MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 3

5/11/2018 MATEMTICA PARA ECONOMISTAS 3

1/60

'\ ['I \Y \i,~ (i " \I --':" r ;, : . . .- t . - - ~. . ., -. . . : : . _ .

r - _ . . " ';_ ~ - .

b c . ' \j ./loQ O'\) v:r . a .S S T U 0 1 Q -S . ..GENE:RALES l.J ". r. ~ .'1" i:tETRAS' . -I) 0U' f;:1

EXAMEN FINALCURSO~ Matematicas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0936FECHA: 'Sabado 4 de julio del 2009nURACr6N DE LA P~UEBA: 2 horas y 50 minutosSEMESTRE 2009-1

\ C \) . L 1 (roo [o~OO1. ' ; )C:u~i"D .: . : : : . . - - -' 1 ( ) o t >

, ~ t.r.:' G.,X\; - t o ~ Redaccion y crtograffa seran tomadas en cuenta para. la calificacion de la: prueba. No se puede usar ningiin material.Iii Puntaje: 20 puntos '

," .. ~),.I~. -- .i

. . . . .

L (6 pts.) Oonsidera Ia ecuacion en diferenda.s:

0 . . . :

~o - , , ~ ~ ) ~ t~ ~Xt.t-l = -016 Xt + 5 . S ' \ . t + 'S

a ) Encuentra la soluc~on general. ' r X o - ~ \(-.~) ( !\....".? b~ Determine. el equilibrio y el comportamiento de las soluciones en relacion a este, ' A I ; ) h

c ) Encuentra la soluci6n particular para : t o , = L /" C ; < , 0 - l~) ( . . . 1 . ) t: + tr$ ,-, l' 1,-) . 8"e > . . :

Considera ahara:d ) Eneuentra Ia soluci6n general!) Describe el comportarniento de las soluciones.. 1) Encuentra la solucion particulu para X o = 1,04 pts.) Para la ecuacion en diferencias: ",

lOO xt+ 2 - 60Xt+l + l09x t = 280 + 298t. ~I -c) Encontrar .la solucidn general, A A 't1r) .

. i b ) Encontrar la solucion particular para las condiciones iniciales: Xo=2, Xl =O.

1..?Ot-l...qSbA'c+~

3, (6 pts.) Estudia el equilibrio del sistemax=[~ - ; 1 J X A :;Tt - 1 -1 b

.y el tipo __e d.i!!~C8. de las soluciones de a.cuerdo a. los vaJores del parametro a E J R . ~ z ; I . . i '1 -Escoge un valor de a para el cual la dinamica es de tipo silla y djbujlfa-ela-m:anera masprecisaposible el diagrama de fase, identificando claramente todas los elementos relevsnees.

! - i ., ,. 1,1' ,. ," \\. CI !... L ,~~.r, I : sigue.,'lff> e::. ., '

, .'


2/60

r -; , \..'/)..I I(4, I \.,

Matf 'nJi :HicB. '> Pe.ra. Ecanomlstas 3} :?x amen F5 nal

! ~ " .

,{ (4 pts.) Enc~entr .. l .. solu~i6n pa:rt.icu1;"'.del.~;~-- X


3/60

E STUO IO $GENERALE SLETRAS

EXAMEN FINALCURSO: Matematicas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro Lugon -~.'HORARJO: 0935FECHA: Sabado 05 de diciembre del 2009DURACI6N DE LA PRUEBA: 2 Horas y 50 MinutesSEMESTRE 200Q..2

e Redaccion y ortograffa. seran tomadas en cuenta para. la calificaci6n de .la prueba, No se puede usar ningtin material. Puntaje: 20 puntos

/6 pts,) Par" el siguiente sistema ,.; ; = 2x + y t -~o J 0 ), '). y = 4x + y J , - . . . ' \ \ \ ~

a) Determine el 0106 equilibrios (X*y clesiffquelos. ~"\b ) Encuentre la solucion general. /. . .c) Esboce e i diagrama de fase, /-

1\"

e d ) Encuentre la propiedad que deben cumplir las condiciones iniciales para. que la soluclonparticular que generen converja al eqtillibrio. - ").e ) En el diagrama de fase identifique el "luger' geometrico" determinado por 10 encontradoen el punto anterior.

~ pts. ) Para el siguiente sistema o l.v 2 . . : : < r-r :: Xx h(y - z) -xi /=x+y. _ x C y . 2 . ) . ' )

. q . ) Determine el 0 los equilibrios (X*) y clasiffquelos,

2 . . -. iy-X-'j.X(Y-7--I} .x( y_)(-l)

b ) Esboce de la manera m a s precise posible el diagrama de fase.

sigue..,


4/60

Matematicas.Ea ra Economl ljSt iJt~ai-: !: iS.. .. i.3L_~_ --~- EXAMEN FINAL

, / ( 4 pts.) En eJ sistema/

U~Sposible encontrar valores para b E R que hagan asintdticamente estable al equilibrio?j(4 pt s.) Encuentra la soluciongeneral del sistema,;

'.

Xt+l ==.,:tt - Y f .n..:s\ _., ); ' .,_;; ... / . : . . . . /Yt+l ::::;;:.2xt + . ) / ~ 3 ~ - X : ) r":'~ ' - -.. . ' . . . .- ; ! . 0 ( ' < . ; . :j! I ' )" - - ~ - - ~- . ~/Y luego la soluci6n particular para las condiciones iniciales: :t o =-11 Yo = O.

' " - ' . _3)( - Y~:=3.}-X~ U3y-=. l . . _ . ,

'(, . . )j),--, '& H 2 )

" " I -,., - - -.i -.II! - ?! ~-. . . . .~.

J }

!7~.,.--.I

2


5/60

,~ . . . ..,

"

, ~.PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLIQA DEL 'P E R U ',.. ESTUDIOS GENERALES LETRAS

EXAMEN FIN.A.LCURSO: Matematicas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro Lugon. HORARlO; 936FECHA: Sabado 5 de julio de 2008'DURACI6N DE LA PRUEBA: 170 MinutosSErvtESTRE 2008--1 Redaccion y ortogra.fia.serea tcmadas en cuenta para. la caJifica.ci6n d e Ie prueba, No se puede USa! nmgun material. Punta.je: 20 puntos.

, -.'1 . (4 pts.) Encontrar las siguientes integralee.. . 2 . . . . 2 - = - 0

2y_ ~ ) C2a)

,Jt~)-, ~@~.)'1.~IJV',;l,'~j\;

~lf.)~:Z1. b ) 2. (4 pts.) ~ua.r e interpreter geometricamente las siguientes integrales: .a) 1 2 ( ~ - x ) dxo t . l" L

.3'. (4 pta.] EVa.lua.rlas siguientes integrales;a)

b) 1+001-dx- x~.~. .,~ sigue.. .


6/60

,..:.. 'l\"\..' .i\

. . : ; " . _ ~ ~ H \ 'l t~t.~. . . t : . ~ i -?.l~ 't n..\\ ~ :. . . 3x-2xTX-4J1' t\~ ?. . . ~t",(1 . ~~~ ,

a ) E.ncuen t r a Is. so luc i6n que cumple con x(O) = = 3 y : t e O ) = = 5. Z _ \ ' l p*~~1~b ) l.Tiene equilibrio Is. ecua .c i6n dada? . 1 A r ~ ~c ) Sean X l ( t ) y X 2 ( t ) dos soluciones particular-est l.cual es le valor de1llin~te:

Exameu E . i D . a I

4. (4 pts . )Da.da. Is. ecuaci6n :

d) Interpretalo enccntrado en c).. 5 . (4 pts.)Da.do el sistema: . [ - 1 8 ]X = '015 2 XEncuentra.la condicion que deben cumplir las condiciones iniciales para. que la . soluc i6n p ar -ticular asociada a elias X(t ) cumpla lime.....ro o X(t ) =O. Interprets tus resultados analities. y

gd.ficamente.

. '\\..- .....,j.( . .'... \)l ". .\- t

\ ~L- ,-. t l . .~ .


7/60

. .pRACTICA CALIFICADA No.5CURSO: .Matematicas Para Bcononusees 3PROFESOR: Alejandro LugonHORARlO: 0935F;ECHA: Sabado 21 de noviembre del 2009-DURACI6N DE LA PRUEBA: 110MinutosSE:MESTRE 200g..2e Redaccion y ortografia seran tomadas en cuentapara la calificaeion de 1&prueba.. Nose puede user ningtin materiel, Puntaje: 20 puntas

1. Determine y clasi~que analIticamente los equil ibrioe del sistema. siguiente y esboce el diagramade fase correspondiente: ./.. '-.,_.~ x = x yy = (y - e:)(e" - x )Con ei diagra.ma de faseargumente pOT q ue en este sistema cualquier soluci6n particular cool'x ( o ) >.0 cumple con x(t) > 0 para todo t ~ O. . .

e 2. Consldere el sistema . ={a. - x) + xyi J = Y + bxya) Verifique que (e, 0 ) es un punto de equilibrio,b ) Clasifique el comportamiento local de las soluciones alrededor de dicho equilibrio deacuerdo a los valores de los parametres (a, b ) J R . 2 .

3. Sa tiene el siguiente sistema de ecuacicnes diferenciales:p = p~r(H)H = q ,{P ) - H

Con r'< 0 y ~' > O.Supo~jendo que exists. un equillbrio, caracterice el comportamiento del sistema en la cercanfa.del mismo, . Q.LEI sistema. puede tener dos puntos de equilibrio? -.I


8/60

~-::-'i-.~I~.:~~ 1\~,~ . [t.ON'li:'rFlcIA UNIVERSIDADCAT:OLIOA DEL PER(. ~ . f . ' ESTTJDIOS GENERALES LETRAEI . . . . ,

'1 'io

EX::_vrEN DE JZAGADOS:.. ",.,OURSO: Maeemanicas Para ECOIlOmistas 3" - '"'PROFESOR: Alejandro Lugon .

