Matriks

PENGANTAR MATRIKSKuliah III*

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

MATERIKesamaan matriksPenjumlahan matriksPerkalian matriks dengan skalarPerkalian dua matriksMatriks inverse

*

MATRIKSMatriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

a11 a12.a1j a1na21 a22 a2j.a2n : : : :ai1 ai2 aij.. ain: : : :am1 am2amj. amn

A = bariskolomNotasi: Matriks: A = [aij]Elemen: (A)ij = aijOrdo A: m x n*

MATRIKS PERSEGIMatriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama. 1 2 4 2 2 2 3 3 3 Trace(A) = 1 + 2 + 3Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utamadiagonal utama*

Matriks Segitiga

Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.

Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.

*


MATRIKS NOL DAN IDENTITAS matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

0 0 00 00 01 00 11 0 00 1 00 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1I2I3I4matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0*

KESAMAAN DUA MATRIKSDua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.

A = BC DE = F jika x = 1G = H222456907*

PENJUMLAHAN DUA MATRIKSD + C = L + K = *

Contoh

dua matriks dapat dijumlahkan, jik ordo dua matriks tersebut samaA = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij*

PENJUMLAHAN DUA MATRIKS Quiz:

C + D =C + E = A + B =

*

PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKSContoh:

H = 50ACatatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:(cA)ij = c.(A)ij = caijApa hubungan H dengan A?*

HASIL KALI SKALAR DENGAN MATRIKSK 3 x 3

*

PERKALIAN MATRIKSA B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -5594 -35-49 -35-94 -55= *

Perkalian matriks (lanjutan)Definisi: Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang didefinisikan sebagai berikut:(C)ij = (AB)ij =Tentukan AB dan BA ABABm x rr x nm x n Syarat: *

Perkalian matriks (lanjutan)A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35 -49 -35 -94 -5594 -35-49 -35-94 -55= BA tidak didefinisikan*

PERPANGKATAN MATRIKS Contoh:A2 = 2 31 22 31 2A3 = A x A2 =2 31 22 31 22 31 2A0 = IAn =

n faktor

An+m = An Am A A A A*

Penyajian Sistem Persamaan Linear (SPL) dalam persamaan matriksSPL dalam bentuk:

dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:a11x1 + a12x2 + a13x3 +.. ..a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 +.a2nxn = b2

:am1x1 + am2x2 + am3x3 + amnxn = bma11 a12...a1na21 a22 ..a2n : : : am1 am2 amnx1x2:xn= b1b2:bnA: matriks koefisien Ax = bxb*

Contoh: Penyajian SPL dengan persamaan matriks x1 + 2x2 + x3 = 6-x2 + x3 = 14x1 + 2x2 + x3 = 4SPL1 2 1 0 -1 1 4 2 1 x1x2x3=6141.x1 +2.x2 + 1.x3 0.x1 + -1.x2 + 1.x3 4.x1 +2.x2 + 1.x3 =614*

Perkalian dengan matriks identitas1 0 00 1 00 0 1A.I = 1 2 37 5 6-9 3 -7=1 0 00 1 00 0 1I.A = =1 2 37 5 6-9 3 -71 2 37 5 6-9 3 -71 2 37 5 6-9 3 -7*

Perkalian dengan matriks identitasAB = A dan BA = A, maka B = I (I matriks identitas)==AAIIA==*

INVERSE MATRIKSB adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-11 0 00 1 00 0 11 00 1ContohAIA-1A-1A====AA-1A-1AI ==BB-1B-1BI*

*


Invers Matriks Ex:Carilah invers dari

Penyelesaian:

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)*


Inverse matriks 2x2

1 00 1Jika ad bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse. =AIA-11 00 1===*

Invers Matriks Ex:Carilah invers dari

Penyelesaian:

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)*


Contoh Inverse matriks 2x2I==A-1*

Invers Matriks DiagonalJika diketahui matriks diagonal

maka inversnya adalah *


TransposeDefinisi:Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

AT = A = 4 5 2 36 -9 7 7Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ..[AT]ij = [A]ji n x m

*

Matriks SimetriMatriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = ATA simetri1 2 3 42 5 7 0 3 7 8 2 4 0 2 9A == AT*

Matriks ortogonalMatriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A 1 Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1= A-1= B-1(A-1)T = (AT)-1 A-1 AT *

Sifat-sifat transpose matriksAAT(AT)T(AT )T = ATranspose dari A transpose adalah A:4 5 2 36 -9 7 74 5 2 36 -9 7 7= AContoh:*

Sifat-sifat transpose matriks2. (A+B)T = AT + BT *

Sifat-sifat transpose matriks3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA(kA)T = k(A)TATTk*

