MATRIKS
19
MATRIKS INVERS MATRIKS (dengan adjoint)
description
MATRIKS. INVERS MATRIKS ( dengan adjoint ). Adjoint. Definisi : Jika A sebarang matriks n x n dan C ij adalah kofaktor a ij , maka matriks dinamakan matriks kofaktor A Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint ( sering ditulis adj ( nama_matriks ) - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of MATRIKS
MATRIKSINVERS MATRIKS (dengan adjoint)
Adjoint• Definisi:
– Jika A sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matriks
dinamakan matriks kofaktor A– Transpose dari matriks kofaktor adalah adjoint
(sering ditulis adj(nama_matriks)– Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))
nnnn
n
n
CCC
CCCCCC
...............
...
...
21
22221
11211
Adjoint• Contoh:
– Cari nilai kofaktor • C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12• C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6• C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16• C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4• C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2• C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16• C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12• C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10• C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16
• Matriks Kofaktor A
• Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))
042361123
A
161012162416612
161616102612412
)(AAdj
Invers Matrik dengan Adjoint
• Rumus:)(
)det(11 AadjA
A
Contoh
• Dengan adjoint, carilah Invers dari
122410213
A
Contoh-penyelesaian• Cari nilai kofaktor
– C11 = (-1)1+1 (1*1 – 4*(-2)) = 9– C12 = (-1)1+2 (0*1 – 4*2) = 8– C13 = (-1)1+3 (0*(-2) – 1*2) = -2– C21 = (-1)2+1 ((-1)*1 – 2*2) = 5– C22 = (-1)2+2 (3*1 – 2*2) = -1– C23 = (-1)2+3 (3*(-2) – (-1)*2) = 4– C31 = (-1)3+1 ((-1)*4 – 2*1) = -6– C32 = (-1)3+2 (3*4 – 2*0) = -12– C33 = (-1)3+3 (3*1 – (-1)*0) = 3
• Matriks Kofaktor A
• Transpose matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A))
3126415289
3421218659
)(AAdj
Contoh-penyelesaian• Cari Determinannya dengan ekspansi kofaktor
baris pertama:– det(A) = a11*c11+ a12*c12 a13*c13
= 3*9 + (-1)*8 + 2*(-2) 27 – 8 – 4= 15
)()det(
11 AadjA
A
153
154
152
1512
151
158
156
155
159
3421218659
151
1
1
A
A
METODE CRAMER
Metode Cramer
• untuk menyelesaikan persamaan linier dengan bantuan determinan
• SYARAT: nilai determinan 0 (nol)
Metode Cramer
• jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
• dimana Aj adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
)det()det(,...,
)det()det(,
)det()det( 2
21
1 AAx
AAx
AAx n
n
Langkah Metode Cramer• Diketahui SPL:
• Ubah terlebih dahulu dalam bentuk matriks– pisahkan matriks untuk variabel dan koefisien di
sebelah kanan sama dengan (=b)
3
2
1
333231
232221
131211
)33(
bbb
baaaaaaaaa
A x
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxabxaxaxabxaxaxa
Langkah Metode Cramer• Diketahui matriks A dengan ordo 3x3, dan matrik b (matrik
kolom)
• Cari determinan matriks A• Ganti kolom dengan matriks b
– Ganti kolom pertama dengan matriks b
– Ganti kolom kedua dengan matriks b
– Ganti kolom ketiga dengan matriks b
3
2
1
333231
232221
131211
)33(
bbb
baaaaaaaaa
A x
33323
23222
13121
1
aabaabaab
A
33331
23221
13111
2
abaabaaba
A
33231
22221
11211
3
baabaabaa
A
Langkah Metode Cramer• Cari nilai determinan dari matriks baru hasil
penggantian kolom dengan matriks b
• Cari nilai x1, x2 dan x3 dengan rumusan:
,)det(
33323
23222
13121
1
aabaabaab
A ,)det(
33331
23221
13111
2
abaabaaba
A
33231
22221
11211
3)det(baabaabaa
A
)det()det(,...,
)det()det(,
)det()det( 2
21
1 AAx
AAx
AAx n
n
Contoh Soal
• Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x1 + 2x3 = 6-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30 -x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Penyelesaian Soal
• Bentuk dalam matriks
• Cari det(A), dengan ekspansi baris pertama
8306
,321643201bA
4420024
2143
23163
03264
1
)det(
131312121111
131312121111
MaMaMa
CaCaCaA
Penyelesaian Soal• Ganti kolom dengan matriks b
– Cari determinan masing-masing• dengan ekspansi baris pertama
8213043601
,3816303261
,3286430206
321 AAA
401040144
28430
238630
03264
6
)det(
131312121111
1313121211111
MaMaMa
CaCaCaA
Penyelesaian Soal• Ganti kolom dengan matriks b
– Cari determinan masing-masing• dengan ekspansi baris pertama
8213043601
,3816303261
,3286430206
321 AAA
72121842
81303
23163
638630
1
)det(
131312121111
1313121211112
MaMaMa
CaCaCaA
Penyelesaian Soal• Ganti kolom dengan matriks b
– Cari determinan masing-masing• dengan ekspansi baris pertama
8213043601
,3816303261
,3286430206
321 AAA
15260092
2143
681303
082304
1
)det(
131312121111
1313121211113
MaMaMa
CaCaCaA
Penyelesaian Soal• Cari nilai x
• Jadi, solusinya 1138
44152
)det()det(
1118
4472
)det()det(
1110
4440
)det()det(
33
22
11
AAx
AAx
AAx
1138,
1118,
1110
321
xxx
