sekaligus terbuka dan ter­

tutup. Bila Y himpunan bagian dari X yang terhubung dan ti-

dak kosong, maka Y terauat dalam salah satu C atau D •

Bukti • . Karena C dan D terbuka dalam X , maka C () Y dan

D n Y terbuka dalam Y dengan ( C n Y) n (D (l Y) = , •

Andaikan C n Y dan D n Y keduanya tidalc kosons, maka Y

tak terhubung dengan Y • ( C n Y ) U ( D n Y )

Kontradiksi, karena diketahui Y terhubung. Jadi C n Y = -atau D n Y = - • Ini berarti Y C C atau D C Y •

Teorema 2.1. :

Misalkan {A 0( J keluarga hiapunan terhubung dala11

( X, T ) dan p €. U A~ 0(

juga terhubung •

Bukti :

• Maka· Y = u ex

Andaikan Y tak terhubuns dengan ( C, D ) pasangan him­

punan bagian sejati yans sekaligus terbuka dan tertutup dalam Y.

1}

Maka p berada dalam tepat aalah aatu dari C atau D • Miaal­

kan p €- c • Karena A"" terhubuns, malta A o< termuat dalam

salah satu dari C atau D menurut Lemma 2.2. Dan karena

p e A"" , maka A~ C. C , untuk setiap o<. • Jadi 0 AO(C c. o(.

Kontradiksi dengan D ~ ¢ • Dari sini disimpulkan Y terhubung.

Teorema 2.2. :

Misalkan A himpunan terhubuns dalam·ruang topolosi(X,T).

Bila A c B c I , maka B jusa terhubung.

Bukti

Andaikan B tak terhubung O..:r..;;11n ( c, D ) pasangan him-

punan bagian sejati J&ng sekaligus terbuka dan tertutup dalam B.

Karena A C B dan A terhubuns, maka menurut Lemma 2.2.

A termuat dalam salah aatu dari C atau D • Misalkan A G c.

Malta A C C • Karena C n D • ¢ ., maka B () D = ¢ •

Kon tradiksi dengan B n D ~ ¢ ,

Jadi B terhubung •

Teorema 2.3. :

Misalkan ( X, T ) dan ( Y, f) ) ruang-ruang topologi

dan f fungsi kontinu dari X ke Y •

Bila A ( X dengan A terhubuns, maka f( A ) juga terhubung.

Bukti • •

Pandang fungsi kontinu dan surjektif g : A --~ f(A)

dengan g(a) • t(a> untuk setiap a c A •

14

Andaikan f(A) talc terhubung dengan (C, D) paaangan himpunan

bagian aejati dari f(A) yang aekaligua terbuka dan tertutup

dalam f(A). Karena s lcontinu dan c dan D terbuka dalu

f(A), maka -1(C) s . dan ~-1(D) terbuka dalam A dan

-1 ) . g (C () c·1 (D) • - dengan llaaing-maaint -1 ( -1 ) S C) dan S (D

tidak kosong. Ini berar.ti A tidak terhubung. Kontradilcsi de­

ngan yang diketahui. Jadi · f(A) terhubung •

Tipe hiapunan terhubung pada saris real diberikan oleh

teorema berikut ini.

Teorema 2.4. :

Himpunan bagian A yang memuat paling sedikit dua titik

dalam rues topologi usual pada saris real ( 4R. , T ) adalah

terhubung bila dan hanya bila A interval •

Bukti . . 1). Diketahui A terhubung pada garis real.

Andaikan A bukan interYal. Maka ada a, b E: A dan p r A

dengan a < p < b • Dibentuk U • (- c,., , p ) dan

V • ( p, C.-? ) • Maka a E U dan b e- V • Hiapunan-himpunan

A n u dan A () V terbuka dalaa A, saling aaing, tidak

kosong dan ( A f'1 U ) U ( A () V ) • A • Ini berarti A tidak

terhubung. Kontradikai dengan yang diketahui. Jadi A interval.

2). Diketahui A interYal •

Andaikan. A tidak terhubung dengan ( U, V ) paaangan hillpunan

bagian aejati dari A J&DC aekalisus terbuka dan tertutup dalam

A • ; 15

Dibentuk C = A () U dan D • A () V • Maka A = C U D

dengan c dan D keduan,-a tidak kosons. Ambil c '= C dan

d a D dan misalkan c <. d • Miaalkan pula p = aup t c f) [c, ctJ J· Karena interval [ e, d ) tertutup, maka p e [ c, d j . Berarti

p 6 A • Alum dibuktikan bahwa tern1ata p 1 C dan p f D •

Andaikan p e C • A , () U • Maka p < d dan p C. U •

Karena U terbuka, maka ada ~ ) 0 dengan p + S E:. U dan

p + ~ <. d • Ini berarti p + b t A, juga p + b E: C •

Kontradiksi dengan p • sup f C () [.c,d j J . Jadi p 1 C •

Andaikan p t D • A 0 V • Maka P e v • Karena v ter-

buka, maka ada £ > 0 dengan tp-f.,p]C.. v dan a< p- e. Ini berarti (P-ttPJ c. A dan ·jusa (P-EtP] C. D •

Oleh karena itu [p-£.,p]()c = ¢ • Ini berarti p- f

batas atas untuk c n (c, d] • Hal ini bertentansan dengan

p = sup [ c () (c, d) J • Jadi p ~ D •

uari uraian di atas didapatkan basil p f. A • tetapi PI c

dan p 1 D , sedanskan A a C U D • Timbul kontradiksi •

Jadi A terhubuns •

Contoh 2.5. . •

Berdasarkan Teorema 2.4., setiap interval pada garis

real terhubuns relatif terhadap topolosi usual •

Contoh 2.6. :

Pandans ftt2 densan topoloci usual • Dibentuk

{<X t 1 J F a sin i)/x">o clan

y • t < 0 ' 1 > I -1 ~ 1 ~ 1 1 • 16

Maka F terhubuns , F U Y terhubuns, demikian jusa

X • F U Z dengan Z ·C Y terhubuns •

Bukti :

y

II I

tii)+ lr"\ • ( o, (I) ) terhubung me-

nurut Teorema 2.4.

Pandang tungai kontinu

t : ~ + ---~ 1R 2

densan aturan

t(x) • {x, sin ~ ).

Maka t( 1R. +) = F •

Karena ~ + terhubung dan t

kontinu, maka t( 1R +) = F

juga terhubung •

Akan dibuktikan F U Y terhubung •

Ambil <o, o)

ada titik <x, kurang dari £

f; y dan E. > 0

a in .:!. > X

• < x, o) c Karena sin

1 • 0 t • -X

sembarans • Maka aelalu

F yang jaraknya ke o,o

maka ~ • k 1f dengan

k • o, + - 1, • • • + - 2, + - ,, . 1

X • --- • kTf Jadi Bila

dipilih nilai k sehingga 1 < ~

1 k"tf , yaitu bila k' -1...

"lf£ ' maka titik < - , o) berjarak kurans dari £ terhadap ( o,o).

k1r Ini berarti (o,o) adalah titik limit dari F • Jadi Y memuat

ti tik limit dari F • Menurut Leua 2 .1., F U Y terhubung.

Demikian juga bila diambil aembarang ( O,y) E Y dan £ > 0

sembarang, maka dapat dipilih (x, sin ~) G F yang jaraknya

ke (o, y) kurang dari E. • Dengan mengambil

17

1 sin - = y dan

X

karena sin .1 • sin ( x 1 -·+ X

2 k1f ) , maka diperoleh

1 -+ X

2 k 1\ • arc sin '1 • Jacii x • 1

• arc sin 1 - 2 k 1\

Bila dipilih k < ~ arc •in 7 - 1 maka x < C. • ' 2 'f\£

Ini berarti jarak ti tik < 1 , '1 > ke <D, '1 > arc sin 7 - 2 kl\

kurang dari t . Jadi (o, J) adalah titik limit dari F.

Bila Z C Y dengan Z # ¢ , Z. U F terhubung •

Bila Z • - , maka Z U F • F sendiri J&ng telah terbukti

terhubung •

Teorema 2.5. :

Hasilkali kartesius ruang-ruang terhubung juga terhubung.

Bukti . . 1). Dibuktikan untu}t,haeilkali karteeius dua ruang ter-

~

hubung ( X, T ) dan 1-:-. ( Y, t,).

Ambil a (: X y

f--

!"----

dan b E Y • Maka X x t b) homeomorfik

X X

l (a, b)

I

{xJiflr

y .... {,.. (..-

X

dengan X • Karen& X terhu-

~ buns, maka X x { b J jusa

terhubuns • Dengan argumen­

taai yang eama ~ a } x Y

terhubuns •

Demikian juga bila diambil sembarang x € X , maka [ x} X Y

terhubung untuk setiap x •

Di bentuk Tx • ( X x t b} ) U ( t X 3 X Y ) •

Terlihat X x t b ~ dan t x J x Y berserikat eli eatu titik

18

(x, b) dan maaing-masing terhub~ng •. Menurut Teorema 2.1., Tx

terhubung untuk setiap x E X • Hasilkali kartesius X x Y

~) T • Sekali lagi menurut Teorema 2.1. X+ Y terhubung • x ex x

•

2). Untuk hasilkali karteaiua berhingsa bisa dibuktikan

dengan induksi •

3). Misalkan t Xo'.}o<. e I adalah keluarga ruang-ruang

terhubung dan X = 1f XfA ruang topologi hasilkali kartesius. ~'I

Pilih satu titik b ~ X , yaitu b • <b q..) o<. ~I • · Untuk

setiap himpunan bagian berhingga { ~1 ~ Q(2 , • • • , o( n1dari I,

didefinisikan sub ruang X ( ~1 , o~-2 , • • • , o(n) dari X

terdiri atas semua ti tik ( x o(. ) ~ E: I dengan x oe.. == b 01.

