2.3.3 Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace

Kita temukan pada bagian 2.3.1 bahwa medan listrik dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar.

E=−∇V .

Muncul pertanyaan: Apa persamaan fundamental untuk E.

∇ .E= ρϵ 0

dan∇ x E=0

seperti telihat dalam kasus V, ∇ .E=∇ . (−∇V )=−∇2V , jadi, selain mempertahankan tanda minus, divergensi dari E adalah Laplacian dari V. Hukum Gauss kemudan berkata bahwa

∇2V=0(2.24)

Ini di ketahui sebagai persamaan Poisson. Pada daerah diamana tidak ada muatan, atau ρ = 0, persamaan Poisson berubah menjadi persamaan Laplace,

∇2V=0 (2.25)

Kita akan membahas persamaan-persamaan tersebut lebih jelas pada Bab 3.Hukum Curl mengatakan bahwa

∇ x E=∇ x (−∇V )Harus sama dengan nol. Tetapi tidak ada kondisi diamana gradien V-curl selalu bernilai nol. Tentu, kita menggunakan hukum curl untuk menunjukkan bahwa E dapat digambarkan sebagai gradien dari sebuah skalar. Jadi, tidak mengejutkan bahwa ∇ x E=0 dapat dituliskan sebagai E=−∇V . Ini hanya memerlukan satu kali penurunan rumus (Poisson) untuk mendapatkan V, karena V adalah skalar, sedangkan untuk mendapatkan nilai E kita perlu menurunkan dua kali, divergensi dan curl.

2.3.4 Potensial oleh Distribusi Muatan

Berdasarkan: V (r )=−∫0

r

E⃗ . d l⃗

Gambar 2.32Anggap titik acuan tak hingga, potensial dari muatan q pada titik asal adalah

Secara umum, potensial muatan q adalah

V (r )= 14 π ϵ 0

qr

(2.26)lalu, potensial dari sebuah kumpulan muatan q adalah

V (r )= 14 π ϵ 0

∑i=1

n q iri

(2.27)Atau, untuk distibusi kontinu

V (r )= 14 π ϵ 0

∫ 1rdq

(2.28)Secara khusus, untuk muatan volume

V (r )= 14 π ϵ 0

∫ ρ(r ')r

d τ '

(2.29)Ini adalah persamaan yang kita cari, kita dapat menemukan V saat ρ diketahuai.

Kita bandingkan persamaan 2.29 dengan persamaan koresnponden untuk medan listrik dari persamaan ρ (persamaan 2.8)

E (r )= 14 π ϵ 0

∫ ρ(r ' )r2 r̂ dτ '

Titik utama yang perlu diperhatikan adalah vektor satuan π̂ hilang, secara tidak langsung, potensial muatan garis dan muatan permukaan adalah

14 π ϵ 0

∫ λ(r ')rd l' dan

14 π ϵ0

∫ σ (r ')rd a'

(2.30)Contoh 2.7Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.

Tinjau titik r pada sumbu z lalu gunakan rumus cosinus untuk mendapatkan r pada sudut θ

Gambar 2.33  29Elemen luas di permukaan bola R2 sin θ' dθ' dϕ ' R

Untuk titik luar bola z > R, √(R−Z )2=z−R; Untuk titik dalam bola z < R, √(R−Z )2=R−z

  Diluar:

Didalam: