Kelompok 6( Makalah Aljabar Linear )Dosen : Fitriana Rahmawati, S.Pd., M.PdDisusun Oleh :Sapta Riski Febriana : 10130297Kartini Sugiharti Suwarto : 10130157Riana Safitri : 10130271Jera Madona : 10130375SEKOLAH TINGGI KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKANPERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI)BANDAR LAMPUNG12012 / 2013Kata PengantarPuji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang selalu melimpahkan rahmat dan karunia-nya. Sehingga kami dapat menyelesaikan tugas Aljabar Linear mengenai Matriks dan Operasi Matriks dengan baik dansesingkat singkatnya agar mudah dimahami dan dimengerti.Kami menyadari sepenuhnyabahwadalampembuatantugas ini masih jauhdan banyakkekurungan dari kesempurnaan,oleh karena itu bagi pembaca dan kepada semua pihak guna penyempurnaan tugas mendatang agar lebih baik dansempurna. kiranyasumbangankritikdansaranyangkami harapkanyang bersifat membangun.Dengan selesainya makalah ini, kami tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada :1. Bapak Drs. H. Dailami Zain selaku ketua yayasan STKIP PGRI2. Ibu Fitriana Rahmawati, S.Pd., M.Pd selaku dosen pembimbing dalam penulisan makalah iniSemoga bantuan dan bimbingan yang telah diberikan untuk menyelesaikan tugas ini mendapat balasan dari ALLAH SWT. Akhirnya kami berharap, semoga makalahinidapatbermanfaat untuk perkembangan pendidikan, khususnya bagi para mahasiswa. dan tak lupa penulis ucapkan terima kasih.Bandarlampung,Februari 20122PenulisDaftar IsiHalamanKata Pengantar iDaftar Isi iiBAB IPENDAHULUAN 41. Pengertian Matriks42. Jenis-Jenis Matriks52.1. Matriks Baris 52.2. Matriks Kolom52.3. Matriks Diagonal 52.4. Matriks Identitas 52.5. Matriks Nol 63. Transpose Matriks 64. Kesamaan Dua Matriks 65. Operasi Pada Matriks 75.1. Penjumahan Matriks 75.2. Pengurangan Matriks 85.3. Perkalian Bilangan Real (scalar) dengan Matriks 95.4. Perkalian Matriks 105.5. Perpangkatan Matriks Persegi 116. Contoh Soal 127. Latihan Soal13BAB IIPENUTUP/KESIMPULAN 143BAB IIIDAFTAR PUSTAKA 15BAB IPENDAHULUANA. Pengertian MatriksMetriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuanBilangan-bilanganyangterdapat di suatumatriks disebut denganelemenatau anggotamatriks. Dansusunanunsur unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalammenjelaskan persamaan linear, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan dipangkatkan.Misal :3 3A111]1

10 9 78 7 58 7 8baris ke 2Kolom kolomKe1ke 3Keterangan: A adalah lambang huruf untuk matriks 3 3Aartinya matriks berordo 3X3 menpunyai 3 baris dan 3 kolom. Bila unsur baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A maka dilambangkanija.4B. JENIS-JENIS MATRIKS1. Matriks baris Matriks baris adalah suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja. Misalnya [ ][ ] 1 3 8 53 7 4QP2. Matriks kolom Matriks kolom adalah suatu matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Misanya 1]1

37R 111]1

531S3. Matriks persegiMatriks persegi adalah matriks yang banyak kolom dan banyak barisnya sama. Misalnya 1]1

0 73 2Amerupakan matrik pesegi ordo 2 dapat ditulis 2 2AElemen-elemen diagonal utama matriks A adalah 2 dan 0.4. Matriks diagonalMatriks diagonal adalahmatriks persegi dengansetiapelemenyangbukan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 0 (nol). Misalnya 1]1

1 00 2C

111]1

0 0 00 4 00 0 3D5. Matrik identitas Matriksidentitasadalahmatriks pesegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lainnya semuanya 0. Misalnya1]1

1 00 12I 111]1

1 0 00 1 00 0 13I6. Matriks nol5Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0 (nol). Metriks nol biasanya dinotasikan dengan huruf O diikuti ordonya n mO. Misalnya1]1

001 2O 111]1

0 00 00 03 2OC. TRANSPOSE MATRIKSjikaAadalahsembarangmatriksmn, makatransposeA, dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriksnmyang didapatkandenganmempertukarkanbarisdankolomdari A: yaitu, kolom pertama dari ATadalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Amati,bahwa tidak hanya kolom dariATmenjadi baris dari A, tetapi baris dariATjuga menjadikolom dariA. jadi, entri dalam barisIdan kolom jdari ATdapat diperolehdengan mencerminkanAterhadap diagonal utamanya.misalkanJika 1]1