untuk o( ~ ~1 , ••• • o(.n •

Maka X ( ~ 1 ,

logi · Xo( X 1

~2' ••• , fJ. 11

) homeomorfik dengan ruang topo-

X o( X 2

• • • x X~ dengan pemetaan n

bijektif t : X d. X X ()(. X • • • 1 2

X o< ------~ n

X o(2' ~ ) ( o(1' • • . ' yang didetinisikan dengan n

f ( XI>( xo< ) • ( 1 o<. ) ~f. I dengan Yo<.==- xo<. 1' ••••• ' n

untuk d. = 0'(1 t •••• r).. n dan Yo< • bO(. untuk o<. yang lain •

Karena X o(2' , ~n) terhubung dan ( o( 1' •••

b c X ()1.. ) setiap f P<1 , o<2 , • • ,o<n 1 C. ( o{1' o(2' ••• '

untuk I, n

maka y • u X ( o<1, ••• , o<.

11) terhubung • Jelas Y c x.

19

Ambil ( x ) (/.... E I ansc~ta X dan aqgota basis U = 1\ U o(

yang memuat ( xe~.)o< E:' I • Setiap Uo( terbuka dalam X"" dan

u rA • X rJ.. untuk eeba.n7ak berhingga anggota hiapunan indeks I t

misalnya untuk d.. • Q(.1 , • • • , o( n • Ansgota X yans ber­

bentuk ( Y rJ.. ) c;( e: I ciengan

{

xo<.

y"" = bot,.

untuk ~ • ~1 , •••

untuk o<. yang lain

·"' n

merupakan anggota X ( o( 1 , • • •, O(n), jacii juga anggota Y •

Juga (Yd.. )(:I{ GJ I cii ataa menjacii ansgota U • Ini berarti

U n Y = , • Aki batn,.a Y • X • Karena Y tertutup cialam

X, maka Y • Y • X • Jacii X terhubung •

Salah aatu aplikaai ciari aifat terhubung cialam kalkulus

adalah Teorema Nilai Menengah cian Teorema Titik ~etap seperti

yang ciiberikan di bawah ini •

Teorema 2.6. : { Teorema Nilai Menengah )

Bila t : La, b} ----)lr \K fungsi kontinu, x dan y

dua ti tik pada [a, b) dan r E 11<. densan r terletak di an tara

f(a) dan f(b) , maka terdapatlah titik z 6 (a,b1 dengan

f{z) r •

Bukti :

X = ta, b] terhubung • Karena t kontinu maka f(ta, bJ)

juga terhubung. Dibentuk A • t( ta,b]) n { - Cl), r ) dan

B = t( (a, b] ) n ( r, + C%>) •

Maka A dan B keduanya terbuka dalam t ( [a, b J ) , A 0 B • '

20

·-

dan bila f( a> E: A, maka f( b) ' B •

Andaikan tak ada z €; t.a,b] dengan f(z) • r , maka f( l a,b))

tak terkurullg • Timbul'kontradiksi • Jadi ad.a z E: l a, b 1 dengan

f(z) • r •

Sebelum sampai kepada Teorema Titik Tetap, lebih dahulu

akan diberikan definisi " retra\:tion " dall " retract " •

Definisi 2.3. :

Misalkan (X, T ) ruang topologi dan E C X • Suatu

pemetaan r : X ---~ E disebut retraction dari X onto E

bila restriction (pembatu) dari r pada E, r I E , merupakan

fungsi identitas pada E, iE • Subruang (E,~) dengan 1D topologi relatif disebut retract dari ruang (X, T ).

Contoh 2.7.

Interval aatuan I • [o,1 1 adalah auatu retract dalam

garis real 1R terhadap topologi usual dengan pemetaan retraction

r : ~ ----~ I yang didefiniaikan dengan

(t) • i: t t ~ 0

r t 0 ~ t 4 1

' t )/ 1 •

Lemma 2.3. :

Misalkan X == La, b J subruang dari ruang topologi

( '\R, T ) pada garis real dan A • { a,b} • Maka A usual • bukan suatu retract dari X •

21

Bukti • . Andaikan ada retraction r • • A ---~ A • Menurut de-

finisi r surjektif • Karena X terhubung dan r kontinu,ma­

ka A juga terhubung. Tetapi terlihat A • {a 1 L) \. b} dengan

{a) dan {b) terbuka dalam A , tidak koaonsi dan

t a 1 () { b 1 ~ ~ . Ini berarti A tak terhubuns. Kontradikai.

Jadi yang benar tak ada retraction , atau A bukan suatu retract

dari X •

Teorema

paling

f(x) =

Bukti

2.7.

Setiap

sedikit

X •

• .

: ( Teorema Titik Tetap )

pemetaan t • ta,b1 ---+- La, b) mempunyai •

satu titik tetap, yaitu ada x ~ ~a,b) dengan

Dengan tidak mensuransi umumn1a peraoalan, diambil

I a,b) = (- 1, 11 •

Andaikan untuk setiap x ~ \_-1, 11 , f(x> ~ x •

Didefiniaikan fungai kontinu r pada t -1,1 ) dengan I

r ex> = x - t (x)

/x - f(x)/ ( •1 ~ X 1 ).

Maka r adalah retraction dari [ -1,1 ] onto A • { -1, 1 } •

Kontradikai dengan Lemma 2.3. Jadi ada x c (-1,1]dengan f(x)=x.

Definiai 2.4. :

Suatu komponen C dari ruang topologi (X,T) adalah

himpunan terhubung makaimal dalam ( x, T ).

22

Jadi bila c Kompone~ d&+am (X, T), maka C bukan merupakan

himpunan bagian aejati dari setiap himpunan terhubung dalam

( X, T ) •

Contoh 2.8. :

Bila X • {a,

T • [ ¢, X, fa} ,

himpunan-himpunan t e 1 dari ( X, T ).

Contoh 2.9. :

b, c , d, e 1 dan

{e), {a,b), £b,c 1, {a,b,dJl• maka

dan { a, b, d \ merupakan komponen

Bila ( X, T ) ruang terhubung, maka satu-satunya kompo-

nen dalam ruang ini adalah X aendiri •

Lemma 2.3. :

Setiap komponen adalah tertutup.

Bukti

Misalkan C komponen dalam ( X, T ) • Maka C C C •

Karena C terhubung, maka menurut Teorema 2.2. C juga ter­

hubung. Karena C himpunan terhubung maksimal, maka C = C , yaitu C tertutup •

Teorema 2.8. :

Komponen-komponen dalam ruang topologi ( X,T ) mem­

bentuk partisi pada X • Setiap himpunan terhubung dalam (X,T)

termuat dalam salah satu komponen.

2:5

Bukti :

Ambil p · (: X • . Miealkan A p • f Ai I i (:- I J , yaitu kelas dari semua himpunan terhubung yang memuat p dalam

( X, T ) • Maka Cp • ~ A i terhubung menurut Teorema 2.1. i~I

Bila D himpunan terhubung clengan Cp C D , maka p e D •

Jadi D €$p atau D C. Cp • Akibatnya Cp = D , yang ber­

arti Cp komponen untuk setiap p € X •

Di bentuk C = f Cp / p (; X } dengan Cp komponen se­

perti di atas. Akan di'buktikan C terdiri atas semua komponen

dalam ( X, T ) •

Cp b C komponen, telah terbukti di a tas.

Sebaliknya, bila D komponen maka ada p0

f X sehingga

D ~ Cp , sebab D terhubung. Tetapi karena D komponen, maka 0

D = Cp • 0

Selanjutnya clibuktik~ C mem'bentuk partisi pada X •

Misalkan Cp n Cq • Ambil a e Cp n Cq • Maka

Cp C Ca dan Cq C Ca sebab Cp maupun Cq himpunan terhu-

bung yang memuat a • Te~api karena Cp clan Cq komponen,

maka Cp = Ca = Cq •

Jadi bila Cp (\ Cq ~ ¢ , maka Cp • Cq • Atau bila Cp # Cq,

maka Cp n Cq • ¢ • Dengan kata lain C membentuk partisi

pada X •

Bila B himpunan terhubung dalam ( X, T ) , maka B C Cp 0

untuk suatu Po ~ X • Bila B • ¢ , maka B termuat dalam

setiap komponen • 24

III.3. Himpunan Terhubunc Path •

Dalam bab ini dibicarakan himpunan terhubung path, khusus­

nya ruang terhubung path, dengan terlebih dahulu diperkenalkan

pengertian path • Salah satu aplikasi penting tentang terhubung

path ada dalam Teori Fungsi Kompleks. Dalam Fungsi Kompleks di-

kenal istilah region yang didefinisikan sebagai himpunan yang

terbuka dan terhubung. Teorema yang menyangkut hal ini adalah 3

Teorema 3.3. Pada akhir IIi~diperkenalkan pula tentang path yang

homotopik •

Definisi 3.1. :

Diberikan titik-titik x dan 1 dalam

( X, T ) . Suatu path dalu X

fungai kontinu f : (a,b) ---)It

f ( b ) = y • -Titik

titik akhir dari path

Definisi 3.2. . •

X disebut

t •

dari X ke

X dengan

titik awal

ruang topologi

1 adalah suatu

f ( a ) = X dan

dan 1 diaebut

Ruang topologi ( X, T ) diaebut terhubuns path bila se­

tiap dua titik di dalamnya bisa dihubungkan dengan suatu path da-

lam X •

Himpunan A G X disebut terhubuns path bila ruang topo­

logi ( A, ~ ) terhubung path dengan 1: topologi relatif.

