Mata Kuliah GELOMBANG-OPTIK

TOPIK 5

Bagian 1

andhysetiawan

Bagian 1

Pendahuluan

Transformasi Fourier dan Fungsi Delta Dirac

Modulasi Double Side Band (DSB)

� Modulasi � proses perubahan karakteristik suatu gelombang menurut pola gelombang lain, dengan cara menumpangkan (memboncengkan) suatu gelombang pada gelombang lainnya.

Dalam teknik komunikasi, gelombang atau sinyal � Dalam teknik komunikasi, gelombang atau sinyal pita dasar (base band) dikirimkan dengan modulasi gelombang pembawa yang berfrekuensi tinggi.

� sinyal pita dasar � gelombang informasi atau gelombang modulasi � ψm

� Gelombang pembawa � ψp

andhysetiawan

Modulator

Antena

Pemancar

ψ

pψ ψ

Modulasi

andhysetiawan

mψ

Demodulator

Antena

Penerima

ψ

Filter mψ

Demodulasi

� Transformasi Fourier: operasi yang menghubungkan

kelakuan suatu fungsi dalam dua domain yang berkonjugasi.

∫∞

∞−

−= dtetg tiωψπ

ω )(2

1)( ∫

∞

∞−

= ωωπ

ψ ω degt ti)(2

1)(

∫∞

−= dxexkg ikx)(2

1)( ψ

π ∫∞

= dkekgx ikx)(2

1)(

πψ

� Fungsi Delta Dirac

andhysetiawan

∫∞−

= dxexkg )(2

)( ψπ ∫

∞−

= dkekgx )(2

)(π

ψ

∫∞

∞−

−−=− dte it )(0

0

2

1)( ωω

πωωδ ∫

∞

∞−

−−=− ωπ

δ ω dett tti )(0

0

2

1)(

∫∞

∞−

−−=− dkexx xxik )(0

0

2

1)(

πδ ∫

∞

∞−

−−=− dxekk kkix )(0

0

2

1)(

πδ

00 xuntuk x 0)( ≠=− xxδ00 xuntuk x )( =∞=− xxδ

Hasil modulasi secara umum dapat kita ungkapkan dengan :

)()()( ttt mp ψψψ =

)cos()cos()( ttt mmoppo ωψωψψ =

[ ]ttt mpmpmopo )cos()cos(2

1)( ωωωωψψψ ++−=

andhysetiawan

Operasi di atas disebut dengan mixing, hasilnya berupa dua

komponen gelombang (side band), masing-masing

berfrekuensi ωp+ωm dan ωp-ωm.

ωp+ωm : pita sisi atas (upper side band)

ωp-ωm : pita sisi bawah (lower side band)

Tampak secara eksplisit bahwa akibat modulasi, terjadi

translasi frekuensi gelombang modulasi dari ωm menjadi ωp

± ωm.

Gelombang pembawa dalam domain frekuensi :

andhysetiawan

∫∞

∞−

−= dtetg tipp

ωψπ

ω )(2

1)(

∫∞

∞−

−= dtetg tippop

ωωψπ

ω )cos(2

1)(

∫∞

−−+= dteeeg tititipop

pp ωωωψπ

ω )(1

)( ∫∞−

+= dteeeg pop ψπ

ω )(4

)(

[ ]∫∞

∞−

+−−− += dteeg titipop

pp )()(

4

1)( ωωωωψ

πω

( ) ( )[ ]pppopg ωωδωωδψω ++−=2

1)(

andhysetiawan

Untuk gelombang modulasi :

∫∞

∞−

−= dtetg timm

ωψπ

ω )(2

1)(

∫∞

∞−

−= dtetg timmom

ωωψπ

ω )cos(2

1)(

∫∞

−−+= tititi ωωωψω 1∫∞−

−−+= dteeeg tititimom

mm ωωωψπ

ω )(4

1)(

[ ]∫∞

∞−

+−−− += dteeg titimom

mm )()(

4

1)( ωωωωψ

πω

( ) ( )[ ]mmmomg ωωδωωδψω ++−=2

1)(

andhysetiawan

Hasil modulasinya dalam domain frekuensi :

