MATEMATIKA TEKNIK 2
3 SKS
TEKNIK ELEKTRO
1
BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Sistem bilangan real ℝ tidak dapat menyelesaikan
persamaan x2 +1=0. Untuk menyelesaikan persamaan
tersebut dibutuhkan bilangan jenis baru. Bilangan jenis
baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan
kompleks.
2
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
3
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks
z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika
x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah
dan hasil kali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)
4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.
5
Sifat-sifat bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi
penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk bidang
(field) kompleks. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada
bidang bilangan kompleks z1, z2 dan z3 adalah sebagai
berikut:
1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2 = z2+z1 dan z1•z2 = z2•z1 (sifat komutatif)
3. (z1+z2)+z3 = z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)
(sifat asosiatif)
4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distributif)
5. Ada 0=0+i0 ∈ℂ , sehingga z+0 = z (0 elemen netral
penjumlahan)
6
6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1 = z (1 elemen netral perkalian)
7. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada –z = –x–iy
sehingga z+(–z) = 0
8. Untuk setiap z = x+iyℂ, ada z-1 = 1/z, sehinggaz•z-1 = 1.
Tugas:
Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definisi yang telah diberikan.
7
Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
Buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
Tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan
8
2
1
z
z
Kompleks Sekawan (Konjugat)
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan
kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai
= (x,–y) = x – iy.
Contoh:
Sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan
dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:
9
z
z
Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3.
4.
10
22 )zIm()zRe(zz
)zIm(2zz
)zRe(2zz
zz
b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.
11
2121 zzzz
2121 zzzz
2121 zzzz
2
1
2
1
z
zzz
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y),
merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat
digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius
sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x
diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi
sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama
bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal
(0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga
bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai
vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan
bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
12
13
Re
Im
)y,x(z
O
ArganBidangz
14
Im
Re
2z
1z
O
21 zz
15
Re
Im
2z
2z
1z
21 zz
O
Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand):
z1, z2, z1+ z2, z1- z2,
16
212121 zz,zz,z,z
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus
dari z, ditulis z = x+iy =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak
dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua
bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah
17
22 yx
221
221 )yy()xx(
Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.
18
Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
19
)zIm()zIm(z
)zRe()zRe(z
zzz
zz
)zIm()zRe(z
2
222
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy,
kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !
20
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
zz
zzzz
1. Bukti:
21
2121 zzzz
)iyx()iyx(zz 221121
)yxyx(i)yyxx( 12212121
212121
22
22
212121
22
21
22
21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx
21221
22121 )yxyx()yyxx(
)yx()yx( 22
22
21
21
)yx()yx( 22
22
21
21
21 zz
2121 zzzz
2. Bukti:
22
22
22
22
11
2
1
iyxiyx
iyxiyx
zz
22
22
211222
22
2121
yx
yxyxi
yx
yyxx
2
22
22
2112
2
22
22
2121
yx
yxyx
yx
yyxx
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)yx(
yyxx2yxyxyyxx2yyxx
)yx()yx(
)yx()yx(22
22
22
22
22
22
21
21
.terbuktiz
z
yx
yx
2
1
22
22
21
21
3. Bukti:
23
2121 zzzz 2
1221 )yxyx(0
212121
22
22
21 yyxx2yxyx0
21
22
22
212121 yxyxyyxx2
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 yxyxyyxxyyxx2yyxx
)yx)(yx()yyxx( 22
22
21
21
22121
)yx)(yx(2)yyxx(2 22
22
21
212121
2221
21
2221
21 yyy2yxxx2x
22
22
22
22
21
21
21
21 yx)yx)(yx(2yx
22222
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
22
22
21
21
221
221 yxyx)yy()xx(
terbukti
zzzz 2121
4. Bukti:
24
2121 zzzz
2121
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y),
bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam
bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).
25
Im
Re
),r()y,x(z
rz
O
Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cos , y = r sin,
sehingga = arc tan
adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).
26
xy
zyxr 22
)y,x( ),r(
Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut
argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - <
disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan
untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i
sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.
27
Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) =
r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan
sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan
menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et
dengan mengganti t = i.
28
Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentukpolar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰=
Jadi z = (cos + i sin ) = cos =
29
2 41
41 2 2
i4e
2 41
41
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam
bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2),
maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai
berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]
30
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?
31
Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1
z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.
32
Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1-2 = arg z1 – arg z2.
33
)sini(cosr)sini(cosr
zz
222
111
2
1
2
1
2
1
rr
zz
2
1
zz
Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2
34
nsinincosr
1
z
1
)sin(i)cos(r1
z1
nn
)nsin(i)ncos(r
1
z
1nn
Dari 1 dan 2 diperoleh:
Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.
35
)nsin(i)ncos(rz nn
Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi
36
3
1tan
213zr
,i3z
6
6
oo66
oo
2
)01(2
180sini180cos2i3
30sini30cos2i3
o30
6i3
Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari
bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan
kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh:
n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan
n= +2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .
37
n
1
wz
n1
rnk2
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang
memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn
sebagai akar ke-n dari z.
38
n
1
rnk2
nk2
nk2
Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.
39
4k2
4k2
4k2
Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.
40
zz
1z2z 2z
7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0
41
Top Related