25

Contoh 3.1. :

Fungai konatan tp : (a,b] ___ ,_ X· yans didefiniaikan

ciengan tp ( a ) • p untuk aetiap a c (a, b) . dan auatu

p t X acialah kontinu. Maka tp path yang konatan •

Contoh }.2. :

Bila f : ta, b) ---• X auatu path dari x ke y , .. maka f : [a,b) ---~ X yang didefiniaikan dengan ... f ( s ) = f (b + a - a ) untuk aetiap s ~ ta,b] adalah path

dari 1 ke x •

Contoh }.}.

Bila f : [a, b] ---• X path dari x ke y dan

g : La, b) ___ ,. X path ciari y ke a, maka

f + g : [a, b] ---• X dengan aturan :

{ f(2s - n) untuk a~ a ~ b +a

(f • c )(a) 1: 2

g(2a - b) untuk b+a ~a -<: b - ...... 2

acialah path ciari X ke. z •

Lemma }.1.

Bila ( X, T ) ruanc terhubunc path, maka ( X, T ) ter­

hubung •

Bukti :

Ambil p ~ X • Karena ( X, T ) terhubung path, maka

untuk aetiap x e X ada path fx : [ a, b J ---· X dari

. 26

p ke X • Juga X e fx ((a,bJ.) G X, maka

X = u fx ( (a,b1 ). Karena p E fx ( l. a, b 1 ) X E; X

untuk setiap x ~ X, maka n f ( [a,b 1 ) .; ¢ • X~ X X

Karena fx ( [ a, b 1 ) terhubung untuk setiap x 6- X, maka

X • U fx ( [a,b1) terhubung. X t X

Akibat

Bila A himpunan terhubung path, maka A terhubung •

Kebalikan lemma ini tidak berlaku artinya suatu himpunan

yang terhubung belum tentu terhubung path. Hal ini bisa dilihat

pada beberapa contoh di bawah •

Contoh 3.4.

1

t

i

i-

. •

Pandang himpunan-himpunan dalam~ 2

~ <x,y > X A • I 0 ~X ~1 • 1 = ii • n ~ N 1 •

B • t <x,O) I i ~X ~ 1 } •

Maeing-maeing A dan B terhubung

path, maka menurut lemma di atas juga

ter~ubung •

Karena B memuat titik limit dari A, maka A U B terhubung.

Tetapi A 0 B tidak terhubung path, sebab bila diambil sembarang

p f A dan sembarang q E B, tidak ada path yang bisa dibuat

dari p ke q •

27

Contoh 3•5• :

Himpunan X = F lJ Y eeperti dalam contoh 2.6. adalah

terhubung tetapi tidak terhubung path •

Untuk biea mamahami contoh berikut ini, lebih dahulu

akan diberikan pengertian himpunan dengan urutan"lexicographic"

Definisi 3.3. :

Bila X dan Y dua himpunan dengan urutan par sial, maka

himpunan hasilkali karteeiue X x Y dieebut mempunyai urutan

lexicographic bila untuk eetiap

( a, b > dan < c , d ) dalam X x Y :

< a,b) ( (c,d) bila dan han7a bila a < c atau a == c dan

b < d •

Contoh 3.7. :

Karena ~ mempun7ai urutan pareial, maka pada ~ x ~

dapat didefinisikan urutan lexicographic •

Mi salnya (1 , 3 > dan < 2, 5 > keduan7a dalam 1R x '\R • Maka < 1 , 3 > < (2, 5) ee bab komponen pertama 1 < 2 •

Sedangkan (1,3) < (1,5> , sebab 1 • 1 dan 3 < 5

Contoh 3.6. • •

Ruang I X I dengan urutan lexicographic adalah ter-

hubung tetapi tidak terhubuns path terhadap topologi-usual dalam 2

TR .. 28

Ruang C· disebut ruans aiair (comb-apace), sesuai dengan

geometrisnya •

p •

-

0

Jelas subruans ( c, ~) dari ruang topologi-usual T )

terhubung path, jadi juga terhubung •

Bila D c C "{(0~ x ( 0,1 ) } t maka ( D, 'i ) dengan ~ topologi relatif adalah eubruang dari ( 1R 2, T ) •

( D, ~ ) terhubung, tapi akan dibuktikan tidak terhubung path.

Dibentuk himpunan

A • ( [ O, 1) X . { 01 ) U ( K X [0, 11 ) •

Titik p c < o, 1) adalah titik limit dari A •

Misalkan t : (·a, b] ---)t D adalah path dengan ti tik

awal p • Karena ~ p} tertutup dalam ( D, Cij" ) dan f kontinu,

maka f-1 ( { p J ) juga tertutup dalam (a, b ] • Ambil suatu

sekitar terbuka V dari p dalam U\ 2 yang tidak memuat titik

pada sumbu x •

}0

1

Bukti . •

Karena I terhubung , maka I x I terhubung.

Ambil p = ( 0,0) dan q • (1,1). Andaikan ada path

f * [a, b] --->- I x I dari p ke q • Menurut Teorema

Nilai Menengah f ( [a,b1 ) memuat aemua titik ( x,y )

anggota I x I • Jadi untuk aetiap x ~ I, hilllpunan

tidak

maka

u X = f -1

koaong dan termuat

ux terbuka dalam

( f X l dalam

[ a,b)

f

X ( 0,1 ) )

[a, b) • Karena f kontinu,

. . 'l.

