MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

Nuryanto.ST.,MT

Fungsi Non Linear

Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematikauntuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yangmenghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Olehsebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier danmemahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalamiteoriteori ekonomi.Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukanlebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonliniermerupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karenalebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yangmenggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnyapersamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semuaaplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yangdibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran

Nuryanto.ST.,MT

Dengan mempelajari fungsi non linear ini, secara umum diharapkan dapat memahami berbagaimacam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya dan dapat menggambarkan grafiknya. Disamping itu, Anda diharapkan mampu untuk menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untukmembuat gambar grafiknya,membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips,

parabola dan hiperbola, menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta

batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya

Nuryanto.ST.,MT

Fungsi Non Linear

Polinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah ungkapan yang mengandungsuku-suku kxrys, di mana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s)pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakandengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0. Persamaan inidisebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurvaaljabar. Suatu contoh kurva aljabar adalah garis lurus.

Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu dengan memperhatikankaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi tersebut, sehingga titik-titik yang digunakanjumlahnya tidak terlalu banyak Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dankegunaannya adalah sebagai berikut:

Nuryanto.ST.,MT

Grafik Kurva Non-Linear

Titik potong suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik potongdengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 ke dalam persamaan dan kemudianmencari nilai x nya. Titik potong dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalampersamaan dan kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi, titik-titikpotong ini harus dicari.

Nuryanto.ST.,MT

Titik Potong

Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama.

Contoh

Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,y)terhadap sumbu y.

Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di tengah-tengah garis yangmenghubungkan ke dua titik tersebut.

Nuryanto.ST.,MT

Simetris

Contoh:

Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.

Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik origin. Kurva simetristerhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang jugaterletak pada kurva.

Nuryanto.ST.,MT

Simetris

Contoh:

Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (-x,y) yang juga terletak pada kurva.

Nuryanto.ST.,MT

Simetris

Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap:

a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0

b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0

c.Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0

Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentusimetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya, kurva yang simetris terhadap origin belum tentusimetris terhadap sumbu x dan y.

Contoh :

Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi dengan kurva yangsimetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap salah satu sumbu.

Nuryanto.ST.,MT

Simetris

f(x,-y) = -x2y - y + x3 f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadif(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x.

f(-x,y) = x2y + y - x3 f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadif(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y.

f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0 f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadif(x,y) = 0 simetris terhadap origin.

Nuryanto.ST.,MT

Simetris

Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilanganriil. Jadi untuk titik (x,y)di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilanganriil tetapi x bilangan imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkanvariabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya melibatkan akar danbilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil. Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikianrupa sehingga semua titik mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatupersamaan, sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas.

Contoh

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas?

x2 = 25 - y2

x = ± 25 − 푦2

Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila:

25 - y2 < 0

- y2 < - 25 atau y > ±5

dan batas untuk y adalah -5 < y < 5

Nuryanto.ST.,MT

Batas Nilai

Batas untuk x:

y2 = 25 - x2

y = ± 25 − 푥2

Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila:

25 - x2 < 0

- x2 < 25 atau x > ±5

dan batas untuk x adalah -5 < x < 5

Nuryanto.ST.,MT

Batas Nilai

Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yangsemakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin atau dapat puladikatakan bahwa garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakindekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) - mx + b jika xdan y - ∞.Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis asimtot yang sejajarsumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar dengan sumbu x disebut asimtothorisontal dan yang sejajar sumbu y disebut asimtot vertikal dan didefinisikan:

Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk x → ∞.Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Untukkepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah gerakan suatu kurvaapakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa batas (x → +∞ ; y → +∞) atau xdan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x → -∞; y → -∞). Di samping itu harusdiperhatikan juga nilai variabel yang tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya.Hal ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot darikiri atau dari kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau daribawah (untuk asimtot horisontal).

Nuryanto.ST.,MT

Asismtot Kurva

Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0 mempunyai asimtot horisontal atau vertikal?Langkah pertama adalah mengeluarkan x:

x=

Nuryanto.ST.,MT

Asismtot Kurva

Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4 dan x > 4. Jika y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan.Langkah kedua adalah mengeluarkan y:

y=

Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3 dan y < 3. Jadi y= 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari atas dan bawah.

Nuryanto.ST.,MT

Asismtot Kurva

Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara duafaktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan demikian maka grafik f(x,y)= 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yangmemenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) = 0 terletak pada f(x,y) = 0.Contoh:

Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 02x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0 (Faktorisasi)x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0(2x - y) (x + 2y) = 0Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garislurus yaitu: 2x - y = 0 dan x + 2y = 0.

Nuryanto.ST.,MT

Faktorisasi

Tentukan Titik Potong, Kesimetrisan, Batas Nilai, dan Asimtot Grafik dari persamaanpersamaan berikut :1) y = (x + 2)(x - 3)2

2) y3 + xy2 - xy - x2 = 03) y2 - 4xy - 1 = 04) xy - y - x - 2 = 05) x2y - x2 - 4y = 0

Nuryanto.ST.,MT

Soal Latihan

Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola ataubentuk yang lain. Bentuk umum persamaan kuadratik:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A,B dan C tidak bernilaisama dengan nol. Kurva yang menggambarkan persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengirisdua buah kerucut dengan suatu bidang datar.

Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran.

Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips.

Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola.

Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.

Nuryanto.ST.,MT

Fungsi Kuadratik

Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang dataryang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titikpada lingkaran ke pusat dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0

Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar lingkaran tersebut adalah sebagai berikut:

Nuryanto.ST.,MT

Lingkaran

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan:

x2 - 4x + y2 = 0

Bentuk umum lingkaran:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4x2 - 4x + 4 + y2 = 4

(x - 2)2 + (y - 0)2 = 22

Titik pusat (2,0), jari-jari = 2.

Nuryanto.ST.,MT

Lingkaran

Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yangjumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagisecara simetris oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbupanjang dan yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut

pusat elips.

Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A, C, A dan Cberlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam bentuk standar:

Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x. Akan tetapibila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbupendeknya 2b. Sumbu panjang disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jaripendek.

Nuryanto.ST.,MT

Elips

Contoh :

Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan:

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang = 9 = 3

Jari-jari pendek = 4 = 2

Nuryanto.ST.,MT

Elips

Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidangdatar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokusdan garisnya disebut "directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebutsumbu.

Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex“ parabola. Persamaanumum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar sumbu y adalah:

Ax2 + Dx + Ey + F = 0,

Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

Bentuk persamaan standar dari parabola adalah:

(x - h)2 = 4p (y - k)

di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y; atau

(y - k)2 = 4p (x - h)

di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu, sedang p adalahparameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola.

Nuryanto.ST.,MT

Parabola

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y:

Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah.

Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas.

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x:

Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri.

Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan.

Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p semakin besar, makaparabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian parabola dapat Anda perhatikan pada gambarberikut.

Nuryanto.ST.,MT

Parabola

Contoh

Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2 - 4x + 4y + 16 = 0

dan tentukan vertexnya. Bentuk standar parabola:

(x - h)2 = 4p(y - k)

x2 - 4x + 4y + 16 = 0

x2 - 4x + 4 = -4y - 16 + 4

(x - 2)2 = -4 (y + 3)

Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan

sumbu y dan parabola terbuka ke bawah.

Nuryanto.ST.,MT

Parabola

Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang dataryang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbuyang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu"transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang saling berpotongan. Titikpotongnya disebut pusat hiperbola.

Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A dan Cberlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk standar untuk hiperbola.

di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Asimtotditunjukkan oleh persamaan:

Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.

Nuryanto.ST.,MT

Hiperbola

Contoh

Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.

Bentuk umum persamaan hiperbola:

9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0

9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16

9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36

Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3.

Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x.

Nuryanto.ST.,MT

Hiperbola

Persamaan asimtot:

Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0

Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0

Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi: (x - h) (y - k) = c

Nuryanto.ST.,MT

Hiperbola

Tentukan bentuk dari persamaan kuadratik berikut, dan gambarkan grafiknya:1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 02) xy -4y = 43) x2 +9y2 -8x +7 = 04) y2 - 4x2 -4y +4 = 05) y2 -2y -8x +25 = 0

Nuryanto.ST.,MT

Soal Latihan

Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena padaumumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier.Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnyaakan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yangdipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya.Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebihmendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semuaaplikasinya dimuat dalam materi ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untukfungsi permintaan dan penawaran

Setelah mendapatkan mata kuliah ini mahasiswa diharapkan mampu:

a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier;

b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier;

c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik;

d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan;

e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference;

f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan menggunakan konsep garis anggaran.

Penggunaan Fungsi Non-Linear

Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear seperti berikut:

Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkanjumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garislengkung

Fungsi Permintaan & Penawaran

Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaanumumnya dapat ditulis sebagai berikut

(Q - h)2 = 4p (P - k)

Bentuk Kurva Parabola

Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadrankedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h ≤ 0 dan k > 0.

Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q(sumbu horisontal) jadi h > 0 dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadranpertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yangdipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q< Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva yang menurun.

Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah

(P - k)2 = 4p(Q - h)Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q.Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P.Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0 dan k > 0.

Bentuk Kurva Parabola

Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan:P = 11-Q- 푄2

Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4 atauQ2 + 4Q + 4 = 4P + 48(Q + 2)2 = -4(P - 12)maka:P = -1, h = -2, k = 12Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11.Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan

Q1 = -2 + 4√3Q2 = -2 - 4√3

Contoh

Tentukan harga keseimbangan dan grafik fungsi penawaran dan permintaan dari persamaan – persamaan berikut :1) Permintaan: 2Q + P = 10

Penawaran: P2 – 4Q = 42) Permintaan: 2Q2 + P = 9

Penawaran: Q2 + 5Q – P = -13) Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2

Penawaran: Q = 10P + 5P24) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97

Penawaran: P – Q = 6

Soal Latihan

Thank You ............Nuryanto.ST.,MT