PERTEMUAN - 6

Transformasi Linier

Definisi Fungsi

Jika A dan B adalah dua buah himpunan (keduanya tak kosong) maka suatu fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah sebuah pengaitan yang mengaitkan setiap 𝑎 ∈ 𝐴 dengan satu 𝑏 ∈ 𝐵

𝐴 ∶258

𝑓 = 𝑥2 B ∶4

2564

Domain

(daerah asal) Kodomain

(daerah hasil)

𝒇 (x) adalah fungsi dari A ke B

Transformasi Vektor

Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 → 𝑊 adalah suatu fungsi. Maka dapat dikatakan juga bahwa fungsi tersebut adalah transformasi dari V ke W (atau 𝑓: 𝑉 → 𝑊 sebagai operator pada V ).

Contoh : Diberikan fungsi 𝑓: 𝑅2 → 𝑅3 , yang dijabarkan sebagai berikut :

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2

Jadi 𝑓 adalah transformasi dari 𝑅2𝑘𝑒 𝑅3 𝑓

𝑥𝑦 =

𝑥 + 𝑦𝑥 − 𝑦

𝑥2

𝑓 1, 1 = (2, 0, 1)

𝑓 0, 2 = (2, −2, 0)

Transformasi Vektor

Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 → 𝑊 adalah sebuah transformasi dari V ke W. Fungsi 𝑓 dikatakan sebagai transformasi linier apabila memenuhi dua sifat berikut : (1) . Sifat Kehomogenan untuk setiap 𝛼 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku

𝒇 𝜶𝒗 = 𝜶𝒇(𝒗) (2). Sifat aditif untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku

𝒇 𝒖 + 𝒗 = 𝒇 𝒖 + 𝒇(𝒗)

Ketika V = W , maka fungsi f dikatan sebagai operator linier V

Transformasi Vektor Contoh :

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah merupakan transformasi linier ?

𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇 2𝑥, 𝑦 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑣 = (𝑥, 𝑦)

Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

= 𝑇 𝛼𝑥, 𝛼𝑦

Syarat (2) : 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2

= (2𝛼𝑥, 𝛼𝑦)

= α 2𝑥, 𝑦 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

= 𝑇 (𝑥1, 𝑦1 + (𝑥2𝑦2))

= 𝑇 (𝑥1 + 𝑥2 , (𝑦1 + 𝑦2))

= 𝑇 2(𝑥1 + 𝑥2 , (𝑦1 + 𝑦2))

= 𝑇 2𝑥1, 𝑦1 + 𝑇 2𝑥2, 𝑦2 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

Transformasi Vektor Contoh :

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah merupakan transformasi linier ?

𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑇(𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 0)

Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

= 𝑇 𝛼𝑥, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧

Syarat (2) : 𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑢 + 𝑇 𝑣

= (𝛼𝑥 − 𝛼𝑦 + 𝛼𝑧, 0)

= α 𝑥 − 𝑦 + 𝑧, 0 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

= 𝑇( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 )

= 𝑇 (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , (𝑧1 + 𝑍2))

= 𝑇( 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2 , 0)

= 𝑇 𝑥1 − 𝑦1 + 𝑧1, 0 + 𝑇 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2, 0 → 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖

Soal 6.1

Diketahui 𝑇: 𝑉 → 𝑊, dimana 𝑇: 𝑅3 → 𝑅3 dengan T(x,y,z) = (2x+y, 2y-3x, x-z). (a) Hitung T (-4,5,1) , (b) Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi linier.

(1)

(2)

Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 dengan T(x,y) = (2x+y, x-3y, 3x+1) merupakan transformasi linier atau bukan ? Gunakan syarat transforasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

PERTEMUAN - 6

Terima Kasih

Soal 6.2

Diketahui 𝐴 =4 03 5

dan v adalah vektor (x,y) dan

𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 dengan T(v) = A.v , Tunjukkan apakah merupakan transformasi linier atau bukan !

(1)

(2)

Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 dengan T(x,y) = (2xy, x-y, 2x+1) merupakan transformasi linier atau bukan ? Gunakan syarat transformasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)