Sifat-sifat transpose matriks4. (AB)T = BT AT

(AB)T =AB= BTAT*

Sifat-sifatInverse dari matriks jika ada adalah tunggal: Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C

4 22 2A = - - 1A-14 22 21 00 12. (A-1)-1 = A?(A-1)-1= - - 1A-1 = A*

Sifat-sifat (lanjutan)Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan (An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,4 22 2A3 = 4 22 24 22 2=104 6464 40(A-1)3 = 0.625 -1-1 1.625 - - 1 - - 1 - - 1=sama*

Sifat-sifat (lanjutan)Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1 4 22 220 1010 10(5 A)-1 = 0.1 -0.1-0.1 0.21/5 (A)-1 = 1/5=0.1 -0.1-0.1 0.2 - - 1(5A) ==5sama*

Determinan Matriks 2x2 (1)Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.Jika diketahui matriks berukuran 2x2,maka determinan matriks Aadalah: det (A) = |A| = ad-bc*

Determinan Matriks 2x2 (2)Ex:Jika diketahui matriks maka | P | = (2x5) (3x4) = -2

(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)*

Determinan Matriks 3x3 (1)Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.*

Determinan Matriks 3x3 (2)Ex:

*


Determinan Matriks nxn (1)Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.

*

Determinan Matriks nxn (2)Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij = Mij.Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.

*

Determinan Matriks nxn (3)Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama*

Determinan Matriks nxn (4)Ex:*

Adjoint Matriks (1)Jika diketahui matriks 3x3

Kofaktor dari matriks tersebut adalah:c11=9c12=8c13=-2c21=-3c22=-1c23=4c31=-6c32=-12c33=3Matriks kofaktor yang terbentuk*


Adjoint Matriks (2)Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:

*


Invers Matriks nxn (1)Rumus:

dengan det(A)0Ex: Cari invers dari *


Invers Matriks nxn (2)Penyelesaian:det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)-1(0)(-1)=3-7-0-4+24+0 =16Adjoint A =

Maka A-1 = *


TUGAS

Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

A B = ??AC = ??BD = ??CD = ??DB = ??

*

TUGAS1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse? 2. Tentukan inverse matriks berikut inif.g.h.*

*Telah kita pelajari dalam modul satu bahwa SPL dapat disajikan dengan matriks. Dalam modul ini, kita mempelajari aljabar matriks yang menjadi dasar untuk mempelajari SPL lebih dalam, dan ruang vektor.*Pada modul ini, akan dibicarkan adalahKesamaan matriksJumlahan matriksPerkalian matriks dengan skalarPerkalian dua matriks danMatriks inverse

Untuk memahami materi ini, kamu harus sudah memahami dengan baik Sistem Persamaan Linier danOperasi baris elementer

*Matriks adalah array (susunan) bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.Matriks persegi adalah matriks yang jumalah baris sama dengan jumlah kolom.

Perhatikan dengan baik notasi yang dipakai. Notasi ini akan dipergunakan terus dalam pemelajaran selanjutnya.*Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama.

Matriks persegi mempunyai dua diagonal, diagonal yang ke kanan disebut diagonal utama.Pada matriks persegi didefinisikan trace. Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama**Matriks nol dan identitasMatriks nol adalah matriks yang setiap entrinya nol. Matriks nol adalah matriks identitas terhadap jumlahan, artinya jika Dijumlahkan dengan matriks lain A yang berukuran sama maka matriks A tersebut tidak berubah.

Matriks identitas I adalah matrks persegi yang entri diagonal utamanya satu dan entri lainnya nol. Matriks identitas merupakan elemen identitas terhadap perkalian, sebab, jika dikaliakan dengan matriks lain A Yang berukran sama dengan I maka hasilnya sama dengan A.

Matriks nol disebut matrik identitas terhadap jumlahan, matriks identitas disebut matriks identitas terhadap perkalian matriks*Dua matriks sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.Contoh, A = B sebab setiap entri yangyang letaknya bersesuaian adalah sama.C tidak sama dengan D sebab entri baris pertama kolom ke dua matriks C dan D tidak sama.E dan F sama hanya jika x = 1, selai itu, E tidak sama dengan F.Apakah G sama dengan H?

*Diberikan matriks K, L, C, D. K dapat dijumlahkan dengan L. Demikian juga C dengan D. Hitunglah C + D, dan K + L.Hitunglah juga D + C dan L + K. Apakah jumlahan dua matriks bersifat komutatif? *Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama. Jika diberikan dua matriks berukuran sama A dan B maka A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri A dengan entri B yang bersesuaian. Demikian juga untuk pengurangan dua matriks, diperoleh dengan mengurankan entri yang bersesuaian. Cobalah lakukanPenjumlahan A dengan B.

[Tampilkan: contoh dua matriks, jumlahkan (perlihatkan proses)Definisi jumlahan secara umum, sengan A, B dua matriks maka (A+B)ij = (A) ij + (B)ij = aij + bijDemikian juga untuk pengurangan A- BSediakan kotak sbg posisi entri (A + B)ij, kemudian isi dengan jumlahan aij dan bijSediakan dua matriks dan templae hasil jumlahan untuk diisi mahasiswa]

Quiz: berikan dua matriks berukuran sama, jumlahkanberikan dua matriks berukuran beda, jumlahkan aa hasilnya?A + B adalah matriks nol, apakesimpulannya?

**Perkalian matriks dengan skalarPerkalian matirks A dengan bilangan (skalar c) menghasilkan matriks yang setiap entrinya merupakan hasil kali entri A dengan c. Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup.

[Berikan contoh matriks dan bilangan. Kemudian kalikan. Berikan matriks, sajikan sebagai hasil kali skalar dan matriks lain.Definisi perkalian matriks dengan skalar secara umum. Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup. ] animasikan

Quiz: Diberikan suatu matriks A, cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c?Kunci: kasus 1: c=0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja. atau sebaiknya dalam ppt?

*Kalikan K dengan 4 kemudian kalikan dengan 5.

Kalikan K dengan suatu skalar sedemikian hingga hasilnya matriks nol.*Perkalian matriksJika A matriks berukuran kxl, B berukuran lxm, maka hasil kali A dan B adalah matriks C berukuran kxm. Entri baris ke i kolom ke j matriks C adalah jumlahan dari hasil kali entri pada baris i dengan entri di kolom j yang bersesuaian.

Sebagai contoh, entri baris pertama kolom pertama AB adalah jumlahan hasil kali baris pertama A Dengan kolom pertama B.

Entri baris ke dua kolom pertama AB (yaitu -49) diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali baris ke dua A dengan kolom pertama B.Apa syaratnya agar dua matriks dapat dikalikan?Jawabnya adalah: jumlah kolom matrik pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Apakah perkalian matriks tidak bersifat komutatif?

Jika hasil kali dua matriks adalah matriks nol, apakah salah satu matriks yang dikalikan adalah matriks nol? tPerpangkatan matriksPerpangkatan matiks merupakan perkalian berulang. Tentu saja perpangkatan hanya dapat dilakukan pada matriks persegi. Pangkat nol dari matriks didefinisikan sebagai matriks identitas.

[Definisi dengan bentuk umum demo perkalian matriks. Highlight di tempat yang tepat] [Berikan contoh matrik 3x4 dan 4x2, kalikan, highlight baris dan kolom yang sedang dkerjakan.Berikan kotak2 untuk menampung hasil kali baris dan kolom. (Anton 28)Berikan contoh matriks yang tidak dapat dikalikan.Diagram ukuran perkalian matriks: A B ABkxl lxm kxm(lengkapi dengan garis]

Sifat-sifat perkalian matriksQuiz: A x B apakah sama dengan B x A? Feedback dgn counter example matriks 2x2 atau ppt?AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol? Feedback: dengan counter example. berikan beberapa pasang matriks, mhs diminta untuk menentukan hasil kalinya jika dapat dikalikan.WS 1: diberikan tabel mahasiswa tick pada cell jika benar

Perpngkatanmatriks: A0 matriks identitas. An =, A n Am =.

*Misalkan C = AB. Elemen baris ke-i kolom ke j dari C sama dengan jumlahan baris ke i matriks A dengan kolom ke j matriks B.

Jika diberikan matriks A dan B, AB terdefinisi jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perhatikan diagram.Hasil kalinya, yaitu AB mempunyai jumlah baris = jumlah baris A, dan jumlah kolom AB = jumlah kolom B.

Diberikan dua matriks, dapatkah kamu menentukan AB dan BA?*AB terdefinisi karena jumlah kolom A = jumlah baris B. BA tidak terdefinisi, sebab jumlah kolom B tidak sama Dengan jumlah baris A.

*Pepangkatan matriks didefinisikan sebagai perkalian berulang. Tentukan A2, kemudian kalikan hasilnya dengan A untuk memperoleh A3.Perpangkatan didefinisikan utnuk matriks-matriks persegi saja.*Perkalian matriks dan SPLSpL ini dapat dinyatakan dalam persamaan matriks. Jika A adalah matriks koefisien A, unknown disajikan dalam matriks kolom X, dan konstanta disajikan dalam vektor kolom b. Maka SPL dapat disajikan dalam persamaan Ax = b. A disebut matriks koefisien SPL.

