DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUTPADA MATRIKS BUJUR SANGKAR

DISUSUN OLEH:NILA FITRIANANIM: 09221044

DOSEN PEMBIMBING: HARTATIANA, M.Pd.DOSEN PENANGGUNG JAWAB: AGUSTIANY DUMEVA PUTERI, S.Si. M.Si.

FAKULTAS TARBIYAHPRODI TADRIS MATEMATIKA 1INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANGTAHUN AJARAN 2012BAB 1PENDAHULUANA. LATAR BELAKANGMatematika merupakan ilmu yang pasti dan konkret, artinya matematika menjadi ilmu real yang dapat diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari dalam berbagai bentuk. Bahkan tanpa disadari bahwa ilmu matematika sering diterapkan untuk menyelesaikan masalah kehidupan. Sehingga matematika merupakan ilmu yang benar-benar menyatu dalam kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi dengan sesama manusia. Pada dasarnya ilmu matematika juga digunakan dalam mempelajari ilmu apapun, termasuk dalam ilmu kedokteran, mesin, dan tekhnologi lainnya. Namun ada beberapa cara agar penyelesaian masalah yang ada dalam setiap kajian ilmu yang digunakan khususnya pada ilmu matematika yang dipakai oleh semua sumber ilmu, bahkan menjadi dasarnya ilmu pengetahuan yang diterapkan dari TK sampai perguruan tinggi, menjadi cara yang lebih mudah dan mencari cara termudah dan gampang namun hasilnya pun tetap benar dan tidak menyalahi aturan dalam konsep matematika. Hendaknya cara terbaik dan termudah itulah yang kita harapkan di dalam menyelesaikan sebuah masalah apapun. Dalam Matriks, banyak permasalahan yang harus diselesaikan untuk mencari hasil nilainya, seperti menyelesaikan penjumlahan matriks, pengurangan matrik, perkalian matriks, transpose matriks, invers matrik dan determinan matriks, dalam menyelesaikan masalah-masalah tersebut, banyak cara yang dapat digunakan untuk mencari hasil nilainya, seperti dalam menyelesaikan determinan matriks, ada beberapa cara /metode yang dapat digunakan dalam menentukan nilai determinan matriksnya, agar lebih mudah dalam mencari atau menyelesaikan determinan suatu matriks, metode dekomposisi matriks dapat digunakan untuk mencari atau menyelesaikan nilai dari determinan matriks secara lebih mudah.Judul determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar diambil karena metode ini adalah salah satu cara untuk menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, adapun beberapa metode yang telah ada dalam menentukan hasil determian suatu matriks, namun cara tersebut tidak kurang cocok dan masih terlalu sempit dalam menentukan nilai hasil determinan matrik pada matriks bujur sangkar dibandingkan dengan metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout ini.Dengan menggunakan metode dekomposisi matriks dengan cara crout akan lebih mudah dan cara terpendek dalam menentukan hasil determinan suatu matriks.

B. RUMUSAN MASALAH1. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout dalam menentukan determinan matriks dan dapat digunakan oleh semua jenis matriks?2. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar menjadi cara yang mudah?

C. BATASAN MASALAHDalam mencari nilai hasil determinan dengan menggunakan metode dekomposisi matriks dengan cara Crout ini hanya dapat terdefinisi pada matriks bujur sangkar atau matriks kuadrat.

D. TUJUAN1. Untuk mengetahui metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout, apakah menentukan determinan suatu matriks dapat digunakan oleh semua jenis matriks atau tidak.2. Untuk mengetahui cara-cara termudah dalam menyelesaikan dan menentukan nilai determinan suatu matriks dan dapat lebih cepat dalam mencari nilai determinannya.

E. MANFAAT1. Bagi PembahasManfaat bagi pembahas materi tentang determinan matriks hasil dekomposisi cara crout pada matriks bujur sagkar ini yaitu, dapat menambah pengetahuan yang mengenai beberapa cara atau metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar. dengan menggunakan metode dekomposisi matriks cara crout dalam menentukan determinan,metode ini adalah cara yang lebih mudah, cepat, dan gampang dalam menentukan nilai dari determinan suatu matriks.2. Bagi PembacaManfaat bagi pembaca yaitu, dapat menjadikan metode dekomposisi matriks dengan cara crout sebagai cara yang paling mudah dalam menentukan nilai determinan dari suatu matriks.

