Matheus Adi Sidauruk - Unila - M16repository.lppm.unila.ac.id/3475/1/Prosiding BKS...Prediction...

Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013

FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013 1

Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear UnbiasedPrediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil

M. Adi Sidauruk, Dian Kurniasari, Widiarti

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Lampung

[email protected]

Abstrak. Pendugaan langsung pada parameter area kecil yang heterogen akan menghasilkan pendugaan yang tidakbias namun keragamannya sangat besar sehingga mengakibatkan pendugaan ini kurang valid. Untuk mengatasimasalah ini, Pendugaan pada area kecil dapat diduga dengan menggunakan pendugaan tidak langsung. Tujuannyaadalah untuk menekan keragaman yang besar pada area kecil. Pendugaan tidak langsung pada area kecilmemanfaatkan informasi dari area sekitarnya yang berhubungan dengan parameter yang menjadi perhatian. Adabeberapa metode pada pendugaan tidak langsung yaitu Empirical Bayes (EB), Empirical Best Linear UnbiasedPrediction (EBLUP), dan Hierarchical Bayes (HB). Penelitian ini dilakukan pada data kontinu dengan metodeEBLUP yang mengaplikasikan metode GLS sebagai metode penduga parameternya. Kajian secara teori menunjukkanbahwa penduga parameter yang dihasilkan oleh metode GLS merupakan penduga tak bias dengan varians minimum.Hasil yang sama juga diperoleh secara empiris melalui simulasi dengan software R.2.10.1.

Kata Kunci: Pendugaan Area Kecil, EBLUP, Tak-bias, Varians minimum

PENDAHULUAN

Pendugaan pada area kecil (small areaestimation) merupakan salah satu upaya untukmenekan ragam yang besar pada area kecil yaitudengan menggunakan pendugaan tidak langsung(indirect estimation) dengan memanfaatkaninformasi dari area sekitarnya. Informasi yangdiperoleh adalah informasi yang berhubungandengan parameter.

Pendugaan menggunakan metode EBLUP padadata kontinu perlu dievaluasi karena pendugayang diperoleh pada area kecil merupakanpenduga yang berbias namun memiliki ragamminimum. Tujuannya adalah untuk mendapatkanpendugaan yang efisien. Keakuratan pendugadapat diperoleh dengan cara mengukur meansquare error-nya. Semakin kecil mean squareerror (MSE) suatu penduga maka pendugasemakin akurat.

Rao (2003) mengemukakan bahwa suatu areadisebut kecil apabila contoh yang diambil padaarea tersebut tidak mencukupi untuk melakukanpendugaan langsung dengan hasil dugaan yangakurat. [3]

Pendugaan area kecil bertujuan untukmeningkatkan keakuratan penduga suatuparameter, yaitu dengan menggunakanpendugaan tidak langsung. Pendugaan tidaklangsung dapat dilakukan dengan “meminjamkekuatan” atau memanfaatkan peubah-peubahtambahan dalam menduga parameter. Peubah

pendukung ini berupa informasi tambahan yangdidapatkan pada area lain dari survei yang sama,dari area yang sama pada survei yang terdahulu,atau peubah lain yang berhubungan denganpeubah yang menjadi perhatian pada area kecil.

Model area kecil merupakan model dasar dalampendugaan area kecil. Dalam pendugaan areakecil terdapat dua jenis model dasar yangdigunakan, yaitu basic area level (Type A) modeldan basic unit level (Type B) model. [3]

Basic Area Level Model atau dapat disebutsebagai model berbasis area merupakan modelyang didasarkan pada ketersediaan datapendukung yang hanya ada untuk level areatertentu, misalkan xi = (x1i, x2i, x3i, …, xpi)

T

dengan parameter yang akan diduga adalahyang merupakan fungsi dari rata-rata peubahrespon dan diasumsikan mempunyai keterkaitandengan xi. Data pendukung tersebut digunakanuntuk membangun model

