Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

10

Click here to load reader

Transcript of Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Page 1: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value
Page 2: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

PERTEMUAN - 6

Transformasi Linier

Page 3: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Definisi Fungsi

Jika A dan B adalah dua buah himpunan (keduanya tak kosong) maka suatu fungsi 𝑓: 𝐴 β†’ 𝐡 adalah sebuah pengaitan yang mengaitkan setiap π‘Ž ∈ 𝐴 dengan satu 𝑏 ∈ 𝐡

𝐴 ∢258

𝑓 = π‘₯2 B ∢4

2564

Domain

(daerah asal) Kodomain

(daerah hasil)

𝒇 (x) adalah fungsi dari A ke B

Page 4: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Transformasi Vektor

Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 β†’ π‘Š adalah suatu fungsi. Maka dapat dikatakan juga bahwa fungsi tersebut adalah transformasi dari V ke W (atau 𝑓: 𝑉 β†’ π‘Š sebagai operator pada V ).

Contoh : Diberikan fungsi 𝑓: 𝑅2 β†’ 𝑅3 , yang dijabarkan sebagai berikut :

𝑓 π‘₯, 𝑦 = π‘₯ + 𝑦, π‘₯ βˆ’ 𝑦, π‘₯2 π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘˜ π‘₯, 𝑦 ∈ 𝑅2

Jadi 𝑓 adalah transformasi dari 𝑅2π‘˜π‘’ 𝑅3 𝑓

π‘₯𝑦 =

π‘₯ + 𝑦π‘₯ βˆ’ 𝑦

π‘₯2

𝑓 1, 1 = (2, 0, 1)

𝑓 0, 2 = (2, βˆ’2, 0)

Page 5: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Transformasi Vektor

Misalkan V dan W adalah dua buah ruang vektor dan 𝑓: 𝑉 β†’ π‘Š adalah sebuah transformasi dari V ke W. Fungsi 𝑓 dikatakan sebagai transformasi linier apabila memenuhi dua sifat berikut : (1) . Sifat Kehomogenan untuk setiap 𝛼 ∈ 𝑅 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku

𝒇 πœΆπ’— = πœΆπ’‡(𝒗) (2). Sifat aditif untuk setiap 𝑒, 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku

𝒇 𝒖 + 𝒗 = 𝒇 𝒖 + 𝒇(𝒗)

Ketika V = W , maka fungsi f dikatan sebagai operator linier V

Page 6: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Transformasi Vektor Contoh :

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah merupakan transformasi linier ?

𝑇: 𝑅2 β†’ 𝑅2 π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› 𝑇 π‘₯, 𝑦 = 𝑇 2π‘₯, 𝑦 , π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž 𝑣 = (π‘₯, 𝑦)

Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

= 𝑇 𝛼π‘₯, 𝛼𝑦

Syarat (2) : 𝑇 𝑒 + 𝑣 = 𝑇 𝑒 + 𝑇 𝑣 , π‘‘π‘–π‘šπ‘Žπ‘›π‘Ž 𝑒 = π‘₯1, 𝑦1 π‘‘π‘Žπ‘› 𝑣 = π‘₯2, 𝑦2

= (2𝛼π‘₯, 𝛼𝑦)

= Ξ± 2π‘₯, 𝑦 β†’ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘π‘’π‘˜π‘‘π‘–

= 𝑇 (π‘₯1, 𝑦1 + (π‘₯2𝑦2))

= 𝑇 (π‘₯1 + π‘₯2 , (𝑦1 + 𝑦2))

= 𝑇 2(π‘₯1 + π‘₯2 , (𝑦1 + 𝑦2))

= 𝑇 2π‘₯1, 𝑦1 + 𝑇 2π‘₯2, 𝑦2 β†’ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘π‘’π‘˜π‘‘π‘–

Page 7: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Transformasi Vektor Contoh :

Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut adalah merupakan transformasi linier ?

𝑇: 𝑅3 β†’ 𝑅2 π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› 𝑇 π‘₯, 𝑦, 𝑧 = 𝑇(π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 𝑧, 0)

Jawab: Syarat (1) : 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

= 𝑇 𝛼π‘₯, 𝛼𝑦, 𝛼𝑧

Syarat (2) : 𝑇 𝑒 + 𝑣 = 𝑇 𝑒 + 𝑇 𝑣

= (𝛼π‘₯ βˆ’ 𝛼𝑦 + 𝛼𝑧, 0)

= Ξ± π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 𝑧, 0 β†’ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘π‘’π‘˜π‘‘π‘–

= 𝑇( π‘₯1, 𝑦1, 𝑧1 + π‘₯2, 𝑦2, 𝑧2 )

= 𝑇 (π‘₯1 + π‘₯2 , 𝑦1 + 𝑦2 , (𝑧1 + 𝑍2))

= 𝑇( π‘₯1 + π‘₯2 βˆ’ 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑧1 + 𝑧2 , 0)

= 𝑇 π‘₯1 βˆ’ 𝑦1 + 𝑧1, 0 + 𝑇 π‘₯2 βˆ’ 𝑦2 + 𝑧2, 0 β†’ π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘π‘’π‘˜π‘‘π‘–

Page 8: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Soal 6.1

Diketahui 𝑇: 𝑉 β†’ π‘Š, dimana 𝑇: 𝑅3 β†’ 𝑅3 dengan T(x,y,z) = (2x+y, 2y-3x, x-z). (a) Hitung T (-4,5,1) , (b) Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi linier.

(1)

(2)

Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2 β†’ 𝑅3 dengan T(x,y) = (2x+y, x-3y, 3x+1) merupakan transformasi linier atau bukan ? Gunakan syarat transforasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)

Page 9: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

PERTEMUAN - 6

Terima Kasih

Page 10: Matematika teknik 06-transformasi linier-eigen value

Soal 6.2

Diketahui 𝐴 =4 03 5

dan v adalah vektor (x,y) dan

𝑇: 𝑅2 β†’ 𝑅2 dengan T(v) = A.v , Tunjukkan apakah merupakan transformasi linier atau bukan !

(1)

(2)

Tunjukkan apakah 𝑇: 𝑅2 β†’ 𝑅3 dengan T(x,y) = (2xy, x-y, 2x+1) merupakan transformasi linier atau bukan ? Gunakan syarat transformasi linier 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇(𝑣)