Materi

Matematika I

Program Studi Teknik Mesin

Fakultas Teknik

Universitas Sriwijaya

Kampus Palembang

Palembang, 11 November 20132013MATRIKS dan DETERMINAN

Matriks:adalah susunan berurutan dari angka-angka atau elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom.

Contoh:

A =

B =

C =

Catatan:1. Gunakan huruf besar untuk menyatakan suatu matriks.

2. Gunakan square bracket (tanda kurung persegi) untuk membatasi angka-angka atau elemen-elemen dari suatu matriks.

Matriks A disebut matriks 2 x 2 (terdiri dari 2 baris dan 2 kolom).

Matriks B disebut matriks 2 x 3 (terdiri dari 2 baris dan 3 kolom).

Matriks C disebut matriks 3 x 2 (terdiri dari 3 baris dan 2 kolom).

Secara umum, matriks A (m x n) dapat ditulis sebagai:

A =

Dimana: elemen a12 berada pada baris 1 dan kolom 2. Secara umum elemen pada baris i & kolom j ditulis sebagai: aij.

Suatu matriks dimana m = n (jumlah baris sama dengan jumlah kolom) disebut matriks kuadrat (square matrix). Pada matriks kuadrat, elemen-elemen a11, a22, ..., amn membentuk diagonal utama (leading/principal diagonal). Penjumlahan nilai dari elemen-elemen pada diagonal utama tersebut disebut Jejak (Trace) matriks.

Setiap kolom pada suatu matriks disebut vektor kolom dan setiap baris pada suaru matriks disebut vektor baris.Contoh Soal:

1. Diketahui: A = B = C = D =

a). Berapa ukuran dari masing-masing matriks.b). Tuliskan nilai dari a12, b22, c23, dan d24.

c). Matriks mana yang kuadrat atau bujur sangkar dan dapatkan juga jejak dari matriks tersebut.

Solusi:

a). Matriks A adalah matriks 2 x 2, matriks B adalah matriks 2 x 3, matriks C adalah matriks 3 x 3, dan matriks D adalah matriks 2 x 5.

b). a12 = -1 ; b22 = 4 ; c23, = 1 ; d24 = 3

c). Matriks bujur sangkar adalah matriks A dan C.

Jejak A = 1 + 3 = 4

; Jejak C = 1 + 2 + 4 = 7

Matriks Kosong/Nol adalah matriks yang semua anggotanya bernilai nol.

Matriks Diagonal (D) adalah suatu matriks bujur sangkar dimana semua elemen yang berada tidak pada diagonal utama sama dengan nol.D = D = matriks diagonal, biasanya ditandai dengan huruf D.

Matriks Identitas/Satuan adalah matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama bernilai 1.

I = I = matriks identitas/satuan (identity/unit matrix), ditandai dgn I.

Suatu matriks dimana aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah (lower triangle matrix) dan aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas (upper triangle matrix).

A = A = matriks segitiga bawahB = B = matriks segitiga atas

Contoh Soal:

2. Klasifikasikan matriks-matriks berikut:A = B = C = L =

E = F = G = H =

J = K = Solusi:

L adalah satu-satunya matriks yang bukan matriks bujur sangkar.

B dan L adalah matriks-matriks nol.

C, H, J dan K adalah matriks-matriks diagonal.

C dan H adalah matriks-matriks identitas/satuan.

F adalah matriks segitiga bawah.

G adalah matriks segitiga atasCatatan:1. Matriks Identitas adalah juga merupakan Matriks Diagonal.

2. Suatu matriks diagonal sudah pasti matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.

3. Suatu matriks identitas biasanya ditandai dengan huruf I dan jika kita ingin menekankan/menunjukkan ukurannya maka dapat ditulis misalnya I2 untuk menunjukkan matriks identitas 2 x 2 dan I3 untuk menunjukkan matriks identitas 3 x 3, dst.

Matriks Simetris adalah suatu matriks bujur sangkar dimana elemen aij = aji atau AT = A.Catatan:

Transpos suatu matriks adalah mengubah suatu matriks (A) menjadi suatu matriks baru (AT) dimana baris-baris pada matriks A menjadi kolom-kolom pada matriks AT (dan tentunya kolom-kolom pada matriks A menjadi baris-baris pada matriks AT).

Contoh:

A = AT =

Catatan: (AT)T = A

Matriks Simetris: A = AT =

dimana: a12 = a21 = 4

a13 = a31 = 6

a23 = a32 = 2

Matriks Simetris Tidak Lurus (skew-symmetric matrix) adalah suatu matrik dimana tanda dari suatu elemen adalah kebalikan dari tanda elemen transposnya atau dapat dituliskan: AT = - AContoh:

1. H = HT = 2. B = BT =

Catatan: B dan H adalah matriks-matriks simetris tidak lurus.

PERKALIAN MATRIKS

1. Perkalian Skalar

Dalam perkalian suatu bilangan tunggal (skalar) dengan suatu matriks, maka masing-masing elemen matriks harus dikalikan dengan bilangan tunggal tersebut.

Contoh:

1. 5 x =

Atau dapat dituliskan: k x =

Dalam hal ini, kita juga dapat mengeluarkan suatu faktor persekutuan (skalar) dari setiap elemen pada suatu matriks.

Contoh: A = dapat ditulis sebagai: A = 5 x

2. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan satu sama lain apabila jumlah kolom matrik pengali sama dengan jumlah baris pada matriks yang dikalikan.

Atau dapat dituliskan: A (a x b) x B (b x c) = C (a x c)

Contoh: x = =

Secara Umum dapat dituliskan:

Misal: A = dan B =

Maka: A.B =

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

Syarat untuk penjumlahan dan pengurangan Matriks adalah harus berorde sama (mempunyai baris dan kolom yang sama). Penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posisi yang sama.

Misal: A = dan B =

A + B = A B =

Contoh Soal:

1. Diketahui: A = dan B =

Hitunglah: a). A + B

b). A B

c). 2A + 3B

Solusi:

a). A + B = =

b). A B = =

c). 2A + 3B = 2 x + 3 x = + =

diagonal utama

_1338690849.unknown

_1338698708.unknown

_1338702109.unknown

_1338758173.unknown

_1338758775.unknown

_1338758819.unknown

_1338758985.unknown

_1338759398.unknown

_1338759453.unknown

_1338759331.unknown

_1338758964.unknown

_1338758565.unknown

_1338758599.unknown

_1338704286.unknown

_1338757887.unknown

_1338758121.unknown

_1338705191.unknown

_1338704530.unknown

_1338704706.unknown

_1338703815.unknown

_1338703896.unknown

_1338703711.unknown

_1338699079.unknown

_1338701795.unknown

_1338701968.unknown

_1338699159.unknown

_1338701759.unknown

_1338698861.unknown

_1338694891.unknown

_1338695115.unknown

_1338695143.unknown

_1338694940.unknown

_1338690957.unknown

_1338691014.unknown

_1338690897.unknown

_1338688033.unknown

_1338690534.unknown

_1338690780.unknown

_1338690837.unknown

_1338690615.unknown

_1338690036.unknown

_1338690439.unknown

_1338689582.unknown

_1338684775.unknown

_1338686102.unknown

_1338687016.unknown

_1338685870.unknown

_1338685706.unknown

_1338685729.unknown

_1338684185.unknown

_1338684234.unknown

_1338684084.unknown