BAB IIPEMBAHASANa. MatriksDefinisi MatriksMatriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau bujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

dimana

b. Matriks Bujur SangkarMatriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan , dimana m = n , dapat ditulis dengan n x n, Matriks berordo n x n disebut jugamatriks bujur sangkar ordo n.Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dinyatakan dengan:

dimana m=n, Maka:

Elemen-elemen matriks bujur sangkar:disebut element diagonal utama, sedangkan disebut element diagonal kedua.Dalam hal ini hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama dan elemen diagonal kedua.Contoh:

c. Dekomposisi MatriksDefinisi Dekomposisi Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atau perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasil dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam mendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah metode crout. Definisi Dekomposisi MatriksDekomposisi Matriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).jika A merupakan matriks bujur sangkar, matriks A dapat didekomposisi menjadi LU, L, atau U.A= 1. A=LU

dimana: L=2. A=L 3. A=U Dalam mendekomposisi suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan atau matriks segitiga atas (U) dapat menggunakan empat metode yaitu: Metode Crout, Doolittle, Cholesky, dan Eliminasi Gauss.d. Metode CroutMetode Crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilai bebas.

e. Determinan MatriksDefinisi DeterminanDeterminan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan matriks A dinotasikan dengan atau det (A)..Jika diketahui matriks bujur sangkar A yang berordo 2 x 2

Maka determinan matriks A didefinisikan sebagai hasil kali elemenelemen yang berada di diagonal dari kiri atas ke kanan dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen yang berada di diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut:

Contoh:Tentukan determinan matriks A berikut:

Penyelesaian:

Definisi Determinan MatriksDeterminan Matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur sangkar. jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilanga yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat).Notasi determinan matriks A:det(A)= |A| atau det A= |A|Jika deketahui matriks A:

Maka determinan dari matriks A:

atau

Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar, salah satunya yaitu Metode dekomposisi matriks.Sifat-sifat Determinan1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, 2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka 10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis, atau , jika Jika , hasilnya sama dengan

f. Determinan Matriks Hasil Dekomposisi Cara Crout Menentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebih dahulu didekomposisi menggunakan metode Crout ( Elemen diagonal matriks L adalah 1).

Determinan matriks A:det A=indeks baris ataudet A=, i= indeks bariscontoh:1. Tentukan determinan matriks berikut:

A=Solusi:

Tahap 1:

Tahap 2:

Tahap 3:

Tahap 4:

Tahap 5:

=.Det A = ((1) =2. Tentukan determinan matriks berikut:B = Solusi:

Tahap 1:

Tahap 2:

Tahap 3:

Tahap 4:

Tahap 5:

=.Det B = (

Contoh matriks 4x4:

A=Tahap 1:

Tahap 2:

Tahap 3:

Tahap 4:

Tahap 5:

Tahap 6:

Tahap 7:

Det A =

PENUTUPA. KesimpulanBerdasarkan adanya beberapa cara atau metode dalam menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, maka dapat disimpulkan bahwa metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout adalah cara termudah dalam menentukan nilai hasil determinan dari suatu matriks. Jenis matriks yang dapat diselesaikan dalam determinan suatu matriks hanya terdefinisi pada matriks bujur sangkar saja, karena dalam menyelesaikan determinan suatu matriks hanya berlaku pada matriks yang berordo sama atau dapat disebut dengan matriks pangkat dan bujur sangkar.

B. SaranDari hasil pembahasan pada materi determinan dan cara untuk menentukan determinan matriks hasil dekomposisi dengan menggunakan cara crout pada matriks bujur sangkar ini, ada baiknya jika pembaca dapat lebih menggunakannya dalam menentukan nilai dari hasil determinan. Karena dengan menggunakan cara crout penyelasaiannya lebih cepat dan mudah untuk dipahami.

DAFTAR PUSTAKAAnton, Howard, Aljabar Linier Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier, Bandung: Rekayasa Sains, 2009.Choiron,Mochammad,Agus,ST.,MT.http://mesin.brawijaya.ac.id/diktat_ajar/data/01_e_bab3_anum.pdf,PersamaanAljabar linier serentak. http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks.pdf

DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUTPADA MATRIKS BUJUR SANGKARNila Fitriana[footnoteRef:2] [2: Mahasiswa Tadris Matematika 01 Angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang ]

ABSTRAKDeterminan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan Matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujur sangkar. Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atau perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasil dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam mendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah metode crout. Penyelesaian determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar dapat disusun secara bertahap melalui beberapa langkah dan memudahkan cara dalam menentukan hasil determinannya. Metode Crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilai bebas.Kata kunci: Dekomposisi, Segitiga Atas, Metode Crout.