lts05 1

L O G I K A F U Z Z YL O G I K A K A B U R

L O G I K A S A M A R

lts05 2

PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari hari, kita menggunakan istilah istilah linguistik kualitatif (non-kuantitatif), samar-samar, kabur, non-eksak seperti

“dia akan datang kira-kira jam 2” “uangnya tinggal sedikit”“gulanya hampir habis”

si A

waktu kedatanganuang di saku

persediaan gula

“beli gula ¼ kg di toko A yglokasinya agak jauh tapiharga2nya lebih murah”

untuk penalaran atau pengambilan keputusan.

lts05 3

Penalaran atau pengambilan keputusan berdasarkan fakta fakta yang non-eksak atau samar ini merupakan keseharian manusia.

Dokterdiagnosis

keluhanpasien

Operatormesin

suhu

suara mesin

tombol1

tombol2

lts05 4

Sistem pengambilankeputusan

suhu

putaran motorpengatur suhu

pengatur putaran

x

y

z1 = x + 3 y

z2 = x y

membutuhkan fakta numerisx dan y yang eksak =penalaran (pengambilan keputusan) secara eksak

Bandingkan dengan ini !

x y z1 z210 50 160 50012 100 312 120015 60 195 900

lts05 5

Logika Fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh (1965) untuk formalisasi matematis proses penalaran atau pengambilan keputusan berdasarkan fakta fakta yang non-eksak atau kualitatif. Penalaran seperti itu disebut penalaran secara pendekatan (non-eksak), dengan unsur toleransi terhadap kekaburan, ketidak-tepatan (imprecision), ketidakpastian (uncertainty)

Dalam sistem konvensional (non-fuzzy), penalaran atau pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan ketepatan dan kepastian, menggunakan logika tajam (logika “benar” atau “salah”).

Logika Fuzzy

lts05 6

Penalaran tajam

semua laki laki kuat

budi seorang laki-laki

(jadi) budi itu kuat

Penalaran pendekatan

kebanyakan laki laki kuat

budi seorang laki laki

(jadi) budi itu kemungkinan kuat

lts05 7

• Diagnosa Medis

• Analisis Pasar Modal

• Peramalan Cuaca

• Analisis Ekonomi

• Diagnosis Mesin

• Pengenalan Pola

• Kendali pada peralatan rumah tangga

Aplikasi Logika fuzzyPemodelan sistem pengambilan keputusan, sistem penalaran, atau sistem komputasi untuk masalah masalah yang tidak-dapat /sulit didefinisikan secara eksak berdasarkan angka angka saja.Logika fuzzy memungkinkan digunakannya istilah istilah (kualitatif) dalam proses pengambilan keputusan

lts05 8

• Pada logika tajam, keanggotaan sebuah obyek dalam sebuah himpunan hanya bisa mempunyai dua kemungkinan :

(1) Anggota himpunan (derajat keanggotaan = 1) (2) Bukan anggota himpunan (derajat keanggotaan = 0)

HIMPUNAN TAJAM VS HIMPUNAN FUZZY

(a) Logika tajam (b) Logika Fuzzy

himpunanputih

himpunanhitam

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x x

putih : 0 < x < 4

hitam : 4 < x < 8x = 5 adalah anggota himpunan hitam, dengan derajat keang-gotaan =1 dalam himpunan hitam dan derajat keanggotaan = 0dalam himpunan putih.

x = 5 ???

lts05 9

Dalam logika fuzzy, derajat keanggotaan sebuah obyek dalam sebuah himpunan dapat bernilai “0” sampai dengan “1”.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

0,8

0,2

x

x = 5

fungsi keanggotaanhitam

fungsi keanggotaanputih

Dalam himpunan putih, x = 5 mempunyai derajat keanggotaan 0,2

Dalam himpunan hitam, x = 5 mempunyai derajat keanggotaan 0,8

lts05 10

Contoh : Himpunan “orang orang yang tinggi”

?

tinggi

tidak tinggi

lts05 11

C

D

E

B

A 10%

20%

40%

20%

10%

Nilaiangka huruf

70,069,8

Konversi nilai ujian,

angka huruf

Himpunan A,Himpunan B,Himpunan C,Himpunan D,Himpunan E,

adalah himpunan-himpunan tajam

lts05 12

• Sumbu x merepresentasikan universe of discourse X – range harga- harga x untuk himpunan fuzzy tertentu.

Contoh : X adalah suhu, x adalah oC, himpunan fuzzynya adalah “panas”• Sumbu y merepresentasikan derajat keanggotaan dalam

himpunan

HIMPUNAN FUZZY

fungsi keanggotaan himpunan tajam panas

Derajat keang-gotaan (x)

suhuoC

fungsi keanggotaanhimpunan fuzzy panas

panasdingin

fungsi keanggotaan himpunan fuzzy dingin

lts05 13

• Fungsi keanggotaan (x) memetakan setiap harga x ke derajat- keanggotaan yang nilainya 0 s/d 1, untuk himpunan fuzzy A .

Himpunan fuzzy A dinyatakan sebagai :(harga linguistik)

•

elemen himpunan(variabel linguistik)

derajat keanggotaanuniverse

X

• A = { (x1 , μA(x1)) , (x2 , μA(x2)) , . . . (xn , μA(xn)) }

untuk himpunan fuzzy A yang beranggotakan n elemen.

Contoh : {(35 , 1), (36 , 0.5), (37, 0)} atau {(1/35) , (0.5/36) , (0/37)}

atau

lts05 14

tinggiideal

1

(x) 1

Elemen-elemen (anggota) himpunan fuzzy

Berdasarkan tipenya : (a) Elemen elemen kontinu

0 36 37 38

Xnormal

Contoh : Himpunan suhu-tubuh-normal dalam semesta suhu-tubuh (X = suhu tubuh, dalam oC). Suhu-tubuh adalah variabel kontinu

0 140 170 190

X

Himpunan tinggi-badan-ideal, dalam semesta tinggi-badan (X), dengan elemen elemen x eX.Tinggi-badan adalah variabel kontinu

(x)

lts05 15

Contoh :Himpunan jumlah-anak ideal, dalam semesta jumlah-anak.Jumlah anak adalah variabel diskrit.

(b) Elemen elemen diskrit .(x)

0 1 2 3 4 5 6

X

1

Himpunan kota dengan tingkat polusi rendah, dalam semesta nama-kota.

Nama-kota adalah variabel diskrit

yk mgl tmg sltg amb smg

X

(x)

1

lts05 16

Notasi untuk himpunan fuzzy :

A = {( x, A(x)| x e X } Himpunan fuzzy A beranggotakan elemen elemen x dalam

universe X, dan derajat keanggotaan A(x).

Bila X adalah universe kontinyu, Bila X adalah universe diskrit,maka notasinya : maka notasinya :

A = X A(x)/x A = xi eX A(x)/xi

tanda integral dan penjumlahan hanya sebagai simbol (bukan operator)

A(x) 1

X

A

x=a

0,6

A(x)

1

X

A

x=a

0,6

0 0

lts05 17

lts05 18

Contoh :

Bila A adalah himpunan Jumlah-anak-ideal (universe diskrit), maka himpunannya dapat dituliskan sbb.

elemen-elemen x

A = 0 / 0 + 1 / 0,4 + 2 / 1 + 3 / 0,8 + 4 / 0,4 + 5 / 0,3 bukan operasi penjumlahan ! derajat keanggotaan

Bila A adalah suhu (universe kontinu), maka himpunannya dapat dituliskan sbb. A = 1 / (1 + ( | (x-c) / |2b ) ) / x bukan operasi pengintegralan !

fungsi keanggotaan (misal fungsi Bell)

lts05 19

36 37 38 39 40 41 42 430

1low normal raised

Temp °C

strong fever

• low = {(1 , 35) , (1 , 36) , (0 , 37)}• normal = {(0 , 36) , (1 , 36.8) , (0 , 37.3)}• raised = {(0 , 37) , (1 , 37.8) , (0.9 , 38) , (0 , 39.2)}• strong fever = {(0 , 37.5) , (0.5 , 39.5) , (0.9 , 41)}• Derajat keanggotaan 38 Co dalam himpunan raised temperature

adalah 0.9 dan dalam himpunan strong fever adalah 0.1, dan pada himpunan yang lain adalah 0.

0,1

0,9

Himpunan himpunan fuzzy :

lts05 20

Contoh :

input = 4 variabel fuzzy (4 universe)

output = 1 variabel fuzzy

(Gear Number)

lts05 21

Himpunan-himpunan fuzzy dalam universe Throttle

dengan fungsi keanggotaan segitiga dan trapesium

lts05 22

Himpunan-himpunan fuzzy dalam universe Vehicle-speed

dengan fungsi keanggotaan segitiga dan trapesium

lts05 23

Himpunan-himpunan fuzzy dalam universeEngine-speed

dengan fungsi keanggotaan trapesium

lts05 24

Himpunan-himpunan fuzzy dalam universeEngine-load

dengan fungsi keanggotaan segitiga dan trapesium

lts05 25

Himpunan-himpunan fuzzy dalam universe Shiftdengan fungsi keanggotaan singleton

lts05 26

Tipe tipe fungsi keanggotaan 1. Fungsi segitiga Fungsi ini merupakan fungsi keanggotaan yang paling sederhana. Didiskripsikan dengan tiga parameter, P = [ a, b, c ] , a : proyeksi titik sudut paling kiri ke sumbu mendatar, b : proyeksi titik puncak ke sumbu mendatar, c : proyeksi titik sudut paling kanan ke sumbu mendatar,

FUNGSI KEANGGOTAAN

lts05 27

2) Fungsi trapesoid

Dengan empat parameter P = [a, b, c, d], a, b, c dan d adalah proyeksi titik titik sudut trapesium pada sumbu mendatar

3) Fungsi Bell umum, P = [a, b, c]

Slope b/2a

P = [ 2, 4, 6 ]

P = [ 1, 5, 7, 8 ]

a b c d

c-a c c+a

lts05 28

4) Fungsi Gaussian Fungsi ini mempunyai dua parameter P = [c, ]

P = [2, 5]

Fungsi Gaussian dan Bell mempunyai kurve yang

halus, tetapi tidak dapat digunakan untuk fungsi keanggotaan yang asimetris.

5) Fungsi Sigmoid P = [a, b ]

P = [2, 5]

5

2

42

lts05 29

(x)

Fungsi segitiga :

Fungsi trapesoida :

Fungsi Gausian :

Fungsi Bell umum :

Fungsi sigmoid :

(x)

(x)

(x)

(x)

a

lts05 30

• Equality • A = B

A (x) = B (x) untuk seluruh x X

• Complement • A’

A’ (x) = 1 - A(x) untuk seluruh x X

• Containment A B A (x) B (x) untuk seluruh x X

• Union A B A B (x) = max(A (x), B (x)) untuk seluruh x X

• Intersection A B A B (x) = min(A (x), B (x)) untuk seluruh x X

Operasi2 Dasar Himpunan Fuzzy

lts05 31

A=0.5, B=0.8

A B

A B

A B

A’

A

0,5

¬A = (1-0.5) = 0.5

A V B = max(0.5, 0.8) = 0.8

A ^ B = min(0.5, 0.7) = 0.5

0,5

0,8

0,5

0,8

lts05 32

lts05 33

A B A and B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

A B A or B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A not A

0 1

1 0

1-Amax(A,B)min(A,B)

Operasi AND, OR dan NOT pada logika tajam biner

lts05 34

EKSTENSI SILINDRIS

(a) Himpunan fuzzy A (b) Ekstensi silindris himpunan A

Himpunan A terletak dalam universe X (gambar a).

Ekstensi silindris himpunan A sepanjang universe Y membentuk himpunan baru R dengan fungsi keanggotaan 2-dimensi (gambar b),

R(A) = IXxY A(x)/(x, y)

lts05 35

Fungsi keanggotaan 2-dimensi adalah fungsi keanggotaan sebuah himpunan yang terletak dalam dua universe X dan Y (disebut product space dua dimensi X x Y).Derajat keanggotaan elemen elemennya adalah R(x, y)

Contoh : Himpunan fuzzy “Keadaan-ideal”,dalam dua universe kontinu X : 0, . . . , 100oC (suhu)Y : 0, . . . ,100 rpm (kecepatan)

Kombinasi yang 100% ideal adalah, suhu = 60oC dan kecepatan = 75 rpmR(60, 75) = 1 Selain kombinasi ideal tersebut, nilai derajat keanggotaannya adalah 0 < R(suhu, kecepatan) < 1

lts05 36

PROYEKSI FUNGSI KEANGGOTAAN 2-DIMENSI

R(x, y) Proyeksi R(x, y) Proyeksi R(x, y) ke bidang x ke bidang y

R x y( , )

A

y R

xx y

( )max ( , )

B

x R

yx y

( )max ( , )

lts05 37

Fungsi keanggotaan 2-dimensi terbentuk dengan menggabungkan ekstensi-silindris dua himpunan fuzzy dari dua universe.Penggabungan dapat melalui operator AND (T-norm) atau OR (T-conorm).

Derajat keanggotaan untuk fungsi keanggotaan 2-dimensi tersebut adalah R(x,y) = min [ A(x), B(y) ] untuk operasi penggabungan AND R(x,y) = max [ A(x), B(y) ] untuk operasi penggabungan OR

Contoh :- Ekstensi silindris

1. dua fungsi trapesoid 2. dua fungsi Bell Penggabungan

T-co-norm : Gambar (a) dan (b)

T – norm : Gambar (c) dan (d)

(a) (c)

(b) (d)

lts05 38

- EKSTENSI Ekstensi adalah pemetaan sebuah himpunan fuzzy A dalam universe X ke universe Y, hasilnya adalah himpunan fuzzy baru B dalam universe Y.

f(x)

yi = f(xi) adalah fungsi pemetaan , untuk i = 1, … , n.

Untuk pemetaan many-to-one (beberapa harga x dipetakan ke satu nilai y), derajat keanggotaan himpunan B :

x a b c d e

y

p

q

r

Contoh : Ekstensi himpunan fuzzy A dalamuniverse diskrit. B(q) = max [ A(a), A(d), A(e) ] B(p) = A(b) B(r) = A(c)

pemetaan f

AB

lts05 39

Contoh untuk ekstensi himpunan fuzzy dengan universe kontinu : Bila A(x) = bell (x ; 1,5 , 2, 0,5)

dan fungsi pemetaan (x – 1)2 – 1, untuk x > 0 f(x) = x, untuk x < 0

maka

A(x)

-2 0 2x

x

y y

-2 0 2

3 2 1 0-1-2-3

3 2 1 0-1-2-3

1 0,8 0,6 0,4 0,2

0 0,5 1B(y)

y = f(x)

0,6

B(0)=max [1 , 0.6]

B(-1)=max [1 , 1]

lts05 40

Definisi umum Ekstensi : Bila f adalah fungsi pemetaan dari product-space n-dimensi X1 x X2 x . . . Xn ke universe Y, sehingga f(x1, x2, … ,xn) = y , maka akan terbentuk himpunan fuzzy baru B di universe Y yang beranggotakan y = f(x1, x2, ... ,xn) Bila xi adalah elemen himpunan fuzzy Ai dalam universe Xi , dengan

derajat keanggotaan Ai(xi), maka derajat keanggotaan elemen y dalam himpunan fuzzy B adalahB(y) = max [ min ( A1 (x1) , A2(x2) , . . . , An(xn) ) ]

X1

X2

X1 x X2

x1a

x2a

A1A2

A2( )x2a

A1( )x1a

X1xX2( , ) =

min [ , ]

x1a x2a

A1( )x1a A2( )x2a

Contoh : Untuk product space 2-dimensi

(a)

(a) Derajat keanggotaan elemen pada product space.

X1xX2(x1,x2)

lts05 41

x1a ,x2a

x1b ,x2b

x1c ,x2c

x1d ,x2d

X1 x X2Y

yp

yq

x1c ,x2c= f( )

x1d ,x2d= f( )

x1b ,x2b= f( )x1a ,x2a= f( )

y (yp) = X1xX2( )x1c ,x2c

y (yq) = max [ ,

,

]

X1xX2( )x1a ,x2a

X1xX2( )x1b ,x2b

X1xX2( )x1d ,x2d

(b)

pemetaan f(.)

(b) Pemetaan dari product space X1 x X2 ke universe Y

elemenelemendalamproductspace

X1 x X2

Derajat keanggotaanhimpunan Bhasil pemetan.

lts05 42

RELASI FUZZY- Relasi fuzzy R menyatakan hubungan antar himpunan himpunan .

Contoh : Bila X dan Y adalah dua himpunan, maka himpunan R dalam product space X x Y adalah relasi dari X ke Y.

- Bila X = Y, maka R disebut relasi biner pada X. - Bila himpunan himpunan tersebut berasal dari n-universe yang berbeda, maka R adalah himpunan fuzzy dalam product space n-dimensi, dengan fungsi keanggotaan n-dimensi.- Relasi R memetakan setiap elemen dalam product space ke harga derajat keanggotaan antara 0 dan 1. Untuk relasi dua himpunan fuzzy dalam universe X dan Y (n = 2),

R x y x y x y X YR {(( , ), ( , ))|( , ) }

lts05 43

0 0 0 25 0,5 0 0 12 1 0,6 0,4 1

20

10

3

y x

derajat keanggotaan R (1,20) = 1

Contoh (a) :Dua himpunan X: {1, 12, 25} dan Y: {3, 10, 20} Misalkan : di Universe Keuntungan Kerugian

Dengan relasi R: “x jauh lebih kecil dari y”,maka relasi R adalah himpunan dengan pasangan pasangan x, y

sebagai anggotanya, dengan derajat keanggotaan R(x,y) yang menunjukkan derajat kebenaran relasi tersebut.

Matriks relasi :

x < y x > y

lts05 44

(b) Bila A adalah himpunan fuzzy di universe X dan B adalah himpunan fuzzy di universe Y. Maka cartesian product antar kedua himpunan adalah relasi R:

RBA

Dengan derajat keanggotaan

5.01.02.01.0

RBAAxB(x1,y1) AxB(x1,y2)

AxB(x2,y2)AxB(x2,y1)=

2121

9.01.0,5.02.0yy

Bxx

A

lts05 45

Contoh (c) : R adalah relasi asosiatif antara warna dan kematangan buah (misalnya buah tomat),

X adalah himpunan dalam universe warna, Y adalah himpunan dalam universe kematangan.

X: { hijau kuning merah} Y: {mentah sedang matang}, maka R adalah himpunan “asosiasi yang benar”.

Matriks relasi asosiatifnya :

1 0,2 0merah 0,4 1 0,3kuning 0 0,5 1hijau

matangsedang

mentah y x

lts05 46

Contoh (d) :X dan Y adalah dua himpunan yang sama.Relasi R: “ x mirip y”

Matriks relasinya :

lts05 47

Dua himpunan X: {1, 12, 25, 5} dan Y: {3, 10, 20, 20}

Keuntungan Kerugian barang A barang B

Matriks relasi R: “Untung”,

3 10 20 20

1

12

25

5

lts05 48

KOMPOSISIKomposisi adalah operasi terhadap relasi relasi fuzzy

R1 o R2

simbol komposisi

Misal, R1 adalah relasi yang didefinisikan dalam product-space X x Ydan R2 adalah relasi yang didefinisikan dalam product-space Y x Z .

Hasil komposisi R1 o R2 , adalah sebuah himpunan fuzzy yang anggotanya

adalah pasangan-pasangan (x, z), dan derajat keanggotaannya dapat dihitung

berdasarkan :

operasimax

operasiminsimbol komposisi

Komposisi max-min

lts05 49

Max-Min Composition:

)),(),((),( zyyxzx SRYyT

Max-Product Composition:

)),(),((),( zyyxzx SRYyT

T – Komposisi relasi R dan relasi SS

lts05 50

Komposisi max-product

operasiperkalianoperasi

max

Catatan : Ada banyak cara perhitungan derajat keanggotaan hasil komposisi

R1 d e f ga 0,6 0,2 0,1 0b 0.1 0,7 0 0,9c 0 0,8 0,3 0,2

R2 p qd 0,3 0e 0,6 0,2f 0,7 0,4g 0.1 0,1

Contoh : Himpunan fuzzy X = { a, b, c } Himpunan fuzzy Y = { d, e, f, g } Himpunan fuzzy Z = { p, q }

relasi R1

relasi R2

lts05 51

R1 o R2 = { (a,p), (a,q), (b,p), (b,q), (c,p), (c,q) } ,

dengan derajat keanggotaan :

R1oR2 (a,q) = Vy ( R1(a,y) R2 (y,q) ) = . . .

V

R1oR2 (a,p) = Vy ( R1(a,y) R2 (y,p) ) = 0,3

V

( R1(a,d) R2 (d,p) ) = ( 0,6 0,3) = 0,3

V

( R1(a,e) R2 (e,p) ) = ( 0,2 0,6) = 0,2

V

( R1(a,f) R2 (f,p) ) = ( 0,1 0,7) = 0,1

V( R1(a,g) R2 (g,p) ) = ( 0 0,1 ) = 0

V

V

V

V

V

R1oR2 (b,p) = Vy ( R1(b,y) R2 (y,p) ) = . . .

V

R1oR2 (b,q) = Vy ( R1(b,y) R2 (y,q) ) = . . .

V

R1oR2 (c,p) = Vy ( R1(c,y) R2 (y,p) ) = . . .

V

R1oR2 (c,q) = Vy ( R1(c,y) R2 (y,q) ) = . . .

V

Komposisi Max-min

max

lts05 52

Contoh Komposisi Max-Min :

Bila x1 memiliki relasi dengan y3 dan y3 memiliki relasi dengan z2, maka x1 memiliki relasi dengan z2

)0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,1,0,1()0,0,0,0(

00

10

00

10

4321

21 zz

yyyy

S

AND

)),(),((),( zyyxzx SRYyT

AND

x1

x2

x3

00001000010

321

4321

1

yyyy

xxx

R

000010

T

21 zz

OR

lts05 53

Komposisi Max-Min :)),(),((),( zyyxzx SRYyT

)0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0(

)0,4.0,0,3.0()0,0,0,0(Bila x1 memiliki relasi dengan {y1, y2, y3, y4} dengan derajat keanggotaan {0.5, 0, 0.4, 0} dan y memiliki relasi dengan z2 dengan derajat keanggotaan {0.3, 0, 1, 0}, mk relasi antara x1 dan z2 adalah max (min(0.5, 0.3), min(0,0), min(0.4,1), min(0,0)) = max (0.3, 0, 0.4, 0)

=

0000

8.0000

04.00

3

2

1

4321

5.0

yyyy

x

x

x

R

0010003.00

4

3

2

1

21 zz

y

y

y

y

S

00004.00

T

21 zz

3

2

1

x

x

x

lts05 54

00100010

4321 21 zz

yyyy

S

Max-Min Composition:

)),(),((),( zyyxzx SRYyT

)0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,1()0,0,0,0(

000010

T

Bila x1 terkait dengan y3 dan y3 terkait dengan z2 maka x1 terkait dengan z2

0000

1000

010

3

2

14321

1yyyy

x

x

x

R

lts05 55

0010003.00

4321 21 zz

yyyy

S

Max-Min Composition:

)),(),((),( zyyxzx SRYyT

)0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0()0,0,0,0(

)0,4.0,0,3.0()0,0,0,0(

00003.00

T

Bila x1 terkait dengan {y1, y2, y3, y4} dengan derajat {0.5, 0, 0.4, 0} dan masing masing y tersebut terkait dengan z2 dengan derajat {0.3, 0, 1, 0} maka x1 terkait dengan z2 dengan derajat keanggotaan =

max (min(0.5, 0.3), min(0,0),

min(0.4,1), min(0,0))

= (0.3, 0, 0.4, 0)

0000

8.0000

04.00

3

2

14321

5.0yyyy

x

x

x

R

lts05 56

VARIABEL LINGUISTIK Variabel linguistik vs variabel numeris

Variabel numeris Harga numeris x = 60 tahun

Variabel linguistik Harga linguistik (= istilah)

x adalah tua

Harga harga linguistik membentuk sebuah himpunan istilah (term)

T(umur) : { . . . ,muda , agak-tua , tua , tua sekali . . . }

umur

. . . muda agak-tua tua tua-sekali

...(umur)

lts05 57

OPERASI OPERASI TERHADAP HARGA (istilah) LINGUISTIKOperasi operasi ini akan mengubah harga linguistik dasar untukmendapatkan harga (istilah) linguistik baru. Disini akan terjadi perubahan bentuk fungsi keanggotaan dasar.

Contoh : harga linguistik dasar : muda harga linguistik baru : sangat-muda , agak-muda, tidak-muda, kurang-lebih-muda

Jenis operasi perubah (modifier atau hedge) :- Operasi Konsentrasi CON(A) : Ak = X [A(x)] k / x , k = integer

- Operasi Dilasi DIL(A) :

- Operasi NOT

Ak = X [A(x)] k / x , k = pecahan positif

lts05 58

Contoh : Bila muda = bell(x: 20, 2, 0) = X {1/(1 + (x/20)4 } / x

dan tua = bell(x: 30, 3, 100) = X 1/{1 + ((x – 100)/30)6 } / x,

maka

- lebih kurang muda = DIL(muda) = muda 0,5 = X 1/(1 + (x/20)2 / x

0

1Panas

Sangat Panas

modifier(μA(x))2

Contoh

optimal

agak optimal((A(x))1/2

lts05 59

FUZZY INFERENCE SYSTEM (sistem pengambil kesimpulam fuzzy)

Fuzzifikasi

Himp.2

Himp.N

Aturan 1

Aturan K

Aturan 2

Himp.1

Defuzzifikasi

fuzzy tajamtajam

fuzzy

agregasi

lts05 60

DEFUZZIFIKASI mengubah harga fuzzy ke harga tajam

1. Metode Centroid

Untuk fungsi keanggotaan kontinu :

pengintegralan

Untuk fungsi kenggotaan diskrit :

penjumlahan

yout

y

lts05 61

2. Metode Maxima Decomposition y tajam adalah y yang derajat keanggotaannya maksimum

yout

3. Center of Maxima Dicari dua dataran tertinggi, titik tengah diantara garis yang menghubungkan dua pusat dataran tersebut ada- lah nilai yout yang dicari

yout

lts05 62

lts05 63

ATURAN FUZZY If – Then (atau implikasi fuzzy)

if x is A then y is B simbol A B

premis konklusi(antecedent) (consequence)

- Sebuah aturan if-then didefinisikan sebagai relasi fuzzy R dalam sebuah product space .

R: if x is A then y is B

-Sebuah aturan fuzzy if then menunjukkan relasi antara himpunan himpunan fuzzy pada bagian antecedent dan bagian consequence.- Relasi tersebut merupakan himpunan dengan fungsi keanggotaan AB (x,y) = min [ A(x), B(y) ]

Contoh : - “if pressure is high then volume is small” Relasi pressure dan volume dalam product space Pressure x Volume - “if a tomato is red then it is ripe“ Relasi asosiatif antara warna-tomat dengan kematangan dalam product space Warna x Kematangan

lts05 64

PENALARAN FUZZY (FUZZY REASONING)Penalaran fuzzy (dikenal sebagai penalaran pendekatan) adalah prosedur pengambilan kesimpulan berdasarkan 1 set aturan fuzzy dan fakta yang diketahui.

Disini kita menyimpulkan kebenaran consequence berdasarkan kebenaran antecedent aturan fuzzy : if x is A then y is B fakta : x is A kesimpulan : y is B

Penalaran pendekatan : aturan fuzzy : if x is A then y is B fakta : x is A* (A* adalah himpunan yang dekat dengan A) kesimpulan : y is B* (B* adalah himpunan yang dekat dengan B)

Misalkan A dan A* adalah himpunan fuzzy dalam universe X, dan B adalah himpunan fuzzy dalam universe Y. Bila implikasi fuzzy (aturan fuzzy) AB diekspresikan sebagai relasi fuzzy R pada product space X x Y, maka himpunan fuzzy B* yang diinduksikan oleh fakta “x is A* ” dan aturan fuzzy “if x is A then y is B” adalah B* = A*o R = A*o (AB),dengan derajat keanggotaan B*(y) = maxx min [A*(x), R(x,y)]

lts05 65

1. Aturan tunggal dengan antecedence tunggal

aturan : if x is A then y is B fakta : x is A* kesimpulan : y is B*

B* adalah himpunan dengan fungsi keanggotaan B*(y) = A(x) v A* (x) v B(y) = w v B(y) w (firing strength) menunjukkan derajat kecocokan (kompatibilitas) antecedent terhadap faktanya. Makin mirip A* dengan A maka derajat kecocokannya lebih besar.

min

x

A A*

y

B

B*

w

AND

A*

B*

V VV

lts05 66

2. Aturan tunggal dengan multiple antecedents

aturan : if x is A and y is B then z is C fakta : x is A* dan y is B* kesimpulan : z is C*

Aturan ini membentuk relasi fuzzy dalam product space 3-dimensi , R(A, B, C) = ( A x B ) x C

Berdasarkan fungsi implikasi Mamdani, Rm(A, B, C) = XxYxZ A(x) v B(y) v C(z) / (x, y, z) ,

Hasil kesimpulannya diekspresikan sebagai C* = (A* x B*) o ( A x B C ) , (misal dengan komposisi max-min) sehingga,

C*(z) = Vx,y {A*(x) v B*(y)} v {A(x) v B(y) v C(z) ]

= {Vx [A*(x) v A(x)] } v { Vy [B*(y) v B(y)] } v C(z) ]

w1 w2 = (w1 v w2) v C(z)

firing strength

V V

V V V V

V V V V

V V

lts05 67

x

w1

w2

y

z

A A* B B* C C*

min

Aturan banyak dengan antecedent banyak.

aturan 1 : if x is A1 and y is B1 then z is C1 aturan 2 : if x is A2 and y is B2 then z is C2 fakta : x is A* dan y is B* kesimpulan : z is C*

Bila Ri adalah relasi pada aturan ke i, R1 = A1 x B1 C1 dan R2 = A2 x B2 C2 ,maka C* = (A* x B*) o (R1 U R2) = [ (A* x B*) o R1 ] U [ (A* x B*) o R2 ]

= C1* U C2* C1* adalah kesimpulan dari aturan 1 C2* adalah kesimpulan dari aturan 2 komposisi aturan 1 dan aturan 2

lts05 68

w1

w2

y

z

A1 A1* B1 B1* C1 C1*

w3

w4

y

z

A2 A2* B2 B2* C2 C2*

x

x

min

max

z

C*

lts05 69

A1 B1

A2 B2

min

X

X

Y

Y

w1

w2

A’

A’ B’

B’ C1

C2

Z

Z

C’

ZX Y

A’ B’

x is A’ y is B’ z is C’

lts05 70

Fungsi implikasi model Sugeno

z1 = p1 x + q1 y + r1 … konsekuensi aturan 1 z2 = p2 x + q2 y + r2 … konsekuensi aturan 2

z = (w1 z1 + w2 z2) / (w1 + w2)

Fungsi implikasi model Tsukamotow1

w2

z1

z2

z = (w1 z1 + w2 z2) / (w1 + w2)

min

lts05 71

if project-duration is long and project funding is inadequate then the risk is high

if service is excellent or food is delicious then tip is high

Perhatikan relasi antecedentnya “and” atau “or” !!!

Aturan dengan multiple consequences :

if temperature is hot then hot water is reduced ; cold water is increased

lts05 72

Model model Penyimpulan Berikut ini contoh lima mekanisme inference yang sering digunakan pada sistem sistem fuzzy berbasis aturan.Sebagai contoh, untuk sistem dengan dua aturan

1. MAMDANIImplikasi fuzzy (relasi antecedent dalam sebuah aturan) dimodelkan sebagai operator min, sedangkan untuk relasi aturan aturannya digunakan operator max.

R1 :

R2 :

Fakta :

Konsekuensi :

lts05 73

Kompatibilitas aturan ke-i (firing level) dinyatakan sebagai

Output masing masing aturan adalah,

Output total dihitung dengan meng OR kan output masing masing aturan,

lts05 74

Akhirnya, untuk memperoleh harga output tajam kita lakukan defusifikasi,

Fuzzy Inference dengan model Mamdani :

lts05 75

2. TSUKAMOTOSemua istilah linguistiknya (himpunan fuzzy) diasumsikan mempunyai fungsi keanggotaan yang monoton.

Kompatibilitas aturan ke-i (firing level) dinyatakan sebagai

Output :

Pada mode ini, output tajam dari masing masing aturan, yaitu z1 dan z2, dihitung dari persamaan : ,

sedangkan output tajam totalnya, z0 , dihitung dengan metode centre of gravity. adalah,

lts05 76

Untuk sistem dengan n buah aturan, i adalah kompatibilitas aturan i, zi adalah output tajam aturan i.

Contoh :

lts05 77

Dari gambar diatas,

dengan demikian maka kompatibilitas aturan 1 adalah

dan dari

kompatibilitas aturan 2 adalah

Dari persamaandiperoleh harga z1 = 8 dan z2 = 4 .

Output totalnya adalah,

lts05 78

3. SUGENO dan TAKAGI

Kompatibilitas aturan dihitung sebagai berikut

Output masing masing aturan adalah

dan output tajamnya

lts05 79

Model Sugeno

Untuk n buah aturan,

lts05 80

Contoh mekanisme Sugeno :

R1 :

R2 :

Fakta :Konsekuensi

lts05 81

sesuai dengan gambar diatas,

Dengan demikian maka kompatibilitas aturan 1 adalah,

Dari

maka kompatibilitas aturan 2 adalah

lts05 82

Output dari masing masing aturan adalah,

Dengan demikian maka output total tajamnya,

lts05 83

4. LARSEN

Larsen juga menggunakan operator min untuk relasi antar antecedent, sedangkan implikasinya menggunakan operator product (perkalian aritmatik) dan operator max untuk relasi antar aturan.

Kompatibilitas aturan :

Fungsi keanggotaan dari konsekuensinya adalah

Untuk mendapatkan nilai output tajamnya dilakukan defusifikasi.Untuk sistem dengan n buah aturan,

lts05 84

lts05 85

5. Simplified Fuzzy Reasoning

Kompatibilitas aturan :

Dengan c1 dan c2 sebagai output aturan 1 dan aturan 2 ,

maka output tajamnya dihitung sbb.

Untuk n buah aturan,

lts05 86

lts05 87

Soal :

Mendekati sebuah persimpangan jalan mengendarai mobil,

bagaimana anda mengendalikan rem berdasarkan jarak antara mobil

anda dengan persimpangan dan kecepatan mobil saat itu.

Aturan aturan kendali :

1. Bila jarak (ti) adalah jauh dan kecepatan rendah maka injak rem

dengan tekanan halus.2. Bila jarak (ti) adalah dekat dan kecepatan rendah maka injak rem dengan tekanan sedang.3. Bila jarak (ti) adalah jauh dan kecepatan tinggi maka injak rem dengan tekanan sedang.4. Bila jarak (ti) adalah dekat dan kecepatan tinggi maka injak rem dengan tekanan kuat.

lts05 88

Fuzzifikasi variabel input and output

Tentukan dulu fungsi keanggotaan input dan output :

Jarak ke persimpangan Kecepatan

JD T R

Tekanan pada rem

H S K

Jarak D : Dekat J : Jauh

Kecepatan R : Rendah T : Tinggi

Tekanan rem H : Halus S : Sedang K : Keras

lts05 89

Misalkan : Jarak = 0,3 dan kecepatan = 0,7

Berapakah besarnya tekanan pada rem ?

Pendekatan Fuzzifikasikan variable variabel antecedent (input) Gunakan salah satu model inferensi (misal Mamdani min-max) Tentukan hasil fungsi keanggotaan konsekuensi (output) Defuzzifkasikan fungsi keanggotaan konsekuensi untuk

memperoleh harga tajam (crisp).

lts05 90

Fuzzy InferencingIf jarak is jauh dan kecepatan is rendah tekan rem halus

If jarak is jauh dan kecepatan is tinggi tekan rem sedang

TRD J H S K

TRD J H S K

lts05 91

TRD J H S K

TRD J H S K

If jarak is dekat dan kecepatan is rendah tekan rem sedang

If jarak is dekat dan kecepatan is tinggi tekan rem kuat

lts05 92

Defuzzifikasi

Dengan metode :• Maximum value atau Center of gravity atau Center of area

Misal, dengan metode Center of gravity dihasilkan

tekanan rem sebesar 0.68

KSH