Materi 9 Integer Programming Cutting Plane Alg
-
Upload
yudha-adi-kusuma -
Category
Documents
-
view
135 -
download
6
description
Transcript of Materi 9 Integer Programming Cutting Plane Alg
Widha Kusumaningdyah, ST., MT
2012
INTEGER PROGRAMMING
INTRODUCTIONINTEGER PROGRAMMING
INTEGER PROGRAMMING (IP)
• Untuk permasalahan optimasi dengan beberapaatau semua variabel keputusan bernilaibulat(integer).
• Tidak dapat diselesaikan langsung denganmetode simpleks karena adanya beberapa atausemua variable yang berupa bilangan bulatmelanggar salah satu asumsi metode simpleks(semua variable keputusan adalah bilangan real /tidak harus bulat).
KLASIFIKASI IP
Integer programming dapat diklasifikasikan menjadi empat(berdasarkan banyaknya variable keputusan yang bernilai bulat):
1) Pure Integer Programming
semua variable keputusan harus bernilai bilangan bulat
2) Mixed Integer Programming (MIP)
tidak semua variable keputusan berupa bilangan bulat
3) Binary Integer Programming (BIP)
semua variable keputusan memiliki nilai berupa bilangan biner(0 atau 1).
4) Mixed Binary Integer Programming (MBIP)
Jika beberapa variable keputusan memiliki nilai biner, beberapa variable keputusan memiliki nilai integer dansisanya memiliki nilai real (boleh pecahan).
PROBLEM IP
Permasalahan yang mengharuskan variabel keputusan bernilai integer diantaranya adalah InvestasiMultiperiode Budgeting Routing Knapsack Vehicle Loading Set Covering SchedulingMixed Product Location Distribution Assignment Transportasi ….
CONTOH PROBLEM IP
1. PENJADWALAN PEKERJA (SCHEDULING)• Bank Swasta buka mulai jam 9 pagi sampai dengan jam 5 sore. Banyaknya
konsumen yang datang ke bank cukup bervariasi sehingga banyaknya teller yangdiperlukan pada setiap jam juga berbeda. Teller merupakan tenaga outsourcing,pihak bank bisa menentukan pada jam berapa teller tersebut harus mulai bekerja.Setiap teller bekerja selama 5 jam sehari. Tentukan banyaknya setiap teller yangharus masuk pada setiap jam supaya biaya yang dikeluarkan bank minimal !
Periode Jumlah teller yang
diperlukan
9 – 10 10
10 – 11 12
11 – 12 14
12 – 1 16
1 – 2 18
2 - 3 17
3 – 4 15
4 – 5 10
X5
X4
X3
X2
X1
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Xi: banyaknya teller yang mulai masuk kerja pada jam ke i
2. CAPITAL BUDGETING
• Punya uang utk investasi Rp 14.000.000.
• Ada 4 jenis kesempatan investasi :– Investasi 1 : butuh Rp 5.000.000 , akan berkembang mjd Rp 8.000.000
– Investasi 2 : butuh Rp 7.000.000 , akan berkembang mjd Rp11.000.000
– Investasi 3 : butuh Rp 4.000.000 , akan berkembang mjd Rp 6.000.000
– Investasi 4 : butuh Rp 3.000.000 , akan berkembang mjd Rp 4.000.000
FORMULASI : Capital Budgeting
Model ILP : xi : investasi ke i , i=1,2,3,4xi = 0 jika tidak mengambil investasi i
= 1 jika mengambil investasi i
Maksimasi : Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4
Kendala : 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14xi {0,1} , i = 1,2,3,4
3. CONTOH & FORMULASI : Capital Budgeting
• Apabila ditambah kendala :– Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi– Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil– Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil
• Model matematikanya :Maksimasi :
Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4
Kendala : 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2 x2 – x4 ≤ 0x1 + x3 ≤ 1 xi {0,1} , i = 1,2,3,4
3. KNAPSACK PROBLEM• Terdapat 7 jenis barang, setiap jenis barang mempunyai
ukuran dan keuntungan yang berbeda sbb :
• Alat angkut hanya mampu mengangkut 40 m3, barangmanakah yang seharusnya diangkut?