6 4 35 1 2Amakan akan menjadi 111]1

6 54 13 2TAOrdo matriks A adalah 3 x 2 sedangkan ordo TAadalah 2 x 3.D. KESAMAAN DUA MATRIKSjika A+B adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang di peroleh dengan menambah entri-entri B dengan entri-entri A yang berpadanan dan selisih A-B adalah matriks yang di peroleh dengan mengurangkan entri-entri A dengan entri-entri B yang berpadanan. Matriks - matriks berukuran berbeda tidak dapat ditambahkan atau dikurangkan. 6Dalam notasi matriks, jika A=[aij] dan B=[bij] mempunyai ukuran yang sama, maka A=Bjika dan hanya jika (A)ij = (B)ij , atau secara ekuivalen, aij=bij untuk semua i dan j.Misal: 1]1

11]1

1]1

1 23 4,1 16219 2,1 23 42C B A maka A=B, BC, ACMaka, matriks yangmemiliki kesamaan adalah A dan B karena ordonya sama dan elemen-elemenyang seletak nilainya sama sedangkan yang di A dan C,B danCmerupakanmatriks yangtidak memiliki kesamaanmeskipunordonya sama, tetapi ada elemen-elemen seletak yang nilainya tidak sama, maka matriks tersebut tidak sama.E. OPERASI-OPERASI MATRIKS1. Penjumlahan MatriksPenjumlahanmatriks AdanB, ditulis A+B, di definisikansebagai sebuah martiks( )ijc C yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletakdari matriks A dan B.Syarat dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Misalnya Diketahui 1]1

1]1

1 12 3,0 47 5B A maka A+B= 1]1

1]1

+ ++ +1]1

+1]1

1 59 81 0 1 42 7 3 51 12 30 47 57 Pada penjumlahan matrik juga berlaku sifat- sifat, apabila matrik A,B dan C berordo sama yaitu m x n. A+B = B+A (sifat komulatif) A+B+C = A+(B+C) (sifat asosiatif) Unsur-unsur identitas penjumlahan, yaitu matriks O sehingga A+O = O+A = A Invers penjumlahan A adalah A sehingga A+(-A) = (-A)+A=O2. Pengurangan Matriks1) Lawan suatu matriksLawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks tersebut. Dapat ditulis dari matriks ( )ija A lawannya dapat ditulis ( )ija A . MisalnyaJika 1]1

1 45 9Amaka lawan matriks A adalah 1]1

1 45 9A2) Pengurangan matriksPenguranganmatrikAdanB, ditulisA-B, didefinisikansebagaisebuah matriks ( )ijc C yang di peroleh dari pengurangan setiap elemen matriks Adengan elemen matriks Byang seletak. Karena pengurangan pada dasarnyasamadenganpenjumlahanterhadaplawanbilanganpenambah makapenguranganmatriksBterhadapmatriksAdapat di tulissebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B, atau dapat di tulisDenganBadalahlawanmatriksB. syarat agarduamatriksataulebih dapat di kurangkanadalahmatriks-matriksyangmempunyai ordoyang sama. Misalnya Diketahui 1]1

1]1

5 33 4,8 45 7B dan A tentukan A-B8 A-B=A+(-B)Cara 1. A-B=A+(-B) = 1]1

1]1

+ ++ +1]1

+1]1

13 18 35 8 ) 3 ( 43 5 ) 4 ( 75 33 48 45 7Cara 2. A-B=1]1

1]1

1]1

1]1

13 18 3) 5 ( 8 3 4) 3 ( 4 4 75 33 48 45 73. Perkalian Bilangan Real (Scalar) dengan MatriksDidefinisikan, misal A suatu matrik ber ordo m x n dan k adalah suatu scalar maka matriks kA di peroleh dari mengalikan semua elemenA dengan scalar k. MisalnyakA=1]1

1]1

kd kckb kad cb akmisal :Diketahui: 2A-B+C Untuks matriks-matriks :A=B=C=Jawab :2A= (-1)B=C = =++ = Adalah kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien scalar 2, -1 dan apabilaAdanBmatriks-matriksyangberordo mxnserta2 1, k dan kbilangan real (skalar) maka berlaku sifat-sifat :.B k A k B A k1 1 1) ( + +9A k A k A k k2 1 2 1) ( + +A k k A k k ) ( ) (2 1 2 14. Perkalian MatriksPerkalian matriks didefinisikan, misal A matriks berordo m x p dan B matriks berordop x n maka A x B adalah suatu matriks C=( )ijcberordo m x nyang elemen-elemennya pada baris keikolomke-j, yaitu ijcdiperoleh dari penjumlahanhasil kali elemen-elemenyangbersesuaianpadabaris kei matriks A dan kolom ke-j matriks B, untuk i= 1,2,3,4mdan j = 1,2,3,4n.Matriks ke kolom ke-j dari AB= A[matriks dari kolom ke-j dari B]Matriks baris ke I dari AB=[matriks baris ke I dari AB] Misalnya 1]1