"""T'-"RARIO; 936eRA: Sabado 12 de julio de 2008, r6N DE LA PRUEB,A: 170Minutes

RE 2008-1

Redacci6n y ortograffa seran tomadas en cuenta para 13.calificacion de L a .prueba.No se puede usar nblgun ma.terial.

I. ), '{t"\, ..~. .~s:)Ellcuentra Ia sclucion general de la ecuacion en ;.I. : ,~zt+:z - b~~+,l+ 4x~= 3 t + t

para. todos los valores del pari::netro b E J R .~ .@ (~pt:s.) R~suelve et sistema: ..-'-" . . .X;+l =' [ 9 ~ 5 !X: + r ~ . J

Encuelltra la coadicion que deben curnplir las condiciones miciales para que la solution parti-cular asociada a. ellas Xc cumpla. l imc_+~ 'X~;=X1 donde X es' el equilibrio.).Ilte.tp~eta. tus. resultados analitica y gnificamente. ' .r I '". - ~ @ (2 ~tS..)Encont


9/60

a ) Encuentra la solucion que curnple con :1:(0)=3 y i : ( O ) =S,Tiene equilibrio Ia ecuacicn dada? 'ean :::;l(t) Y x;(t) dos.solucicues particulates, 'l,cuil es le valor del"l imi"te':, . >' . . . - l i m ( :t :i '( t) - X 2 ( t ) ) ?. ,t .....+O. ' \ . " " ' _ ., 4}"'I~;erpreta lo sncontradc en c). . ~~/;"

-_,....:.---i"r"""''-'-'--:-- -.....-v- ..... --- ..-.,-.:...- .. -:-.-.~ .------":. ..-~-.-'-.-: -_._. .._ ... - : J i, . _ ' _ . ... " , . - 1 . (4 pts.)Estudia la .estabilidad del sistema: . ;;,~:

b ) : /_+~ 1~dx .

_I'>;) XO

~4 pts.)Oadala ecuacion: 6x - + 5 : : : ; ; = 4

':::>.' , . . ,. .: ,. .. . .... [. -' ' J":'.:~:' . '" __:.;..,,_ .......... ....;.& .. ,. &.) -. " 'X : _ , - -3 X~.;...,....... ....\ ~.J-_._...... .. ~.- ..... ..........- .. ~-............__.... . ~~ . .' . .'~ 5 bde acuerdo a . los pcsibles valores de' c, b ER.

.~. .

I' r~ r \r._'~

, ' , ; ; . ,

2

)~:)_ 1 .'7 _}

~...

..~

' .. ,~.,,:~. ~ ' : 1 . . ; < t. ~: . '.. ~~:~~:{


10/60

I-"

'E S TU 0 '1 0 5GeNERALESLETRAS

/EXAMEN REZAGADO- 0

CURSQ: Ma.tBmat,icas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro LugonHORAP..10: 0936FECHA: Sabado 11 de julio del 2009DURACr6N DE LA PRUEBA= 2 horas y 50 minutesSEMESTRE 2009~1 Redaccl6n y ortograiia. sed.n tomadas en cuenta pa,ra hi calificacion de la prueba,

.~ No se puede ussr ningun material . Puntaje: 20 puntos

1. Calcula 1M siguientes ineegrales:a ) (1.5 pts.) J x: O + it+ 1 :r~edxv ur "'I" 1b ) (1.5 pts.) 1+ 0 0h(x)dx+~

1- six2 x


11/60

_... \,i. , . . - -, ' - . . . -\~. - . _ ~ - \

\ ..i.(_ \

1 / ~ ~~_(~ '\- ; I _ 1 _ / . v,. > . . . . ~ ." ' " ~ \ . . . . ...1,.. ~ -" ~

Xt"~t3)t~nC\ientre. J a . soluci6n particular para Xo= 1. = = = = ;;:;::::::::=. (3 pts.) Para la ecua.cion en diferenclas: ~ - = - = -

, . '. Xt+:l - 3Xt+l + 2xt = 2: \ y. - .C - \l1.'1t-t C?. t1, " " L J~nCOI\trar i l l - sclucion general. \ ,'- t~ 1 . . .\:'\_;ncontrar la soluclon particular para las condiciones inicieres: Xc= 0, Xl = 1."'-. .7. (4 pts.) p;tudia el equllibrio del sistema

+ - - ( ~ a . ) . e tI O f 3/=, j;;"

y el tipo de dinamka de las soruciones de acuerdo a los valores del pararnetro 0 . E R.Esccge un valor d~ u. pa.ra. el cual la ciina.mice. es de tipo aillf l . y dlbuja de La rna-MrS. mas precise posible el...-----./~\d:ag:-ama de fa .se.. identificando clararnent e codas los elementos rel~va.ntes. : ..---- '7 :'l \ \(\ ../ I r- . "L lI - /"'/. . . . , . . _ _ . . . . . . . - - . , . . . . . . . . ~

y('0 -,' : " . . . . . . . :t_;' r--'r-; I~~~ t-J

'I ,..,l,v.'-_jc'\ ' It ) -

-, < : i .. .\0 .

~xY:7_.0p- \0 !( \ ~ ~ .,1 \1 I\ I iL!

I. 1C-~-_; j\t I

2 0 1.-

{ ~l = ; r ) L S \ t! ~ \ r - !.1 . I \.-:- -.\- , -....QS .;' . . . . . . _ p. , . _ l ~,. ' .\ I ~ d t'i,r-i d~)

. ,l-- \- + . : , :

\ \"' '' ''",\' 1-1.>:.-. .1 '. ')L t .


12/60

.. .~"

ESTUD10SGEN'eRALESLETRAS'

-,>:"I" ))

r" S...>:,\J;.

ExAMEN FINALCURSO; Matematicas Para Econornistas 3PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0935FECHA..: Sabado 05 de diciembre del 2009DURACION DE LA PRUEBA: 2 Horas y 50 MinutesSEMESTRE 2009-2 '

'* Redacclon y ortografia saran tome-des ell cuenta para. la calificaci6n de la prueba. No se puede mar ningun material," Puntaje: 20 puntos

., //,1:' (6 pts.) Para e1siguiente sistema,/

.i:=2x + yy=4 x+ y

, . ' ' ' - J i:'\./11.

c) Determine el 0 los equilibrios (X~) y clasifiquelos.b ) Encuentre la solucion general.c) Esboce e1 diagrarna de fese. r~.: ,) j, y: y- S: 'o .\~ :-hi;'--,d ) Encuentre 1 & propieda.d que deben cumplir las condiciones iniciales para que la soluci6nparticular que generen converja al equllibrio. 'e ) -En el diagrams d~ fase identifique elt'lugar geometrico" determinado per 1 0 encoD.trad~en el punto anterior.

2- (6 pts.) Para el siguiente sistema[ ; 1 ; :=x(y - x) - x) y=x+y

.0) Determine el 0 los equilibrios (X~} y clasiffquelos.b ) Esboce de la manera m a s precise, posible el diagrams de fase.

, ~ .J'\. I,:" ,\ , / "_ :, - . . . . _ T _ I

~ ~..\ -~. ."~.',...--'. .

Slgue ..-


13/60

: r " " " - " . _ '

SXA MEN ....F I N A , I ,

3. (4 pts.) En 81 sistema\ I.:,:....(J = = - - , : . ) . . . . .

.. ,\' ..: ".r '--~es posiblc encontrar valores para b E R que hagan asint6tics.m.ente estable al equilibrio?_

4. (4 pt.s.) Encuentra la solucion general del sistema:

Xt+l - Xt - Y t + t

y luego la soluci6n particular para las cond.iciones iniciales: X o =1, Y o = o.

.. ...(

4

2


14/60

. . . . ,~I

apONTIFICIA UNiVE~ IDAD CATOLICADEL~ERU ..~ . ESTUDIOS GENERALES LETRAS

EXA.M:EN FINALCURSO: Matematicas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro Lugo.o. HORARlO: 936FECHA: Sabado 5 de julio de 2008 ..DURACr6N DE LA PRUEBA: 170 l \1 . iD. .u tosSEMESTRE 2008--1

_ Redaccion y oriogra.ffa. seran tomadas. en cuenta para. la calificaci6n de 1apruebe, Nose puede usar nmgUn. material. . PW lta .je :: 20 puntos. . .. ,.'

"i. (4 prs.) E.o.contra t las siguientes integrale$:.. ~ _ :2.~ 0. . ' 2y_ ~ )tZ .

a )

2. (4 pes.) J?laluar e interpretax geometricamente las siguientes i.nt~gra.les:.

o ,. a) 1 1 . ( ~ - :t) cb;b). r : ] : c ] a x

3. (4 pts.) Evaluar las siguientes integrales:a . ) 1~o . ze:" dxb )

. sigue...

f


15/60

4 . ( 4 pts. ) D a .d a . l a o e c u a . c i6 D . :

F,xamen Final. I~

Encuell1ta.1& colldici6n que debon cumplir las cOndiciones laicial .. pa:ro.que Ia ",luci6n psr-ticula.r 8 S O c i a . d a . a . elias X(t) cumpla limt~ X (t) ~ O . in te rp re ta . tu s r es ulta do s a . n a l i t i C B . Y.:grllli_te. .

(~

. '\ . t \ . . - . . ,0{"'-. ;.. ~er 3

d) Interpreta 10 encontrarlo en c).1.t(4ts.) Dado ~ sistema.:

. ,. \t - c

'.

