DASAR-DASAR LOGIKADASAR-DASAR LOGIKA

MATEMATIKA DISKRITMATEMATIKA DISKRITSTMIK AMIKOM STMIK AMIKOM PURWOKERTOPURWOKERTO

Septi Fajarwati, S.Pd.Septi Fajarwati, S.Pd.

Ilmu LogikaIlmu Logika Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat

(argumen-argumen) dan hubungan yang ada di (argumen-argumen) dan hubungan yang ada di antara kalimat-kalimat tersebut.antara kalimat-kalimat tersebut.

Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.kalimat bernilai benar.

Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintaks) daripada arti kalimat itu sendiri (sintaks) daripada arti kalimat itu sendiri (semantik).(semantik).

Kalimat Deklaratif / Proposisi adalah suatu kalimat Kalimat Deklaratif / Proposisi adalah suatu kalimat yang memiliki nilai kebenaran (yang memiliki nilai kebenaran (truth value)truth value) benar ( benar (truetrue) ) dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah (dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah (falsefalse) ) dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya.dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya.

Contoh ProposisiContoh Proposisi : : ““Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan)Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan) ““Beijing adalah ibu kota China.” Beijing adalah ibu kota China.” ““1 + 2 = 3”1 + 2 = 3” ““6 adalah bilangan ganjil.”6 adalah bilangan ganjil.”Berikut ini yang BUKAN proposisi:Berikut ini yang BUKAN proposisi: ““Siapa itu?” (pertanyaan)Siapa itu?” (pertanyaan) ““xx + + yy = 7” = 7” ““Lakukan saja!” (perintah)Lakukan saja!” (perintah) ““Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas)Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas) ““1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)

PENGHUBUNG KALIMATPENGHUBUNG KALIMAT

SimbolSimbol Arti Arti BentukBentuk

¬¬ Tidak / NOT / NegasiTidak / NOT / Negasi tidak….tidak….

Dan / AND / KonjungsiDan / AND / Konjungsi …….dan…..dan….

Atau / OR / DisjungsiAtau / OR / Disjungsi .…atau…..…atau….

atauatau XOR / Exclusive-OR / XOR / Exclusive-OR / Disjungsi eksklusifDisjungsi eksklusif

....atau….tetapi tdk ....atau….tetapi tdk keduanyakeduanya

ImplikasiImplikasi Jika.…maka....Jika.…maka....

↔↔ Biimplikasi (Biimplikasi (Biconditional)Biconditional) ...jika dan hanya jika…...jika dan hanya jika…

Notasi AlternatifNotasi Alternatif

Name: not and or xor implies iff Propositional logic: ↔ Boolean algebra: p pq + C/C++/Java (wordwise): ! && || != == C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^ Logic gates:

TABEL KEBENARANTABEL KEBENARAN

Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat variabel (p,q,…), maka tabel kebenaran memuat 22nn baris. baris.

p q p p q p q pq p q p↔q F F T F F F T T F T T F T T T F T F F F T T F F T T F T T F T T

Keterangan :Keterangan : Negasi / Ingkaran suatu kalimat akan mempunyai nilai Negasi / Ingkaran suatu kalimat akan mempunyai nilai

kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Contoh : p = “Saya seorang dosen”aslinya. Contoh : p = “Saya seorang dosen”

¬¬p = p = “ Saya“ Saya bukanbukan seorang dosen” seorang dosen” p = “Semua/setiap mahasiswa Amikom p = “Semua/setiap mahasiswa Amikom memakai dasi” memakai dasi” ¬¬p = “p = “Ada/beberapa/terdapatAda/beberapa/terdapat mahasiswa mahasiswa Amikom memakai dasi”Amikom memakai dasi”■ KalimatKalimat p p qq akan bernilai benar jika baik akan bernilai benar jika baik pp maupun maupun q q

bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah maka bernilai benar. Jika salah satunya bernilai salah maka pp q q bernilai salah. bernilai salah. Contoh : 2 adalah bilangan prima Contoh : 2 adalah bilangan prima dandan bilangan genap. bilangan genap.

Kalimat Kalimat pp q q mempunyai 2 macam arti : mempunyai 2 macam arti : pp q q disebut Inclusive OR (akan bernilai benar jika disebut Inclusive OR (akan bernilai benar jika pp

benar, atau benar, atau q q benar, atau keduanya bernilai benar)benar, atau keduanya bernilai benar)

Contoh : “Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang Contoh : “Dalam perayaan itu, tamu boleh menyumbang uang uang atauatau barang." barang."

p p qq atauatau p p qq disebut Exclusive OR (akan bernilai disebut Exclusive OR (akan bernilai benar jika benar jika pp benar, atau benar, atau qq benar, tapi tidak dua-duanya benar, tapi tidak dua-duanya benar). benar). Contoh : “Catur seorang wanita Contoh : “Catur seorang wanita atauatau pria pria tetapi tetapi tidak keduanyatidak keduanya””

Kalimat implikasi Kalimat implikasi pp qq, , pp disebut hipotesis (anteseden) disebut hipotesis (anteseden) dan dan q q disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk disebut konklusi (konsekuen). Kalimat berbentuk p p qq disebut kalimat berkondisi, karena kebenaran kalimat disebut kalimat berkondisi, karena kebenaran kalimat q q tergantung pada kebenaran kalimat tergantung pada kebenaran kalimat pp..

Contoh : “Contoh : “JikaJika segitiga ABC sama sisi segitiga ABC sama sisi makamaka ketiga sudutnya ketiga sudutnya sama besar.”sama besar.”

Kalimat Kalimat p p q dapat dibaca:q dapat dibaca:

q apabila p “p syarat cukup utk q” “q syarat perlu utk p” “q mengikuti p” “q disebabkan p” “p menyebabkan q” “q kapanpun p” “q ketika p”

“jika p, maka q (bila p maka q)” “p hanya jika q”, karena jka tdk

q (q salah), maka p juga tdk terjadi (p salah)

“jika p, q” “kalau p, q” “setiap saat p, q” “q jika p”

Kalimat Biimplikasi atau kondisi ganda (biconditional) Kalimat Biimplikasi atau kondisi ganda (biconditional) p p ↔↔ qq berarti ( berarti (pp qq) ) ( (qq pp)) Supaya Supaya p p ↔↔ qq bernilai benar, maka baik bernilai benar, maka baik pp qq maupun maupun q q p p

keduanya harus bernilai benar karena dihubungkan dengan kata keduanya harus bernilai benar karena dihubungkan dengan kata penghubung ‘dan’.penghubung ‘dan’.

p p ↔↔ qq bernilai benar jika bernilai benar jika p p dan dan qq keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai benar atau keduanya bernilai salah.keduanya bernilai salah.

pp qq p p qq q q pp p p ↔↔ q atau (q atau (p p q) q) ( (q q p)p)

TT TT TT TT TT

TT FF FF TT FF

FF TT TT FF FF

FF FF TT TT TT

1. 1. MisalkanMisalkan : p : p = “dia tinggi” = “dia tinggi” qq = “dia tampan” = “dia tampan”

Nyatakan kalimat dibawah ini dgn simbol logika !Nyatakan kalimat dibawah ini dgn simbol logika !

a.a. Dia tinggi Dia tinggi dandan tampan. tampan.

b.b. Dia tinggi Dia tinggi tetapitetapi tidak tampan. tidak tampan.

c.c. Dia tinggi, Dia tinggi, atauatau dia rendah dia rendah dandan tampan. tampan.

d.d. Tidak Tidak benar bahwa dia rendah benar bahwa dia rendah atauatau tidaktidak tampan. tampan.

e.e. JikaJika dia rendah, dia rendah, makamaka dia tidak tampan. dia tidak tampan.

f.f. Dia tampan Dia tampan jika dan hanya jikajika dan hanya jika dia tinggi. dia tinggi.

Contoh :Contoh :

Contoh :Contoh :

2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan 2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan

berikut :berikut :

a. Paris ada di Perancis a. Paris ada di Perancis dandan 2 + 2 = 5. T 2 + 2 = 5. T F F F F

b. Kopenhagen ada di Denmark, b. Kopenhagen ada di Denmark, atauatau 1 + 5 = 9 1 + 5 = 9

dandan 3 + 3 = 6. T 3 + 3 = 6. T (F (F T) T) T T F F T T

c. c. JikaJika 2 + 4 = 6, 2 + 4 = 6, makamaka 3 + 1 = 5 3 + 1 = 5 dandan 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2

d. d. JikaJika 2 + 4 = 6, 2 + 4 = 6, makamaka 3 + 1 = 7 3 + 1 = 7 jika dan jika dan

hanya jikahanya jika 1 + 1 = 4. 1 + 1 = 4.

LatihanLatihan1. Misalkan : p = “Erik membaca Newsweek”1. Misalkan : p = “Erik membaca Newsweek” q = “Erik membaca The New Yorker”q = “Erik membaca The New Yorker” r = “Erik membaca Time”r = “Erik membaca Time” Tuliskan setiap pernyataan berikut dalam bentuk simbolik :Tuliskan setiap pernyataan berikut dalam bentuk simbolik : a. Erik membaca Newsweek a. Erik membaca Newsweek atauatau The New Yorker, The New Yorker, tetapitetapi bukanbukan Time. Time. b. Erik membaca Newsweek b. Erik membaca Newsweek dandan The New Yorker, The New Yorker, atauatau dia dia tidaktidak membaca Newsweek membaca Newsweek dandan Time. Time. c. c. TidakTidak benar bahwa Erik membaca Newsweek benar bahwa Erik membaca Newsweek tetapitetapi bukanbukan Time. Time. d. d. TidakTidak benar bahwa Erik membaca Time benar bahwa Erik membaca Time atauatau The New The New Yorker Yorker tetapitetapi tidak Newsweek. tidak Newsweek.

LatihanLatihan

2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan 2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan

berikut :berikut :

a. a. JikaJika 9 < 4, 9 < 4, makamaka – 4 < – 9. – 4 < – 9.

b. 1 + 1 = 2 b. 1 + 1 = 2 jika dan hanya jikajika dan hanya jika 2 + 2 = 6. 2 + 2 = 6.

c. Paris ada di Inggris, c. Paris ada di Inggris, dandan 3 + 2 = 5 3 + 2 = 5 dandan

1 + 3 = 4.1 + 3 = 4.

Latihan :Latihan :

3. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam 3. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika di bawah ini!bentuk simbol-simbol logika di bawah ini!

a. ¬a. ¬((¬¬ p p ¬¬ q) q) b. ¬b. ¬((¬¬ p p q) q) c. (c. (p p q) q) ¬¬(p(p q) q) d. (d. (¬¬ p p ( (¬¬ q q r)) r)) ( (q q r) r) (p (p r) r)