MATERI 6 MATERI 6 INTRODUCTION TO SOCIAL STATISTICSINTRODUCTION TO SOCIAL STATISTICS

PENGUKURAN PENGUKURAN DISPERSI / VARIASIDISPERSI / VARIASI

2

TUJUAN PEMBAHASAN

Mahasiswa mampu menjelaskan arti ukuran – ukuran dispersi atau variasi dan jenis – jenisnya.

Mahasiswa dapat menghitung macam – macam ukuran dispersi atau variasi.

3

PENGERTIAN UKURAN DISPERSI Ukuran dispersi / Ukuran variasi / Ukuran penyimpangan : ukuran

yang menyatakan seberapa besar penyimpangan nilai – nilai data dari nilai pemusatannya atau bagaimana penyebaran suatu kelompok data.

Kegunaan Ukuran dispersi : a. Untuk dapat menggambarkan suatu distribusi data lebih jelas

dan tepat.b. Untuk membandingkan sebaran data dari 2 atau lebih

distribusi data.

Misalnya ada 3 kelompok nilai :50 50 50 50 50 -------- x = 50 (data homogen)50 40 30 60 70 -------- x = 50 (data agak bervariasi)100 40 80 20 10 -------- x = 50 (data heterogen).

4

JENIS – JENIS UKURAN DISPERSI Rentang / Nilai Jarak / Jangkauan Rentang Antar Kuartil Simpangan Kuartil Rata – Rata Simpangan Varians Standar Deviasi / Simpangan Baku Koefisien Variasi

5

NILAI RENTANG

1. Rentang (R) atau Nilai Jarak:

Selisih antara nilai tertinggi (Xt) dan terendah (Xr) dalam suatu distribusi data. Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim.

Rumus : R = Xt - Xr

2. Rentang antar kuartil (RAK) :

Selisih antara nilai kuartil teratas (Q3) dan kuartil terbawah (Q1). Nilainya tidak terpengaruh oleh nilai ekstrim.

Rumus : RAK = Q3 - Q1

6

3. Rentang Semi Interkuartil / Simpangan Kuartil / Deviasi Kuartil : Nilai setengah dari selisih antara kuartil teratas dan terbawah

Rumus : SK = ½ (Q3 - Q1)

Simpangan kuartil (SK) digunakan untuk :

a. melihat lokasi dari data. b. melihat apakah ada data pencilan atau data yang

menyimpang, yaitu data yang nilainya ….

- lebih kecil dari pagar luar (Q1 – SK) atau

- lebih besar dari pagar dalam (Q3 + SK) ( karena salah catat atau salah ukur ).

7

Contoh soal : Sekelompok data : 12 13 15 17 18 22 24 Ditanya : a. R, RAK, dan SK ? b. Apakah ada data pencilan ?

Jawab : R = Xt – Xr = 24 – 12 = 12RAK = Q3 - Q1 = 22 – 13 = 9SK = ½ (Q3 - Q1) = ½ (22 – 13) = 4,5

= ½ (Q3 + Q1) = ½ (22 + 13) = 17,5 Artinya : Lokasi 50% data terletak dalam interval 17,5 ±

4,5 atau antara 13 – 22

SK juga digunakan untuk melihat apakah ada data pencilan (data yang nilainya lebih kecil dari nilai pagar luar atau lebih besar dari nilai pagar dalam) :

Pagar luar = 13 – 4,5 = 9,5 Pagar dalam = 22 + 4,5 = 26,5

Kelompok data diatas tidak ada data pencilan krn : 12 > 9,5 dan 24 < 26,5. Artinya : semua data dapat digunakan dalam perhitungan.

8

Latihan :Latihan :

1. Diketahui hasil penilaian 10 orang pengunjung terhadap suatu jenis kue yang baru diperkenalkan sebuah toko kue adalah : 56 68 70 52 82 58 65 72 96.

a. Hitunglah R, RAK dan SK data tersebut.

b. Apakah ada nilai pencilan dari data diatas ?

9

VARIANS Varians adalah rata – rata dari simpangan kuadrat setiap data

terhadap rata – rata hitung.

Varians populasi = σ2 (dibaca : sigma kuadrat)

1 N

σ2 = -- ∑(Xi - µ)2

N i =1

Varians sampel = s2

1 n

s2 = -------- ∑(xi - x)2

n - 1 i =1

10

STANDAR DEVIASI Standar Deviasi atau Simpangan Baku adalah akar dari positif varians SD populasi = σ

N

σ = ∑(Xi - µ)2

i =1

--------------------- N

SD sampel = s

n

s = ∑(xi - x)2

i =1

--------------------- n - 1

11

Contoh soal• Data hasil penjualan dari 5 pedagang adalah : 5, 8, 4, 10, 3.

Berapa varians dan standar deviasi hasil penjualan ?

Jawab 1

n

s2 = -------- ∑(xi - x)2 dan s = s2

n - 1 i =1

X = (5+8+4+10+3) : 5 = 6

{(5-6)2+(8-6)2+(4-6)2+(10-6)2+(3- 6)2} s2 = -------------------------------------------------- = 8,5

(5-1)

s = √8,5 = 2,9

12

Varians dan Standar Deviasi dengan Shortcut Formula

Varians dan Standar Deviasi dengan shortcut formula lebih umum dan efektif digunakan ketika jumlah data cukup banyak, sedangkan hasilnya persis sama dengan rumus formula biasa.

∑(Xi)2 – {(∑Xi)2 : n } s2 = ----------------------------

n – 1

∑(Xi)2 – {(∑Xi)2 : n } s = √ s2 = ----------------------------

n – 1

13

Contoh soal• Data hasil penjualan dari 5 pedagang adalah : 5, 8, 4, 10, dan 3.

Berapa varians dan standar deviasi hasil penjualan dengan shortcut formula?

Jawab :

x x2

5

8

4

10

3

25

64

16

100

9

30 214

214 – {( 30)2 : 5}

s2 = ------------------------- = 8,5

(5 – 1)

s = √ s2 = √ 8,5 = 2,9

14

STANDAR DEVIASI UNTUK DISTRIBUSI FREKUENSI

Rumus SD untuk distribusi data tunggal :

∑fi(xi)2 – {(∑fixi)2 : n }

s = --------------------------------

n – 1

s = standar deviasi

fi = frekuensi data ke i

xi = nilai data ke i

n = jumlah sampel

15

x f x2 fx f(x)2

10

9

8

7

6

5

4

3

3

9

13

23

24

13

10

5

100

81

64

49

36

25

16

9

30

81

104

161

144

65

40

15

300

729

832

1127

864

325

160

45

100 640 4382

Contoh soal :

4382 – {(640)2 : 100} 4382 - 4096

s = -------------------------------- = ------------------- = 1,7

100 – 1 99

16

Rumus SD untuk distribusi data kelompok :

∑fi(mi)2 – {(∑fimi)2 : n } s = --------------------------------

n – 1

s = standar deviasi

fi = frekuensi kelas interval ke i

mi = nilai tengah kelas interval ke in = jumlah sampel

17

Data f m m2 fm f(m)2

70 – 79

80 – 89

90 – 99

100 – 109

110 – 119

5

17

45

32

1

74,5

84,5

94,5

104,5

114,5

5550,25

7140,25

8930,25

10920,25

13110,25

372,5

1436,5

4252,5

3344

114,5

27751,25

121384,25

401861,25

349448

13110,25

100 9520 913555

Contoh soal :

913555 – {(9520)2 : 100} 7251

s = ------------------------------------- = ------------------- = 8,56

100 – 1 99

18

∑fi(xi)2 – {(∑fixi)2 : n } s = p --------------------------------

n – 1

s = standar deviasip = i = panjang kelas intervalfi = frekuensi kelas interval ke ixi = deviasi kelas interval ke i dari mean terkaann = jumlah sampel

Rumus SD untuk distribusi data kelompok dengan metode terkaan :

19

Data f xi (xi)2 fxi fxi2

70 – 79

80 – 89

90 – 99

100 – 109

110 – 119

5

17

45

32

1

- 2

- 1

0

+ 1

+ 2

4

1

0

1

4

- 10

- 17

0

+ 32

+ 2

20

17

0

32

4

100 + 7 73

Contoh soal :

73 – {(7)2 : 100} 72,51

s =10 ------------------------------------- = 10 ------------------- = 8,56

100 – 1 99

20

KOEFISIEN VARIASI Varians dan Standar Deviasi mengukur variasi atau dispersi secara

absolut (satuan dan interpretasinya jelas) dan hanya dapat melihat dispersi satu set kumpulan data.

Koefisien Variasi (KV) mengukur dispersi secara relatif dan digunakan untuk membandingkan dua set atau lebih kumpulan data.

Rumus Koefisien Variasi :

δ

KV = ---------- x 100% untuk populasi

µ

s

kv = ---------- x 100% untuk sampel

x

21

Contoh soal : Ada 2 jenis barang dijual dipasar, dengan data sbb:

Barang A : harga rata – rata = Rp 35000, per kgstandar deviasi = Rp 1000 per kg

Barang B : harga rata – rata = Rp 15000, per kgstandar deviasi = Rp 600 per kg.

Tentukan : apakah harga barang A atau B yang lebih bervariasi ?Jawab :kv A = (1000/35000) x 100% = 2,85 %kv B = (600/15000) x 100% = 4 %

kv B > kv A, maka berarti harga barang B lebih bervariasi dari barang A.

22

1. Diketahui suatu tabel frekuensi sebagai berikut :

Kelas data Frekuensi A Frekuensi B

0 – 4

5 – 9

10 – 14

15 – 19

20 – 24

12

17

22

16

13

10

14

24

20

12

Tentukan :a. Nilai Jarak dan Simpangan Kuartil masing – masing

frekuensi.b. Varians dan Standar Deviasi masing – masing frekuensi.c. Frekuensi manakah yang lebih besar variasinya ?

LATIHAN

23

2. Diketahui : Harga 5 ekor ayam masing – masing adalah Rp. 14000, Rp.14500, Rp 15000, Rp. 14750 dan Rp. 14250, sedangkan Harga 5 macam coklat per buah adalah Rp. 600, Rp. 800, Rp. 900, Rp. 550 dan Rp 1000.

Hitunglah :a. Rentang untuk masing –masing harga ayam dan

coklat.b. Rata – rata harga ayam dan coklat.c. Simpangan baku harga ayam dan harga coklat.d. Mana yang lebih bervariasi, harga ayam atau harga

coklat ?