Matematika KomputasiRELASI

Gembong Edhi Setyawan

DEFINISI

• Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalahpemasangan anggota-anggota himpunan Adengan anggota-anggota himpunan B

• Relasi Biner : Hubungan antara 2 buah objek

NOTASI• Relasi biner R antara himpunan A dan B

merupakan himpunan bagian dari cartesianproduct A × B– Notasi: R (A B).

• a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinyaa dihubungankan dengan b oleh R

• a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinyaa tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.

• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R,dan himpunan B disebut daerah hasil(range/codomain) dari R.

Cara Menyatakan Relasi

• Diagram panah• Himpunan pasangan berurutan• Diagram Cartesius• Tabel• Matriks• Graph Berarah

Contoh

• Via : aku senang permen dan coklat• Andre : aku senang coklat dan es krim• Ita : aku senang es krim

Contoh

• Himpunan A : himpunan nama orangA={Via, Andre, Ita}

• Himpunan B : himpunan nama makananB={es krim, coklat, permen}

• Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah“Makanan Kesukaan”

Diagram Panah

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}

via

Andre

Ita

permen

coklat

es krim

permen

coklatEs krim

A BR

Himpunan Pasangan Berurutan

R={(Via,permen) , (Via,coklat) ,(Andre,coklat) , (Andre,eskrim) , (Ita,es krim)}

Diagram Cartesius

via andre ita

p e rm e n

co k la t

e s k r im

Tabel

Nama Makanan

Via Permen

Via Coklat

Andre Coklat

Andre Es Krim

Ita Es Krim

Matriks

– Baris = domain– Kolom = kodomain

permen coklat Es krim

Via 1 1 0

Andre 0 1 1

Ita 0 0 1

100

110

011

Graph Berarah• hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu

himpunan (bukan antara dua himpuanan).• Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah

titik (disebut juga simpul atau vertex)• Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur

(arc).• Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke

simpul b.• Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)• simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)• Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul

a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop

Contoh Graph Berarah

• Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d),(c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi padahimpunan {a, b, c, d}.R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

a b

c d

Sifat-Sifat Relasi Biner

• REFLEKSIF (REFLEXIVE)• TRANSITIF (TRANSITIVE)• SIMETRIK (SYMMETRIC)• ASIMETRIK (ASYMMETRIC)• ANTI SIMETRIK• EQUIVALENT• POSET

REFLEKSIF

• Relasi R pada himpunan A disebut refleksifjika (a, a) R untuk setiap a A.

• Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jikaada a A sedemikian sehingga (a, a) R.

Contoh Refleksif

• Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawahini didefinisikan pada himpunan A, maka– Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2),

(4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapatelemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1),(2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

– Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) }tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R.

Ciri Sifat Refleksif• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks

yang elemen diagonal utamanya semua bernilai1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksifdicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

1

1

1

1

Transitif (Menghantar)

• Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika(a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R,untuk a, b, c A

Contoh TransitifMisalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan

oleh : a R b jika dan hanya jika a membagi b, di mana a, b ∈A,

Jawab:Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A,

maka:

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.Dengan demikian R bersifat transitif.

Ciri Sifat Transitif

• Sifat transitif pada graf berarah ditunjukkanoleh: Jika ada busur dari a ke b dan busur darib ke c, maka juga terdapat busur berarah daria ke c.

• Pada saat menyajikan suatu relasi transitifdalam bentuk matriks, relasi transitif tidakmempunyai ciri khusus pada matriksrepresentasinya.

Simetrik• Relasi R pada himpunan A disebut simetri jika (a,

b) R, maka (b, a) R untuk a, b A.Contoh:A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini

didefinisikan pada himpunan A, maka

Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4,4) } bersifat simetri karena jika (a, b) R maka(b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitujuga (2, 4) dan (4, 2) R.

Asimetrik

• Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika(a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R.

Contoh:

Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } Asimetrikarena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R.

Anti Simetrik

• Relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga(a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b untuk a,b A disebut tolak-setangkup.

Contoh:

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } Anti Simetri karena 1= 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga simetri

EQUIVALEN

• Sebuah relasi R dikatakan equivalen jikamemenuhi syarat:– Refleksif– Simetrik– Transitif

PARTIALLY ORDER SET(POSET)

• Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian(POSET) jika memenuhi syarat:– Refleksif– Antisimetri– Transitif

Relasi Invers

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A kehimpunan B. Invers dari relasi R,dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari Bke A yang didefinisikan oleh

R–1 = {(b, a) | (a, b) R }

Kombinasi / Operasi Relasi

• Operasi himpunan seperti irisan, gabungan,selisih, dan penjumlahan (beda setangkup)juga berlaku pada relasi

• Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasidari himpunan A ke himpunan B, maka R1 ∩R2, R1∪ R2, R1 – R2, dan R1⊕ R2 jugaadalah relasi dari A ke B.

Contoh Kombinasi Relasi

• Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}Maka :– R1 ∩ R2 = {(a, a)}– R1∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}– R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}– R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}– R1⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

OPERASI DALAM BENTUK MATRIKS

• Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 padahimpunan A dinyatakan oleh matriks

Maka:

KOMPOSISI RELASI

• Misalkan– R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B– T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

• Komposisi R dan T, dinotasikan dengan T ο R,adalah relasi dari A ke C yang didefinisikanoleh :

T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ Bsehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ T }

KOMPOSISI RELASI

• Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t,u}

• Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

• Relasi dari B ke C didefisikan oleh :T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

• Maka komposisi relasi R dan T adalahT o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

KOMPOSISI RELASI

• T o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}