Matematika Diskrit

Pendahuluan

Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean

pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.

KONSEP POKOK ALJABAR BOOLEAN

Variabel – variabel yang dipakai dalam persamaan aljabar boolean memiliki karakteristik

Variabel tersebut hanya dapat mengambil satu harga dari dua harga yang mungkin diambil. Kedua harga ini dapat dipresentasikan dengan simbol “ 0 ” dan “ 1 ”.

Penambahan Logis

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

Perkalian Logis

0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1

Komplementasi atau Negasi 0 = 1 1 = 0

HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN

a. Hukum Komutatif- A + B = B + A- A . B = B . A b. Hukum Asosiatif- (A + B) + C = A + (B + C)- (A . B) . C = A . (B . C) c. Hukum Distributif- A . (B + C) = A . B + A . C- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )

d. Hukum Identitas- A + A = A- A . A = A e. Hukum Negasi- (A) = A- A = A f. Hukum Redundan- A + A . B = A- A . (A + B) = A

g. Indentitas- 0 + A = A- 1 . A = A- 1 + A = 1- 0 . A = 0- A + A . B = A + B i. Teorema De Morgan- (A + B) = A . B- (A . B) = A + B

Summary

0 + X = X 1 + X = 1 X + X = X X + X = 1 0 . X = 0 1 . X = X X . X = X X . X = 0 X = X X + Y = Y + X

X . Y = Y . X X + (Y + Z) = (X + Y) +

Z X . (Y . Z) = (X . Y) Z X . (Y + Z) = XY + XZ X + XZ = X X (X + Y) = X (X + Y) ( X + Z) = X +

YZ X + XY = X + Y XY + YZ + YZ = XY + Z

Contoh

Sederhanakan ungkapan serta tabel kebenarannya

di bawah ini : (X+Y) (X + Z) Hasil := X + XZ + XY + YZ= X + XY + XZ + YZ= X (1+Y) + Z (X + Y)= X+Z (X+Y)= X + XZ + YZ= X (1+Z) + YZ= X + YZ

PENGANTAR GERBANG LOGIKA Arsitektur sistem komputer tersusun

atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika yaitu AND, OR, NOT, NOR, XOR, NAND.

Program komputer berjalan diatas dasar struktur penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program yaitu if-then, if – then –else dan lainnya.

Gerbang NOT

Gerbang AND

Gerbang OR

Gerbang NAND

Gerbang NOR

Gerbang XOR

Gerbang XNOR

Peta Karnough

Digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean

Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan

Penyederhanaan untuk setiap “1” yang bertetanggaan 2,4,8,16… menjadi suku minterm yang sederhana

22

Contoh : Contoh :

Peta Karnaugh 2 Peubah

Peta Karnaugh 3 Peubah Peletakan posisi suku minterm Peletakan posisi suku minterm

ABC

00 01 11 10

BC A

00 01 11 10

  0

m0 m2 m6 m4

0

m0 m1 m3 m2

  1

m1 m3 m7 m5

1

m4 m5 m7 m6

Peta Karnaugh 3 Peubah

Contoh : Contoh : f = f = m (0,1,2,4,6) m (0,1,2,4,6)