*Diberikan SPL, perhatikan langkah-langkah untuk menyajikan SPL tersebut dalam bentuk matriks.Buatlah contoh SPL dan sajikan dalam persamaan matriks.Jika kamu diberi matriks koefisien, dapakah kamu membentuk SPLnya?Memahami konsep ini amat penting untuk memahami konsep terkait di modul-modul yang akan datang.

[tunjukkan matriks koefisiennya, perlihatkan proses supaya jelas. Misalnya dengan langkah2 sbb: diberikan persamaan, persamaan dikurung dalam dua matriks, yang sebelah kiri diuraikan (spt pada bgn kanan tanda panah), baru dipecah (seperti pada sebelah kiri panah)] proses spt pada slide 21*Masih ingat hasil kali matriks dengan matriks identitas?Marilah kita kalikan A dengan matriks identitas I, baik dari kiri maupun dari kanan. Bagaimana hasilnya?Apa kesimpulanmu?

Perkalian matriks persegi dengan matriks identitas berukuran sama bersifat komutatif.Hasil kalinya sama dengan matriks A.*QUIZMAKER

Feedback:A dan B matriks persegi dengan ordo samaB adalah matriks identitas*Diberikan matriks persegi A, matriks manakah jika dikalikan dengan A hasilnya matriks identitas?Jawabnya adalah inverse dari A. Marilah kita definisikan inverse matriks.

B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A inverse (seperti pangkat -1).

Perhatikan contoh berikut: A kali A inverse sama dengan A inverse kali A sama dengan matriks identitias I.B kali B inverse sama dengan B inverse kali B sama dengan matriks identitas I.

Masalah berikutnya adalah:Apakah setiap matriks mempunyai inverse?Jika mempunyai, bagaimana menentukannya?Apakah inverse matriks (jika ada0 adalah tungga?

**Marilah kita menentukan inverse matriks 2x2.Perhatikan bahwa A kali A inverse adalah I. Jika A diketahui, bagaimanan menentukan A inverse?**Berikut contoh penerapan rumus menentukan inverse matriks 2x2**Transpose matriksTranspose dari matriks adalah matriks baru yang kolom kolom menjadi baris-baris.Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya. Matriks orthogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan trnsposenya. Transpose dari transpose A adalaha A. Jumlahan dua matriks sama dengan jumlahan transposenya, transpose dari skalar kali matriks sama dengan skalar kali trenasposenya. Transpose dari hasil kali sama dengan hasil kali transposenya dengan urutan terbalik.

Tampilkan contoh matriks 2x4, kmd transposekanBerikan definisi umum dari transpose.Matriks A simetri jkk A = AT, berikan contohMatriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A 1, berikan contoh: matriks rotasi.Berikan contoh dan rumus umum (A-1)T = (AT)-1

*Matriks simetri adalah matriks yang sama dengan transposenya.

Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya.*

Matriks ortogonal adalah matriks yang inversenya sama dengan transposenya.*Transpose dari transpose adalah matriks iu sendiri

*2.Transpose dari jumlaham nmatriks sama dengan jumlahan transpose-transposenya

*3. Transpose dari hasil kali skalr dengan matriks sama dengan hasil kali skalar dengan transposenya

*4. Transpose hasil kali A dan B sama dengan hasil kali transpose a dan transpose B.

*Sifat-sifat matriks inverseJika A mempunyai inverse, maka inversenya tunggal.Inverse dari inverse matriks A adalah A sendiri. Matriks inverse dari matriks pangkat n sama dengan inverse matriks dipangkatkan n.

1-5 dalam bentuk rumus, kemudian contoh-contoh sederhana

Quiz: menentukan inverse matriks 2x2, inverse dari transposenya, berikan 2 matriks, satu rtogonal satu tidak, identifikasi. Untuk matriks ort, hitung determinan.

Link ke bukti sifat 1, 2

*Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai inverse, maka menghitung inverse kemudian memangatkan hasilnya sama dengan memangkatkan dahulu kemudian dihitung inversenya.*Menghitung inverse dari kA dapat dilakukan dengan menghitung inverse dari A kemudan dikalikan dengan 1/k. *************[Matriksnya muncul dulu baru soalnya]Kerjakan latihan ini, jika masih belum yakin dengan hasilnya beberapa hal dapat kamu lakukan:Membaca buku text,Diskusi dengan teman,Kirim pertanyaan di forum*QUIZMAKER

Matriks

Documents

Transcript of Matriks