MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 2

8/3/2019 MATEMTICA PARA ECONOMISTAS 2

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EXAMEN FINALCURSO: Matemat.icas Para Economistas 2PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0671FECHA: Sabado 4 de diciembre del 2010DURACION DE LA PRUEBA: 2 Horas y 50 MinutosSEMESTRE 2010-2

Redaccion y ortograffa seran tomadas en cuenta para la calificacion de la prueba. Nose puede usar ningtin material. Puntaje: 20 puntos

1. (4 pts.) Dada la funcionf{x,y) = x+y

sobre la region determinada por la restriccion

donde -1 :::;a:::; 1 es un pararnetro dado.a) Determine para cuales valores del parametro -1 :::;a :::;1 se puede aplicar e1teorema de

Weierstrass.b ) Encuentre los puntos de maximo y minima de la funcion sobrela region dada para loscasos encontrados en el punta anterior.

c) l.Que sucede en los otros casos para el parametro a?

2. (5 pts.) Estudie e1problema:Max -xy - 2yz + 7x+ 4y + 9zs.a. x+ y = 5x+z=2

sigue ...


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Matema.t.icas Para Economist Examen Final

3. (4 pts.) Dado el programa:Max (x - 5)2 + ( y - 2) 2 sujeta a

2x+y ~ 6x ; : : : : O

0 : : : ; y : : : ; 5.a ) Grafique la region factible y las curvas de nive1 de la funcion objetivo.b ) Usando esta grafica, justifique la existencia de una solucion al programa dado arriba.c) Encuentre dicha solucion

4. ( 5 pts.) Estudie los valores maximos de 1a fund on

sujeta a las restricciones

5. (2 pts.}Al resolver e1problema:

1x, y, z) = 2x + 3y - zx2 + y2 + Z2 S 13

x2:0y2:0:ZZO

max 1(x, y, z)s.a. g(x, y' , z) =a

h(x,y,z) =busando el lagrangiano (3.eobtiene 1a solucion (1,2,3) can 1(1,2,3) - 5 y multiplicadoresA g =. 3 , 'A h = 1 respectivamente. Si.cambiamos las restricciones par

g (x ,'Y , z) = a - 0,1h(x,y,z) = b+O,2

LCuanto sera. aproximadamente-el nuevo' valor optima de 1a funcion 17

2


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU, .ESTUDIOS GENER.A.LES LETRABMaternaticas para economistas 2-Practica calificada No 4

/Dada lafuncion F(K,L) =K3/2L1/2 can K> O,L > 0,A Probar que F es cuasiconcava. (3 pts.)(b) Justifiear que e1conjunto {(K,L) / K > O,L > 0, K3L 2: 1} es convexo.(2 pts.)" .

~Probar que las curvas de nivel de F tienen pendiente negativa. (2 pts.)~Si f{x) con x E R es una funcion derivable can f '(x) > para todo x E R,/' justificar que f es cuasiconcava y cuasiconvexa a la vez. (2 pts.)*;r. Hacer e1esbozo de una funci6n f(x) definida y continua para x E [0,2] que no sea

cuasiconvexa ni cuasiconcava. Justifique las razones par las euales, su -bosquejo eseI indicado. (2 pts.)

4?i5ada l~ funci6n f(x,y) para x ; O ,y > 0, Y las constantes positivas a , b y c, se,// plantea e1 problema .

(P ) t ( max f(x, y)s.a ax + by.iF C

. . f . i

Demuestre que si el determinante orlado lE I satisface la condicion suficiente decuasiconcavidad para I,entonces e1 hessiano orlado asociado a (P ) satisface lacondici6n suficiente de segundo orden para dicho problema (P). (4 pts.)

/Dada1a funcionf ( ) ~ x2 + ;ryx,y - :r+y

){Pruebe que f es hornogenea.?erificar que f satisface la condici6n de Euler. (3 pts.)

a.j, Lima, Junio 14 del 2002.

~~,~~'

W~


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6uCA DEL PERUESTUmOS GENERALES LETRAS

Matematicas para economistas 2 - Horario 671Practica calificada N 4

1).- Sea f una funcion definida por f (x, y) =ax + by, donde a y b son constantes. Dadoel problema: (13 pts.)

Opt. f(x,y)s.a. x2 + y2 ;:::1

x2 + y2 :::;4(a) Resolver el problema para a=2 Y b =-l.(b) Resolver el problema para a=1 y b =2.

(Spts.)(3 pts.)

2).-

(c) Resolver el problema para a =0 y b una constante arbitraria no nula. (2 pts.)(d) Resolver el problema para b =0 y a una constante arbitraria no nula. (2pts.)(e) Resolver. el problema para a y b consta~tes~ositiV bitrarias, (3 pts.)Dado e1 problema: ,7',\ .- .I _max. Xl - [ f O X . : .

s.a. Xl +X2 :::;30:::; Xl :::;2

X z . 2 : : 0Justifique que son aplicables las condiciones de suficiencia de Kuhn-Tucker y resolverel problema. (7 pts.)

a.jordan Lima, Noviembre 25 del 2006,

1


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ESTUDIOSGENERALESLETRAS

PONTIFIC!AUNIXERSIOADCATOLICA'D EL P ER U

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 2(MAT-137)

TALLER NQ 4Horario: 0671

TRABAJ O IN D IV ID U AL(Tiempo: 30minutos)

2010-0(Desarrolle la prueba en los espacios en blanco que estan despues de las preguntas)H O R A R I O Y N D E COMISIOg

01. Determinar los valores de t para que la funci6n siguiente sea, estrictamentec6ncava. . " !_ ~ . . . ; 't - \ : ' \

f(x,y):=.(2 +t)x2 +2xy+(2-t)y2 "): ~-'.'"tt\'>l.~D:K'P.1 . 1 ) 'L b

~ Pit.": < _ \ _ )_ -\1 )x -\ (_'1~) ~L\."t -\'\) '/ -\ 1_~

,,\.l,t"tF - x ) ' - , . . (~1-\1)1-'1-, :


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Busquense los valores de a y b tales que el producto de las rakes de la ecuaci6nx2+ax-b2=O ) ..~.

!.' L 't. \-6 ~-~)tq_~_\}~~

/( , ~ \\ } u b

sea maximo.

i\.j!I

~~~'

(02puntosj

Pando, 12de febrerodel2010-2-


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P ONT IFIC IA U N IV E RSID A D CATOL IC A D E L P E RUE STU D IO S G EN ER AL ES tE TR ASMA TEMA TIC AS P ARA E CONOM IS T A S 2(MAT- 137)Horario. 0671

TERCERA PMCTICA CALIFICADA

EI orden y la claridad seran tomados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. 'I'iempo: 1 hora can 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 4 PREGUNTAS

Halle cuanto tiempo tardaran!:~OOO euros enconvertirse eninvertidos a un interes anual del 8% si los intereses se acumulan.

~':A e50001.

a) Trimestralmente.b) Mensualmente.c) Continuamente.

(04puntos)

02. Un especulador compra un lote de vino raro cuyo valor aumenta deacuerdo con la formula V (t)=S (1+0.2t) , donde t es el tiempo medido enafios. Si el vino se vende al cabo de tanos, se deben descontar los reditospara obtener un valor presente de pet) =V(t)e-rt , donde r = l~O YRes latasa nominal de descuento. i,A 10El euantos afios debe venderse el vinopara optimizar su valor presente?

(04puntos)

Clasificar los puntas estacionarios de la funci6n:f(x,y)=(x - y2)(2x- y2)

[Nota: usar dfy d2fJ(04puntos)

-1-

2010-0


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04. Clasificar los puntas estacionarios de la funcion:f(x,y)=(x~lP(i +y)+x2

[Nota: usar dfy d2f] .~(04puntos)

~ Clasificar la forma cuadratica:Q(x,y,z) = x2 +y2 +2xy+3z2

/(04puntos)

Estudiar el signa de la forma cuadratica segun los valores de "a".aao

v(04puntos)

Pando, 08 de febrero del 2010

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENE,RALES LETRASMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 2(MAT-137). Horario: 0671TALLER N3

TRABAJO 1f\IDlVIDUAl(Tiempo: 30 minutos)

(Desarrollela prueba en los espaciosenblancoque estan despues de las preguntas)H O R A R IO Y N D E C O M I S I O N

01. ~Cuantodinero hay que invertir hoy al 5%de interes continuo para tener 3000euros en 4 afios?\?lOS \ ; - " 1 )

)()OO:: < ? e .

(01 punto)

02. EI valor de un bien es V(t) , cuya tasa de crecimientnes r v = = 0.1, l.Cuantotiempoen afios debe pasar a partir deahora para que el valor de dichobien seduplique? ~"1 },'.~:: Q : i l l f \ . i .\ ; l " \ ' \ 7:, e _ 1 I r T - / ' : J ~ . 7 . _ ' ." 1 - z; t. 0', (.( 'L 'X ,l. . = V e ' " . f ) \ . : : : : , \

0 (j", ~\'. Q")\ t;.&-::.~

(01punta)

2010-0


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03. Hallar los puntos estacionarios y clasificarlos, si Ia funci6n es:Z=2


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU, ESTUDIOSGENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS2(MAT-137) /. ,

TALLER N 1 .. ~.T RA BA JO IN D IV ID U AL I ( j _ ~ ~(Tiempo: 30minutos) / 1

(Desarrolle 1aprueba en los espacios en blanco que estan despues de las preguntas)

01. Dada la funcion {(x)=x3 -3x+1. Hallar los puntas estacionarios yclasificar los.

t

2010-0

intervalo [-!,3 J ?02. 6Curues son los valores maximos.y minimos de la funcion {(x):=x3 -3x+1 en el

1


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03. Sea f'(x) =x3 - 3x . Hallar los puntoadonde f escreciente, decreciente, c6ncavao c6nvexa..

6~~

, ._-'"f,~

C ' O ! ' !t _ ( , : , , " Y {

X~,~

" ',\1\/\ J "~l!IIIOV'paga mejor? (Justificar) . J 'ltV SO"(04puntos)~-'-~-----"~:T-l . _.-~ " " \ 5 k . :1J\ ..-- _,,- .-,1 eX S ' : . ; :'t. 4, \ \\ ;J < : ; . .. ..1 l. .~ ')Ic~---~.-----.'-~-"-'--'-'lI 02. Consideremos un arbol plantado en el instante t= O y sea pet) su valor Ide mercado en el instante t, donde pet) es derivable. lCmindo hay que Icortar el arbol para hacer maximo el valor actual descontado? Se supone _ 1 . . . . . _ r)un tipo de interes continuo de lOOr%~ual. ~ II" toy:: "~ J ')_] '\00 ( ) . _1--\______ ._._._. ..____ ~ ..,_.'" __ ._ ..._,_~puntos~_j ~

ft.~v'\'t '5E :

Hallar el valor de Q que maximice el beneficio Jr(Q)=PQ-(aQb +c),dondeP, a, by c son constantes 20sitivas con b > 1.

03. Hallar las constantes A y a para que la grafica de y = Axa pase por los

t'\e

-


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06. A continuaci6n se presenta un extracto del texto recomendado para elcursoa) Lea con detenimiento, y luego pruebe la afirmacion marcada con (*).b) Utilice el resultado mostrado en la lectura para hallar la {lerivadadeMR res.E_ectoa Q del ejemplo 4. (solose aceptara elmetodo propuestopor -el aut'or' en el parrafo de este extracto, cualquier otroprocedimiento se calificara con nota cero)

Fig.9.7cCurva de ingTeso marginal conpendiente astendentel,;l fi .guta 9,1c IltU(:$!t. l q~ 1 :\ Uf\ ,4 de . lOgiC${) l11a. rg}llallien!! p:ndi1ln~ d$ l ! ,1 cml en le 1 :1\t~p ar tes , P or s up uc sto, ~ $la es I", . l r I l I J l c r a ( ;QUW$< ) di!}uja de ()tdh:'ili1'io la eurva M It pam U na l)li).p rc s a o oj o c omp c te fl ct a i m l w rf ~ e l a. S i l l .; m b il tg 6 , n o.p od emos d e se a rt ar aprior/ la p o s i b l 1 k 1 a ddt l 'lite 1 3 . p c n d i C l l t e d e I a o u r v a Mi t s e a l lW i ln de ute eu p a rte o PO fW l J :l jl lc to ,"D lld au na (u nd oll d e illtt{lS()pn'>medio AR "" I(\?). l~ f( !Qeic l \ d


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E,truOIOSGENERALES

MATEMATlCA S PA RA ECO N OMISTAS 2(MAT-l 37)

Horario: 0671

Jueves, 05 de Febrero del 2009

E X A M E N P A R C I A LD E

M A T E M A T I C A S P A R AECONOM ISTAS 2

Duraci6n: Dos horas cincuenta minutos

El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificacion de laprueba.

Se puede usar: calculadoras personales. Todo trabajo debe ser mostrado. La evaluaciori maxima es 20 puntas.4 ! $\ \t\' MQ_- \ , ~ a hA r u t a . o ~ ' C J t l b l t T

Profesor:Armando Blanco Del Rosario


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ti_I ._2 (i)-\- f1 - 2-?-'l

I\ -L .\ ( I (2.5puntas)~ --,- .........,-- ....-------,' ,~"--"I."...~....-" ....-- ...-,,....- ......."~.........~,__. .........-".-'" .~.....-~........--

2c) f e r ) =eT-\:~',.'~"l,''\" 0..~-~

! IL~ - - - , - f ~ - H - - a - l l - e - l a - - d - e - r l - v - a - d - a - d - e - l - a - s = s l - g u - - i - e l - l t - e - - s f u : : : : : e s :I ' c, \ 3a ) f(t)=t22t ~11 b ) h(x)=x1n(x), I o C l r - , '; " ( ) \\ 1 II Y . _ " , I I ) ~ . .: ) J (2.5puntas)~------------_________________ 1J " ------fttt-r't-------, -~ ~ lV\

, ~ % \ 1 ~C\: '% ~ \_ lQ - : _ ~ \ ? )\ \ - _ J - - - / r /!__-0 Pando, 05 de Febrero del 2009 < )0 c27o - ~ ,,~ 't~

-2- 0I \ V ~ \ QI I \ t \\ ~ ~


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/. .:'9 . , ; :OST1JbIOSGENERALESLEiRAS

/ 'MATE MAT lCA S PA RA E CO NOMISTAS 2.(MAT-137)

Horario: 0672

Sabado, 10 de Mayo del 2008

E X A M E N P A R C I A LD E .M A T E M A T I C A S P A R A

ECONOM1STAS2


PONJlF1CIAUNJ'lERS[DADCATOUCAD E L P E R U

+ E1 orden y 1a claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de 1aprueba.

Se puede usar: calculadoras personales.+ Toda trabajo debe ser mostrado. La evaluacion maxima es 20puntos.

Profesor:Armando Blanco Del Rosario

-1-


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.TC(Q) = 2Q2 + lOQ + 32''\1 (6\:::. Q ~'U~l 1\1' C + - - ~- . ', -", ~ . . . . . ' ."-

Encontrar el valor de Q e1 cual minirniza AC(Q)= TC~~) =2Q+I0+~, el,. . ~ (,\!. _I 11'\_ S O < . , " coste media. \ \ , _ i ~ , - - . : : : . 'c .' - \ ' - \\ . ; < ; 'I\J \.. , ""rt, -. n----

'",~_: "-k( + \uGJ;L--------------_;__---------------------.-J;1~~: : 7 > ~ ; ,

Un trozo de cable de 20cm. de largo se corta en dospartes y cada una sedobla en la forma de un cuadrado. "Como debe cortarse e1 cable demanera que e1area de los dos.cuadrados sea lornas pequeiia posible?

~~., .-

(2.5puntasl

El coste total de producir Qunidades de un bien es:. .Q>O'

I~I. ' _ 'i,Que requerimiento debe imponerse ~obre las constantes a, b y c para que

_ {(x)=x3 +ax:2 +bx+c. .. " -" '.'-

i :a) tenga un minima local en x.= = 0 70.,+0 L b t 0 \ (_ - j c.._b) tenga.un purrto :estacionariO'enz.=1-


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/t- //

lo-s.-D-i-bU-j-e - l a - g r ~ a - ' f j ~ l c - a-de-f-ex-)-=-eX-2- - - 3 - ) e--x---F-'--_- c - : : - ~ - { - \ ' - \ - : - ) - J v - l - - ' ( : ; : : : - ' ) ' - , ) - ) - , t _ -e _ _ -- .. ., !, l. i' )l _ ' .0 ~ -\: ( ". 'V ,_ C X < : . . . . l...\~s ) '- ~~-" )I, ' (2.5pun.tos)

- - - n - - . : - = ; : : .(~ ~

i ? _ ; / _ ,\ - - - \ - ' c y"'\n_ ) -'1- j

Resuelva las ecuacio;nes dadas:

a) In(x-l)+ In(x+l):=: 2In(M)

(2:5 pu.ntos)

, "\ \' . _ v . _X j( (- .. liP !-.) '~ ,- '1-\- ( 'j~-~

.. :.

\-;- -_

. rti C'~. '1.-{ z i l_ = - _ ,

'.';:,

-~ \

-3~


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. . . . . . . . . . . ,.. --~~._..".. .. .--~~E2'1'UDIOSGENl~"LEStETRAS

/ ,MATE~1AT ICAS PA RA ECONOM IST AS(MAT-137)(0672)

Sabado, 20 de Octubre del 2007 .

E X A M E N P A R C I A LD E

M A T E M A T I C A SP A R A E C O N O M IS T A S 2


90 PONTIFICIAUNIVERSIDADCAT6uCAANOS D EL P ER U

El orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la. prueba.

+ Se puede usar: calculadoras personales. Todo trabajo debe ser mostrado. La evaluaci6n maxima es 20puntos.

Profesor:Armando Blanco Del Rosario-1-

;:


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r>;I \/ I \

L [ '. '\ \ ", \"-.- i )i _ )~/

L f '/

~ - ~ ( ,~y , + -r ) L ~ J \ l o ~i . (" C ; r~c._._j_ - : : - . 1 i ~ . : : _- > 0 r- ~r-.....r ' - ~ ~ - ~ aapacidad ac:~~:a ~::~~ persona d e anos c : - : : : - - - , . _,C~ ':$"/\1, I ,.(",h J ! 'I ACt) u { n u ; ' 2 1 ~ - k . , i i - t . tI "para t >0 . c!,CuaJes laedad para maximizar la capacidad aer6bica? !I (2,5 pun-tos). I, ;"p .. ....... _ N . . -------1r .' .. . .I , . . . De una buena cota para el error maximo cornetido al aproxirnar costx)I~ "I mediante 1- x ; para -0.1 s; x : : ; : 0.1. \ It ~! \. ' (2.5purctos)1 _

r-----I /I ~Aproxime e O , s con un error manor que 0.001. "\I I ( l II I C,'i,L ' ._~_""_ .__""-; _

II'.(2.5PuntoS)J

Pando, 20 de Octubre del 2007(~ >Y r . (~10~(/2.

' - - - _ ") )91'\(0)}~

0 ,00000

-3-


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,'( -I,c

'" ,./;-.----- (L:I-'\ _ -\~y"

i I ~ , J' 1 ( 1j

Ii , 'l"~ '" ,: _ - : , (2;5 puntos)Resuelva las ecuaciories dadas:

'/

a) In(x -1) + In(x +1)= = 2 I n C .Ji2)

Io'-s-.D-i-b-uj-e - la - g r - :- a ' f i' -: lc - a-de-r-eX-:")-=-ex-2---;3-)e--X---r-l-~ - ( _ - : - ~ - { - e - : - . l ( - ) - * - , - l ~ . J (~ _ - " '> - ) - l_ - ( - _ 4 l o o , ' ), I , ' ' ~s) e_~-'(\_'LX - l x < ; _ ') )

(2.5 puntoe),____--,---~-;:--~~-:--.-r:----:~--:v~---,-~---jF r r " " } _ (--.....1 - -~

, \" v . -x. j("/ l iF" .'- ,) '_ r L "-r )-t ! '! , , - s:\ -.JPando, lOde Mayo del 2008 .

- Z - - - ' I \ _ ~ -x '1 -\ 1.\ -\ ~ )> < ,~

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PO NTIFIC lA U NN ER SID AD CAT6uCA D EL PERUESTU D IO S G EN ER AL ES L ETR AS

MATEMAT ICAS pARt\. EC ON OMISTA S 2(MAT- 137)

Horar io : 0671SEGUNDA PRACTICA CALIfICADA

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. 2009-0+ El orden y 1aclaridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba ..+ 'I'iernpo: 1 hora con 50 minutos. ..Sepuede usar: calculadora personal.

===================-~~=====CONTESTAR S6LO 4 PREGtJNTAS

,Halla.r'el polinomio d~Maclau~in degrado 2 de [(x)::: x2ex .(04puntos)

Calculese In(1.05) conun error de estimacion 0.01 comomaximo.(04puntos)

/a) Un hanco paga un iriter es continuo del 6%.L.Cuanto tardaran en du-, phcarse 835 soles? .b)L.CLi~ritohayque invertiral 6.25%anual para que dentro de 10 afios setengan 2000 soles silos intereses se acurnulan semestra1mente?

In(x -1) +In(x+ 1)~2In(!fi) ,deIa funcion:

-1-


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PONT IF IC lA U NNER SID AD CAT6uCA D EL PE R UE STU D IO S G EN ER AL ES L ETR AS

M A TE M AT IC AS P AR A E CO NOM ISTA S 2(MAT- 137)Horatio: 0672

SEGUNDA PRAcTICACALIFICADAProfesor: Armando Blanco Del Rosario. (0672)'" El orden y la claridad seran tomados en cuenta para la calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hum can 50 minutos. Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 4 PREGUNTAS

01. Sea ((x) =xexa) Hallar el polinomio de Maclaurin de orden 3 de f.b) Hallar una expresi6ndel valor {(O.I) can e1 polinomio de Maclaurinde orden 3.

b) Acotar el error cometido en e l, calculo de ((O.l) en 81apartado b).(04puntas)

02. Hallar e1 polinomio de Maclaurin de la funcion (ex) = cos(x), de gradomiriirno, que aproxime cos(;o) con error men or que 0.0005. Acontinuaci6n calcular el valor aproximado de cos (~) .

(04puntas)

03. a) Hallar la serie de Maclaur-in de la funci6n .

((x ) =_1_.l+x . G "( x l =_1_b ' 1- x

2 1b) Hallar la serie de Maclaur in de hex) = = \ +XU -1L

-1---

2008-1


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(04puntos)

04. 3 5('Para que valores de x podemos tomar x - -~ + 1 ; 0 por sen x con un errorm.enor de 0.0001?

r - 05. Encontrar la serie de Taylor alrededor del punto x::: 4 para la funcionl _ ~ ' _ ' X _ ) = _ l _ n x _ ) _ (04puritos)

Pando, 26 de Abril did 2008

'1-- L-


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-------------..,._._. . . . . _t\'''''J~jRCL''UNIYERSIDADCATO:"'!CADf 1 , PER .U

STlJDIOSGENERALESLETRAS- " ' . .-------'---

N!ATEIVLi.TICASPARA ECONOMlSTAS 2(l'YIAT - 137)Horario: 0672

SEGUND .A PR AC TIC A CA UR CAD A

P::-ofesor: Armando Blanco del Rosario (0672) 2007 - 1 [CONTESTAR SOLO 04.PHEGUNTAS

02. Encuentre la sene de Taylor para {(x)~x3-4x2+3x+5 alrededor de. x o = l .

(04pun.toe) 1 - /

03. Segun los datos de la tabla, use P 2 (x}. El polinornio de Taylor de segundo lgrade para ((x) centrado en : x ; ) =3 para aproximar a ((4). r

(,IIjIi

Ii- II

r(3) ( '(3) i' "t (,").,J s c ) /2 5

(04 puntoe)

04. Hallar el pclinornio de Taylor para ((x) ~ lnt x) centrado ~n X u =1 . 1_///-Para estirnar el valor de. ((I,l). s : el e.rror .permitido es 0,1. Ademas/ l. r'l ;) \estirnar I l , 1 ' . . I n : : : . (V\ v I rf C V l " " * ~ c-; \ 1\ 'I \

(04p urvtoe]


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05. 81 cos(;C)=1-x2~+x4~+ . .. .. . +C-l)n(2xn,,+ . . . ,para I x l < 1.. . n),Encontrar:a) Un polinomio de Maclaurin de grade 4 para ((x) = = cost j2;).b) U ',. . -1 11 1 . d d 4' () cos(x)-ln pounornic ~ :0 ~ c . . ~ aunn egra 0 para g x = = ~ .x

(04 puriios}

Pando, 29 de eepiiembre del 2007

-, .-1 > I i \ ,

-2-


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PONTIFICIA UNTVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRA.S

NIATElYIATICAS PARA ECONOIYlISTAS 2(MAT-.137)

S E G UN D A P R .4C TICA C AU F IC p.D A0671 .Profesor: Armando Blanco del Rosario (0671)

01. Hallar el polinomio deMaclaurin y e1resto de Lagrange, si n :::4 para:, 1-x9(x) = -1 -+x

(04puntas)

02. Estimar el valor de 1- 0.1 Y estimar e1 error cometido. Si usamos un1+ 0 .1polinomio de orden n : : : : : 3

(04 puntas)

03. Si se usa una funci6n de beneficia cuadratico(\.",'~. -\ ~

'1..,-, I~()r(Q ) ~ hQ2 + jQ+ l? -para reflejar los siguientes supuestos:a) Si no S8 produce nada, e1beneficio sera negative (a causa de los castesfijos)

b) La fund6n de beneficia es estrictamente c6ncava.

c) El beneficia maximo se da en un nivel de producci6n Q"' positivo.l.Que restricciones hay que imponer a los parametres?

(04 puntos)

1

2006-1


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04. Dada la figura:

(a)

(b)

(c)

TR,TCTO = - TO(Q)

TR = = TR(Q)

d) Usando los graficos (b) y (c)justificar porque en Q = 10 se tiene un punta de

, _l _ . n _ f l _ e _ ~ _ . o _ ' n_ ~ ~ ~ ~I04 puntos)

'.:"

1 0 0

;r(Q) = = TR(Q) - TC(Q)

~~ --+-----+---Qo-100

MO,MR I,MC=MC(Q)

a) Hallar la funci6n de ingreso total.b) E n Q =2 Y Q =18 ,explicar porque sus r e c t a s tangentes son paralelasen (a).

c) Usanda la grafica (c) justificar porque en Q = = 2 se tiene minima local y enQ = 18 se tiene un maximo local, usando e1criterio de la primera derivada.

2


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Ericuentre

04. El valor de un bien segun eltiempo tiene una tasade crecimiento de 0.1,elbien ahara tiene un '_;alorde $1000 dolares, Hallarel valor del biendespues de 10mos.


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,NER,ALESILETRAS. -~'~-~''_'-'-----~''-'''''_--'-__'''''-

n o I PONTiF!CIAU.~UNrV:ERsiDAO7 . . . . CATOl-ICAANOS I DEL PERU ./ J\1ATErvL~TICAS PARA EcoNorvnsTAs 2

(l\1AT - 137)Horario: 0672

TERCERA pR.l\.cnCl\ Cii.LlFICADAProfesor: Armando Blanco del Rosario (0672) 2007 - II

CONTESTAR SOLO 04 PREG~T'fAS01. Una pareja pidio $97000 prestados con una tasa de interes de 7.2% ({~ijU1.,e)

compuesto mensualmente a 25 afios para comprar un condominia.a) Encuentre su pagu mensual.b) z'Cuanto pagaran de interes en 25 afios?

(04puntos)

02. Suponga que e1valor del edificio Blakely es Ia siguiente funci6n de tiempocrecierite:

J i. V(t) =300,000 e 2"" O : : :; t : :: ; 1 0Expresada en d61ares. Suponiendo una tasa de descuento de 9% (sabre labase continua) ~Cu8.les la fecha para vender el edificio? (Justificar).

(04 puntas)

03. I- I I!I

a) Hallar e! tiempo optimo, t * , de venta de la pintur a. . Ib) Si t -(anos. Analiz ar el valor de 10.pintura, con Ia colocacioride este !

dinero en e1banco, . Ic) Si t = = 12 aDOS. Analizar e1 valor de Ia pintura, con la colocaci6n de

Dada las graficas de las tasas de crecirniento.1 + (ta sa d e c re cir nle nto d el v alor d e u na p intu ra )\.\,

L -. r = 0 .1 (ra sa de inte res d e los ing re so s p or v enia s)r =0.1

1--j'-'-' r~~-;_----,-:

_ _ _ _ _ ,6 t* 1 . anos8

este dinero en un banco.


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(04 puntas) Ii!~

04. La tasa dccrecimiento del valor de un bien es 0.1. El bien vale $5000dentro de 5 alios.a) Hallar 81 valor del bien ahora.b) Hallar el tiempo que debe transcurrirparaque e1valor del bien sea$10000.

(04puritos)

05. a) Resolver las inecuaciones:ii) (2i >5

b) Deriver las siguientes funciones:

(04puntoe)

Pando ..18de Ociubre del 2007


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 2

(MAT-I37)TERCERAPAAcrrcA CALIF1CADAHorario: 0672

Profesor: Armando Blanco del Rosario (0672) 2005-II+ El orden y la claridad seran tornados encuenta para la calificaci6n de Ia prueba.+ Tiempo: 1 hora 50minutos. .+ Se puede usar: El Iihro texto 0notas del curso

CONTESTARS6LO 16 PUNTOS

.. 01. Hallar los puntosestacionarios yclasificarlos comomaximo local, minimolocal, punto silla 0ninguno de estos, de la funcion:

(04puntos)

-02. Determinar los valores de t para el cualla matriz simetrica:

[t -t J lt 1

es:a) Semidefinida positiva.b) Definida positiva.c) Semidefinida positiva pero no definida positiva.d) Semidefinida negativa.e) Definida negativa.f) Semidefinida negativa pero no definida negativa.

(04puntos)

.03. Determine e1signo de la siguiente ecuacion cuadratica,2 2Q(x,y,z)=x -z +4xy-6yz sujetoa: x+y-z=O

~ - = Z:-j" ' - . . k , > , : . ? ; - (04puntos)

1


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I

0,1. Una firma usa dos insurnos para producir un unico producto. Si sufunci6n de producci6n es Q = V x V Y y se vende su producci6n a un d6larcadaunidad y compra cada insumoa 4 d61ares cada unidad. Encontrar el.maximo beneficio y los insumos adecuados.

(04puntos)

05. Dada la funci6n:2 . 2g(x,Y) = e-3x -4y

. '.Hallar e1maximo 0mfnimo de g(x,Y) as! como el punto estacionario queIe dioorigen. (Justificar sus calculos).

(04puntos)

Pando, 22 de Dewbre del 2005


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PO N TIFIC IA U N IV ER SID A D C AT6uC A D EL PER UESTU D IO S G EN ER A LES L ETR A S

MATEMAT IC AS PA R A E CO NOM IST AS 2(MAT - 1 37 )Horario: 0671

C U AR T A PR A cT IC A C AL IFIC AD A,c\