~ fx) X ( 0,1 )

u l (; ,c) J

p Untuk aetiap x e I , pilib bilangan raaional dalam U

X

Karena himpunan-himpunan Ux dengan x G I aaling asing,

•

maka pemetaan g : I ___ .,.. Q dengan g( x) • <lx untuk x . £: I

adalah injektif • Karena I uncountable, maka ~ juga

uncountable • Kontradikai karena ~ countable • Jadi tidak

ada path dari <o,o) ke (1, 1} •

Contoh 3.8.

K = {

• . 1 11

I n E: N } •

Dibentuk himpunan dengan urutan lexicographic :

C = ( [0,1l X fo} ) U ( K X [0,1)) U ( £01 X (0,11 ).

29

t.)

a·, ( • l •b X

0

I

x =* r D

Untuk sembarang x0

E f-1 ( { p 1 ) selalu bisa dipilih seki tar

terbuka u dari X sedemikian hingga f( u ) c. v t sebab f 0

kontinu • Karena lj terhubung, maka f(U) juga terhubung.

Ambil t.i tik dalam D, 1 to> dengan ~ Pilih r q • <- t q p • n

sehingga 1 < < 1 r - • n + 1 n

Kemudian pandang dua himpunan terbuka dalam ~ 2 :

(-(1) 1 r)x1R dan ( r, + en) x ~-Karena f( u ) c D dan tak memuat titik pada sumbu x,

f ( u ) tak berserikat dengan titik pada garis X = r •

f( u ) c ( -~. r ) X ft<.. U ( r t +00) X 1R. Karena p c f( u ) dan f( u ) terhubung, maka

q 4 f( U ) • Jadi f ( U ) • f p } , atau

U C f-1 ( [ p 'j ) • Kesimpulan yang dapat diambil adalah

r-1 ( { p 1 ) sekaligus tertutup dan terbuka •

Karena [a, b) terhubung, maka f-\ { p J ) = t a, b]

31

•

maka

Jadi:

Jadi setiap path dalam D dengan titik awal p tak menghubung-

kan titik p den,;an titik J&ng lain dalam D • D tidak ter­

hubung path. D sering diaebut ruang aisir ter•hapus ( deleted

comb apace ).

Teorema 3.1.

Bila f funsai kontinu dari ( X, T ) dan ( Y, ~ )

dan A terhubung path dalam ( X, T ), maka f ( A ) terhubuns

path dalam ( Y, [' ) •

Bukti :

Ambil p, q ~ f ( A ) • Maka ada p' dan q' dalam A

den,; an f ( p' ) = p dan f ( q' ) :II q • Karena A ter-

hubung path, maka ada path s . [a,b] ___ ,.

X dengan •

g(a)·= p' dan s ( b ) = ,. dan ,. ( \:a, b) ) c. A •

Fungsi kompoaiai f•g • [a, b) ____ ,..

y juga kontinu •

dan fo g ( a ) = f { S (a) } = f (p') = p dan

f • s ( b ) = f { g (b) l = f f ,. J = q dan

f 0 I ( (a,b) ) = f { s ( ta,b) ) } (. f ( A ) . Jadi f ( A ) terhubung path •

Teorema 3.2.

Bila ~ keluarsa himpunan - himpunan terhubunt; path

dala.m ruans topologi ( x, T ) dan n £ A I A E; _F } • ¢ t maka

u {A I A e J } juga terhubuns path •

32

Bukti • •

Misalka.D D • U { A / A e jd. } daD x, '1 e D •

Maka ada A dan A dalam ~ dengan X E. A dan Jf. A • X '1 X '1

Ambil p 6 n {A/A~~1 • M&ka p E: A dan ada path X

f . (a,b J ---"' A c D dari X ke p • Juga p € A . X '1

dan ada path g [a, b 1 ___ .,.

A dalam D dari p ke '1 • '1

Menurut contoh 3.3., dapat di .. buat path f • g t:a,b] --· D

dari x ke 1 • Jadi D terhubung path •

Lemma 3.2. :

Setiap bola terbuka B dalam ftt 2 adalah terhubung path.