2


16/60

ESTUDIOSGENERALESlUAAs

EXAMEN PARCIALCURSO:. Matematicas ParaEconomistas 3PROFESOR: Alejandro Lugon"HOR.A.RIO: 0936FECUA: Sabado 9 de mayo del 2009 .. DURACr6N DE LA P;RUEBA; 2 horas y 5Q minutos

" SEMESTRE 2009-1 ,. ..,:tC: 10 : R.edaec i?n y ortcgraffa seran tornadas en cuenta para la calificacion de laoprueba.

. . . 1 1 : , . N o se p~ed~ usar ningtin material.IIPuntaje: 20 puntos

1. Calcula las siguientes integrales:a .) (2 pes.).

..--- _ .. ------- - ..-. " . b ) (3pt1i ..). _. .:r (I) ...I

. . j ( x ~ l)~= L , . . . _ _ . . " n { ;. . . . . : x )d x , . ~ i< r 1- ,.. ~ - v--- \.....Lklv'\()(.) - "~ + ' C ! : ' . r. -_ ... - .. ---.- . . . . . . - . . . . . . . .-~----. . . . . . . . . . .

donde: -"0 ,,/. , ' - _ : . 1 : 1

. 1 - k o f(x)d;;

. 0 ,,

~".,

. 1 ..- $1 0 < : : c 5 . 1,ft.' ,

1~ 51. . 4 - < oX\. x2 -2, (4 pts.) Si Q(P) es la demanda. de un bien como funcion de su precio, Se define laelastici'dad .(precio) como: e ~ ) = _ p " dQ( . , fQ dp 1/Encuentre la fanlilia de ~clones de demanda que tienen el~stlddad constante h.

sigue ...

- - ~ ~. . - - ~ 1 . .~


17/60

Materoatjca.s uta Economjat,as :I BraIDen Pa.trial. j \ \ . ' . . . . . .:_ " _'-~,-, - ~

1 __ .

, . , - : .

. 3 '. S ea . la oe cua ci6n : "

,:'r+3r=f(~) J

';) (2 pt~.) .Si f(t) es constante' Iiecuecien es homogensa, si este es el case analice el> , eq~.ili.bTiOy ~u estabili_9.ad ~an~o e l espacio \(r, f). / L ~~~b) (2' pts.) Resuelva la ecuacion para. J(t).= l-(t').. -~. -\L~ _"1.. ~ Q r e . . . .c) {2 pts.) Para cualquier f(t) , si tenemos dos ~olu~itnes;a.rti~ax~ rt( t) y i2,(t) con. valores iniciales r1 (0 ) = 0. Y r2,(0 ) = b, encuentre una expresion para:. . . .

,J y calcule 5 U lfmite cuando t ----+ +004. Considers la. ecuacion: i+ 2:i; + : : ) = 4et - . . . .... .. :'-0 .) {2 pts.) l,Cucil es el dominio de b p~a: que le e eua .c i6n se a. astable?

. b ) (3 pts.) Resuelva. laoecuacicn para:i).b =-1ii).b.=liii} b =2'. .

',

, . . . 1 - , '_-... I!'.,.I, ... . ' .

(~

'.'.. .

2


18/60

I .. .. IlIAD". I ILEXAMEN PARCIALCURSO; Matematicas Para Economistas 3PROFESQR: Alejandro LugonHORAIUO: 0935FECHA: Sabado 17 de octub:re del 2009.FJURACIONDE ~A .PRUEBA: 2 Horas y 50MinunosSEMESTRE 200g...2

~. Redacctcn y ortogra.ffa seran tcmades en Clients. para la cslificecion de la pruebs, No se puede usar n io .gUn material..' Puntaje: 20 puntos

j' , '. ~. ,.. , ; . . '

~X 2 .: x . 2 - ~ 2-f- . + ('2-- ~

Cl(~ 4+-+~+cXL_ .~ .: { - : _ V - ~ + - -/-2+1. _ - - : J /1

~. (3 pts.) Calcular 'las siguientes integrales:a }

b )

c)

2. (3 pts.) Resolver:con x ( O ) =-2.

. . . . .. '.

sigue ...


19/60

Mat..ero#jca.~Para ECMgrnjst;MA

3. (3 pts.) Para la . ecuaci6n

EX AMEN PABCIAl . !

Comente sobre los equilibrios, BU nUmero y condici6n respecto a la estabilidad. Esboce lastrayectorias temporales en el plane y vs t.

4. (3 pts.) Encontrar 1&solucion general de la ecuaci6n q: : f ' Ib : - ~On + - if:e -9-o,._

y la soluci6n particular COil x(O) =O.Indique si existe equilibria y estuCrreIa estabilidad de laoecuaci6n. . . f ( e _ I - - . j . . . l J . I\: iG:(~. 6 If~ h-

~

-fJ.5x + 3x = 4 .. . ; t - C o ~ c . - b~ -~ : . - X

/~ pts.) Resolve r :

con condiciones iniciales y e O ) =0, y ( O ) = 1.

/ < 4 pts.) Resolver: r ,6Xt = -43:'_1 - 4et

Esbozar las trayectoria.g temporales de las soluciones y estudiar el equilibrio y Is. estabilidadde la ecuacion, .

\\'

2


20/60

, , . XH1 = 0 ,5

" .._, ..

Encuentra. laocondici6n que deben curnplir las condiciones iniciales para que Ia solucion parti-cular asccisda a . elias X~ cumpla limt-+~'~ := X", doade X* ee el equilibria. Interprsta tus. resultadce analitica. y gra.uca.mente. " .J i ".' - . .~.@(2 pt"., )Encontrar 1as siguientes integral .. : . .:: _'. . v . ~ . k :: . . . . . 4" ~'1"J+t y {(q) J ( X ) ~ n 1 x + 3) dx -( " '~ . - , \ 1 , . . . . . . J! 'Jr~. ,

1~.~ . .I ~c - . : : Y , ~ ' " . ] < - ? _ b ) J _ X 5 ~ ~ + 2 d x

. ~ ~ () .::. .k . . : r . . . , IS~~ '., ." . 'tffl)(2 pts.)Eva.lu~ e iuterpretar geometric&mente 1~ siguientes integrales:I ' d ) < :I ~'. fj~.Jr~~J, ) a) 1 1 1 - x l dx

. . . .

'A- .~.~:"-:_ .1 / " J " i.(_,' "JL'~ ,'", " ../. . . . . . ' . r : t.. .- - ; . -~ ../.,

,I'

(~.) . . (," :; /; ..) I -i Slgue., ,

r ' . J . . ~ ;) . ~.1 "",j1.: ",


25/60

~.././.~:.,_~ "I."':' ... _ .,. . .. . , .r . .!....,:

Matematicas 2a.ra Ecouomistas 3

. . _ '.,'-\.,.

f 9 (2 pts, )Evaluarle.s siguient.es inte~rales;

~4 pt s.)Oad.l. ecuaci6n:

a )b ) .

6:i - + 5x = 4

. .- j -

.a ) Encuentra Ia solucion que cumple con : x ( 0 ) = 3 y ::(0) = 5.

~Ti.ne equilibrio la ecuaci6n dada? "" _""" ~ " " ' X l ( t ) Y .At) dcs'soluctonee PorliC~"''', "icui! es le valor de! Uniite:

; lim (x~i(t) - X 2 ( t ) ) ?",-+QO" - . : . 0 : : .

.>: "4-~"1;t.rpr.t. 10 sncontrado e n c )" "~~ :~ . _ _ " ,~ - ' - i . (4 pts.)Estudia la .esta.bilida.d del sistema: :'.~~L~ : . .~ -~ - --.. ..;__ .:~ ,.:".;---,._.;;....._:._~.~n.. !. -.-._~"~ [. ~ 1 ,3 } X~.

.. :

de acuerdo a . los posibles valores dec, b eR.

-J

.". . .

2

.~)

. ' . :' : " i, : :- _ r : : ~ ~ S ~ ~ 2 J . ~ ~ % k " ~ . ( s . : ;. - .~-

j... ~'~~~.,_ . _ . . " .= _ . . . . . . . ., ; : j~~~-~~1~;~~~.~ : ; t f . l


26/60

E S T U O I O SG'e ;Ni ; ;RALES'LETRAS

EXAMEN REZAG.ADO.. '

CURSO: Matemdt.lcaaPara &onomistas 3PROFESOR.: Alejandro LugonHORARlO: 0936FECHA: Sa.bS-do11 de julio del 2009DURACI6N DE LA PRUEBA: 2 horas y 50 rnlnutosSEMESTRE 2009-1. Redacci6n y ortografia. seran tomadas en cuenca para I l l . calificaclon de Ill.prueba.

'/~ -. No se puede usa.rninglin material." Puntaje: 20 puntos1. Calcula las siguientes ineegrales:

a ) (1.5 pts.)

b) (1.5 pts.) 1 +00h ( z ) d z+0 0donde: 1- s iZ2 a: < -1

h(x) = 3 si -1 $: 0 :: < 1

2. (2 pts.) Encuentl'e Ill.solucion particular de; xx =; tpara la condici6n inlcial x(O) = -2.f (2 pts.) Encuentre la solucion general de 18.ecuacicn:

S - 2s = 2'4. Considere la ecuacion:

x + b :i: - 2x ~ 4be tM l ;p h.) L Es e sta ble 190e cua .c i6n p ara . a.lgun J8.Jorh ?b) (2 pts.) Resuelva 1&ecuaci6n para b = 1.

