MATEMATIKA DISKRIT

BQ. ZILALIN AZZIMA

FEBRI ARIANTI

IDIL JOHARI

FITRIA WINDIARNI

M.FAROUK SAGITA H.P

MODEL JARINGAN DAN

JARINGAN PETRI

MODEL JARINGAN

ALGORITMA ALIRAN MAKSIMAL

TEOREMA POTONG MIN, ALIRAN MAKS

Gambar ini menyediakan sebuah contoh jaringan transpor (transpor network).

Verteks-verteks dan mewakili stasiun pompa lanjutan. Rusuk-rusuk terarah mewakili bagian-bagian pipa dari sistem dan menunjukkan arah minyak dapat mengalir. Label-label pada rusuk menunjukkan kapasitas bagian pipa.

MODEL JARINGAN

Sebuah jaringan transpor adalah graf terarah berbobot

sederhana yang memenuhi : Verteks bertanda, yang

merupakan sumber, tidak mempunyai rusuk yang masuk.

Verteks bertanda, yang merupakan tujuan, tidak mempunnyai rusuk yang keluar.

Bobot cij dari rusuk terarah disebut kapasitas dari merupakan sebuah bilangan tak negatif.

DEFINISI I

Graf pada gambar diatas, sumbernya adalah verteks dan tujuannya adalah verteks . Kapasitas rusuk , adalah 3 dan kapasitas dari rusuk adalah 2. Jika merupakan sebuah jaringan, kita akan menyatakan sumbernya dengan dan tujuannya dengan .

DEFINISI II sebuah jaringan transpor. menyatakan kapasitas rusuk terarah sebuah aliran di menempatkan bilangan tak negatif pada setiap rusuk terarah Sehingga:

a)

b)Untuk setiap verteks , yang bukan merupakan sumber atau pun tujuan.

(8.1.1)Kita sebut aliran dalam rusuk untuk sembarang verteks , kita sebut aliran ke dalam j dan kita sebut aliran keluar dari

Contoh Penandaan :

mendefinisikan sebuah aliran untuk jaringan pada gambar 8.1.1. Sebagai contoh, aliran ke dalam verteks .sama dengan aliran keluar dari verteks .

□

Perhatikan dalam Contoh tadi, aliran keluar dari sumber .

sama dengan aliran ke dalam tujuan .

keduannya bernilai 5.

Definisi III

Misalkan F adalah sebuah aliran dalam sebuah jaringan . Nilai

disebut nilai aliran

Gambar diatas adalah sebuah jaringan pemompaan. Air untuk kota dan dikirim dari sumur w1, w2, dan w3. Kapasitas – kapasitasnya ditunjukkan pada rusuk – rusuk.

Sebuah Jaringan Pemompaan

Gambar diatas adalah jaringan pada gambar sebelumnya dengan sebuah sumber dan tujuan yang ditandai.

Sebuah Jaringan Pemompaan

Ada kemungkinan untuk pergidari kota A ke kota B secara langsung atau dengan melalui kota B. Selama periode 6:00 hingga 7:00 malam, waktu perjalanan rata – rata adalah A ke B (15 menit)

B ke C (30 menit)A ke C (30 menit)Kapasitas maksimum dari rute – rute tersebut adalahA ke B (3000 kendaraan)B ke C (2000 kendaraan)A ke C (4000 kendaraan)

Sebuah Jaringan Lalu Lintas

ALGORITMA ALIRAN MAKSIMAL

Rusuk – rusuk terorientasi dengan tepat dan tak tepat. Rusuk () terorientasi dengan tepat karena rusuk tersebut terorientasi dalam arah ke . Rusuk ( , ) terorientasi tidak tepat karena tidak terorientasi dalam arah ke .

Misalkan sebuah lintasan dari ke dan misalkan sebuah verteks di yang bukan ataupun (lihat Gambar dibawah ini).

Terdapat empat kemungkinan untuk orientasi rusuk-rusuk dan yang insiden pada Pada kasus (a), kedua rusuk terorientasi dengan tepat. Pada kasus ini, jika kita menaikkan aliran dalam setiap rusuk dengan , aliran ke dalam akan tetap sama dengan aliran keluar dari . Pada kasus (b), jika kita menaikkan aliran di dengan , kita harus menurunkan aliran di dengan sehingga aliran ke dalam akan tetap sama dengan aliran keluar dari .

Misalkan sebuah lintasan dari ke dan misalkan sebuah verteks di yang bukan ataupun (lihat Gambar dibawah ini).

Kasus (c) serupa dengan kasus (b), kecuali kita menaikkan aliran di dengan dan menurunkan aliran di dengan . Pada kasus (d), kita menurunkan aliran di kedua rusuk dengan . Dalam setiap kasus, perlakuan rusuk yang dihasilkan memberikan sebuah aliran. Tentu saja, untuk menjalankan pengubahan ini, kita harus mempunyai aliran kurang dari kapasitas dalam sebuah rusuk yang terorientasi dengan tepat dan sebuah aliran tak nol dalam sebuah rusuk yang terorientasi tak tepat.

Contoh Perhatikan lintasan dari ke pada Gambar dibawah ini. Rusuk-rusuk dan terorientasi dengan tepat dan rusuk terorientasi tak tepat. Kita menurunkan aliran sebesar 1 dalam rusuk terorientasi tak tepat dan meningkatkan aliran sebesar 1 dalam rusuk-rusuk terorientasi dengan tepat dan, nilai aliran baru adalah 1 lebih dari aliran yang asli.

Definisi 8.3.1

Sebuah pemotongan di G terdiri dari sebuah himpunan P dari verteks-verteks dan komplemen dari P , dengan dan .

Gambar 8.3.1 Sebuah pemotongan dalam sebuah jaringan. Garis putus-putus membagi verteks-verteks menjadi himpunan P = {a, b, d} dan yang menghasilkan pemotongan .

TEOREMA POTONG MIN, ALIRAN MAKS

Definisi 8.3.2

Kapasitas pemotongan adalah bilangan

Contoh 8.3.3

Kapasitas pemotongan pada gambar 8.3.1 adalah

Contoh 8.3.4Kapasitas pemotongan pada gambar 8.3.2 adalah

Teorema 8.3.1Misalkan F sebuah aliran dalam G dan misalkan merupakan sebuah pemotongan di G maka kapasitas lebih dari atau sama dengan nilai F; yakni,

, (8.3.1)

Contoh 8.3.5Pada Gambar 8.3.1, nilai aliran 5 kurang dari kapasitas pemotongan 8.

Teorema 8.3.2 Teorema Potong Min, Aliran MaksMisalkan F sebuah aliran di G dan misalkan sebuah pemotongan di G. Jika kesamaan berlaku dalam (8.3.1), maka aliran maksimal dan pemotongan minimal. Lagipula, kesamaan berlaku dalam (8.3.1) jika dan hanya jika

untuk untuk

THANK YOU