Bukti

dalam

• •

Misalkan p = < x1, 1 1 > B • Didefinisikan tungsi

dall q :a: < x2 , 12 ) keduanya

t : [a, b) .... ,. fR.2

dengan t (t) < x1 t

: ( x2 - x1 ), t :cy2-'~1>> = + 71+

b - b -

adalah suatu path dalam B dari p ke q • Jadi B terhubung path. /

Berikut·ini teorema tentang region, Jaitu daerah terbuka

dan terhubung, dalam bidang kompleks, Jang merupakan aplikasi

dari pengertian terhubung path •

Teorema 3.3. :

Setiap himpunan Jang terbuka dan terhubung yang tidak ko-

song dalam ~ 2 adalah terhubung path •

33

Bukti

Misalkan E ~ ¢ , terbuka dan terhubung dalam tR 2•

Ambil p e E dan dibentuk himpunan

G = { q c E I ~ path dari p ke q dalam E ) •

Akan ditunjukkan G terbuka dalam E. Ambil q E G • Karena

E terbuka, ada bola terbuka B dalam E dengan pusat q •

Karena B terhubung path menurut Lemma 3.2., maka setiap titik

x e B dapat dihubunskan dengan q oleh suatu path. Sedangkan

q dapat dihubungkan dengan p • Jadi ada path dalam B dari x

ke p, sehingga q €. B C G • Jadi G terbuka •

Dibentuk H = E '\. G , yaitu H terdiri atas titik -

titik dalam E yans tidak dapat dihubungkan dengan p oleh

path dalam E •

Akan ditunjukkan H terbuka dalam E •

Ambil q' e H C E • Karena E terbuka, ada bola terbuka B'

dalam E dengan pusat q' • Karena B' terhubuns path, maka

setiap x € B' tak dapat dihubungkan dengan p melalui path

dalam

lam

E • Jadi q • E B' C H • Ini berarti H terbuka da­

E • Akibatnya G dan B juga tertutup dalam E •

Karena E terhubung dan G ~ ¢ , yaitu paling sedikit

p ~ G , maka G = E • Jadi E terhubuns path.

Selanjutnya akan dibicarakan pengertian dua path yang

" homotopik " du pemetaan " hoaotopi " •

Def'inisi }.4. :

Misalkan t. : (a, b J ___ ,_ X dan g

adalah dua path dalam X dengan titik awal p & X dan titik

akhir q ~ X • Misalkan pula A • Ca,b) X t a,b 1

Path t disebut homotopik dengan q , ditulis f ~

ada f'ungsi kontinu H • A ___ ,.

X dengan •

H ( < a,a > ) . t(s) H ( < a,t > ) ='

H ( <a, b > ) • g(a) H ( < b, t > ) • Fungsi H di ataa diaebut homotopi dari f ke g •

(Perhatikan gambar di bawah ).

a f

Contoh

p

q

g

•

,bila

Miaalkan X adalah himpunan titik-titik di antara dua

lingkaran sepusat • Maka dua path f dan g pada gambar di

bawah ini homotopik, aedangkan t • dan g' tidak homotopik.

35

----·-----.....

Teorema 3·'· . •

Bila ~ adalah himpunan aemua path dalam

titik X ke titik '1 , maka relaai homotopi pad a

relasi ekuivalensi •

Bukti :

1). Misalkan t : (a,b] ---~

A = [a, b] x [a, b J • X auatu path dan

X dari

~ adalah

Maka fungai B : A ---~ X yans didefiniaikan dengan

H ( < a, t > ) = t( a) •

adalah homotopi dari f ke f • Jadi f ~ t , atau ber-

laku sifat reflekai t •

2). Misalkan t ~ s dan B : A X homotopi dari A

f ke g • MaKa tungai B : A ---~ X yans dide-

finisikan dengan .. H ( < a,t > ) • H ( <a, b + a - t > )

adalah homotopi dari 1 ke f •

Jadi g ~ f , atau aitat aimetria berlaku •

3). Misalkan t '::::::! s dan s ~ dengan F : A --~ X

homotopi dari t ke s dan G : A . ., . .,. X homotopi

dari g ke h • Maka tunge1 H : A ___ ,.

X JUS dide-•

finisikan dengan • • . r ( < a,2t -a>) untuk a~ t ~ b + a

2 H(<s,t))= b + a f G ( < s,at - b > ) untuk 2 t ~ b.

adalah homotopi dari f ke h • Jadi f~ h, atau berlaku

sifat transitif •

Interpretasi geometris dari homotopi H adalah " menekan "

dom in F dan G ke dalam satu bujur sangkar dengan panjang

sisi-sisinya b - a, aeperti gambar di bawah ini •

h

domin ct-+

domin F~

t

Definisi 3.5. :

Suatu path f : [a, b] ---).

bila f ( a ) • f ( b ) •

37

h

•• ~---~ domin B

IUlJl t

X disebut path tertutuR

. I

Khuausnya path yans konatan

f (s) • p untuk setiap p

Definiai ,.6. :

t p

s E:-. C a, b 1

___ ..,. X dengan

adalah path tertutup •

Suatu path tertutup t : [a,b) ----~ X disebut

menguncup ke satu titik ( contractable to a point ) bila t

homotopik dengan suatu path konstan •

Definisi '·7• . •

Suatu ruang topologi ( X, T ) ~iaebut terhubung aederhana

(simply connected ) bila setiap path tertutup dalam X menguncup

ke satu ti tik •

Contoh ,.10. : Suatu bola terbuka dalam fR 2 adalah terhubung sederhana.

sedangkan daerah di antara dua lingkaran sepusat , tidak terhubuns

sederhana, sebab ada path tertutup yang tak menguncupke satu titik.

terhubung sederhana tak terhubung sederhana

III. 4. Himpunan Terhubuns Lokal •

Pengertian hiapunan terhubung sangat berguna dalam ruang

topologi, tetapi kadang-kadang diperlukan pengertian keterhubunsan

yang bersifat " lokal " , seperti yang akan dibahas dalam bagian

ini •

Definisi 4.1. :

Ruang topologi ( X, T ) diaebut terhubuns lokal di titik x

bila untuk setiap sekitar U dari x , ada suatu sekitar terhubung

V dari x yang termuat dalam U •

Bila ( X, T ) terhubung lokal di setiap titik dalam X,

maka ( X, T ) disebut terhubung lokal •

Contoh 4.1.

