8/19/2019 materi kalkulus.docx

http://slidepdf.com/reader/full/materi-kalkulusdocx 1/5

(Yos3pren. 2013. Aplikasi Intergral: menentukan volume dengan kulit tabung.

https://yos3prens.ordpress.!om/2013/0"/2#/aplikasi$integral$menentukan$volume$dengan$metode$kulit$

tabung/%

&ada bagian ini akan dibahas mengenai metode alternati' dalam menentukan volume benda putar. etode inidisebut metode kulit tabung (shell method % karena metode ini menggunakan volume dari kulit tabung.

&erhatikan persegi pan)ang di baah ini dengan t adalah pan)ang dari persegi pan)ang* l  adalah lebar persegi

pan)ang* dan p adalah )arak antara sumbu putaran dengan pusat dari persegi pan)ang.

+etika persegi pan)ang tersebut diputar menurut sumbu putarannya maka akan dihasilkan kulit tabung dengan

ketebalan l . ,ntuk menentukan volume kulit tabung tersebut* perhatikan dua tabung (tabung luar dan dalam%

 yang nampak pada gambar di atas. -ari$)ari tabung yang lebih besar merupakan )ari$)ari luar dari kulit tabung*

dan )ari$)ari dari tabung yang lebih ke!il merupakan )ari$)ari dalam dari kulit tabung. +arena padalah rata$rata

dari )ari$)ari kulit tabung* dan diketahui baha )ari$)ari luarnya p  l /2 dan )ari$)ari dalamnya p  l /2.

aka* volume dari kulit tabung adalah

8/19/2019 materi kalkulus.docx

http://slidepdf.com/reader/full/materi-kalkulusdocx 2/5

umus di atas dapat digunakan untuk menentukan volume dari benda putar. Anggap bidang datar pada

gambar di baah diputar menurut sumbu putarnya sehingga dihasilkan suatu benda putar.

 Apabila diperhatikan lebar dari persegi pan)ang tersebut adalah y* maka persegi pan)ang yang diputar

terhadap garis yang se)a)ar dengan sumbu$ x  akan menghasilkan suatu kulit tabung yang volumenya

 olume dari benda putar di atas dapat didekati dengan menggunakan volume n kulit tabung yang tebalnya y*

tinggi t (yi % dan rata$rata )ari$)arinya p(yi %.

&endekatan ini akan semakin baik dan semakin baik )ika → 0 atau n → 4. 5ehingga* volume benda putar

tersebut adalah

-adi* dari perhitungan di atas telah ditemukan rumus alternati' yang dapat digunakan untuk menentukan

 volume benda putar. &erhatikan kesimpulan berikut.

8/19/2019 materi kalkulus.docx

http://slidepdf.com/reader/full/materi-kalkulusdocx 3/5

 METODE KULIT TABUNG 

Untuk menentukan volume benda putar dengan metode kulit tabung, gunakan salah satu dari rumus

berikut, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawahnya.

 Sumbu putarnya horizontal,

 Sumbu putarnya vertikal,

,ntuk lebih memahami dalam menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung*

perhatikan beberapa !ontoh berikut.

Contoh I: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume

6entukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu$ x  (0 7 x  7 1% dengan sumbu putarannya adalah sumbu$y.

Pembahasan +arena sumbu putarannya vertikal* gunakan persegi pan)ang vertikal* seperti yang ditun)ukkan

oleh gambar di baah.

8/19/2019 materi kalkulus.docx

http://slidepdf.com/reader/full/materi-kalkulusdocx 4/5

+etebalan  x  mengindikasikan baha x  merupakan variabel dalam proses integrasi yang akan dilakukan. -arak antara pusat persegi pan)ang dengan sumbu putaran adalah p( x % 8 x * dan tingginya adalah

+arena rangenya antara 0 sampai 1* maka volume benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai

 berikut.

Contoh II: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume

6entukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

8/19/2019 materi kalkulus.docx

http://slidepdf.com/reader/full/materi-kalkulusdocx 5/5

dan sumbu$y (0 7 y 7 1% dengan sumbu$ x  sebagai sumbu putarnya.

Pembahasan +arena sumbu putarannya hori9ontal* gunakanlah persegi pan)ang hori9ontal* seperti yang

ditun)ukkan gambar di baah ini.

-arak antara pusat persegi pan)ang dan sumbu putarannya adalah p(y% 8 y* dan pan)ang dari persegi

pan)angnya adalah

+arena range dari y dari 0 sampai 1* maka volume benda putarnya dapat ditentukan sebagai berikut.