Barang
ke-1 2 3 4 5 6 7
Ukuran 5 7 4 3 4 3 7
Nilai 8 11 6 4 6 5 6
4. PEMILIHAN LOKASI PABRIK• Perusahaan berencana untuk mendirikan satu atau beberapa pabrik untuk memenuhi
permintaan produk pada berbagai daerah (pasar). Terdapat 4 lokasi dimana pabrik dapatdibangun dan terdapat 12 pasar yang harus dipenuhi oleh perusahaan. Produk akan langsungdikirim dari pabrik ke pasar.
• Biaya untuk mendirikan pabrik dan kapasitas pabrik di masing-masing lokasi adalah sebagaiberikut:
• Biaya untuk mengirim barang dari suatu pabrik ke pasar adalah sebagai berikut
• Tentukan dimanakah pabrik harus dibangun dan berapa pabrik yang harus dibangun??
A B C D
Biaya Investasi 1000 1500 700 400
Kapasitas 2000 4000 1000 900
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A 3 4 1 2 3 5 5 2 3 4 5 5
B 6 6 4 5 7 3 4 1 2 4 4 4
C 4 2 3 5 4 5 4 3 6 5 4 3
D 5 5 2 3 4 5 5 6 2 3 5 5
Permintaan 500 200 400 100 600 400 200 250 200 300 220 100
5. DIET PROBLEM
Food
Serving
size
Energy
(kcal)
Protein
(g)
Calcium
(mg)
Price per
serving (cents)
Max serving
allowed
Oatmeal 28g 110 4 2 3 4
Chicken 100g 205 32 12 24 3
Eggs 2 large 160 13 54 13 2
Wholemilk 237cc 160 8 285 9 8
Cherry pie 170g 420 4 22 20 2
Pork with beans 260g 260 14 80 19 2
Kebutuhan : energy(2000kcal), protein(55g), calcium(800mg)
Formulasi : DIET PROBLEM
654321 1920913243:Minimisasi xxxxxx
Pembatas:
20
20
80
20
30
40
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
800802228554122
55144813324
2000260420160160205110
654321
654321
654321
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
6. BLENDING
• Perusahaan eaglefood akan memproduksi cereal dalam kemasan sebesar 2 pound.Cereal yang diproduksi harus memenuhi kebutuhan gizi dalam sehari. Kebutuhangizi dalam sehari dapat dilihat dalam tabel berikut ini:
• Terdapat tiga alternatif bahan baku yang dapat digunakan, bahan baku tersebutbisa dicampur untuk memproduksi cereal.
• Tentukan bagaimana perbandingan(komposisi) bahan baku A, B dan C dalamcereal sehingga biaya untuk memproduksi cereal minimum!
Grain
Minimum Daily
Requirement
A B C
Harga per pound 3300 4700 3800
Protein per pound 22 28 21 3
Riboflavin per pound 16 14 25 2
Phosphorus per pound 8 7 9 1
Magnesium per pound 5 0 6 0.425
FORMULASI : MODELVariabel keputusan
• xi = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi
• yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak
Formulasi :
Maks z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3
Subject to:
x1 ≤ M y1
x2 ≤ M y2
x3 ≤ M y3
1000 – x1 ≤ M (1 – y1)
1000 – x2 ≤ M (1 – y2)
1000 – x3 ≤ M (1 – y3)
1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 6000
30 x1 + 25 x2 + 40 x3 ≤ 60000
x1, x2, x3 ≥ 0 dan integer
y1, y2, y3 = 0 atau 1
7. SET COVERING PROBLEM• Propinsi sukolilo mempunyai 6 kota
• Pemerintah berencana untuk membangun kantor pusat pemadam kebakaran. Pada kantor pusatpemadam kebakaran akan ditempatkan kendaraan pemadam kebakaran, peralatan pemadamkebakaran dan personelnya, sehingga jika ada kebakaran maka petugas akan berangkat dari kantorpusat pemadam kebakaran menuju lokasi kebakaran.
• Petugas tidak boleh mencapai lokasi kebakaran lebih dari 15 menit (waktu tempuh) dari stasiunpemadam kebakaran.
• Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain adalah sebagai berikut.
• Tentukan dimanakah kantor pusat pemadam kebakaran harus dibangun supaya banyaknya kantoryang harus dibangun tidak banyak(minimal) sehingga dana APBD bisa dihemat untuk dialokasikanpada bidang lain?