T + bivi, (1)

dengan i = 1, 2, …, m dan vi N(0, 2v)

Basic Area Level Model merupakan suatu modeldimana data-data pendukung yang tersediabersesuaian secara individu dengan data respon,misal xij = (xij1, xij2, xij3, …, xijp)

T artinya untukmasing-masing anggota populasi j dalammasing-masing area kecil i, namun terkadang

cukup dengan rata-rata populasi i diketahuisaja. sehingga didapatkan suatu model regresitersarang sebagai berikut :



yii = T + vi + eij , (2)

dengan i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, Ni, denganasumsi vi merupakan peubah acak yang

berdistribusi vi N(0, 2v) dan eij =

dimana konstanta k diketahui dan merupakan

peubah acak saling bebas dari vi sehingga

distribusi dari adalah N(0, 2e).

Model dasar dalam pengembangan pendugaanarea kecil didasarkan pada bentuk model liniercampuran sebagai berikut :

yi = T + bivi + ei (3)

Penduga terbaik (best predictor, BP) bagiT + vi jika dan A diketahui adalah

T +(1- )( T ) (4)

dengan untuk i = 1, 2, 3, …, m

Jika A diketahui, dapat diduga dengan metodekuadrat terkecil terboboti yaitu

dan dengan

mensubstitusi oleh pada , makadiperoleh

T + (1 - )( T )

(1 - ) T

Penduga BLUP yang diperoleh dengan caraterlebih dahulu menduga komponen ragamnya.

Kemudian mensubstitusi oleh dan A olehsehingga disebut sebagai prediksi tak-bias linearterbaik empirik (Empirical Best Linear UnbiasedPrediction/EBLUP).

Generalisasi Kuadrat Terkecil

Perhatikan model linear

(5)diasumsikan matriks kovariansnya

dengan adalah parameter

yang tidak diketahui nilainya dan adalahmatriks definit positif nxn dengan trase matrikssama dengan n.

Jika suatu matriks Q adalah simetrik definitpositif maka Q nonsingular atau ada, dankarena itu ada matriks nxn nonsingular (misal P)sedemikian rupa sehingga

Matriks adalah simetriks dan definit positifsehingga non-singular, karena itu ada suatumatriks nxn nonsingular P sehingga .Pada model linear kalikan kedua ruas denganmatriks P ini :

P (6)

Penerapan metode kuadrat terkecil pada model diatas akan menghasilkan persamaan normalsebagai berikut :

dengan B adalah penduga kuadrat terkecil untukberdasarkan model di atas. Karena

adalah matriks definit positif jika X mempunyaiperingkat kolom penuh (full column rank)sehingga adalah nonsingular dan

maka solusi persamaannya adalah

atau

persamaan terakhir ini dinamakan pendugakuadrat terkecil umum (Generalized LeastSquares) untuk selanjutnya disingkat denganGLS. [4]

Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah proses untukmenduga atau menaksir parameter populasi yangtidak diketahui berdasarkan informasi darisampel. Menurut Hoog dan Craig (1995), kriteriapenduga yang baik adalah takbias, variansminimum, konsisten, statistik cukup dankelengkapan. [1]

Berikut ini hanya akan dibahas dua kriteriapenduga yang baik, yaitu takbias dan variansminimum karena dianggap sudah cukup untukmelihat suatu penduga yang baik.

1. Takbias. Suatu statistik dikatakan penduga

tidak bias dari parameter apabila nilai harapan

penduga sama dengan parameter , sebaliknya

jika nilai harapan statistik tersebut tidak sama

dengan parameter maka disebut penduga

yang berbias.2. Varians Minimum. Suatu penduga

dikatakan mempunyai varians minimum apabilapenduga tersebut memiliki varians yang kecil.Apabila terdapat lebih dari satu penduga,penduga yang efisiens adalah penduga yangmemiliki varians terkecil.