. 0) ,v . . . )0b ' ;>,v

r ltl1. sigue...~:~~~~

:. 1 c, '"1\_)- r : : _ / c . . . ..t 1 $ : ' "/ ,- ]' ~ C ; _ , ; . . . . . . . . . . f o . . ." \ - ,


27/60

5. (3 pts.) Considera la ecuacion en diferencias: .o.> \- ~\ ( ~ 3 . : c t +2:::t-1 =et" \ .) 1. (' Ia A .l.- j,-, u _ . ; . . " . . ~ ( . r l - - \I:~.n.cuen_tra la selucicn general.) !VI ~ ,~v

b ) Describe e l comportamiento de I .' . C _ J t s t- - : : : : :_____.-;' ~Xt.t-'2 - 3Xt+l + 2:c , = 2t ~ C J l 1 . ~ttC c . 1 - ~ tJ_ L)/ Y . . . t_:; '\ .:..A Encontrar laosolucion general. -

\'~ncontl'ar la soluci6n particular para las condiciones m icia le s: :Z :o= = 0 , Xl ;=0 1. ~~------7, (4 pts.) ~tudia el equilibria del sistema .

X = [ ! 2 : ] X

/- . . . . . . i ./'-t

! ~ \ 'r \

~ncuentra. la solucion particular para :Z:o= 1.6. (3 pts.) Para I""scuacion en diferencias:

\ \. J )',~-h i~\''/ I ~

y al tipo de dinamlca de las soluclones de acuerdo a . los valores del pa.rametro a . E lit.Escoge un valor de a para el cual la dinarnica es de tipo silla y dibuja de la maneta mas precise posible el~~\diagrama de fase, identiflcando cla.ramente todas loa elementos releve.ntea. '. --- n .~ \ \. . ' , ( J _ _ C V > . .'

( " '" \ \".\ '\ ~ ) . -. _/Q ,"L I. : "t\.' \ "\",-,-. , . - - -~.., rC :,n \0 _y 0 ( " " ),,'c \.b~ i - q ' _.11 G ~ .e-;'1. :-'I\. c-l/ \ ~I'~~''Z . - h CC t,/ ~ \ / .,1

C


28/60

' f , . ; ! a ~

'1tU'~/~,... . ... .g : . : . ~ . . 'P ONTIF IC ~ .U ..NI. . VERS IDAD . . C .ATOLICADELPERU.~-;;;;:;tl ESTUDIOS GENERALES L"ETRAS .~ . MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3

MAT-13SASESORIA02

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0935)01. Halle la soluci6n general de las siguientes ecuaciones diferenciales en variables

separadas:~a) - = _.!.d x J'

d) x y d x + r;y 0/ = 002. En los dos problemas siguientes, halle la soluci6n general de la ecuaci6n diferencialdada, usando, bien la regIa del producto, bien la del cociente.

a) xdy + ydx ::::: b) ydx = ydy , x > 0 I Y >O. .

03. Para lOB tree problemas siguientes, halle una ecuaci6n difereneial que describa Insituaci6n expuesta en ellos. No bay que resolverla,a) El mimero de bacterias en un cultivo crece de manera proporeional ala poblaci6nexistente.

b) La tasa de variaci6n de la temperatura de un objeto es proporcional ala diferenciaentre su temperatura y la del memo en que esta situado.c) La tasa de difusion de una epidemia en una comunidad de P personas es

r = > . proporeional al producto del mimero de personas que sufren la enfermedad por elnurnero de personas que no la sufren,

04. Se estima que, dentro de t afios, la coseeha de un agricultor crecera a la tasa de0.3 t:;l + 0.6 t + 1 medidas por dia. l.cuAnto aumentara el valor de la cosecha durantelos prnximos 20 dlas si el precio de mercado pennanece fijo a 3 Euros par medida?05. EI ritmo de crecimiento de una inversi6n es proporcional al montante de la

inversion, en todo instants. En otras palabras: ; ; ; ; k Aa) Probar que A : : ; ; : : C eM es solucion de.esta ecuaci6n diferencial .. b) Hallar 1a solucion particular de esta ecuaci6n diferencial si la inversion inieial asde 8/.1,000 y 10Mos despues el montante asciende a S /. 3320.12 .

.-1-:-


29/60

06. Cada funcion a la izquierda satisface una Sola ecuacion diferencial a la derscha,Empareje cada funci6n coil su ecuaci6n: 'a) y = e-'lx i) , y'" + 3 y II- 4y , = 0 'b) y ""e " - e -4 ii) s "-4y..:0c) y ;:;;;-~ sen x iii) y"+2y'-3y=Od) y =.1: e " x ivf' L , ~ - ~: Iy"-6yl+9y;;Oe) y=e"+e~8; : v) y"+2y'+2y~O

07. La cuantia A de una inversion P se incrementa a un ritmo proporcionai al valor de Aen el instants t.a) Obtener In ecuaci6n de A como funci6n de t.b) 81 la inversion inicial es de Sf. 1000.00 Y el interes del 11 por 100, caleular elcapi tal al cabo de 10 afios,c) Sf el interes es de 11 por 100 , ealcular el tiempo necesaric paradoblar lainversion. r'

" ..'

08. En eierta fabrica el coste marginal es 3(q-4)2 d61ares porunidad cuando el nivel deproducci6n es q unidades.a) Exprese el coste total de producci6n en oorminos de los costas indirectos ( el costode producir 0 unidades) y del numero de unidades producidas.,b) 4 Cual es el coste de producir 14 unidades &'108 costos indirectos son $ 436?

09. Suponga que el precio P(t) de determinada artIculo varia de modo que su razon deeambio ~~ es proporcional a la escasez J) - S , donde Th=7.:..Py S::;:l+P son lasfunciones de demanda y de oferta del articulo.a) Si el precio es S f. 6 cuando t = 0, $4 cuando t:: 4, halle P(t).b) Demuestre que cuando t creee sin limite, P(t) se aproxima al precio en que laofsrta es .igual a la demanda,

10. Resuelva las ecuaciones diferenciales de los tres problemas siguientesn) b) c) .2 . ( 2x +I) -2xdx + -x- y""e

11. En 1990 el producto naeional bruto de un eierto pais rico fue de 1.481 x 1012 dolares,Si_creci6 a un 2.5% anual entre 1900 y 1994 , prediga a euanto ascendera en el afio2000.

-2....;...


30/60

12. Una gran compafifa comienza en el in stante t : ; : ; : 0 a invertirparte de sus ingresos , arazon de P dolares por afto , en la creaci6n de un fondo de previsi6n. supongamosque el fonda recibe un interes del r por ciento compuesto de forma continua. Portanto el ritmo de crecimiento del capital del fondo viene dado porJA .-""'rA+Pdt

dande A = 0 y t=0 . Resuelvase esta ecuaci6n diferencial para hallar A en funci6n det.Ademas hallese A sia) P = 100, 000 r= 12% y t = 5 aftos

r'" 15% y t = 10 afios

18. En la aetualidad el precio de cierta casa es $ 200,000 . Suponga que se estima quedespues de t meses el precio P(t) se incrementara ala raz6n de 0.01 P(t) + l~OOOtd61ares po:rmes . l Cuanto costara la casa dentro de 9 meses ?c :

14. Chris tiene un salario inicial de $ 27,000 por ano 'y estima .que los incrementos desalario y las prim as su compensaci6n sumentara a una tasa media. annal del 9% .Ella deposita rcgularmente el 5% de au salario en una cuenta de ahorros quedevenga intereses a la tasa anual del 8 % eapitalizando continuamente ..a) Desarrolle una ecuaci6n diferencial lineal de primer orden para la cantidad dedinero en la cuenta de ahorros dentro de t anos . Suponga que ella realizedepositos de modo continuo.b) i. Cuanto dinero hoods en 18euenta de ahorros dentro de 20 afios

15. Besuelvasea ecuacion diferencial homogenea, . Ia) , x+yY""-2x b) I X-YY ""7.t;

18. Si y ; : ; ; ; : C(x) representa el coste de produccion de x unidades de un productomanufacturado.Ja elasticidad del coste se define como

E(' ) __Coste "",rgi,w '= " 1& "".L . ! 2 : .

X eMU m~ E.I!l. y axz

Halle la funeion de coste si la funci6n de elasticidad es: E (x) '" ~~: ; t xdonde C (100) '" 500 . y 100:::;x

-3-


31/60

17. Detenninar 18solucidn de las ecuaciones de segundo orden:a) x " - 4 x ' + 3x ::; t2 - tb) 4x"+3x'="t-l

. .1c) x" ~1ix' +~x = e4t2 "d) x"-3x '+2x=t+tet I Si.x(Ol=t Y x'(0)==1e) x" + 6x ' + 9 x :: :: ; 2 e -3t I Si x(O); : ; ; : 1 Y x '(O ) ~ 1Ox" - 2x' +5x = 2etsen(2t) +emi(t) , x(O) = 1 y _ : r ' C O ) = = t

, Si x(O)=M y x ' (O) ~i, Si x(O) = 2 y x ' (O) =:; _169Si x(O)=O y x ' ( O ) : : : ; ; 0

18. Determiner las soluciones de las ecuaciones diferenciales:

c) x" + x' :: te) xII" + 2x '" - .2 x ' - x - = t +1g) x'" + 4x'" + 14x" + 20x' + 2 5x ::;;50

b) x "' + 3x " + 7x ' + : 5x : ; :: : 10d) X"" + 3x'" + x" - 3 x ' - 2x ::;;e -2tf) x'" + 5x ' " + lOx" + lOx' +4x = t

a) 2x ' " + 7x " +7x ' + 2x ~ 10

19. Dada la expresi6n xC t ) =i(Acos(3t)+ Bsen(3 t , obtener la ecuaci6n diferenciallineal h om oge ne a d e 18que es soluci6n.

20. Las funciones de demanda y oferta de un bien a 16largo del tiempo vienen dadas por:Qs =- -2+2P+5P+I0P

suponiendo que el proceso de ajuste es tal que el precio se establece siempre a unnivel que equilibra el mercado. l,CuaI sera la evoluci6n temporal del precio?

21. Considere la ecuaci6n diferencial:

Se pide:Calcule la tasa de creciIniento de largo plazo justificando claramente au respuesta.

22. Suponga la siguienteecuaci6n diferencial:

Dependiendo del valor de (I, que puede ser positive, negative 0cero, la variable x(t)diverge, converge, presentara oscilaciones, no las preeentara, a . t r a .v e s del tiempo.l,Para que valor de "a" ocurren los distintos casos? Grafique en forma apro,umadalaevoluci6n de x(t) en el easo que a =O.

-4-


32/60

23. A continuaci6n se presenta la solueion a una ecuacion diferencial homogsnea dosegundo orden.y

Be pide:lCulil es la ecuaciondiferencial?

24. Un amigo suyo dice que encontro la formula magics para predecir el preeio del trigoen los rnereados internacionales, Esta es: , j } - m jJ +6p :::::0AIverla, usted Ie dice que au formula no sirve de nadas si no conoco el parametro"m", Elle contesta que es eierto que e1 valor de "m" se Ie perdio, pero que e l sabeque el precio del trigo tiene oscilaciones a traves del tiempo y que son cada vez m a schicas,

r>\ I Se pide:Determine un rango donde necesariamente debe estar "m" dados los antecedentesanteriores justifique claramente su respuesta, explfcitando cualquisr supuestoadicional que considere necesario.

25. Escribir una ecuaci6n diferencial lineal de coeflcientes constantes cuya solueiongeneral sea: y(t) = 01 +C2 e-2t +C3te",,2t

26. Un modelo econ6mico debido a T. Haavelmo contiene la ecuacion diferencial.jh = y(a -a) p + k tr , a.a, k constantes)

Resolver la ecuacion. lEs posible elegir las constantes de tal forma que la ecuaci6nsea eatable? .

Hallar las trayectoriastemporales de tr t Irey U; y estudiar la estabilidad del modelo.

Ir : :=. . . l . -4U +ZHt"10 5dtr8 -..i.( _ ( 1 )dt - 6 Ir J( .dU =-.a(m-Jr).dt 5

C - . . . ,.1 27. Dado el siguiente modele de interacci6n:tasa de inflaci6n - tasa de desempleo

28. Considere las siguientes eeuaciones lineales del primer orden:Use estas ecuaciones para encontrar la eeuacion 'dlferencial desegundo orden para 'Y'. Resolver para y(t) y encuentre lascondiciones sobre los parametres. Para que y(t) converja a suvalor de equilibrio y* = 0 .

y=auy+a12Xx=a~uy

Pando, 20de Septiemhre del 2008

-5~


33/60

PONTIFICIAUNIV6ERSIDADCAT ",leAD EL P ER .U. ESnIDlOS

GENERALESLETRAS

MATEMAnCASPARAECONONDSTAS3(MAT~138)

ASESORlA03

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0935)

01. Determine la soluci6n de la ecuaci6n en diferencia de orden 'doe:a) 2Yt+3Yt_1+Yt_2; ; ; : ;2 ( - ! ) t+3 'C2) t Si Yo ; ;O Y Yl=l'b) 3Yt-3Yt_l+Yt_2=2t-l Siy.o=O YY1: : . :3c) Yt -2Yt_l +'Yt-2 =t+ld) Yt + Yt~1-2Y t -2 =6+3(-2)t

Si Y o= l Y Y 1 =2Si Yo~ 1 Y Y 1 =" 2

02. Considere la ecuaci6n en diferencia:Yt -2(m'~1)Yt_l +(m-1)Yt-:-2 ::o:2+mt

donde m eaun parametro real estrictamente positive, (m >0). ' I.

a) l.Para que valores de m lasolueion complementaria converge a cera?b) iPara que valores de. m la soluci6n complementaria tiene un eomportamientoo sc il at or lo ? l .Cu a J .es la naturaleza de la oscilaci6n cuando t ~ +co?e) Determinar lOB valores de m, para. una soluci6n particular de Ia eeuacion endiferencia:. .' ,d) Resolver la ecuacion euando m ""2 , si Yo=0 Y Y1 =9 ..e) Hallar la soluciongeneral euando m = i. l .CuaI . es.su comportamiento asintotico?

'03. Encontrar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones en dife~encia,a). Yt~a ~3Yt+2 -lOYt+1 "'"0 .b) Yt+4 + Yt+3 -SYt~2 -5Yt+l -2Yt = 0. ~

. - 04. Encontrar 18 solucion general de:8) Yt+2 :'_4Yt+l +4y~ ;",;:b) Yt+2 - 4Yt+l + 4Y t " '-tc) Yt+2 -4Yt~1 +4y~=3td) Yt+2 -4Yt+l + 4 Y t = t2t

-1......


34/60

05. Halle una+ecuacion en diferencias de segundo orden (lineal y con coeficientesconstantes) que tengan como solue1ones:a)ut=5t t v,=(~2)tb) ut: : ; : : 4 t t v t= t 4 tc) u,.:(-1)tcos(4t) ~ vt""(-llse~


35/60

"I/: ;I'I: ; ,/

I '.10. En el siguiente modelo dsterminar Ia t r a Y e c t o n a . temporal, del, precio y estudiar el 'comportamiento de la solucion. . o, =80-4~"S, =~lO +Pe,e, ,S ~ : ; ; :D t "~e~ P ': - 2 : ' , . "\

11. , ,En elsiguiente modelo de mereado, 1{ ' a s el preeio, ' q pq f la cantidsd ofertada e n el period') i. , e~blcilntidad demandada s

a) Ohtener una ecuaci6n general en di fl rencia de segundo orden para Pt YC: enoontrar su soluci6n general~ iQue ocurre a Pt si t ~+oo? '

r-I

12. En e1siguiente modelo macroeconomieo, ~ as el ingreso, C, es el consume, It es lainverei6n en eada periodo t,

C,=!l't_l , It= 20+ fC l't-l-Y t-2) , Y t=O~+I ,Obtener una ecuaci6n en diferencia de segundo orden para y t y encontrarsusoluci6n estacionaria.Eneontrar la solucion general de la ecuacion en difereneia y decir que ocurre con ~si t4+CO.

13. yt, C , Y It representa respectivamente el ingreso national, el consume y Iainversion en el perfodo t,Supongamos para cada perfodo t E IN las ecuaciones del modele son las siguientes:

yt ~ C ; + It. ' . 8 .Ot=' 9l'f-l 'It : ; ; ; : . P ' C C " -Ct-1)+A

donde pyA sonconstantes positives, ' f J > 0 Y A > 0 .a) Escribir Is ecuaci6n en diferencia que~erifica elingraso nacional.b) Hallar lasoluci6nde equilibrio.c) Escribir las condiciones de.estabihdad,d) Para 108distintos valores de P ; hallar lasolucien general,


36/60

14. .Resolver las siguientes ecuaeionesen diferencia. En cada caso, determinar si lasenda so1uci6n es convsrgente 0divergente.

_' .: : .~15. Encontrar y resolver la ecuaci6n en diferencia para e1 siguiente modelo deCobweb. q t =lO-2p,

q : ;: ;3 p ,_ 1d .rq, =q,

16. Encontrar y resolver la ecuaci6n en diferencia para el siguiente modele deCobweb.q t =120-4p,q t =-20+3Pt_1 id Bq, ""'q ,

Po =25

17. Resolver las ecuaciones en diferencia para las condiciones iniciales, Ademas.analizar su convergsncia,a) y, =3-!Yt-1 con Yo~4 b) Y'+I ~ y, +3 con Yo = 10

Pando, 27de septiembre del 2008'

-4-

. I\I>


37/60

..._..... .......",::.... .

PMCTICA CALIFICADA No.2CURSO: Matematfcas Para Economist.as 3PROFESOR: Alejandro LugonHORARIO: 0936FECHA: Sabado 30 de Abril del 2011DURACI6N DE LA PRUEBA: 110MinutosSEMESTRE 2011~1

Redacci6n y orlografia serdn tomadas en cuenta para la calificaci6n de la prueba. No se puede usar ningun material. Puntaje: 20 puntos

1. Ana.Iice la verdad 0 falsedad de cada una de las siguicntes afirmaciones, [ustlficando su re-spuesta: ,. ,~\.1 : ' -_ .a ) (2 .ptos.y Si}: integrales J~:(x ) y f;: (g(x ) - j~X))i~so~:~,??nvergen,~, ~ntoncesIn integral L e o g(x}dx es converge~~.?~{~"",.',._{' .~. j ... J .-.~\:b) (2 ptos.) Es posible encontrar una solucion de (t": ' 1 ) _ M _ + y =t para la cualy(l) = = D.d t. . 'Y ,lA .i~ji.*.....

xC, . .

r: ),,_Ademas si Xl, X2 son soluciones de la ecuacion anterior, Halle: . ,~",.- , . .' i - -

j~' J I ' _ " ~ ': \ ~ .,. \ " o j ."T'.' ,1.

l.que puede decir acerca de la estabilidad de la ecuaci6n?.. ' . . . : ~: .'. slgue ...

\ - , . . . , . i_- '. _.\ '.. ~.' (~',_'

H . " ' .. '1 .,.. :-~ _ , l o ,--~,Ii


38/60

Matematicas Para Economistas 3 Practice Calificada 2

4. (3,ptos.) Para. la ecuacion il~9(Y) se sabe que Is funci6n 9 tiene la siguiente grafica:

Cornente sobre los equilibrios de la ecuaci6n, .su mimero y BU condici6n respectoa B U estabil-idad, Esboce las trayectorias temporales en el plano y vs t.f i . \ (4 ptos.) Encuentre la soluci6n general de In ecuacion

i J - 2y = f:2ty la solucion particular cuando '?f(O)=2.