Kota ke- 1 2 3 4 5 6
1 0 10 20 30 30 20
2 10 0 25 35 20 10
3 20 25 0 15 30 20
4 30 35 15 0 15 25
5 30 20 30 15 0 14
6 20 10 20 25 14 0
7. SET COVERING PROBLEM (CONT’D)
• Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jaraktempuhnya tidak lebih dari 15 menit
• Covering set untuk setiap kota
Kota Covering sets (15 menit)
1 1,2
2 1,2,6
3 3,4
4 3,4,5
5 4,5,6
6 2,5,6
FORMULASI SET COVERING PROBLEMVariabel keputusan :
xi = 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i
= 0 jika TIDAK dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i
Fungsi tujuan :
Minimum Z= x1+ x2+ x3+ x4+ x5 + x6
Fungsi pembatas:
x1+x2 ≥ 1
x1+x2 + x6 ≥ 1
x3+x4 ≥ 1
x3+x4+x5 ≥ 1
x4+x5+x6 ≥ 1
x2+x5+x6 ≥ 1
Pak Ali harus menugaskan stafnya untuk mengerjakan tugas-tugas pada divisinya. Pak Alimemiliki 5 staf yaitu Rita, Tari, Rani, Nira, Tara. Divisi pak ALi harus menyelesaikan 5tugas. Pak Ali menemui kesulitan dalam menugaskan kelima stafnya karena Rita tidakmempunyai keahlian dalam mengerjakan tugas 2 sedangkan Tari tidak mampumengerjakan tugas 1. Biaya menugaskan setiap staff adalah berbeda beda karena untukbisa menyelesaikan tugas dengan baik, staff seringkali harus mendapatkan pelatihan danbiaya akomodasi yang berbeda beda. Biaya menugaskan setiap staff untuk mengerjakansatu tugas adalah sebagai berikut:
Bagaimanakah cara menugaskan kelima staff tersebut supaya biaya yang harusdikeluarkan perusahaan minimal?
Staff
Tugas
1 2 3 4 5
Rita 4 10 6 5
Tari 5 1 5 10
Rani 3 5 8 4 7
Nira 4 2 7 1 10
Tara 8 8 2 10 5
8. ASSIGNMENT (PENUGASAN)
METODE CUTTING PLANEINTEGER PROGRAMMING
IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE
• Temukan solusi optimal untuk Linier Problem (menggunakan prosedur standar).
• Tambahkan fungsi pembatas khusus (disebut cuts) untuk menghasilkan titik ekstrim optimal integer.
• Cuts tidak menghilangkan titik feasible integer asal.
• The cuts must through at least one feasible or infeasible integer point
• Number of cuts is independent of the size of the problem
IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE
• Contoh permasalahan ILP:
IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE
PENDEKATAN GRAFIS • Solusi:
IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE
PENDEKATAN ALJABAR
• Tabel Optimal LP:
• Buat cuts
– Dengan asumsi bahwa semua variable (termasuk slacks) adalah integer.
IP SOLVING: ALGORITMA CUTTING-PLANE
PENDEKATAN ALJABAR• Langkah untuk membuat cuts:
– Pilih ‘baris sumber’– Faktorkan baris sumber– Buat cuts dari faktor baris sumber – Buat persamaan dari cuts
• Selesaikan problem dari fraksi pecahan– Tambahkan fungsi pembatas pada tabel simples
optimal– Gunakan dual simplex untuk menyelesaikan
permasalahan, jika tabel optimal tidak feasible. – Buat fraksi selanjutnya hingga semua variable integer.
1. MEMBUAT CUTS
Pilih baris sumber
Faktorkan baris sumber
Faktor baris sumber – x2
Buat cuts dari faktor baris sumber
Buat persamaan dari cuts
• Table baru :
• Selesaikan dengan dual simplex
– Hasil:
2. SELESAIKAN DENGAN SIMPLEX
• Buat cut selanjutnya hingga semua variabel integer
• Final Result:
LATIHAN
• References:
– Eunike, Agustina. Materi Ajar Penelitian Operasional 1. PSTI – Universitas Brawijaya. 2012
– Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies, Inc, 2001.
– Hamdy A. Taha. Operations Research: An Introduction. 8th Edition. Prentice-Hall, Inc, 2007