Keakuratan suatu penduga menunjukkan tentangseberapa jauh penyimpangan nilai dugaan darinilai parameter sebenarnya. Keakuratan suatupenduga umumnya dievaluasi berdasarkan nilaikuadrat galat / KTG (mean square error / MSE),yaitu

MSE( ) = E( - )2

atau berdasarkan nilai akar kuadrat tengah galat /AKTG ( root mean square error / RMSE), yaitusebagai berikut

RMSE( ) =



=

MSE ( BLUP) = g1i(A) + g2i(A)

= ADi/(A+Di) + (Di)2/(A+Di)[Xi

t(XtV-1X)-1Xi]

METODE PENELITIAN

Data yang digunakan dalam penelitian inimerupakan data yang dibangkitkan dari simulasidengan menggunakan software R.2.10.1 dansebaran datanya berdistribusi normal.

Adapun langkah- langkah yang dilakukan padapenelitian ini dalam mengkaji karakteristikpenduga EBLUP pada penduga area kecil adalahsebagai berikut :1. Menentukan nilai duga dari EBLUP dengan

menggunakan metode GLS2. Menentukan MSE dari nilai duga EBLUP3. Mendapatkan karakteristik penduga EBLUP.

Langkah-langkah dalam menduga karakteristikpenduga EBLUP dengan menggunakan simulasi,yaitu:

1. Membangkitkan peubah acak xi = (x1,x2,…,x10) sebagai variabel peubah penyertabagi variabel respon yi dimana

2. Membangkitkan data ei = (e1, e2, …, e10)sebagai sampling error dengan distribusimenyebar normal dimana nilai tengah danvarians bagi ei yaitu 0 dan 0.5

3. Menetapkan nilai

4. Membangkitkan data dengan iterasi 1000

5. Membangkitkan data dengan iterasi 1000

6. Mendapatkan nilai dengan iterasi 1000

7. Mendapatkan

8. Mengestimasi sehingga memperoleh

MSE dari .

HASIL DAN PEMBAHASAN

Penelitian ini menggunakan software R 2.10.1yang didesain untuk memperoleh penduga

parameter dan mean square error dari

dengan metode Emperical Best Linear UnbiasedPredictions (EBLUP). Simulasi ini menetapkanparameter yang berbeda yaitu antara

dengan increase 0.25 yang bertujuanuntuk melihat konsintensi mean square error(MSE/kuadrat tengah galat ) parameter dari

. .

Karakteristik Penduga GeneralizedLeast Squares

Misalkan adalah matriks simetris definit

positif. Faktor dari matriks ini dituliskan sebagaiberikut

C adalah karakteristik vektor dan karakteristikakarnya adalah array dalam diagonal matriks .

Misalkan adalah matriks diagonal dengan

elemen diagonal ke- i yaitu dan

sehingga .

Misalkan maka . Pdikalikan pada kedua ruas model linear

sedemikian sehingga diperoleh

atau

Varians dari adalah

dimana diketahui, dan adalah data

observasi. Pada model klasik, kuadrat tengahkecil (ordinary least squares) sangat effisien,oleh karena itu

ini adalah penduga efisien dari yang

merupakan penduga generalized least squares(GLS). Adapun karakteristik pendugageneralized least squares (GLS) adalah sebagaiberikut Tak-biasJika , sehingga

Mendekati distribusi normal dengan mean

dan varians

Varians minimum [2]

Penduga parameter EBLUP adalah danEBLUP. Selanjutnya akan dibahas mengenai

karakteristik penduga EBLUP yaitu ketakbiasandan ragam minimum. Pada penelitian ini, y dan

diasumsikan menyebar normal. Karena y dan

memiliki model masing-masing. Sehingga

distribusi penduga parameter EBLUP dapatdiketahui berdasarkan kedua model tersebut.Berikut ini adalah cara mengetahui distribusipada penduga parameter EBLUP:



Karakteristik Penduga bagi

Ketakbiasan= -

= -

= -= –= –= 0 terbukti

Ragam minimumVar = Var

===

Karena merupakan fungsi linear bagi ei dan vi

dengan distribusi masing- masing menyebar

normal maka diperoleh distribusi parametersebagai berikut

Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa adalahpenduga tak-bias bagi . Oleh karena itu, akan

ditunjukkan bahwa keragaman dari penduga

merupakan ragam minimum denganmenggunakan teorema Cramer- Rao berikut ini:Pertama terlebih dahulu menghitung HBparameter penduga

Sehingga diperoleh HB parameter adalah

atau sama dengan .

Karena = HB maka merupakan

penduga tak-bias linear dengan variansminimum.

Hasil Simulasi Untuk PendugaParameter

Simulasi pendugaan parameter dengan metode

EBLUP untuk iterasi 1000 dengan parameter set= {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.75, 2} dan

banyaknya pengamatan m = 10 menghasilkan1000 penduga parameter . Selanjutnya, akan

dilakukan pembuktian ketakbiasan secaraempirik dengan cara mencari rata-rata dari 1000penduga yang diperoleh berdasarkan :

Tabel 4.1: Hasil Pendugaan Parameter padabeberapa nilai

0.00 0.035799110.25 0.21418680.50 0.52140760.75 0.74443311.00 0.98695441.25 1.2350451.50 1.4982681.75 1.7654552.00 2.066544

Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa

parameter yang dihasilkan untuk masing-masing data set parameter semakin mendekati

nilai sebenarnya artinya berdasarkan

pemeriksaan ketakbiasan diperoleh nilaimendekati nilai parameter atau dapat

disimpulkan bahwa bias parameter terhadap



data set parameter sangat kecil dengan ragam

minimum untuk setiap parameter sama yaitu

0.001907544.

Hasil Simulasi Untuk PendugaParameter

Mean Square Error dari setiap pendugaparameter dapat diperoleh berdasarkan :

MSE( EBLUP) = E( EBLUP - )2

= var( EBLUP) +[Bias( EBLUP)]2

= MSE( EBLUP) + E( EBLUP- BLUP)2

Prasad dan Rao dalam Rao (2003) menggunakanekspansi deret taylor untuk menduga MSE( ) sehingga diperoleh :

MSE( ) = g1i( ) + g2i( ) + g3i( )

dengan g3i( ) =

Setelah penduga parameter disubstitusi ke

dalam model

= t maka

diperoleh MSE( EBLUP) yaitu 0.8503704.

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telahdilakukan, dapat disimpulkan bahwa :

1. Karakteristik parameter yang diperolehpada pendugaan area kecil merupakanpenduga yang berbias namun bias yangditimbulkan sangat kecil dengan variansminimum.

2. Mean square error (MSE) dari parameterEBLUP yang dihasilkan cukup kecil dengan

menggunakan metode EBLUP padapendugaan area kecil artinya nilai duga

parameter EBLUP cukup mendekati nilai

parameter yang sebenarnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Hoog, R.V. dan Allen T. Craig. 1995.Introduction to Mathematical Statistics.Fifth edition. Princtice-Hall InternasionalInc, New Jersey.

[2] Greene, W. 1997. Econometric Analysis.Third edition. Prentice Hall, New Jersey

[3] Rao, J. N. K. 2003. Small Area Estimation.New Jersey: John Willey & Sons, Inc.

[4] Usman, M. dan Warsono. 2009. Teori ModelLinear dan Aplikasinya. Sinar BaruAlgensindo, Bandung.

Matheus Adi Sidauruk - Unila - M16repository.lppm.unila.ac.id/3475/1/Prosiding BKS...Prediction...

Documents

Transcript of Matheus Adi Sidauruk - Unila - M16repository.lppm.unila.ac.id/3475/1/Prosiding BKS...Prediction...