2


39/60

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3(MAT-138), (0935)EXAMEN FINALPROFESOR; JORGE R. CHAVEZSEMESTRE 2010-2TIEMPO: 2 horas 50 minutes.OBSERVACION No se permite el USo de libros ill apuntes de clase.

Lf- l 2.-1()

(padO el siguiente sistema. de ecuaciones diferenciales

IY =x+ ayIX =ax-y

_ / Z p a r a que valores de a se tiene que (0,0) es el tinico equilibrio del sistema? ~(1 punto)

\" I~ .. . ! . . I, ,..b) l.Paraque valores de a se riene que (OJ0) es un equilibrio atractor?/(1.5 puntos}/4l,Para que valoree de a se tiene que (0,0) as un equilibrio repulsor?

(1.5 punt os ).JtjRespecto del sistema de ecuacion .. diferenciales

x ' = x -4yIY = 2x ~ 5y

(1 -~,\ 1 . - 5 )se Ie pide /

~ ~Resolver el sistema. (2 puntos)A acer cl diagrama de fase (2 puntos)ecir si el equilibrio es esta.ble 0 no. En caso que el equilibrio sea estable se Ie pide,mas) que determine su tipo de estabilidad (2 puntos)

1


40/60

.. :...",I: :

-y -_ " " " .,( ,J ~ \'y ~ _'::

3. Dado el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales,---- oIX =-xse le pide

~contra.r los equlhbrios (1 punto) ( O J '7) .b) Encontrar la unica solucion del sistema que pasa por el punto (I} I) en t = 0(2 puntos)

r'-I.,4. Respecto del sistema __ lineal de ecuaciones diferenciales,s : = yI ~Y = -ky - w x ; - k > 0 , w .;. O.

\ --/ ' .. .\ --1 ,y _.

1 pide -.--_._--'.. /) V. /Encontrar el cquj~~:Jrio y decir si este es hiperb61ico 0 no (2 puntos]

:)4Decit si el eQuilihrio es ? no est,~~le:9 puntos) 'If .--b--/-::~'Resolver el sistema de ecuaciones en diferencia y determin~..;!,_~~_9,~_~ri:Q_.

// X(t+l)= [~ :] X( t ) + [~] .(3 puntos)

_ /,\- - - L

r -. , --f~- ! -,.IY !nf' O J ~iO/TI , . - " " ) -1II -~- -" " . . . . . . . . . . . . -O'y b~-I,J - ..- -2xuJ -KI (.,( ... (I c) ~ (':'0 t~~.,'"'\ 01~ .~. '/ )

./

( \ ././ "~I; . 2 , J .,! -}:


41/60

Y .III,_~ . L - _ . r , "'.' . ." 1 . ' . ... , '. "" .. ; : : _ . : . ' . 1 1 ; J N . t . ..7:'_'CA .

. . . . .' ' ' ' ' . 0 0 5 .'LEI ., . . . ... . . /~ . / . , . < a .\ ~ . , " _ ' _ . , ~ . _ ' . ~ . .. . . . . . . . . , ; ,a . I,.'

:,/

PRAcTICA CALIFICADA No.3OURSO; Maeematicas Para Economistas 3PROFESQR: Alejandro LugonHORARIO: 0935FECHA: Sabado 10 de octubre del 2009DURACI6N DE LA PRUEBA: 110MinutosSEMESTRE 2009-2 Redacci6n y ortografla seran tomadas en cuenta para la callficacton de 1 8 0 prueba, No se puede usar ningun material. Puntaie: 20 puntos

I. Resolver las siguientes ecuacicnes diferenciales:a ) x - 4x = 3b) 3ii - 2 i1- Y = 2et con condiciones inicialea y (O ) = 01 y ( O ) = 1.

2. Estudiar si es posible escoger los parametros 1', 0, a y k de manera que la ecuaoion:P = "I(a - a)p + k

sea eatable.3. Resolver las sigulentes ecuaciones en diferencias:

a ) 5Xt = 7Xt-l + 2tb) Y t + 1,5Yt- l + 1 = t con condicion inicial Y o = 4.

En ambos casos eabozar las trayectorias temporales de las eoluciones.4. Tenemos la siguiente ccuacion:

Zt+1 = 0- {3ZtEncontrar la propiedad que deben cumplir los parametres !l"y f 3 para que la ccuaci6n seaestable. En dicho csso, l.cu81 es el valor de l imH+{X) Zt?


42/60

.,:....': I.' '. . ..

. ': '., ,.\ .... ,._".': ,. . .. : ' , : . 1 " : . " n .. '."'.

PRAcTICA CALIFICADA No.5CURSO: Matematicas Para Economistas 3PROFESQR: Alejandro LugonHORARIO: 0935FECHA: Sabado 21 de noviembre del 2009DURACI6N DE LA PRUEBA: 110MinutosSEMESTRE 2009-2 Redacci6n y ortografia seran tomadas en cuenta para la calificacion de la prueba, No se puede user ningun material. Puntaje: 20 puntas

,1. Determine y clasifique analftiG.._a.mentelos equilibrios del sistema slguionte y asboce el diagramade fase correspondiente: ll!,.p b) . . '. f 1\ & 1 .

x = x yi J = (y - e ~) (e tl - x )Con el diagrama de fase argumente POl." que en este sistema cualquier solucion particular canx (O) > 0 cumple con x(t) > 0 peratodo t ; : : = O.

2 . Considere el sistema (S r1 ' l'~~'\

" " " " , .a ) Ver i f ique que ( a . , 0 ) la s un punta d e equllibrio.b ) Clasifique el comportamiento local de las soluciones alrededor de dicho equilibrio deacuerdo a los valores de los parametres (a , b ) E ]R2.

j; = x(a - x) + xyi J=y+bxy~(

3. Sa tiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: c : i ; ' p t s ). I .p = p-r(H)il = fP (P ) - H4ij[ ~0 - (-ll(i-J - ~ ~ 1~1

Suponiendo que exista un equilibria, carsctence el comportamiento del sistema en la cercanfadel mismo,

I '_1Can r - < 0 y w ' > O. 1 .. . - ,

LEl sistema. puede tener dos puntos de equilibrio? .


43/60

(i d ) s- ( ! f t 1 ) ~ {t 1 ) ( i) -::., (,.I, e -.b. C O ' _ 4)( 1- D)( - -~ f ). . . . . , < , ~ , ' , 'a ; ~ ; : i ; ' 1 : ~ ; ; : _ I

( q. 'fVA 0 )" "-',':"" '1 " , ~ ~ ._ I \ t r +-c .. ~ ~L-:: ":


44/60

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIQS GENERALES LETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3(MAT-138), (0935)'PRACTICA CALIFICADA 4PROFESOR: JORGE R. CHAVEZSEMESTRE 2010-2

~. Dada laoecuecion rt+2 ~ 2Yt= 4t + t + 5incontrar la ~luci6n general.~) Encontrar la trayectoria que pasa por Y(O ) =O.

t...,('-1\' *'t'tf< : . J - \ ' \ " ~ " ' . . " , 1- '\ ~

2. Sea A una m.atriz cuadrada con valor propio )..a) Probar que si VI Y V2 son vectores propios asociados can). entonces VI + V2 es tambienun vector propio asociado con )..b) Probar ue para cualquier constante I (lISun vector pro ..d l Con respecto. al sistemaIa) Obtener la soluci6n.b) Cale\iI8rf...S.M8-eElHilihcios_y decidir si..sDo Q..DO eatables.tCon respecto al sistema

a) ~l~~~Q!~~i.~n.b~'Calc\llar los eqllill.hriet!;___

, ' "1


45/60

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES tETRAS

MATEMA TIC AS P ARA EC ONOM IS TA S 3(MAT-138), ( 09 35 )P R AC TIC A C AL IF IC ADA 5

zo-Ji-JO" "P ROF ESOR : JO RG E R. CHAVEZ

S EME ST RE 20 10 -2T IEM PO : 2 H ora s

1. Dado el siguiente sistema

a) Eneontrar el equilibrio y decir si es 0 no estable. (2 puntos] /..b ) Eneontrar la trsyectoria que p .... por el punto X(O ) = [~]. ,,-(2 puntos)2. Dado el sistema

x' = [: :] X"a) LQue condiciones sobre los parametros Q., bj C y d debe imponenrse de rha.nera. que el

" \sistema tenga dos valores propios Ay -,\ reales. (2 puntos] ,... . . . . . .b) Can base en la pregunta {a}, l,cu61seria el equilibria? y decir si es 0 no 'tStable. (2" ~\. S .~ \lV \J~~ ~puntos) "" '-.."c) l,Que condiciones sobre los parametros a , b, c y d debe imponenrse de manera que elequilibrio no sea. unico? (2 puntos] , D{I~ D ~3. Sea. cl siguiente sistema. no linea.l

X' ,_;,!(x, y)i / : : ; :g(x,y)

con las siguientes hipotesis de comportamiento: J : = 0, I ' l l > OJ9:1:> 0 y 9y "'" O. Se sabeedemas que e1 sistema tiene un equilibrio e = ( x~ , y~) .

.1

"r


46/60

a) Se require saber si el equilibrio es hiperbolico. (3 puntos)b) Analizar la estabilidad de e. (4 puntos)4. Resolver el sistema

, [ 6 9 ](t + 1 ) = ' X(t)-1 0(3 puntos).

.", . . . . .

, 2 .


47/60

ESTUDIOSmIltLU\ j :-f(l()'iI(i)~ly).