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. 2009-0+ EI orden y la claridad seran tornados en cuenta para la calificaci6n de la prueba. ....')+ Tiempo: 1 hora con 50 minutes, 1..xl'-x 4- '1.\_'1-~'+ Se puede usar: calculadora personal.

CONTESTAR SOLO 4PREGUNTAS

(04 puntas)

01. Resuelva e1problema: ~ : _ ' - - ' \ ) ( /. .( ~ " ) -tk l., x . )ll:: LCI-..Ic('~~~P)6j

4 2 . l,Para que valores de p y q es la funcion:VF(x,y) =_1 +_L. xp yq

definida en la regi6n x >0 y y>Oa) Es convexa?b) Es c6ncava?

(04 puntas)I',I

03. Una campania manufactura dos productos, 1y 2; yllos vende en mercadosque interactuan. Supongamos que la compafiia en cuestion es la unicaque fabrica 1 y 2, y que las funciones inversas de la demanda para 1 y 2 von:Determinar los niveles de producci6n que maxirniz an e1 beneficio, dadoque la funcion de coste sea C(Ql,Q2)=Ql +Q2,

(04 puntas)


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/Una firma bene la posibilidad de tener diferentes precios para un bien ensu mercado dornestico y extranjero. Las c.orrespondientes ecuaciones dedemanda son dadas POl':

Q1=300~PlQ2 =400-2P2

La ecuaci6n de coste total es:TC(Q) = 5000 +100Q

donde Q = Q1+Q2. Determinan los precios de Ia firma que maximiza elbeneficia can discriminacion de precios y caleular el valor de este benefi-cia. .

(04purdos)

Suponga que x unidades de un .insumo e y unidades de otro dan como re-sultado.

Q =40x+50y-x2 - y2 -xyunidades de un produeto. Determine cual es la cantidad de insumos x e yque maximizan Q.

(04puntoe)

Pando, 16de febrero del 2009


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOSGENERALES LETRASMATEMA.TICAS PARA ECONOMISTAS 2. (MAT-137)CU A R TA P R A.CT ICA CA IJ F1CA D AHororio: 0671

Profesor: Armando Blanco del ROSaI'io (0671) 2005-II El orden y la claridad seran tornados en cuenta parala calificacion de la prueba. Tiempo: 1 hora 50 minutos. - /V~/'-/~~~ Se puede usar: EI libra texto 0notas del curso

CONTESTAR SOLO 16 PUNTOS

01, Una firma tiene la posibilidad de tener diferentes precios para un bien enel mercado .domestico y e1 mere ado exportador. Las correspondientesecuaciones de demanda, son dadas par:

Q1= 300-PIQ 2 ==400-2P 2

La funcion de coste total es: TC = = 5000 +100Q---donde Q " = = Q1 +Q2Determine los precios y las cantidades que maximiza el beneficia condiscriminacionde precios y calcular e1valor de este beneficia.

(04puntos)

02. Una firma tiene la posibilidad de tener diferentes precios para un bien ene1 mercado domestico y mercado exportador. Las correspondientesecuaciones de dernanda, son dadas por:

La funci6n de coste total as: TC=5000 + lOOQdonde Q = Q1 +Q2Determine los precios y las cantidades que maximizan el beneficio SINDISCRIMINACION DE PRECIOS (Pl = P2 = P) y calcule el valor de este_beneficia.Seglinsus calculos de la pregunta 01 y 02 que Ie conviene a la firma;idiscriminaci6n de precios o no? (Justifique).

(04puntos)

1


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03. Una firma tiene 1aposibilidad de tener diferentes precios para un bien enel mercado dornestico y mercado exportador. Las correspondientesecuaciones de demanda, son dadas por:

Ql::::: 300-aP_ Q z = 400 - j 3P2 Siendo: 1 , 0 2: 2a > 01

La funci6n de coste total es: TC = 5000 ., 100Qdonde Q .. Q1+QzSiendo Q ; , Q ; , P ; y p ; cantid~des y precios que maximizan e1beneficia.Hallar:

a) a a ~ e interprete, b)' i3Q ; . t t. o jJ em erpre e.

) of; . t .c a fJ e mterprete. d) a o~ e interprete.(04puntos)

.04. Encontrar e1minimo valor de funcion objetivo.

Sujeto a la restriccion: 2x+y = = 100 .(04puntos)

05. Ertcontrar e1maximo valor de la funci6n objetivo.Z =:0 2x+ y

Sujeto a la restricci6n: xZ +i=2000 .(04 puntoe)

Pando, 05 de Nooiembre del 2005


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUEstudios Generales Letras - Periodo 2011-1

Matematicas para Economistas 2Practica Calificada N 1 - Horario 671

~ uestre una funci6n cuyo dominio es el intervalo [-1, 1] tal que no tiene valores/r: . (2 pt.)ea 9 una funci6n definida en IR , que cumple la siguiente condic ion: g(x) > 0ara todo x E IR .Se define la funci6n f(x) = x2g(x). Justifique que f a1canza su valor minimaabsoluto en e1 punta x =O . (2pt.)

tM1sea f una funci6n continua en [-1, +(0) tal que f'(x) =x(x + 1)1/2para cadaI~(-1) +00). Analizar el crecimiento y los valores extremos de f en [-1, +(0)., ) C ~ : ; ~ C a J :os puntos estacionarios y analizar el crecirniento de la funci6n f (x ) =r ~5 - 5x3. (4 pt.)5) Para a un parametro negativo, resolver e1 problema

max x2 + axs.a. x E [0,2Jsegun los valores de a. (4pt. )

a.jordan Lima, Abril 15 de 2011.

1


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PONT1F1C1A UN1VERS1DAD CAT6L1CA DEL PERUEstudios Generales Letras - Perfodo 2011-1

Matematicas para Economistas 2Practice Calificada N 2 - Horario 671

NOTA: La evaluaci6n es sin apuntes ni calculadoras, y dispone de 1 hora y 50 minutos.Iados el conjuntoX4+X2Y_X+y2.~ustifiear que C es un conjunto convexo.:Z~robar que f es una funcion estrictamenteconvexa en C.I Por el metodo de Lagrange, resolver el siguiente problemamax yxs.a. 2x2 + y2 = 4

C = {(x,y) E]R2 : x > O,y > O} y 1a funCi6n f(x, y) =(1.5 pt.)(3.5 pt.)

y haeer un esbozo geometrico para las curvas de nivel de 1a funcion objetivo y lacurva generada por la ecuacion de 1 3 0 restricci6n. (5pt.)

3. Dado el problema maxB . a .

In(x + 1) + In(2y + 1) /(x)~x + y =co,e .. .siendo c un parametro positive.

/ Aplicar las ~I:}n.didones necesarias de optimalitiad,grange.

( 1 1 ) Hallar'la funci6n valor V(c).par el Metodo de La-

(4pt. )(2pt.)

- - - - - - , ..a.jordan Lima, Mayo 20 de 2011.~,------

1


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUEstudios Generales Letras - Periodo 2011-1

Matematicas para Economistas 2Practica Calificada N 3 - Horario 671

NOTA: La evaluacion es sin apuntes ni calculadoras, y dispone de 1 hora y 50 minutos.t : : , . 'V f:,:V

C Empleando el criterio para funciones diferenciables, pro.bar que la funcionr/x E J R , es cuasiconvexa. Adernas justificar que no es una funcion convexa.Iediante el metodo de Lagrange, resolver el problemamax In(x + 1) + In(2y + 1)s.a. !x + * y =c f(x) = x3,(2.5 pt.)siendo c un parametro positive.Ademas, si V(c) denota la funcion valor y A =A ( C ) el multiplicador asociado, verificar lad "Po - . 0 .- o,"~"igualdad d c V(c) =A ( C ) . (6 pt.)m Considere 1a hm;&:j(K, L) =A(8K~P + (1 - 8)L~P}~1/p definida para K > 0, L > 0

~ factores de produccion, donde ademas A> 0,0< {}< 1, p > 0 son constantes.(i) Verificar que sus isocuantas 0 curvas de nivel(en el plano LK) tienen pendiente

.negativa, (2.5pt.).Gi'Verificar que f esuna funcion homogenea de grado uno. (2 pt.);(iii) Verificar para j, la Ecuaci6n de Euler aplicablea funciones homogeneas y diferencia-

bles. ' . (3pt.)

a.jordan Lima, Junio 10 de ~Ol1.

1


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUEstudios Generales LetrasMatematicas para Economistas 2 - Perfodo 2011-1Examen Parcial - Horario 671

Tiempo disponible: 2 horas y 50 minutos Profesor: Abelardo Jordan Liza

/: cada una de las afirmaciones que se presentan, justifique si es verdera 0 falsa:li f es una funci6n definida en el intervale I = [0, -l-oo] y alcanza su valormfnimo global en un punta de I, entonces f es continua en I. f# (1.5 pt.)/ ( ; 4 " Si f es una funcion constante en I R . , entonces f alcanza su valor maximo./ j i l A ( 1 . 5 pt.) \ J "S1 f es una funcion definida en lR que alcanza un valor minima re1ativo en X ,entonces la funcion g(x) =4 - 3f(x) alcanza un valor maximo relativo en x.(2 pt.)

(~ Si f es una funcion que tiene tercera derivada continua en todo I R . y es tal quer f'(l) =f"(l) =0 y f ( 3 ) ( 1 ) =-2, entonces se garantiza que f alcanza un valormaximo relative en x =1. (2 pt.)dsea t un parametro arbitrario, no nulo. Resolver e1problemaI max x3 - tx

s.a. x E [0,1]. (4 .5 pt.)

ea f una funcion continua en I=[?-1, +00) tal que f'(x) = x(x + 1)1/2 para cadaE ) - 1, +00[. Analizar el crecimiento y los valores extremes de f en I. Ademas,analizar si f es estrictamente convexa en J'y si alcanza un valor minimo global enI. (4.5 pt.)4. [Para que valoresde a ; 1a matriz [-~ -! ~ ] es definida positiva?

00:2I HaJlar: los punt os estacionariosde In fuj"ci6nf(x, y) = 2X 2y - y2x + 2x(2 pt.)

(2 pt.)

Lima, Mayo 07 de 2011.

1


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUEstudios Generales LetrasMatematicas para Economistas 2 - Periodo 2011-1Examen Final - Horario 671

Tiempo disponible: 2 horas y 50 minutos Profesor: Abelardo Jordan LizaNOTA: No esta permitido e1 uso de apuntes de clase, libros ni calculadoras.rSlificarque la funcion f definida para todo x > 0, y E l I I . , parf(x, y) =min{x - y, 2y - + - In(x - + - 1)} ,

es c6ncava. (2.5pt.)

/:ustificar que la funci6n f(x, y ) = : v 1 J 2 es hornogenea y comprobar el teorema2x -+-3ye Euler. (2.5 pt.)

. ~ Resolver el problema/ max 2x-+-3y

8.0, x2 - + - xy - + - y2 = 84.(3pt. )

4. Sea f : ]Rn ~ R una funci6n continua. Dado e1programaOpt. f(x, y )8.0,. x2 + y2 ~ 4

ax +y~ 1donde a es una constante.(i ) Fundamente que el program a es factible y tiene soluci6n cualquiera sea a E Ri:2.5Pt.) ( 1 / f . ) - . , " , lo ~\,e J O - = t lResuelva el problema de maximizaci6n para a =-2, f(x, y) = x-+- 2y (3 pt.)~ Resuelva el problema para minimizaci6n con a < a y f(x, y ) :;;-:r. (3.5 pt.)

~Sea pun parametro que toma valores en e1intervale [0,1]. Resolver el problemamax (2q(2p - 3) - p)qs.a. a ~ q ~ 1

(3pt.)

a.j, Lima, Jul io 02 de 2011.

1


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PONTIFICIA UNlVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMatematicas para economist as 2

Primera practica calificada - Periodo 2004 II

5SS lbCSL.. '1d{G- 3