1]1

1 06 5,3 75 3B A maka AxB=1]1

1]1

+ + + + 1]1

1]1

45 3523 15) 1 3 ( ) 6 7 ( ) 0 3 ( ) 5 7 () 1 5 ( ) 6 3 ( ) 0 5 ( ) 5 3 (1 06 53 75 3Apabila matriks A= 2x2 dan matriks B = 2x2 maka bagannya dapat di tulis Ordo hasil kali( 2 x 2)(2 x 2) = (2 x 2), SamaMisalnya[ ]1]1

1]1

6 54 2, 4 5 ,34C B AmakaAxB,BxC dapatdi lakukan perkalian, sedangkanAxCtidakdapat di lakukanperkaliankarenabanyak kolompada matriks Atidak sama dengan banyak baris matriks Catau 2 2 1 2 C A.( Tidak sama) apabila matriks A,BdanCdapat dikalikanataudi jumlahkan. jikak bilangan real (scalar) Maka pada perkalian matriks juga berlaku sifat- sifat :, Tidak komulatif, yaitu AxB BxA Asosiatif, yaitu (AxB) x C = A x (BxC)10 Distributif: Distributif kiri, A x (B+C) = ( AxB) + (AxC) Distributif kanan, (A+B) x C = (AxC) + (BxC) Dalamperkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi denganordoyangsama, terdapat sebuahmatriksidentitas yakni matriks satuan I, yang bersifat. IA=AI=A 1. Jika AB=0 belum tentu A=0 atau B=02. jika AB=AC belum tentu B=C Jikapdanqadalahbilanganreal sertaAdanBadalahmatriks-matriks, maka berlaku hubungan.(pA)(qB) = (pq)(AB) Jika T TdanB A berturut turut adalah traspos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan.T T TA B AB ) (5. Perpangkatan Matriks PersegiJika n adalah sebuah bilangan bulat positif dan A suatu matriks maka :A A A A An .... atau 1 n nA A A . Misal n faktordiketahui matriks 1]1

3 12 1tentukan1]1

1]1

1]1

11 48 33 12 13 12 12A A ACONTOH SOAL1.Diketahui matriks 1]1

+ 0 22 3y xy xAdan 1]1

0 34 3B tentukan nilai x dan y jika diketahui B AT.11Jawab: 1]1

+ 0 22 3y xy xAT B AT1]1

1]1

+ 0 34 30 22 3y xy x

dengan kesamaan dua matriks maka didapat: x + 2y = 42x - y = 3Kemudian gunakan metode eliminasi dan subtitusi untuk mencari nilai x dan y.x + 2y = 4 x2 2x+4y = 8 y=12x - y = 3 x1 2x-y= 3 - x + 2(1) = 45y = 5 x= 4-2y = 1 x= 2jadi, deperoleh nilai x = 2 dan y = 1 2. Diketahui matriks 1]1

1 12 3Pmaka p P 23 adalahJawab:1]1

,_

1]1

1]1

1 12 31 12 31 12 33 32P P =1]1

,_

1]1

1 12 31 24 73=1]1

1]1

1 12 33 612 21 =1]1

2 510 18LATIHAN SOAL121. Diketahui 1]1

1]1

10 412 6,2 13 2B A, dan A2 = xA + yB . Nilai xy adalah 2. Nilai a dari persamaan matriks :1]1

1]1

1]1

++1]1

3 12 01 12 431 23 12 130 5 aadalah 3. Diketahui1]1

1]1

1]1

0 52 9,2 34,2 12 5danCkB AjikaC B AT + , maka nilai k adalah

BAB IIKESIMPULAN13Metriks adalah Susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlukan sebagai suatu kesatuanBilangan-bilanganyangterdapat di suatumatriks disebut denganelemenatau anggotamatriks. Dansusunanunsur unsur matriks tersebut dibatasi dengan tanda kurung. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalammenjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlahkan, dikurangkan dan didekomposisikan.Jenis-jenis matriks adalah :a. Matriks barisb. Matriks kolomc. Matriks diagonald. Matriks identitase. Matriks nolOperasi-operasi pada matriks adalah ;1. Dalam penjumlahan matriks2. Dalam pengurangan matriks3. Dalam perkalian bilangan real (scalar) dengan matriks4. Perkalian matriks5. Perpangkatan matriks persegiBAB IIIDAFTAR PUSTAKA14Ari Y., Rosihan dan Indriyastuti. 2008. Perspektif Matematika 3 untuk Kelas XII SMA dan MA IPA. Jawa Tengah: Platinum.Wirodikromo, sartono. 2007. Matematika Jilit 3 IPA untuk Kelas XII. Jakarta: Erlangga.Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1. Tanggerang: Bina Rupa Aksara Publisher.Irfan, Edi S.Pd. 2009. Siap Menghadapi Ujian Nasional Matematika. Depok: Arya Duta15