Matematika Diskrit

Matematika Diskrit

3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI

Kuliah 5

Dr.-Ing. Erwin Sitompulhttp://zitompul.wordpress.com

5/2Erwin Sitompul Matematika Diskrit

Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku:a) A (A B) = A Bb) A (A B) = A B

Pekerjaan Rumah (PR 4)


Solusi: a) A (A B) = (A A) (A B) Hk. Distributif

= U (A B) Hk. Komplemen = A B Hk. Identitas

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4)

b) A (A B) = (A A) (A B) Hk. Distributif = (A B) Hk. Komplemen

= A B Hk. Identitas


Matriks

Matriks adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk baris dan kolom.

Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m dan jumlah kolom n, (m,n).

Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran nn. Contoh matriks, yang berukuran 34, adalah:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

2 5 0 6

8 7 5 4

3 1 1 8

A


Matriks

Matriks simetri adalah matriks dengan aij = aji untuk setiap i dan j.

Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

2 6 6 4

6 3 7 3

6 7 0 2

4 3 2 8

A

0 1 1 0

0 1 1 1

0 0 0 0

1 0 0 1

A


Relasi

Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian (improper subset) dari A B.

Notasi: R (A B) a R b adalah notasi untuk (a,b) R, yang artinya relasi R

menghubungkan a dengan b. a R b adalah notasi untuk (a,b) R, yang artinya relasi R

tidak menghubungkan a dengan b. Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R.

Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.


Contoh:Misalkan A = { Amir, Budi, Cora } B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) }

AB = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3), (Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3), (Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu: R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3),

(Cora,SP) }Dapat dilihat bahwa: R (A B) A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R (Amir,DM) R atau Amir R DM (Amir,DSA) R atau Amir R DSA

Relasi


Contoh:Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan:(p,q) R jika p habis membagi q,

maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.

Relasi


Contoh:Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang didefinisikan oleh (x,y) R jika x adalah faktor prima dari y,

maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }.

Relasi

Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A A. Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A

A.


Representasi Relasi

1. Representasi dengan Diagram Panah


Representasi Relasi

2. Representasi dengan Tabel


Representasi Relasi

3. Representasi dengan Matriks Misalkan R adalah relasi dari A = { a1,a2, …,am } dan

B = { b1,b2, …,bn }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

dimana:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

n

n

m m m mn

a m m m

a m m mM

a m m m

1 2 nb b b

1, ( , )

0, ( , )i j

iji j

a b Rm

a b R


1 0 1 0

1 0 0 1

0 0 1 0A BM

1 1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 1 1 0 0P QM

Representasi Relasi

1 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

A AM

a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cora, dan b1 = DM, b2 = DSA, b3 = SP, dan b4 = E3

p1 = 2, p2 = 3, p3 = 4, dan q1 = 2, q2 = 4, q3 = 8, q4 = 9, q5 = 15

a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 9


4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah

Representasi Relasi

Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph).

Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul (vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc).

Jika (a,b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).

Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang (loop).


Contoh:Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) } adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d },

maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Representasi Relasi


Relasi-relasi pada satu himpunan disebut juga relasi biner.

Relasi biner memiliki sifat-sifat:1.Refleksif (reflexive)2.Menghantar (transitive)3.Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric)

Relasi Biner


Relasi Biner

1. Refleksif (Reflexive) Relasi R pada himpunan A disebut refleksif

jika (a,a) R untuk setiap a A.

Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a,a) R.

Contoh:Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) Relasi R = { (1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) } bersifat refleksif karena terdapat anggota relasi yang berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu

(1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).(b) Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) }

tidak refleksif karena (3,3) R.


Contoh:Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak?

Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri (a,a) R untuk setiap a A

relasi bersifat refleksif

Relasi Biner

Contoh:Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N:

S : x + y = 4, T : 3x + y = 10Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak?

S tidak refleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S, ada (a,a) S untuk a N, seperti (1,1), (3,3).

T tidak refleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a) T yang memenuhi relasi tersebut.


Relasi Biner Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang

elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n.

Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.

1

1

1

1


Relasi Biner

2. Menghantar (Transitive) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar

jika (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R untuk semua a, b, c A.


Contoh:Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) }

bersifat menghantar.