Prof. Abelardo Jordan L.1. Dada la funcion f(x) =3+ x2 ,

I-x(a) Determinar los valores extremes para fy analizar BU crecimiento.

tados.pts.)

(b) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 para f alrededor de X o =.:_.

_13:; 1 + 9-2' .- \'2} ,-50~ .5

Justifique sus resul-(4(2 pts.)

2. Calcular los valores extremos absolutos para 1 8 0 funciong(a:) =x2/3(1 - x) , x E [0,3] (3 pts.)

3. Aqui f es una fund on tal que sus unicos Ptgltos estacionarios son x =0 y x =1. Ademas suc,r segunda derivada est a dada por f 1/ (x ) =..i i31(7x.'::"-4~.(-1. +/x )2, para todo x E R. Clasificarel tipo de valor extreme que se alcanza en cada uno de los puntos estacionarios. (4 pts.)

4, Una ernpresa tiene las siguientes funciones de coste total y de demandac 1" 3 q3 - 7q2 + ll1q + 50

100 - p ?;. lO O - < q : . \1q(a) Hallar Ia funcion de beneficio total en terminos de q. (2 pts.)(b) Encuentre 8 1 nivel de produccion que maxirnice el benficio. (2 pts.)(c) LeuaI es el beneficio maximo? (1 pto.)Cd)' l.Existe algun nivel de produccion donde el coste marginales mfnimo? Justifique su

respuesta. / ...- (2 pts.)J '1:t J l o " b - " - f ' 1 ' 1 ?.~'1Lima, Septiemhre de 2004.j,

.4_~ " ' J i j $"\ 2.A-j

)1

-"X ' {~)K ~ 1

-!(~I-I< f)_ '2 > < - + - ' 1 . .

---~."~.1


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\

PONTIFICIA UNIVERSID,AD cKr6LICA DEL PERUESTUDIOS GENEH.ALES LET'RAS

Matematicas para econotnistas 2 .; 4ta. pra.ctica. dirigida~ En cads case, Z.OS posible expresar w como cornbinacion convexa de 'U y v '?

a) iu=4,t =1/2,1} =5.b) 'u) = (3,5), ' L : :: :: : (1,1) Y v = 7).

'\ LEs posible expresar z como cornbinacion convexa de 'iI, v Y ' U J ? siendo u)=(3, O J , 1 / , =(1,2), v = = (0 , 1) Y~( 'i "2::: (1'111 ) -II h o . . y 3 oC tA 1oJ'tS ~ d t \ o , u ) (!; 1 9 1 ~ J

\J~e\-"i",fI.Si D es un conjunto convexo no vacio deR:.!, k UI1a. constance y f una funcion definida

en D. Probar que: ' .~~~~a) Si f es convexa en D entonces S :={: t ED: f(x)s k:} es un conjunto convexo.b) Si f es concavaen D entoncesS' ={z ED: J ( 'T ) ~ ~ k} es un conjunto convexo.

4. Sea A una rnatriz de orden 2 y hun vector columna d e ordon 2 x 1. Justifique que0 1 conjunto

es convexo.> '_" 1 _, (.,0 ._- ( ' X " ']2' 4 x : t c~ h' }~~(i~\~\.)r,j-\:L'-- .,1,.,')""' ..:::.: ,..

. /\ Si f ( : n ) =/x para :1 ; > O. Justificar mediante el criterio de primer orden para

funcicnea.diferenciables, que f es estrictamente concave,2,Es f(x) =e-";', para x E H, una funcion convexa? Esbozc 1 3 0 grafica de est.a Iuncion. E ' . G('~ ..) -- (. c + ,)_,)2_ f ,". --''''0 n?i, "8 .. .0,1), Z _ _ . x + iJ " ' ' '0 . U.lla.,Ul1UOrl '..on ,,~X(L

"s . Un mcnopolista puede producir las cantidades x e 11de des productosX y Y. El.coste es

Las funciones mversas de demanda son:.P c = 150 ._ 5;2:+ y,

donde P I : Y ~J son los precios para X e Y LCual es In. producclon que maxirniza elbeneficio?

~ .Mostrar que la funcion .t(:I;, v , /5 ) = = + eY .- 1 es COIWeXs"10. a) Sean A, Ct, ,6 eonstl;1n~espositives. Mostrar que la funcion deproduccicn de Cobb-.Douglas q=AIea L(3) K ~~:0,L ? 0, es concave. si Jr s610 si c: + ,6 ::: 1

""~"U "b) Sean 0., b. 0, /1 constantes posit.ivasv Mostrar que 113,uncion de utilldad

es~ 0.)1' ,61n,(y - b ) ( ; : r > 0., y > b)

1


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@lAveriguar ~ara qU B valores de la constanteconvexa 0 nmguna de las dos:

1 8 . siglliente funcion, es concave,

!( .1;, y ) = '--6:2:2 + (2a. + 4):1)/ - 1/ '2 + "laymas amplio dominic convexo D ..del plano xy en 0 1

f (,];,) =: ;;; '2 _ . 7 j'2 _ . ; ); 1/ -- x3 sea concava,,Ii' . .

. . . . . . . " /' .l@


61/109

,-6 J I G~G! ~

3( l _ 'I,-1 . ) : = 0"to

'2 . .. . . .. .. . ' - ; ~ - '2"i~ t/2} C f ,

_I-5

'l )''_~,>'f '1PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERU

ESTUDIOS GENERALES LETR.AS

(0,0)3 " - 1 = - 2 .'1~~i~X :.-!

Matematica para economist as 22da. Practica - Perfodo 2004-2 1~){~~)

.~~1. Clasificar los puntos estacionarios de las funciones~ ( a ) z =6xy - x C ! - 3y C ! " . , ~

(b) z =x f + 3x~ - 3Xl~2 + 4X2X3 + - 6x~ V(4 pts.)

(4 pts.)2. Una suma de $10,000 produce un interes del 20% anual.

(a) LCmil sera su valor dentro de 5 afiosfen cada caso) cuando los in- .tereses se abonan : i)semestralmente,ii)anualmente, iii) QRualmente. C~~lJ'l'f.tivltHi:'li.r.n;(3 pts.)..-p (b) LDentro de que tiempo (en e1 caso continuo), se duplicara 1a surna?(2 pts.) . \OOOO-e.. . . . . := - - = - - = : : : ; = = = - - . .3. Sea a una constante, dada la forma cuadratica "'-.

(a) Si A es 1a matriz simetrica asociada a la forma cuadratica, determinarA. (1pto.)

(b) Para a=0, justifique que A tiene valores propios positives, sin necesi-dad de hallarlos. (2 pts.)

(c) Para a =8, justifique que q es una forma indefinida. (1 pto.) I.? '~ Ie' '" " 2 .C > '2 T : : : : I I r n ( 2 . . )r .. Hallar los vectores propioscorrespondientes a 1a rnatriz

(3 pts.)

eli - '2 ~ gS'1

Lima, o q de Octubre de 2004 ../).._

-'>(~+ '2 'X . +l.y> ..~"",'1. ~

K:". 'f "1,)(-).." 06.~1'H1'1


62/109

~ (2y. _ ,2\ .)(7111 =-d

' 2 . . J z v : 3 y " ' ' - : : : 08y-qy'1~G' 1 I ~ - ~ Y ] ) ~ 0

' - ' I : : : C J'2 i: c r y )~yq


63/109

PO_\TIFICL\ '-):"I\'EHSIDAD CA.T()LU\ DEL PFRTESTI DIGS CE_\ER.-\LE~ LFTR_\'

\ Ia tf 'mar. icas ~)'ll>' econornist a s :2- Prin :w: ' ~'c':"l" ',(I:2UU: . . :Tercera practica dirigida

1. Hallar Ia forrna cuadratica cl ...y) talqueq(-l.O) =3. q(2.11=-1 v (j(1.-~)=6.

2. Dada la matriz A = [~ ~ l .alcular los valores de a y bele modo que ( -; ) sea un vectorpropio de A.

3. Dada 1a forma cuadr at ica q ( . T l . T2. : T 3 ) =2 x I - .QT2 +:r:~- 2T2T3 + ~. r~_ Hallar su matrizsirnetrica asociada.

5. Hallar las raices caracterfsticas de las matrices

[ 2 0 11 -3 u [1 :2o 3o 06. Clasificar la siguiente forma cuadratica 2 3a 6

-1 0Para las funciones que se xponen, hallar c l2 z y resolver ([2 z =O. si(a) z = x2y - 2:ry2.(b) z =r2c!l o ' l _ ~ . - : ~~:PX ~C> A

8. Dada las funciones.hallar sues) punto(s) criticots) y clasificarlo(s).

(a) fer. , y) = 3x2 + 2xy + 2y2 - 160:y - 120y + 80(b) tu. y) = y; 3 + 3xy - :r;3(c) v(:r, y) = :[~~ 3:ry2 + y4(d) lL{r, p ) = e'h- - 2x + 2y2 + 3.

9. L'na empresa tiene tres factorias que producen el mismo articulo. Sean .r. y y z respectivamente.los nurneros ele unidades que producen cad a una de las tres factorias para cubrir un peclidototal de 2000 unidades.Las funciones de coste de las tres factorfas son

c ' 3 ( Z ) = 200 + 10zHallar los valores de .r , y y z que minirninizen el coste t.otal.

10. Una firma manufactura clos productos, X e Y . y los vende en mercados relacionados. Supongaque la firma es la unica procluctora de X e Y , y que las funciones inverses de demanda paraX e Y respectivarnente son

:(1'3 .)p = . -~:r - iJ pY = 13 - :1 : - 2 , 1 )Determiner los niveles de producci6n :r : e ,I j que maxirnicen la ut ilidad. dado que la Iuncionde costo es C(x, y J = ~ z;+ y.

a.j. Lima, m de Mayo de :2002.


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II.j14TEM:tnG!JS p,iJfllJ. GCONOar'TAs 2.,/

F - U ~i'e ~//) =- _ _ . i ' Y l ( x'j ) - x J

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lInoi.iz.a-r y.' t:-1 rcece+a-cc-o / y c : r u . - r rn~ yu-lnHC,,'-C,/,l_[!/) . s uhe 'X eJ(;; /.t-Z)o !.d; c Cud &~ ?)=: /~f i%c.~ c.uu. s~convex.a__

( c) fto b CVl C ;u J ' /. I~~ ~ t- (KJ L ) -z : A o ._ Lb (k > 0" l > D-')Cu r t A I ' a J h CcY? j,l~ r-> T w a ./ ] / V:> i_X- t .u :r'uf-n c~ ,

x 4. ljCVT u-n e,t'emtia d e - UMc; t _ - - ~ Co' ' r: ,/ / rrt J l U ! C/? U


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_!!~J:Itl;,~t~~~~!:oi:~-;+~~,~~,'O"';;;';:)::'J-:W~~", ..:?ONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS"Watema.tictil;j~ara ecspowiiilih?_Material de trabajo practice No 1

Primer Pericdo del 2002Q~allar los valores extremos relativos de las siguientes funciones:pP ,'- ' (a ) f(x) =(x - 1)y'X

: : z 2(b) f(x) =--x+1(c ) f(x) = ;r2 /3 (x+ 3 )2 /3

./y Calcu~ar .los valores maximos y mfn~:nos(si exist en ) de las siguientes funciones en los inter-/. valos indicados: '- " - " ~_ : ~ : - ~ c : ~, (aJ , Y . _ - : - L :-.-:,x" x '- [-2, 1].. !1=-'-:" "-' , -------.:..:' .J' , -: >, (h)y - - = - - :2 _:_:;, x E [-2, 2].. " ,---,h

. " , \{" a ? - ; : ~ ~ x E : [ O , 1 ] \ / , \( c ) y = . 1 . - - - - - - . - - - - + - r _ ~ , A, \i') ,x E l~: ~ l_ _ _ : _ \--'---'0-------------'--' t ~.

M . . - ~.d.f'l1usca un punto de la parabola 'y2 =4x cuya distancia a.l,punt9_0,O) sea minima ..1/ ;') " ~[a ,~--" - .1C O n 01,$"Una "empresa dispone de $ 3,000 para cercar una porci6n rectangular de terreno adyacente();1 a un rio usando a este como un lado de area cercada, El costo de la cerca paralela al rio es0 1 f \ de S 5 por metro instalado y el de la cerea para los dos lades restantes es de $ 3 el rnetro

J instalado. Encuentre las dimensiones del area maxima cercada.I f " 7

( ! \ ' : ; : J I . Una ernpresa d~ cable de television tiene 4,800 SUSCl.'iPto.resue pagan cada uno s 18 mensu-/ ' ales, puede con seguir 150 suscript.ores mas por cada $0.50 men as en la renta mensual. l,CuaJ.( , sera la rent a que maxirnice e1 ingreso y cual sera este ingreso? .

\

1 \ nft!Un fabricante encuentra que que e1 costo total c de producir un product a esta dado por Iap funci6n de coste c=0.05q2 + 5q + 500. l,Para que nivel de producci6n sera minimo e1 costopromedio por unidad? l,Cual es ese coste?

/~Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto articulo cada afio, La// ecuacion de demanda para ese producto es p = q2 - 100q + 3200, y la funcion del coste~." di d 1f b ' 2 2 0 10,000 DId . , , .me 10 e a ricante es c= '3 q - 4 q + q . etermine, a pro uccion q que maximiza

la utilidad, y la o correspondiente utilidad maxima./);ifpara cada funcion f J hallar los intervalos donde f es creciente 0 decreciente, establec,iendo

~ los valores maxirnos y minimos relatives. Finalmente elaborar un bosquejo de sus graficas.(a ) f(x) = 3x:l - x3.(b) f(x)=3x"-20x3+2, x , : : : o ... , .J'~(c ) f(x) =r::~x ,. x 2 O .

'he~ostrar que la funci6n y =x+~ ' (con x = I 0) tiene dos extremos relativos, uno maximoy j l " otro mmimo. L Es el minimo mayorXomenor que e1maximo? Haga un coment ario al respecto.t J \c r " " ~ , . 'l l j;, ~,,' ":: -1 y. 4' ~ " - 11 ill .......-.v ,\..._ ~ f\.)"\ '\ ' to.,. (J,_' (~_~, .; ~.c,:T\ ~,~ ~5'---"-"-,,,, "''


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..'~allarlas derivadas segundas de l a s siguieates fnnciones:f (a) y =(1 - ,;X )2 .. ., "(b) Y,= x2/3y1x + 1

. :4+3(c) y=-'-. ,x-l(d)y =x(Zx - 1)1/3

/- Hallaruna :xpresi6n general para 1. derivada k:_esima de las funciones(a) y =1-

2 . 1(b) y= - ----. .:x 1 - x~i se usa una funcion de beneficio cuadratico 7f(q) =!up + jq + k para refl.ejar 108 siguientes

~ ;~puestos:g Si no se produce nada, el beneficio sera negative (a causa de los costes fijos). ~-;.0 La funcion 1T" seallJit'filt. ,, \. .c ~Q , _ *. \_ ,- \C \ . , h~-;) \, El beneficio maximo se da en un nivel de produccion qpositivo.l,Que restcciones hay que imponer a los parametres? ~~.> 0~e WSea f (x) =a:il + bx2 + ex + d __~alle valores de a, b, c y d para los que f tenga u.!wmaxim8:_

/,/ local 2_en x = -1 Y un mmimo local -1 en x = L


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PRACTICA CALIFICADA No.4CURSO: Matematicas Para Economistas 2PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0671FECHA: Sabado 6 de junio del 2009DURACION DE LA PRUEBA: 110 MinutosSEMESTRE 2009-1

Redacci6n y ortografla seran tomadas en cuenta para1a calificaci6nde Iaprueba, No se puede usar ningiin material. Puntaje: 20 puntos

1. Sea 1a funci6n: f (x, y) =2x + 3 ya) Grafique la curva definida por f(x, y ) = 4.b ) L Que puede afirmar sobre la existencia de valores maximos y /0 minimos de una funcion

continua g(x, y ) sobre f(x, y ) = 47c) En e1 mismo grafico anterior dibuje algunas curvas de nivel para 1a funcion g(x, y ) =

x2 +y,d ) Ubique aproximadamente e1 punta sobre f(x, y ) = 4 donde sle tiene una tangencia entre

esta curva y una curva de nivel de g(x, y).e) E1 punto sefialado es maximo 0minimo, Lexisten ambos valores?1) Usando ellagrangiano encuentre exactamente el punta sefialado.g ) Usando e1 1agrangiano verifique su respuesta del item 1e

l~4r-2!-- V L~3 '3 sigue ...


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2. Sea 1a funcion:f(x,

ErBctica Calificada. 4

a ) Grafique la curva definida por f (x , y) = 1.b ) L Que puede afirmar sobre 1a existencia de valores maximos y / 0mfnimos de una funcion

continua g(x, y) sobre f(x, y ) = I?c) En el misrno grafico anterior dibuje algunas curvas de nivel para Iii funeion g (x, y) =xy .d ) Ubique aproximadamente los puntos sobre f(x, y ) = 1 donde se tiene una tangencia entre

esta curva y una curva de nivel de g ( x, y ) .e ) Los puntos sefialados son maximo 0 rnfnimo, l,existen ambos valores?1) Usando el lagrangiano encuentre exactamente los puntos sefialados.g ) Usando el1agrangianoverifique su respuesta del item 2e.h) -Sin usar ellagrangiano verifique su respuesta del item 2e.

3. Para e1problema de estudiar los valores extremos de la funcion:x3 + x(y + 4) ~~2,5y2 - 2y + 3

bajo la restricci6n 1 2 1 14-x + x(y - 3) + -y =--939ArVerificar que el punta (1,1) es un posible punto de maximo 0minimo,~)/Encontrar el multiplicador de Lagrange ( > . . ) que acompafia al punta (1,1):: c) Verificar si se cumple la condicion suficiente para afirmar si el punta (1,1) es maximo 0

rnfnirno.

2


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

Matematicas para economist as 2 - Practice dirigida N1Profesor: Abelardo Jordan Liza.

1. Segun los valores delparametro a, analizar elcrecimiento de las.siguientes funciones(a) f(x) = ax+ 2 - x(b ) f(x) = x2 - ax(c ) f(x) = xa!:a

't12. Calcular los valores maximos y minirnos de las siguientes fundone.s:,(a) f(x) = x1/3(8- x)(b ) f(x) =x2/3(x 2 - 8)

3. Calcu1e los valores maximo y minimo de las funciones del punto previa, en el intervale[-1,3y3J.f(x) = ax3 + b x2 + cx+ d . Halle valores de a,b ,c y d , de modo que f tengaun

valor maximo local 2 en x = -1 y un valor minima -1 en x = 1.5. Una agencia de viajes calcula que para, vender x "paquetes de vacaeiones", el preciodel paquete debe ser de 1800 - 2x unidades monetarias para 5 S; x S; 100. El costede prcduccion de x paquetes es 500 + lOx. Encuentre, (a)la funcion de ingreso, (b)la funcion de utilidad,( c) el numero de paquetes que produce la]illaximautilidad y(d) Ia maxima utilidad.

6. Dos pastes, se hallan clavados perpendicularmente en el suy!p,y,inode 3m y otro de" " " 14m(descontando las partesenterradas),y sus bases distan 7m. Calcule la longitud

minima de un cable que se necesita para tender dos tramos rectos: desde el extremosuperior de uno de los postes hasta un punta en el suelo, y desde ahf hasta el extremosuperior del otro peste.

7. Defina y grafique una funcion definida en [-2,2] tal que su valor maximo es 3yno tiene valor minima.

y grafique una funcion en R tal que no tiene valores extremes absolutes,pero tiene valores extremes relatives.

Defina y grafique una funci6n continua en R, no constante, tal que tenga unmaximo relativo en x = 0 y un mmimo relative en x = 2 .funcion f es tal que su derivada esta dada por

-_z

"( ) - (2 1)({/ 21')x - ,x - .r + l~


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9. Si y=f(x) es una funci6n tal que f"(x) = 3x2(x2 - 1)2+ 2x4(x2 - I), 'ix E R. Si elconjunto soluci6n de f'(x) = 0 es {-l,O, l}. Clasificar estos puntos.

10'>


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~ x:-!\h-., (/lb _";z.) - 2')( V3 ~lJ5/3;:trx6\-\ 'LbtC=O

iD':::) PONT1F'ICIA UNIV:E~RSIDAD CATOUCA DEL PERUES'I'UDIOS GENERALES LIGTRAS

Matematicas para economist as 2 .-Practica calificada 1'1'1Profesor: Abelardo Jordan Liza.e t a . + 9J).t'Lb-\ c.=o.~ a +~00da la funcion f(x) ~ x2/3(16 - .')

(a) Analizar sus valores extremes y su crecimiento. (3 pts.)(b) Calcule los valores maximo y minima de f cuando se restrmge al intervalo

[-1,3]. (2pts.)2. (a) Sea f(x) = ax3 +bx2 + c(x + 1), para z E R. Halle valores de a .b y c, si

existen, de modo que 1enga un valor mfnimo local@en x = --1 y unvalor maximo local en x =2. 0 (4 pts.)

(b) Defina y grafique una funcion en 81 intervale [-2,2] tal que no tengavalores extrernos. (2 pts.)

3. Si y=: 1 ( : 1 : ) es una funci6n~~ /"(x) = (x - l)(x -'2)(x.....,. 3), \I x E R,y el conjunto solucion de V I ( : 1 : ) = 0\e sta conformado por los puntos x. = 1 yx = = 2. Clasificarestospunfos.T"?" (4 pts.)

4:. Una empresa vende un eierto bien,cuyos castes tota1es vienendados por' C ( q ) = q + /3q2, q ; ; : : : 0

'para un nivel de produccion q , donde f 3 es una constante positiva. Se suponeque para cada q) el precio P al que .: vender la produccion v i e n e dada p o r X . . .. P(q)=4--b q , q2~Odonde b es constante no negative, Hallar la funcion beneficio para la empresa,- o ? b + C ::::0' ~Z)ara cada nivel de prcduccion. Analizar, si 88 posible lograr un valor maximo~,,\ C =0 para el beneficia, en caso afirmativo, hallar este valor. En este contexto, L es

" \V\O -t . . ta Ia af .,' , " . 1 ducci t 1 b 'fi' "7Cler a a alrmaClOn: . Sl .a pro ueClon crece, enonces e ene ClOcrece .e \ " . . . . b+?C:::0 Justifique 8U respuesta, .' _'::::-':::-~::----" (5 pts.)t-~\\- C -:::0 '. G:~H c . "'0 \& 0 . + 15+3b~~:-:3J

a.j.\0 -0'otU? ,S~+-b ~ 51 Z t A t'-\? + C ~ C : O

Lima, IfiSetiembre 2006.

. 1C _ - = - s+6l ' lC \ - 3b t '7_C ~5_l L C \ - 3b + \0.-\--\:> tz:S! lCA ~'o+\o::= 5.


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f IO J \P)(p 0, I _ _ _ Q0 7 ,-WV .

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

MATEMATICASPARAECONOMISTAS2(MAT-137)Horario: 0671TALLER N2

T RA .BAJ O IND IV ID UAL(Tiempo: 30minutos)

Profesor: Armando Blanco Del Rosario(Desarrolle la prueba en los espacios en blanco que estan despues de las preguntas)

C O D I G O D E L A L U M N O A P E L L I O O S Y N O M B R E S

Dado el polinomio de Maclaurin -~~orde: ;;o~:~.e~erm~::::~~:'tie-ne un maximo 0mfnimo local en el pu 0 (O,f(O).01.

J

C V O ' f JGr ~1 ! . . 6 w Y l

(02puntosj

1

2009-0


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02. Halle cuanto tiempo tardaran 20DOsoles.:,~nconv~rtirf3eet1 5000 soles a unteres anual.de 8%.81los intereses se acumulan trimeatralmente.Q OOD ' f:,OcDSf. .' ' ,; t 1 ' : : 08_____ ' __j_ . i f > x: Q lOOo.

(02puntos)

Pando, 30 de enero del 2009

2


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PONTIFICIA UNIVER8IDAD CATOLICA DEL PERU (ESTUDIOSGENERALESLETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOlVlISTAS 2 tV(MAT-137) f} I.Horario: 0671 ~V'"TALLER N 1 . ,/

TRABAJO INDIVIOUAl(Tiempo: 30minutos)

Profesor: Armando Blanco Del Rosario 2009-0.(Desarrolle la prueba en los espacios en blanco que estan despues de las preguritas)

C O D I G O D E L A L U M N O A P E L L I D O S Y N O M B R E S H O R A R IO Y N D E C O M I S I O NQ . _ o o 1 1 15i

. ,->_.. _.- ' b~~-: : ;-Para expresar las siguientes suposiciones usaremos una funcion de~cuadratica 7r(Q) = hQ2 + JQ+k :

~i la produccion es nul!', la ganancia sera negativa (.como.resultado de losL/costes fijos) ~"''' . * .b) La funci6n de producci6n es estrictamente c6ncava. f\ Ic) La ganancia maxima ocurre en un nivel de producci6n positivo Q *. i,Querestricciones de parametro se requieren? .Clklllf"'),I"~~'\il V',,\ ,,~X'

"TT( -1 . ! < ) '0 "'"''.) ll(lt"te:'l::t'{ "-~. ~'f!(\() .i "+ ~ ~ d ~ ~ 7 ) J - ~ " ~ ' ~ iI

01.

"1'!"1lI' 1 ,

(02puntos)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . _ . _ - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - ~1


