MEKANIKA STATISTIK

1. Distribusi Maxwell-Boltzmann

Dalam fisika, khususnya mekanika statistik, distribusi Maxwell-Boltzmann yang

menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel bergerak bebas antara

tumbukan kecil , tetapi tidak berinteraksi satu sama lain, sebagai fungsi suhu dari sistem,

massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau

molekul dari gas. Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya.

Ini merupakandistribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud

gas - Besaran dari vektor kecepatan, yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki

kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu

rentang dari beberapa kecepatan yang lain

Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku

yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan

asumsi ini dengan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar

dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik

Maxwell-Boltzmann dari mekanika statistik):

dimana:

i adalah microstate (menunjukkan satu konfigurasi partikel dalam keadaan kuantum -

lihat fungsi partisi).

Ei adalah tingkat energi dari microstate i.

T adalah temperatur kesetimbangan sistem.

gi adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami degenerasi

yang memiliki tingkat energi yang sama

k adalah konstanta Boltzmann.

Ni adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan T, dalam keadaan i yang

memiliki energi E i dan degenerasi gi.

N adalah jumlah total molekul dalam sistem.

Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi gi. Dalam

hal ini i akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan gi yang

memiliki energi Ei yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan

energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan

kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi

partisi kanonik.

2. Fungsi Partisi

Fungsi partisi merupakan suatu fungsi yang menjelaskan sifat-sifat statistika suatu

sistem dalam kesetimbangan termodinamika. Fungsi ini bergantung pada suhu dan

parameter-parameter lainnya, seperti volum dan tekanan gas. Kebanyakan variabel-variabel

termodinamika dari suatu sistem, seperti energi, energi bebas, entropi, dan tekanan dapat

diekspresikan dalam bentuk fungsi partisi atau turunannya.

Fungsi partisi didefenisikan oleh persamaan berikut :

q=∑i

gi eksp (−∈i

k bT)

Dimana gi adalah degenerasi dari tingkat energi ke-i dengan energi∈idi atas energi nol, dan

penjumlahannya adalah pada seluruh tingkat energi tersebut. Jika sistem dianggap ideal

(yakni tidak ada interaksi antar molekul) dan pendekatan Born-Oppenheimer berlaku, maka

energi dari tiap tingkat dapat dituliskan sebagai jumlah energi translasi, energi rotasi, energi

vibrasi, energi elektroik dan energi nuklir, yaitu:

∈=∈nuk+∈ele+∈vib+∈rot+∈tra+∈0

Dimana ∈0 adalah energi titik nol dan energi tingkat vibrasi diukur dari tigkat ini. Jadi

q=qnuk qele qvib qrot qtra q0

Dimana q i adalah fungsi partisi masing-masing.

a. Fungsi Partisi Vibrasi

Molekul diatomis : dengan mempertimbangkan vibrasi sebagai sutau gerakan

harmonis sederhana, tingkat energi dari keadaan vibrasi diberikan sebagai :

∈vib=hv (υ+ 12 ) , υ=0,1,2

Karena tingkat energi terendah dalam getaran vibrasi mempunyai energi 12

hv, dan energi dari

tingkat tereksitasi jika diukur relatif terhadap persamaan diatas menjadi

∈vib=hvυ

Dan fungsi partisi akan menjadi

qvib=∑υ=0

∞

gv eks(−hvυkb T )

Karena gv=1 untuk semua tingkat vibrasi

qvib=1

1−eksp(−hvkb T )

Dengan mensubstitusikan hvkb

=θvib, temperatur karakteristik untuk vibrasi

qvib=1

1−eksp(−θvib

T )b. Fungsi Partisi Rotasi

Energi tingkat rotasi dari molekul diatomis ditentukan oleh

∈rot ( J )=h2

8 π2 IJ ( J+1 ) , J=0,1,2 , …

Tingkat energi rotasi diturunkan, dan penurunannya dinyatakan sebagai

gJ (rot )=2J +1

Fungsi partisi rotasi adalah

qrot=∑J=0

∞

(2 J+1 ) eksp(−h2 J (J +1)8 π2 I kb T )

Kecuali untuk hidrogen dan isotop hidrogen, pemisahan antara tingkat rotasi yang berurutan

sangat kecil dan dapat di anggap sebagai kontinu. Mengganti penjumlahan dengan integrasi,

qrot=8 π2 I kb T

h2 = Tθ rot

Dimana θrot adalah temperatur karakteristik rotasi dan

θrot=h2

8 π2 I kb

Utuk molekul diatomis homonuklir hanya separuh keadaan rotasi diisi, sehingga fungsi

partisi rotasi akan menjadi

qrot=T

2 θrot

Umumya

qrot=T

σ θ rot

Dimana σ adalah bilangan simetri. Bilangan tersebut 2 untuk molekul homonuklir dan 1

untuk molekul diatomis heteronuklir.

3. Partikel dalam Kotak

Persamaan schrodinger dapat diterapkan pada sebuah partikel dengan massa m yang

bergerak dalam suatu kotak dengan dinding tidak terhingga, yaitu energi potensial ∞ di luar

kotak adalah tidak terhingga, tetapi di dalam kotak adalah konstan dan tertentu, yaitu nol.

Penyelesaian persamaan Schrodinger

d2ψdx2 + 8 π 2m

h2 Eψ = 0

Untuk kotak satu dimensi memberikan harga tingkat energi dan fungsi gelombang untuk tiap

energi, yaitu

Enx = nx

2 h2

8 ma2

Dimana nx = 1,2,3, …., dan a adalah panjang kotak dan

ψn = √ 2a

sin nx π

a. X

Dalam hal yang sama untuk suatu partikel yang bergerak dalam kotak tiga dimensi, fungsi

gelombang dan tingkat energy adalah

ψ n1 n2 n3 (x, y, z) = (8

abc ) ½ sin n1 πx

a sin

n2 π

b y sin

n3 π

c z

dan

E = h2

8 ma2 ( n1

2

a2 + n2

2

b2 + n3

2

c3 ) n1 = 1, 2, 3,

n2 = 1, 2, 3, …., n3 = 1, 2, 3, ….

Dimana a, b, c adalah dimensi kotak. Dalam kotak kubus

E = h2

8 ma2 ( n12 + n2

2 + n32 )

3. Energi Atom Hidrogen

Untuk atom hidrogen, energi hanya bergantung pada bilangan kuantum utama n. Hal

ini berarti bahwa sub kulit 2p memiliki energi yang sama dengan subkulit 2s, dan seterusnya.

Untuk atom berelektron banyak, energi elektron bergantung pada bilangan kuantum n dan l.

Pendekatan formal teori kuantum untuk atom H, dimana persamaan pertama dirumuskan

energi total elektron yang mengelilingi inti atom :

Kita dapat memisahkan gerak atom secara acak keseluruhan dan dengan gerak electron

relative terhadap inti yang diam. Untuk yang terakhir, persamaan energi total electron

adalah :

Dari ungkapan ebnergi total, diturunkan operator Hmailtonian:

Kemudian dibuat persamaan Schrodinger:

Kemudian dipisahkan variable r dengan variabel Φ dan ϕ: