MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada...
-
Upload
phungnguyet -
Category
Documents
-
view
281 -
download
5
Transcript of MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada...
![Page 1: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA TEKNIK 2
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
1
![Page 2: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/2.jpg)
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan real ℝ tidak dapat menyelesaikan
persamaan x2 +1=0. Untuk menyelesaikan persamaan
tersebut dibutuhkan bilangan jenis baru. Bilangan jenis
baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan
kompleks.
2
![Page 3: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/3.jpg)
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
3
![Page 4: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/4.jpg)
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah
dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4
![Page 5: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/5.jpg)
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
![Page 6: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/6.jpg)
Sifat-sifat bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk bidang
(field) kompleks. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada
bidang bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2 = z2+z1 dan z1•z2 = z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat asosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)
5. Ada 0=0+i0 ∈ℂ , sehingga z+0 = z (0 elemen netral
penjumlahan)
6
![Page 7: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/7.jpg)
6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian)
7. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada –z = –x–iy
sehingga z+(–z) = 0
8. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada z-1 = 1/z, sehinggaz•z-1 = 1.
Tugas:
Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definisi yang telah diberikan.
7
![Page 8: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
Buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
Tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan
8
2
1
z
z
![Page 9: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/9.jpg)
Kompleks Sekawan (Konjugat)
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai
= (x,–y) = x – iy.
Contoh:
Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
9
z
z
![Page 10: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3.
4.
10
22 )zIm()zRe(zz
)zIm(2zz
)zRe(2zz
zz
![Page 11: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/11.jpg)
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.
11
2121 zzzz
2121 zzzz
2121 zzzz
2
1
2
1
z
zzz
![Page 12: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/12.jpg)
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat
digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius
sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x
diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama
bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal
(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga
bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai
vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan
bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
12
![Page 13: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Re
Im
)y,x(z
O
ArganBidangz
![Page 14: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Im
Re
2z
1z
O
21 zz
![Page 15: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Re
Im
2z
2z
1z
21 zz
O
![Page 16: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/16.jpg)
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand):
z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
16
212121 zz,zz,z,z
![Page 17: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/17.jpg)
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
17
22 yx
221
221 )yy()xx(
![Page 18: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/18.jpg)
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
![Page 19: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
19
)zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
![Page 20: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/20.jpg)
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
20
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
zz
zzzz
![Page 21: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/21.jpg)
1. Bukti:
21
2121 zzzz
)iyx()iyx(zz 221121
)yxyx(i)yyxx( 12212121
212121
22
22
212121
22
21
22
21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx
21221
22121 )yxyx()yyxx(
)yx()yx( 22
22
21
21
)yx()yx( 22
22
21
21
21 zz
2121 zzzz
![Page 22: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/22.jpg)
2. Bukti:
22
22
22
22
11
2
1
iyxiyx
iyxiyx
zz
22
22
211222
22
2121
yx
yxyxi
yx
yyxx
2
22
22
2112
2
22
22
2121
yx
yxyx
yx
yyxx
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)yx(
yyxx2yxyxyyxx2yyxx
)yx()yx(
)yx()yx(22
22
22
22
22
22
21
21
.terbuktiz
z
yx
yx
2
1
22
22
21
21
![Page 23: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/23.jpg)
3. Bukti:
23
2121 zzzz 2
1221 )yxyx(0
212121
22
22
21 yyxx2yxyx0
21
22
22
212121 yxyxyyxx2
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 yxyxyyxxyyxx2yyxx
)yx)(yx()yyxx( 22
22
21
21
22121
)yx)(yx(2)yyxx(2 22
22
21
212121
2221
21
2221
21 yyy2yxxx2x
22
22
22
22
21
21
21
21 yx)yx)(yx(2yx
22222
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
22
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
terbukti
zzzz 2121
![Page 24: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/24.jpg)
4. Bukti:
24
2121 zzzz
2121
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
![Page 25: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/25.jpg)
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
25
Im
Re
),r()y,x(z
rz
O
![Page 26: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/26.jpg)
Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cos , y = r sin,
sehingga = arc tan
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).
26
xy
zyxr 22
)y,x( ),r(
![Page 27: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/27.jpg)
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut
argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - <
disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan
untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i
sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.
27
![Page 28: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/28.jpg)
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =
r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et
dengan mengganti t = i.
28
![Page 29: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰=
Jadi z = (cos + i sin ) = cos =
29
2 41
41 2 2
i4e
2 41
41
![Page 30: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/30.jpg)
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
30
![Page 31: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/31.jpg)
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
31
![Page 32: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/32.jpg)
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1
z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
32
![Page 33: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/33.jpg)
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1-2 = arg z1 – arg z2.
33
)sini(cosr)sini(cosr
zz
222
111
2
1
2
1
2
1
rr
zz
2
1
zz
![Page 34: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/34.jpg)
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
34
nsinincosr
1
z
1
)sin(i)cos(r1
z1
nn
)nsin(i)ncos(r
1
z
1nn
![Page 35: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/35.jpg)
Dari 1 dan 2 diperoleh:
Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
35
)nsin(i)ncos(rz nn
![Page 36: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
36
3
1tan
213zr
,i3z
6
6
oo66
oo
2
)01(2
180sini180cos2i3
30sini30cos2i3
o30
6i3
![Page 37: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/37.jpg)
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
37
n
1
wz
n1
rnk2
![Page 38: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/38.jpg)
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
sebagai akar ke-n dari z.
38
n
1
rnk2
nk2
nk2
![Page 39: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
39
4k2
4k2
4k2
![Page 40: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/40.jpg)
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
40
zz
1z2z 2z
![Page 41: MATEMATIKA TEKNIK 2 - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/1-BILANGAN_KOMPLEKS.pdf · Ada 1=1+i0 ∈ℂ, sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian) 7. ... digambarkan secara](https://reader031.fdokumen.com/reader031/viewer/2022012306/5a7577197f8b9ad22a8ca43f/html5/thumbnails/41.jpg)
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
41