,::. : .: . ''. :V tl(+j~ ,.f.ty)y ICt)' l B & ~ ''(~).f(y)PRAcTICA CALIFICADA No.2CURSQ: Mateuuiticas Para Economistas 3PROFESOR: Alejandro LugonHORARIQ: 0935FECHA. SAbado 26 de setiembre del 2009DUHACI6N DE LA PRUEBA: 110MlnutosSEMESTRE 2009-2 Redac~i6~ y , ortografia seran tomadas en cuenta para Is.calificad6n de la prueba . No se puede usar ningiin material. Puntaje: 20 puntos

. _ .. ' "

'f.)_~0{ > ~ "0a ) tx = z (2 - t) ; ~ l.~~

b ) x e t - x2 = Q ' .1 F i ; S .s . en ambos cases, encontrsr laosoluci6n particular que cumple x(l) = 3. ) 1-~ \ '")~~)I'2. Para. la ecuacion ~. ~

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

if = / ( y )se sabe que Ia.funci6n f tiene la siguiente grafica,

_ e . -T:;. .. y :Comente sobre los equilibrios de la ecuacion, su mimero y.condicion respecto a . su estabilidad. ...:.r-Esboce las trayectorftts temporales en 6 1 plano y vs t. . v

._ ,. >

slgue...


48/60

Matemliticas Para Econamistas 3 PBACTICA CALIFICADA No.2r" _~0~~~~,~'~,i.:~1"~~;"i".... :' ,... '~"., . . "~i~;;' '.~."

I, .: '," ..-. _ ,, I ::. -.. ", I ',,:~_" ,,'. ~ .' I," " . '. > : . ~ , ~,?'.< ~,:,~,::,,~~':'?:r - . . . ~

3. Para carla caso i n d i c ~ o ; enc~riiia(l~ 6 1 ~ 6 i ~ l : t e I i e t ~ 1e la ecuaci6n y la. solucion particular:con x ( O ) = o . . .~ . , r,0) -:t+ 2x = 4b) 3i:+4x=tc ) 5 --:-lOx = 4e2t.

a x + f3 x = ' Y ( t )

,indicando si existe equilibrio y estableciendo la estabilidad de Is.ecuacion, < ; . .4. Dada. la ecuaci6n:

Determine las condiciones para que dOB soluclones partlcnlares cualqulera x* y x** cumplancon:

lim (x~(t) - ;r;** (t)) = 0t-+-OQ~1"

2


49/60

' " - - . . . . . - .

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3(MAT-138)} (0935)PRACT ICA CALIFICADA 3PROFESOR: JORGE R. CHAVEZSEMESTRE 2010-2TIEMPQ : 1 hom 50 minutos

k . t c M . ' C J _ .10... J 0

t E~contra.r y analizar los equilibrios de las siguientes ecuaciones: .x = ze". ) X l = x3 + 4x2 + X - 6. Sug. Observe que un equilibrio de la ecuacion es x = 1. ~-~~,~ - l. - (..'I..\. ~')L - , \ - ,. \demanda. y la oferta. de un bien estan en funcion de las variaclones del precio en el Vpo, segun las siguientes ecuaciones :

. . . . -

1 ID(p) = 100- p - -p23 I IIS(P) = 3p+ -p + P2l~~-~)

~ .. , 4 - k 'l. '" '?~\ _ ll( ..\.,~requiere saber si el precio de equilibrio es eatable. Asuma quo el mercado perfecto en

@ ) . .odo instante," Determinar Is fun ci6n f ;N --t IR sabiendo que~ j(k + 1) = !f(k) + 3 ~ t l ( 1 ) --h \ 4~/(0)=1. > 1 - ~ 1 '1:-Q

I Resolver las siguientes ecuaciones en diferenciss, suponiendo que Y o = 2 Esbozar el~mportam.iento de la funci6n en un gafico ty.t ~ Y H I - Y t - 2 = 0 ..) 3 Y H I - 2Y t " '" 3

NOTA Cada pregunta vale 5 puntos.J O b.

1'1 - 1~' 1 ' ' ' ' ' ' ''1t '; l~t:+"\" ' - " \ )

1 ~ ) -1 . . . , r~ 1 .. t\ - ::: ~

(. 1'\ _ t" \ - , \ 1 . ..t(~lt,(

" 3


50/60

PONTIFICIA UNlVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRAS

MATEMATICAS PARA ECONOMJSTAS 3(MAT-138), (0935)EXAMEN PARCIALPROFESOR: JORGE R. CHAVEZSEMESTRE 2010-2TIEMPO: 2 horas 50 minutes

en el intervalo 1 - 00, 0 0 1 Probar quea) ! - : f(x)dx = 1. ~.'.h. ~o ~ .....b) I: xf(x)dx = It,. Calcular I. siguiente integral definida cuando 1 > 2,, r~T = 1 0 u2(u - u),-ldu

1. En estadfatica Be define la funci6n de densidad normal 0 de Gauss por la expresionf( ) 1 _(:Z:_/-I)2/2u2x=-e. 0 ' . . . ; 2 ; .r e J. J.J\.:. 'ft{- 0 . 1 ) .

1.f En un modelo macroecon6mico C(t) ,I( t ) e yet) designan respectiyamente consume,inversion y rent a nacional de un pais On el instante t . Supongamos que

Y(t) = C(t) + l(t),J(t) = KC' (t) ,C (t) ~ aY (t) + b I~\\

\ \...--_d=e c, by K son constantes posltlvas, a < 1. Obtener Y(t) asumisndo queY(O) ,o > b/(l - - = - a Obetener tambien la curva de inversion correspondiente ..

. Rl ' Dadas las funciones ~deoferta y demandsQd = 40 - 2P - 2P' - p"Q,=-5+3P

. 1ll'~,__,~l)1


51/60

(./

COnP (O ) ... 12 y p' (0) ~ 1, hallar P(t) con 'la hipotesisde que el mereado es perfecto en_ _ " ._ n o _ _ , . _ _ . _ _ . . . . _ . . . _ '_ " . . . . . " . . ' : . . .todo instante, Se requiere saber; ademas, si la trayectoria del precio tiende a BU est ado deequilibrio. . >


52/60

_ " , ' . ,"

t~l&'ES1lJDIOSGENERALESLETRAS ' '.90~os I 'ONnFlCIAUNI'(ERSIDADCATOJ..ICA,DR P E R U

MATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3(MAT~138)

ASESORIA03

Profesor: Armando Blanco Del Rosario. (0936)

01. ..Determine la.~o~uc~6n~ la e;:ua~~ en ~ere~cia de.orden dos:a) 2~~+ 3.Yt-1 tYI-2 :;0~1~!)F~) s~Yo;:; 0 Y :)'1 = 1b) 3Yt -3Yt-l + Yt-2 = 2t -1 ----.- -~ 8 1 Yo ::to 0 Y Y l = 3c) Yt-2Yt_l+Yt_2=t+l"d) y, +Yt-l ~2Yt~2 =6+3(-2)t

Sf Yo ~ 1 Y Yl:: 2 .Si J :o = 1 Y Y1::;:2

02. Considere la ecuacien en diferencia:'. ty 't -2(m-l)Yt_1 +(m~1)Yt~2 =2+-m

donde m as un parametro real estrictamente positive, (m ~ 0).,'. _a) lPara. que valores de m la soluci6n complementaria converge' a cero?b) l.Para que valores de in Is soluclon complsmentaria tiene un comportamientooscilatorio? lCUl i l es la naturaleza de la oscilaci6n cuando t ~ +00 ? .

c) Determiner los 'valoree de m, para una soluci6n particular de la ecuaci6n en.diferencia. . ,d) Resolver 1 8 ecuacion c~ando m = 2 , si Y o ~ 0 Y Y 1 = = 9 .e) Hallar la soluci6n general cuando m ;= ~. leuaJ es au comportamiento asint6tico?

03. Encontrar las soluciones generales de las siguientes ecuaciones en diferencia.a) Yt+3 -3Yt+2 -IOYt+l = 0b) Yt+4 + Yt+3 -3Yt+2 -5Yt+l ~2Yt = 0. .c) Yt+5+3Yt ...4+2Yt+3-2Yt+2-3Yt+1-Yt =0

04. Encontrar 18solucion general de:~t+2 -4Yt+l +4Yt =1


53/60

" ,. , .a .. '_ .

;. ,

05.. :~, .. " :;.~Halle una e c u : a C i 6 n . en diferencias de segundo orden (lineal, y con coeficientea

constantes) que tengan como scluciones:a) ut = 5t , v t ~(""2)t.,. -:. .b) u, =4t, Vt =t4tc) 'Ut = (-t)tcos(4t) , Vt = (-1)tsen(4t),

06. Encontrar la soluci6n general de las siguientes ecuaciones en diferencia:a) Yt+2 -4Yt+l +4Yt =5(4)tb) Yt+2-6Yt+1+8Yt=3t2+2c) Yt+2 +4Yt = c o s (trt)d) Yt+3 + Yt ~ 2 t c o s (3t) ,e) YI+4 -16Yt = 3tf) Yt+3 - 3Y t+2 +3Yt+l --:Yt = 48 +24t

07., Las sucesiones Y t Y xt estan vinculadas por las ecuaciones siguientes, que sonvalidas para todo t ~1 ,Yt - Yt-l = 6xt-1 '

xt=Yt-l+2 . ~.Obtener una ecuacion en diferencia de segundo orden para Yt. Hallar expresionesexplfcitas para Yt Y Xt, siendo Y o "" 1 y "X o ; : ; ; t.

o s. Suponga una ecuaeidn de diferencias lineal de coeficientes constantes de, ~gundoorden' no homogenea,cuya entrada es igual a una- constants, y que ',genera lasecuencia de numeros; . , ' ,'2 , 3 " 11 , ,28 , 70 ,,171 , ...

a) Encuentre 1 8 ecuacicn en diferencias.b) Encuentre la soluci6n de dieha ecuaci6n.c) En el limite, icual es la raz6n entre dos terminas conseeutivos? Justifique surespuesta,

\ ,

09. Dado el siguiente modelo de Samuelson:~ ~C t +It +0c , =O.6yt_1It ; : : ; 3 ( C t . . . : . . C t-1)

y conociendo que: G = 100; Y o ;:::0; Y1= too , determiner la trayectoria temporal delingreso y estudiar la estabilidad del modele. '

. .