(b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) R, tetapi (2,2) R, juga (4,2) dan (2,3) R, tetapi (4,3) R.

(c) R = { (1,2), (3,4) } bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk aturan { (a,b) R dan (b,c) R } (a,c) R.

Relasi Biner

Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = { (4,5) } selalu menghantar.


Contoh:Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar atau tidak?

Bersifat menghantar.

Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c, maka pasti a habis membagi c.

{ a R b b R c } a R c


S : x + y = 4, T : 3x + y = 10Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak?

S tidak menghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S.

T = { (1,7),(2,4),(3,1) } tidak menghantar karena (3,7) R.

Relasi Biner


Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b) R, maka (b,a) R untuk semua a,b A.

Relasi R pada himpunan A tidak simetris jika (a,b) R sedemikian sehingga (b,a) R.

Relasi R pada himpunan A sedemi-kian sehingga (a,b) R dan (b,a) R hanya jika a = b untuk a,b A disebut anti simetris.

Relasi R pada himpunan A tidak anti simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) R dan (b,a) R.

Relasi Biner

3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris (Antisymmetric)

Relasi Simetris

Relasi Anti Simetris


Contoh:Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) }

bersifat simetris,karena jika (a,b) R maka juga (b,a) R.Disini, (1,2) dan (2,1) R, begitu juga (2,4) dan (4,2) R. bersifat tidak anti simetris,karena misalnya (1,2) R dan (2,1) R padahal 1 2.

(b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } bersifat tidak simetris,karena (2,3) R, tetapi (3,2) R.bersifat tidak anti simetris,karena terdapat (2,4) R dan (4,2) R padahal 2 4.

Relasi Biner


Contoh:Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (c) R = { (1,1),(2,2),(3,3) }

bersifat simetris dan anti simetris, karena (1,1) R dan 1 = 1, (2,2) R dan 2 = 2, dan (3,3) R dan 3 = 3.

(d) R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) } bersifat tidak simetris,karena (2,3) R, tetapi (3,2) R.bersifat anti simetris,karena (1,1) R dan 1 = 1 dan, (2,2) R dan 2 = 2.

Relasi Biner


Relasi Biner

Contoh:Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (e) R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) }

bersifat simetris.bersifat tidak anti simetris,karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada R padahal 2 4.

(f) R = { (1,2),(2,3),(1,3) } bersifat tidak simetris.bersifat anti simetris,karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) R dan (b,a) R.


Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak simetris dan tidak anti simetris.

R tidak simetris, karena (4,2) R tetapi (2,4) R.

R tidak anti simetris,karena (2,3) R dan (3,2) R tetapi 2 3.

Relasi Biner


Relasi Biner

Contoh:Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris? Anti simetris?

Bersifat tidak simetris,karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4) R tetapi (4,2) R.

Bersifat anti simetris,karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3, maka (3,3) R dan 3 = 3.


Relasi Biner


S : x + y = 4, T : 3x + y = 10Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris?

S bersifat simetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S.S bersifat tidak anti simetris, karena walaupun terdapat (2,2) R, terdapat pula { (3,1),(1,3) } R padahal 3 1.

T = { (1,7),(2,4),(3,1) } tidak simetris.T = { (1,7),(2,4),(3,1) } anti simetris.


Inversi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B,

maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh:

R–1 = { (b,a) | (a,b) R }.


Contoh:Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }.

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan:(p,q) R jika p habis membagi q,

maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.

R–1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan:(q,p) R–1 jika q adalah kelipatan dari p.

Maka akan diperoleh: R–1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }.

Inversi Relasi


1 1 1 0 0

0 0 0 1 1

0 1 1 0 0P QM

Inversi RelasiJika M adalah matriks yang merepresentasikan R,

maka matriks yang merepresentasikan R–1, misalkan N, adalah transpose dari matriks M.

T

1 0 0

1 0 1

1 0 1

0 1 0

0 1 0

Q P P QN M

N = MT berarti bahwa baris-baris dari M menjadi kolom-kolom dari N


Pekerjaan Rumah (PR5)

Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a) R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) }

No.1:

No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.

Matematika Diskrit

Documents

Transcript of Matematika Diskrit