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( ~ ! l . 2 r ! " - r :!.~-_..-- ....!-. .; . . -- . .. .. . -:. .--- . .. .. .--!--- -- -3 ... ...-- - - ~- -- -- -- -. .! -- -- -- -- -: .. - - -- -- - -. :

+,_,1,+-_ 0 / . J"--_-'-_-'1._"---'--__1'-________ ." ..........,.j_.~~.'l. 0 1-4

02. La siguiente FIguramuestra la grafica de laderivada de f.a) Determine los interva-fi los ~e ~recimiento, de-crecimiento y extre-mos locales de f.b) Determinar los inter-

jI valos de concavidad,t convexidad y puntosde inflexion de f.

c) Considera f definidoen [-2,2]. Hallar losextremos globales endicho intervale.

-\

y. .~ -- - 1 ~- - . . . . . 'w . T - - - - . .- - - ~ r " - - - - 4- - - ' -_ ' ': _ ~ - - - - - . ._ . .- ~ ' ~ - - -' - - ..- f ~ - - - - - 3

: , . l " : f " " " i: ! - : r r - ; - - 2- 4 x3

, ,..- ~ ~ - .! - ..~ ~. , , ," ," ,, ,, ,, ,, ,

I\

'----.---------_. ._, ----_._-,--,---------_....102puntos)

Pando, 23de enero del 2009

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUD!OS GENERALES LETRAS

Matematicas para economist as 2 - Horatio 671Examen final 0 Perfodo 2006-2

1).- Sea b un parametro positive y arbitrsrio. Resolver el problema: (4 pts.)max b - x2B.a. 1 :S x :S 2

2).- Una empresa usa cantidades K y L de capital y trabajo, respectivamente, paraproducir un solo producto, segun la funcion de produccion .F '(K , L ) =Kl/4 L3/4.Los precios unitarios de capital y trabajo son a y b, respectivamente. Con el finde minimizar castes y atender a una cuota de produccion sin excedentes Q > 0, laempresa tiene que resolver el problema

min aK + bLB.a. Kl/4 L 3 / 4 = Q

(a) Justificar que Ia funcion F(K,L ) , es concave para K >O ,L > O.(b) Resolver el problema.

(3 pts.)(4 pts.)

(c) Si K* y L* son las cantidades K y L respectivamente, que resuelven el problema.Verificar que estas son funciones .homogeneas de a, b y Q. (2 pts.)

3).- Dado el problema: max. 2Xl - X2s.a. x r - X2 ::;; 1

0:::; Xl .:; 2X2? 0

(a) Verifique si Xl = 2, x2 =3 satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker. (2 pts.)(b) Verifiquesi Xl =1, X2 :::::0 satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, (2 pts.)(c) l,Algun punta (Xl, X 2 ) de los incisos previos, resuelve el problema? Justifique su

respuesta, (3 pts.)

a.j. Lima, Diciembre 09 del 2006.

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMaternaticas para. economistas 2

Primera practica calificada - Periodo 2004 IIProf. Abelardo Jordan L.

3+x21. Dada la funci6n I(x) =--,I-x(a) Determinar los valores extremos para I y analizar BU crecimiento.

tados.pts.)

(b) Hallar el polinornio de Taylor de orden 2 para I alrededor de X o = -1.Justifique sus resul-

(4(2 pts.)

2. Calcular los valores extremos absolutos para la funci6ng(:l;)=X2/3(1-x), XE[0,3j (3 pts.)

3. Aquf Ies una.funcion tal que sus iinicos puntos estacionarios son x = y x = 1 . . Ademas susegunda derivada esta dada por f /I(x) =-x3 (7 x - 4) (-1 + x)2, para todo x E R. Clasificarel tipo de valor extremo que se alcanza en cada uno de los puntos estacionarios, (4 pts.)4. Una empresa tiene las siguientes funciones de coste total y de demanda

c 13 'q3 - 7q2 + 111q + 50100 - p

(a) Hallar la funcion de beneficio total en terminos deq.(b) .Encuentre el nivel de producci6n que maxirnice el benficio.(c )(d )

(2 pts.)(2 pts.)

l.Cmil es el beneficio maximo? (1 pto.)l.Existe algiin nivel de producci6n d6nde el coste marginal es mfnimo? Justifique surespuesta. (2 pts.)

a.j. Lima, Septiembre de 2004

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PONTIFICIA UNIVER.SIDAD CATQLICA DEL PERUESTU'DIOSGENERALES LETRAS

Nornore del cursoG6digo del cursoPerlodo en que se dictaCred itos

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 2MAT -137. ANO 2006 - SEGUNDO SEMESTRECUATRO (4)TRES HORAS SEMANALESDOS HORAS SEMANALESMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 1MAG. SERGIO PETROZZI ARROYO0672MATEMATICAS Y LOGICA

Nurnero de horas de teorfaNurnero de horas de practicaRequisitoProfesor del cursoHorarioArea a que pertenece el curso

******************************************************* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ~ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

I.SUMILlAEn el mismo sentido que el curso anterior, se trata~an ahora los siguientes temas: valores 6ptimosy extremos; rnaxirnos y mfnimos locales 0 relativos; criterio de la primera derivada; segundaderivada y derivadas superiores; criterio de la segunda derivada; series de Mc Lurin y de Taylor;criteria de ia derivada de orden n para extremos relativosde funciones de una variable; funcionesexponenciales; crecimiento: logaritmos; funciqnes logarftmicas; derivadas de funcionesexponenciales y loqarltrnicas: optirnizaclon con varias variables de elecci6n; versi6n djferericial delas condiciones de 6ptimo; valores extremos; forrnas cuadratlcas: condiciones de segundo. ordenen relaci6n a Ia concavidad y la convexidad; optimizaci6{:J con restncciones de igualdad;.multiplicadores de Lagrange; condiciones de segundo orden; cuaslconcavldady cuasiconvexidad;funciones hornoqeneas. Programaci6n Matematica. Interpretaci6n econ6mica. Programaci6n nolineal: Condiciones de Khun-Tucker. Prograrnaci6n c6nC


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IV. PROGRAMACI6N DE PRAcTICAS

V. PROGRAMA

T aller 1 0 9 set.Practica calificada 1 16 set.Tal ler 2 set.Tal ler 3 30 set.P ra ctlc a c alific ad a 2 07 oct. Fer iado:Dom ingo 08oc t .T alle r 4 14 oct.

T aller 5 oct.P r ac tlc a calific ada 3 nov : Fen.do:M l er c ol es 0 1no v .

11 nov . E xa m en I ra .nov.(S ib a d o 11 n ov . c ie rr aPUCp a p ar tir d el med i a

Tal lerS

T alle r 7P r ac tlc a ca lific ada 4

1. Integraci6n: integral lndefinlda, integra! definida e integral impropia.2. Funciones exponencial y logarftmica: definiciones y propiedades de ser inversa una de otra.3. Maxlmos y mlnimos relatives para funciones de una variable: definiciones y condicionesnecesarias de primer y segundo orden. Condiciones suficientes. .4. Maxirnos y minimos relativos para funciones de varlasvariables: definiciones y condicionesnecesarias de primer y segundo orden. Condiciones suficientes.5. Formas cuadraticas. Concavidad y convexidad de funciones.6. Optimizaci6n de funciones ante restricciones de igualdad. Lagrangiana . Matriz hessiana yhessiana orlada.7. Ecuacianes diferenciales de primer orden. Caso de las lineales. Casade las no-lineales:equilibrios estables e inestables.8. Ecuaciones en diferencias de primer orden, lineales y no-lineales.

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V I. B IB lIOG R A FiAEI texto del curso es:A . Chiang, Metodos fundamentales de economia maternatica, 3a. ed.; Me Graw-Hill, Mexico 1987.Han de estudiarse los capltulos del 9al15.

vb.* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

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SANelONES POR PLAGIOEI Consejo de Estudios Generales tetras encuentraoportuno recordar alos estudiantes que todos los trabajos monoqraficos deben presentar labiblioqrafla empleada e indicar adecuadamente las fuentes consultadas.Por supuesto, esto tarnbien se apllca a las consultas a traves deInternet. EI uso de textos encontrados en Internet, cuya fuente no esteexpresamente lndicada, constituye plagio. Lo mas lamentable de estapractica es que la persona. que la realiza elude la responsabilidad deescribir su propio trabajo, 1 0 cual se agrava cuando, adernas, hayJaintenci6n de que el docente no 1 0 note. Se viene dando tratamientodisciplinario, con las sanciones correspondientes, a todos los casos deplagio que pueden implicar la suspensi6n academlca de un semestrelectivo.EI Vicerrectorado Academico ha preparado un documento titulado "Porque y c6mo debemos combatir ei plagio". Sa encuentra en Intranet(Campus virtual), en el leona "Documentos de facultades y otrasunidades", bajo el rubro "Documentos del Vicerrectorado Academico".Recomendamos su lectura.


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PRAcTICA CALIFICADA No.5CURSO: Matemaficas Para Economistas 2PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0671FECHA: Sabado 20 de junio del 2009DURACI6N DE LA PRUEBA: 110 MinutosSEMESTRE 2009-1

Redaccion y ortografia seran tomadas en cuenta para la calificaci6n de la prueba. Nose puede usar ningiin material. Puntaje: 20 puntos

1. Usando el Metodo del Lagrangiano, estudia los maximos y mfnimos, locales y/o globales de:a) f(x,y) = x3 y2 sujeta a x + y = 9.b ) f(x,y) = x3 y2 sujeta a x2 + y2 = 9.

2. La funcion:f(x, y, z) = 3x - 2y + 5z

bajo las restriciones3x2 + y2 + 29z2 _ 42

2x -- y - z 6.alcanza su valor minimo en el punta (2, -1, -1).

a ) Encuentre los multiplicadores de Lagrange que acornpafian a esta soluci6n.b ) Si en la primera restriccion el valor 42 aumenta ligeramente, digamos a 42,01, elvalor

mfnimo de f con las nuevas restricciones: ~sera menor 0mayor que el original?3. Estudie el problema: Max xe~+z

s.c. x + y + 4z = 9x+z=5

_ : l , e ) t l[ )+


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMatematica para economistas 22da .: Practica - Perfodo 2004-2

1. Clasificar los puntos estacionarios de las funciones(4 pts.)

(4 pts.)2. Una surna de $10,000 produce un interes del 20% anual.

(a) LCual sera su valor dentro de 5 aiios(en cada caso) cuando los in-tereses se abonan : i)semestralmente, ii)anualmente, iii) ~-tioQ~. . t(3 pts.) OC~"".k"""",e.""",,~'" t-~

(b) LDentro de que tiernpo (en el caso continuo), se duplicara la surna?(2 pts.)

3. Sea a una constante, dada la forma cuadratica

(a) Si A es la matriz sirnetrica asociada a la forma cuadratica, determinarA. (1pto.)

(b ) Para a=0 , justifique que A tiene valores propios positives, sin necesi-dad de hallarlos. (2 pts.)

(c) Para a=8, justifique que q es una forma indefinida. (1 pto.)4. Hallar los vectores propios correspondientes a la matriz

1 .]-4

(3 pts.)

Lima, o q de Octubre de 2004.

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/SOLUCIONARIO PC1 MATECO 2 2007-2

Profesor Alexander Peria Bottcher

1) f: [-8,5J -+ W & , j(x) = -3x3 + 3x2 + 66x - 20\ " 2 2 ' 1 + %T tos c itif (x) =-9x + 6x + 66 =-3(3x "- 2x - 22) ~ x = --- 3--- son los pun as en ICOS,

1\\ (x ) =~18x + 6 ~ x = j es posi ble punto de inftexion.j'\\( 1 - /(7) 6 f L67 0 1 - j61 --7 . ., t3 = 'l/l I > : : : : : ; . 3 , : : : : : ! "-:3 es rrururmzante.

1 + j67 rz= 1 + j67 . .f\\( 3 ) = -6..;67 < 0 :::::;.~- : : : : : ! 3 es rnaximlzante.P\\( j )= -18 : : : / = 0 => } es punto de inflexion,j( 1 - f0 ) : : : : : ! f( 37_) : : : : : ! :-120j(~3j67 ) : : : : : !j(3) : : :: :! 1 2 4j(-8) = 2236j(5) = 10

-~

t


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2) f : !P & - , ! P & , lex) =x4 + 4x3 - 48x2 + 112x - 30f l (X) = 4x 3 + 12x2 - 96 x + 112 = 4(x + 7 )(x - 2)2 :::c:} -7,2 son los puntas crlticosf"(x) = 12x2 + 24x - 96 = 12(x_ 2)(x + 4) :=} 2,-4 son posibles puntos de inflexionf\\\(x) ,,-"24x + 24 = 24(x + 1)rc- > 0 :=} rninimizante.f\\(2) = 0/\\\(2) '* 0 = = > punta de inflexion.f\\\( -4) '* 0 :=} punto de Inflexion.fC-7) =49(49 - 28 - 48) -784 - 30 = -'-1323 - 814 = -2137. l(2) = 16+ 32,,.- 192 + 224 - 30 =50

\1I!

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3) /: [~5, 8J _, ~,f(x) = 4(x ~ 7 )2(X + - 3)3 ~ 1000/ Iex) = 4[2(x - 7 )(x + - 3)3 - I- 3 (x - 7 )2(X + - 3)2 ]= 4(x--7)(x+-3)2[2(x+-3)+-3(x-7)] = 20(x-7)(x+-3)2(x-3)f\\(x) = 20(x + - 3 )2(x _ , 3) + 40(x - 7 )(x + - 3 )(x - 3) + - 20(x - 7 )( x + - 3/= 20(x + - 3 )[(x + - 3 )(x':_ 3) + - 2(x - 7 )(x - 3) + - (x - '7)(x + - 3) ]= 80(x + 3)(x2 - 6 x + - 3)

f ' " (X) = 80x2 - 480x + 240 + 80(x + - 3 )(2x - 6) ceo 240(x2 - 2x - 5) .Puntos crfticos def(fl(x) = 0): X= 7,--3,3 ,Adernas, otros posibles puntos de mtlexlon def(puntos crfticos dell ,/\\(x) = 0):x2 - 6x + - 3 = 0, x = 3 - /6,3 + - . /6 ' .

f" (3) =20(3 + - 3)2(3 - 7) < 0 => 1 3 es maximizante !a~./ "1(7) = = ~ 20(7 - 3 ) (7 + 3)2 > 0 => 17 es minimizan{e 1.0C~,f \\(-3) =0 , /1\\(-3) = 240(9 + - 6- 5) '* 0 ,3 esimpar => 1 - 3 es pun~?de inflexi~Jfl\\(3 - 16) ' * 0 => 1 3 -/6 es punta de jnileXi6~./\\1(3 + - 16) ' * => 13+ - 1 6 - es puntode inf lexionl.

1(--5) =4(-5 -7)2(-5 + - 3)3 - 1000 ~ - - = -5608 minima Globalf(8) =4(8 - 7)2(8 + - 3)3- 1000 = 4324f (3) =4(3 _. 7)2(3 + - 3)3 - 1000= 12824 maximo Global1(7) =f ( -3) = -1000

1e+4

y

3.


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4) t:1,1 OJ -. ~ ,j(x) = In(g(x donde g(x) = 2x3 - 21xl + 60x - 25 + ef'(x) = g \(x) = 6 x2 - 42~--60. (= -: L im f'(x ) =0 .~ la pendiente tiende a cera).g (x) g (x) X-+CQ .Puntas crlticos de f= puntos crtticos de g (g I(X) = 0): x = 2, 5 ,

II (1)21\\ (x) = g g- ? ,gg-II g\\(2)g(2) (12 2 - 42)(16 - 84 +-.120-- 25 + e)=-:I (2) = - = ___:____-------"--'-~-- ._------'-_'g2 g2,

=> ~maximizante IO~. ,=-: j\\(5).= g \\(5)g (5) = (125 - 42)(250 - ;25 + 3~0 - 25 +_!l = 18e > 0

~ ~ ~=-: ~e-s-m-in~im-i---'z~nteocal].

I OtrosPoSible~ puntos de inflexion de/(;untos cr~;~~s d~~'),Extra: f\\(x) =0 {::} g ll(X )g (X ) - (g \(x2 =0

{::} (12x - 42)(2x3 - 21x2 + 6 0x - 25 + e) - (6 x2 - 42x + (0)2= 0

-18(27+e) < 0g2

e x ~ 4.5 , x ~ 5.6 hal!ados numericamente)j(l) = In(g(1 = 0 In(18 + e ) , j(2) = In(g(2 : :=: In(27 + e )j(5) = In(g(5)) = In(e) = 1 minima Globalj ( lO) '= In(g(lO = 111(475+ e ) Maximo Global

y 6 +5.55

4.54

3.5 /2.521.51 -+-- -+1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x


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PONTIFICIA UNlVERSIDAD CAT6LICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMatematicas para economist as 2

Practica calificada No 2

~i f(x) =-tx7 + ~x"+ ~x5," clasificar suspuntos criticos. (3 pts.)"c/ Si la poblaci6n creee de aeuerdo conIa funcion H(t) = Ho(~)at y el consumo por la funcionrC t) = Goebt con a y b constantes positivas y t en afios, -

(a) Encuentre el tiempo que se requiere para que la poblacion se duplique, particu1armentecuando a =~. (2 pts.)y r HallarIa tasa instantanea de crecimiento de la pcblacion, del consumo y del consumopercapita, (3.5 pts.)i/ Un inversionista tiene tres opciones para invert.ir una cantidad de dinero, las opciones son:

(i )Al 12% compuesto anualmente, (ii )A1 12% compuesto semestralmente. (iii)Al 12% anual continuamente.j . I f J loCuMes la mejor opcion de inversion, para e1inversionista? (2.5 pts.)/ ~1 Si e180% de un capital 1 0 invierte segiin la peor opcion y al mismo tiempo, e1resto del

referido capital 1 0 invierte segrin la mejor opcion, locw~~ls el tiempo que se requiere paraque en ambos casos se obtenga los mismos dividendcs? LEn larealidad, su resultado esaplicable? (3 pts.)0 1 8i pet) = (2000+ 500t)e-(O.1) t, para t 2: 0, l.eual es e1valor maximo de P(t) y para que valor

de t se alcanza? (3 pts.)/- Dada q = f(p) la funcion de demanda para un producto( asumiendo que f es derivable), haga

un analisis sabre como infiuye la elasticidad de la demanda en el crecimiento del ingreso. (3pts.)

a.j. Lima, Abril 26 de 2002.

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. "" ... ..". f;:;~&~';


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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUEstudios Generales Letras

Matematicas para economistas 2 - Practica Dirigida N 21. Dada la funci6n f(x) =2ln(x), bosquejar su grafica. Hallar:a) La funci6n derivada, " J,'b) Laderivada en x =4'/

>~,c) La recta tangente ala curva f(x) en x =4.d) La diferencial en x =4

2. Considerese la funci6n f definida por f(x) =xex p~na todo x., -r-"","Calcular f'(x) y f"(x). Hallar los intervalos de crecimiento ~~f t s{ como {t.;~

3. Sea f(x) =x2 -; 2x - 3) ex. Bosquejar la grafica de f para-4 ~ x ~ .34. Supongamos que el precio de un bien dentro de "x)~.,,~e~viene dado par f(x) = A ekx.donde A y k son constantes. Si f ( O ) =4 y f ' ( O ) =~,l,Cual es el precio dentro de 5

..--- . . . . .~ . - - - - -alios?5. Dada la funcion de beneficio de una empresa B(x) =xex-x2, donde x es la cantidadproducida de un cierto bien, caleule el valor maximo y mfnimo de la funcion,

6. La funcion de costes de una empresa que produce un bien en cantidad x es

Se pide:, , Ii .\'a) Determine el dominio maternatico y el dominio economico de esta funcion, Ana-

lice el crecimiento de la misrna.b) l,Para que nivel de produccion es mfnimo e1coste de esta empresa? l,Cual es e1

coste minimo?7. una empresa fabriea un determinado articulo siendo su funcion de castes:

C(x) =7x2 + 5x - In(x),donde x es la cantidad producida, 8i el preeio unitario viene dado par P( x) =30 - 6xy la cantidad x se modifiea a 10 largo del tiempo segrin la ecuaci6n:

t2 + 1x(t) =-'-l O tobtenga l' variaci6IJide los beneficios a 10 largo del tiempo t, si nos encontramos en


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8. Supongamos que $1000 soncolocados en una cuenta de ahorros que gana interesesa una tasa del 5% compuesto semestralmente.a) i,Cual esel valor de la cuenta alfinal de 4 afios?b) Si la cuenta hubiera generado intereses a una tasa del 5% compuesto anualmente,Lcual serfa su valor al cabo de 7 afios?

un elemento radioactivo, quedan N gramos al cabo de t horas, donde#!l9 ,p1 i : i J i l , ; : ; ,N =10e-o,028t .

a) i.,Cwintosgramos estan presentee inicialmente?.: ~2b) i. .A1 cabo de que tiempo, quedan solamente", gramos?10. Calcule los dominies de las siguientes funciones:

a) f(x, y ) = \lln(~-x2) . b) f(x,y) =y'x + y c) f(x, y ) = ';;+1111. Dada las funciones f(x, y) == : 3 x2y + y3 - 3 x2 - 3 y2 , f(x, y ) =x' 2 + 2xy 2 + 2y 2.

a) Hallar sus puntos estacionarios y clasificarlos.b) Hallar losvalores extremes de f cuando se restringe a la region rectangular de

vertices (0,0), (2, 0), (2, 1) Y (0,1).12. Clasificar los puntos estacionarios de g(x, y ) = (x - 1)2ex+3 1/.

Setiembre, 23 del 2006.

,~f\

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PONTIFICIA UNIVER.slDAD CAT6LICA DEL PERl;ESTUDIOS GENERALES LETRAS

Maternaticas para economistas 2 - Horario 671 .Practica dirigida N 6

1.- Una caja rectangular, sin tapa, debe hacerse con 12m2 de carton. Determine elvolumen maximo de dicha caja, resolviendo el problema mediante el metodo deLagrange.

2.- Utilice el metodo de Lagrange para resolver los problemas(a )

min. Jx2 + y2st): ( :1 : - 4) 2 + y2 = 1.

(b)Opt. .7 ; + 3y + - 5zs .a . . '1 ' ,2+ y2 + z2 =1.

(c )Opt. .1;2 -:1: + y2 + z2s.a. :x ; + 2y + z =2

2x- y ~ 3z=23.- Encontrar e1vector :x ; = (;];1,' .. , X n ) que resuelve e1problema

ttuix, I : : : ; ~ l f3 iln( . ' 1 ; i - Ai)s.a. I : : ~ ; " ' lJiXi =I.

lnterpretando a la funcion objetivo como una funcion utllidad y 1arestriccion comouna. restriccion presupuestarie: 1 es el ingreso Y 1)= (PI, ... ,Pn) es e1 vector deprecios, y los parametres f 3 . ; Y"y.; caracterizan los gustos individuales por los i-bienes.

4.- Sean bye parametres positives. Dado el problema

s.a.max,

Analizar el comportamiento de la funcion valor optimo, respecto a los.parametros.5.- Si b es un parametro positive. Resolver el problema

max. b _ . 1 : :21 .s ; x :::;3..a.

a.j, Lima, Noviembre 11 del 2006.

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT6LICA DEL PEHlrESTUDIOS GENERALES LETRASMatematicas para economist as 2

Prueba preparatoria - Segundo periodo 2004i { T c J Ty):: (,1. fx t b T y .:1~ Prof. Abelardo Jordan L .. C\ T~t,bT'/- T ~

1. Dada: la funci6n f(x) =x -In(x2 + x + 1). . 6 - 3 ~ )T (qxt Y -li)


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'77 \ " ) o ( t -3-3~ :::-0'_ ... --',)Z O < xI -r - '3 (I 4K3) =0

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MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 2

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