Setiap interval'dalam garis real selalu terhubung dan juga

terhubung lokal • Sedangkan sub ruans X = [ -1,0) \J (0, 1 J dengan topologi relatif' dari ruang topologi usual ( ~ , T )

tidak terhubung, tapi terhubung lokal •

Contoh 4.2. :

Perhatikan kembali ruang siair terhapus

contoh 3.8. Ruang ini terhubung lokal di titik

39

D seperti dalam

< o,o > •

Contoh 4.3. :

Setiap ruang topologi diskrit ( X, T ) selalu terhubung

lokal, sebab untuk setiap x E: X, \X) adalah sekitar dari x

yang terhubung •

Teorema 4.1. :

Bila E komponen dalam ruang terhubung lokal ( X, T ),

maka E terbuka •

Bukti :

Ambil p ~ E sembarans • Karena

lokal, maka ada suatu sekitar V dari p

E komponen, maka E terhubung dan memuat

Ini berarti · E terbuka •

Teorema 4.2. :

( X, T ) terhubung

yang terhubung. Karena

p • Jadi V ~ E •

Hasilkali kartesius ruans-ruans terhubung lokal juga ter­

hubung lokal •

Bukti :

1). Misalkan ( X, T ) dan ( Y, 17 ) dua ruang terhubung

lokal. Akan dibuktikan X x Y juga terhubung lokal.

Ambil < x,y ) 6 X x Y • Karena x & X dan ( X, T ) ter­

hubuns lokal, maka ada sekitar terhubung V dari Y • Sedang­

kan U x V terhubuns dan merupakan sekitar dari < x 1y;>.

40

Jadi X x Y terhubung lokal •

2). Untuk hasilkali kartesius berhingga dapat dibuktikan

dengan induksi •

3). Misalkan { xi I i E: I J keluarga ruang-ruang ter­

hubung lokal dan X • ll Xi • Ambil x 6 X t maka i' I

X = < xi > dengan xi E:- Xi • Karena setiap Xi terhubung

lokal, maka ada sekitar terhubung Ui dari Menurut

Teorema 2.5., 1\ u i ~I i

juga terhubung • Jadi u • rr ui ibi

adalah sekitar terhubung dari x • Jadi X terhubung lokal •

41

IV • KESIMPULAN

Dari pembahasan, dengan jelas dapat dilihat perbedaan

antara himpunan terhubuns dan himpunan tak terhubung, terutama

pada garis real dan dalam bidang datar. Ada himpunan yang ke­

lihatannya tak terhubung dalam bidang datar, tetapi ternyata

dengan pengertian himpunan terhubung dalam ruang topologi dapat

dibuktikan bahwa himpunan itu terhubung •

Aplikasi himpunan terhubung banyak dijumpai dalam

Analisis Real dan Kompleks, seperti Teorema Nilai Menengah dan

Teorema Titik Tetap. Juga pengertian terhubung path ternyata

mempunyai andil dalam Analisis Kompleks • Sedangkan terhubung

lokal ada kaitannya dengan pengertian komponen •

42

..... , •• 1

DAFTAR PUS'$KA I

[~ • Bushaw D., 1963, Elements of General Topology, terbitan

ke - 1, halaman 91 - 101, John Wiley & Sons, Inc.,

New-York London.

[2] • Conway John B., 1973, Functions of One Complex Variable,

terbitan ke- 1, halaman 226 - 235, Springer Verlag Berlin

Heidelberg New Topan Company Fte Ltd, Singapore.

[3] • Kelley, John L., 19.5.5 1 General Topology, terbitan ke- 1,

halaman .53 - 61, D.Van Nostrand Company Inc., New York

Toronto London.

[4] . Lipschutz, Seymour, 1981, General Topology, terbitan ke- 2,

halaman 180 - 184, Schaum's Outline Series, Mc.Graw-Hill

International Book Company, Singapore.

[.5] • Munkres, James R., 1978, Topology A First Course, terbi tan

ke- 2, halaman 147 - 164, Prentice-Hall of India Private

Limited, New Delhi.

[6] t Sze-Tsen-Hu, 196.5, Elements of General Topology, terbitan

ke- 2, halaman 76 - 90, Holden-Day Inc., San Fransisco,

London, Amsterdam •

't' I