-2-


54/60

.."

14. Resolver las siguientes ecuaciones e n diferencia. En .cada caso, determinar siIa "'.senda soluc:i6nes convergente 0diver.gente.

r "~

15. Encontrar y resolver la ecuaci6n en diferencia para el siguiente modele de.Cobweb. . dq , =1O-2Pt

d Sq, : 0 : :%

16. Encontrar y resolver la ecuaci6n en diferencia :para el siguiente modele deCobweb ..

q 1 : : : i120- '4Plq: ~-20+3pl_ld sq, =q,

. P o : ::2 5',,',

17. Resolver las ecuaciones en diferencia para Ias condiciones inieiales. Ademasanalizar su convergencia. .

Pando, 06 deMayo del 2007

.;

\ -4-


55/60

\, "

11. En el siguiente modelo de mercado, Pt es el precio, q F es la cantidad dsmandadayq f la eantidad ofertada en el perfodo t.

q p :3- 2pt j qf '"-1+4Pt_t , Pttt ~Pt ' = = i ( q f - q f )a) Obtener una ecuacion general en diferencia de segundo orden para Pt Y'encontrar a u soluci6n generBl.lQu6 ocurre a Pt si t~+oO? ".

12. En el siguiente modelo macroeconomieo, Y e es el ingrsso, C t es el consumo, It es 18inversi6n en cada pedodo t."

j It ~ 20 + "!(Yt-l -'Yf-2) , Yt = Ct + ItObtener una ecuaci6n en diferencla .de segundo orden para' y t y encontrar .susoluci6n estacionaria.E~contrar la soluci6n general de la ecuaci6n endltereneta y decir que ocurre con y tsi t - - + + c Q .

13. y t, c, Y It representa reapectivamente el ingreso nacional, el consume Y lainversion en el periodo t.Supongamos para cada periodo t E IN I las ecuaciones del modele son las siguientes:

' I

y t =C t + It. c, =iYt-tIt = p e e t -Ct-1) +A .

donde fJ y A so n constantes positives, B . 0 Y A:> O .a) Escribir la ecuaci6n en difereneia que verifica el ingreso naeional.b) Hallar la soluci6n de squilibrio.c) Escribir las condiciones de estabilidad,d) Para los distintos valores de p , hallar la solueion general.

-3-


56/60

, /~TUD~OS GENERALFS,' " . LBTRAS

MATEMATICA PARA ECONOMISTAS 3(MAT-138)

,ASESORjAQ4Profesor: Armando Blanco del Rosario (0936)

01., Dado el sistema:

&;;',, ; - - " - " . a ) H alle r los va Jore s de k p ara obte ne r un a m atr iz c an 6n ic a.,b) Resolverel sistema din~ico,para eada valor hallado de k.c ) HaJ la r e l e quilibr io p ara ca r la va lorh alla do de ky ana lizar SU estebi l tdad. :

02. Dado el sistema: [ . r / + l ] [ k k ] [ X I ]~Hl'::': 1 k, Y,. ' ,a) Hallar los valores de kparaobtei :J .e r una matriz can6nica.

b) R esolve r e l sistema din amico pa ra cada va lor h alla do d e k.c ) H alla r e l equilibr io p ara cad a va lor h allado de k y a n a liz a! s u e st ab il id a d .

03. Resolver el siguiente ,istoma de ecuacion .. ; X = (~ - ~ ) Xy r ea liza r e l d ia gr am s d e fa se c or re sp on die nte ,

04. Dados jos sistemas dinamicoe: x = A . z x z x " Y X'+l""A2) ( i x ,

... " I

,~~ I90 PO N TIFICI... -. v : . o s UNIV.ERSIDADCATOI-ICAD E L P E RU

2007-1

H.llar una '""('iz A 2x' e n forma can6nica: A 2. 2 = [ ~: 1ta l que e l (0 ,0 ) se a e l un ico e quilibr ia de ambos sistemas y ed emas e l (0 ,0 ) se a une quilibr io a sin t6tic am en te e sta ble e n a mb os siste ma s. (lustifique su r e spue s ta ) ,

. o s. R esolve r e l siguie nte siste ma lin ea l y ana lizar .la estabilidad:

-1-: ' r : J. I -, ~

,1\


57/60

. ._----"' . . . . . " . . . . . . . . .i' .__.

I .: ~~'.

:,.":' ... '

0 6. R esolve r e l siguie nte siste ma de e cua c ion es:,, , " ; I?

y r ea lize r e l d ia gr am s de f a se co r re s pond i e n te , r .. I.~,,;, , .... :

'., ". . '~. . .. . ,".

0 7. R esolve r e l siguie n te sistem a'y d ete rm in aT el tip o d e 'e qu il ib rio :

C on la cond ic ion inicial X 0 .::(1,0 ) . .

O S . D ado e l mod e lo d in am ico IS - LM ; dY=-!.Y-!.rdt 42 " .. d r 1 1~ :


58/60

;"'a-',,' , , '. .iI/ 11. D ado e l sistema de e cuacioae s en diferencia:

[ P t + l ] [ l . . . ; , a P J ( P t ]qt+l'; ; ; ; a 1-/3 q ,H alle e l p un to de e quilibr io y h alla r la c on dic i6n ,que d ebe c um plirse p ara . q ue la soluc ionconver ja al p un to d e e qu ilib rio .

12. R esolve r e l sistem a de e cuac ion e s e n d ife re n cia .,

[PH I ] [ 1 - a P J f Pt ]q,+ 1 ::: a 1-P l,13. P ara ca da uno de los siguie n te s sistema s de e cuacione s d ife re ncia le s~ d e te rm ina r si e l

sistem a e s un node e atable 0in esta ble , p un to silla , fo co e sta ble 0inestable 0cen t ro .

a) { ~ = lOx+3y+2r= -3x+ y+ 1 {

~=X+3Y+10b)y=-2x+y-S {

x : = 2x-6y-1c)y~-3x+Sy+2

14. R esolve r e l siguie n te sistem a. y d ete rm in er e l tip o d e e quilibr io ., ( - 2 - 1 J ( 9 )X t+l: ;;;:: 11 X ,+ 3

15. Considerese el siguiente modele de equilibrio de Me r c ado no lineal. El precio se ajustaa1 ex.c e so de d emands por : -, ,

(7' p=a(qD _qs)y e l nume ro d e firma s en la industr ia se a justa por e l exce so d e ben e fic io de acue rdo a :.N =rt ~c.)donde qD = a + bp e s la func i6n de d em anda y 18 func i6n de ofe rta e s;

qS =(F +Gp)N.A sum im os que b < 0 y .los otros p aram etros Ca,r .a.F ,G ,c) son mayore s que ce re .M ostra r que si 'Y no e s bastan te gra nd e , e l equilibno e s un nodo estable, pe ro si y e sbastante grande, e l p un to d e e qu ilib rio puede se r un foc o e ata ble .

Pando , 2 6 de Mayo d el 2 00 7


59/60

/

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERUESTUDIOS GENERALES LETRASMATEMATICAS PARA ECONOMISTAS 3(MAT-138), (0935)EXAMEN REZAGADOSP RO FES OR : JO RG E R. CHAVEZSEMESTRE 2010-2TIEMPO: 2 horas 50 minutos,

~Ot ...... \ "", \..\tn ) )a ;..J.I-J2-)()

OBSERVACION No se permite el uso de libros ni apuntes de clase." ' / ~)(l~ -,' .

~.. ~lj(-\t)~~14~.\I-\~\

..\-\~~~1..-4~*)~t'4~)"~""

-1Ialcular las siguientes integrales,

/1 =16x..;x--=tdx12 '=100e-ttdt

(3 puntos)

u Ialcular el area limitada por la graflca de f ( x ) = H e : ! : + e-3:), el eje x y las rectes:2; ::::::-1 y x :.:;1. (4puntos) - y(_.)t -' 6(j_')3. Dado el sisteme ~ . ~ ~ l l t , , , - tl-t\

:2;' = 2x + E ly - e~y ' = 4e-sx + y

~ Eneontrar la solucion general (3 puntos)~ Encontrer Ia soluci6n que en el instants inicial pasa por (0,0) (2 puntos]f Con respecto al siguisnte sistema

4 IX =vy ' : = : : : - 2 x - y

( O J 0 )

/ J Encontrar ol equilibrio y analizar su estabilidad (2 puntos)~ Hacer el diagrama de fase (2 puntos)

1


60/60

# . Dado el siguiente sistemaX ' = (LX - ( 2 0 . . . . , . . 4 ) y , "IY = x+2ay

se requiere saber,4l.Para que valores de a ) el punta (0) 0) es el unlco equilibrio? (1 puntos) of' ~~~Para que valores de a se tiene que el punto (0,0) es un atraetor? (3 Jmntos).

\

1", _

l ~ 1 ' 1 . . _1,- , -L -~u. - " ' )\ . _ - l " - \ . '" \

f)rt :.1._ < A1 , ... "L v . . - " ' \2

MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 3

Documents

Transcript of MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 3