∫∞

∞−

−= dtetg tiωψπ

ω )(2

1)(

∫∞

∞−

−++−= dtettg timpmppomo

ωωωωωψψπ

ω ))cos()(cos(2

1

2

1)(

dteee

eeg

tititi

titi

pomo

mpmp

mpmp

ωωωωω

ωωωω

ψψπ

ω

−+−+

∞

∞−

−−−

++

+= ∫

2

24

1)(

)()(

)()(

andhysetiawan

( )( ) ( )( )[ mpmpmopog ωωωδωωωδψψω −++−−=4

1)(

( ) ( )[( ) ( ) ]dtee

eeg

titi

titipomo

mpmp

mpmp

)()(

)()(

2

1

4

1)(

ωωωωωω

ωωωωωω

πψψω

++−+−−

∞

∞−

−+−−−−

++

+= ∫

( )( ) ( )( )[( )( ) ( )( )]mpmp

mpmpmopog

ωωωδωωωδ

ωωωδωωωδψψω

++++−+

−++−−=

4

)(

( ) ( )[ ]pmpmpo ggg ωωωωψω ++−=2

1)(

andhysetiawan

Grafik dalam domain waktu dan domain frekuensi untuk

modulasi DSB ini diperlihatkan seperti pada gambar 5.6.

Lebar pita (bandwidth) B :

B = upper side - lower side

= 2 ωm

andhysetiawan

andhysetiawan

Daya rata-rata yang diteruskan :

[ ]∫−

∞→=

2

2

2)(1

T

TT

dttT

Limp ψ

{ }∫=2

222 )(cos)(1

T

ppom dtttLimp ωψψ{ }∫−

∞→=

2

)(cos)(T

ppomT

dtttT

Limp ωψψ

{ } { }

+= ∫ ∫− −

∞→

2

2

2

2

222

)2cos()()(2

1T

T

T

Tpmm

po

Tdtttdtt

TLimp ωψψ

ψ

andhysetiawan

Untuk ωp>>ωm suku ke dua ruas kanan persamaan ini sama

dengan nol, maka daya rata-rata :

mp PPP =

22

22 1)(cos

1T

dttLimP ψωψ == ∫2

2

22

2

1)(cos

1po

Tppo

Tp dtt

TLimP ψωψ == ∫

−∞→

[ ]∫−

∞→=

2

2

2)(1

T

Tm

Tm dtt

TLimP ψ

andhysetiawan

Demodulasi diartikan sebagai operasi untuk memperoleh

kembali sinyal modulasi ψm(t) dari gelombang hasil modulasi

ψ(t). Demodulasi DSB dilakukan dengan dua tahap sebagai

Demodulasi DSB

ψ(t). Demodulasi DSB dilakukan dengan dua tahap sebagai

berikut :

a. Gelombang hasil modulasi dikalikan dengan osilator lokal yang

sinkron dengan gelombang pembawa ψp(t). Osilator lokal: 2

cos(ωpt).

andhysetiawan

)cos(2)()(' ttt pωψψ =

[ ])2cos(1)()(' ttt pmpo ωψψψ +=

)2cos()cos()()(' tttt ωωψψψψψ += )2cos()cos()()(' tttt pmmopompo ωωψψψψψ +=

[ ])2cos()2cos(2

1)()(' tttttt pmpmmopompo ωωωωψψψψψ ++−+=

andhysetiawan

)(2

1)(' ωψψ

πω mmopo gg =

∫∞

−= dtetg tiωψω )(1

)( ''

Dalam domain frekuensi :

∫∞−

−= dtetg tiωψπ

ω )(2

1)( ''

[ ]∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

−

++−

+=

dtetttt

dtetg

tipmpm

mopoti

mpo

ω

ω

ωωωω

ψψψψπ

ω

)2cos()2cos(

2

1)(

2

1)('

andhysetiawan

[ ]

++−

+=

∫

∫∞

∞−

−

∞

∞−

−

dtetttt

dtetg

tipmpm

mopoti

mmopo

ω

ω

ωωωω

ψψωψψπ

ω

)2cos()2cos(

2

1)cos(

2

1)('

∫

∫∫∞

∞−

−+−+

∞

∞−

−−−−∞

∞−

−−

++

++

+=

dteee

dteee

dteee

g

tititi

mopo

tititi

mopoti

ttmopo

PmPm

pmpmmm

ωωωωω

ωωω

ωωω

ψψπ

ψψππ

ψψω

24

1

24

1

22)(

)2()2(

)2()2('

andhysetiawan

[ ] [ ]

[ ]

++

+++=

∫

∫∫∞

∞−

++−+−−

∞

∞−

−+−−−−∞

∞−

+−−−

dtee

dteedteeg

titimopo

titimopo

titimopo

PmPm

pmpmmm

))2(())2((

))2(())2(()()('

8

1

8

1

4)(

ωωωωωω

ωωωωωωωωω

ψψπ

ψψππ

ψψω

[ ] [ ])2()2()()()(' pmpmmopo

mmmopog ωωωδωωωδ

ψψωωδωωδ

ψψω −+++−+++−= [ ] [ ]

[ ])2()2(4

)2()2(4

)()(2

)(

pmpmmopo

pmpmmmg

ωωωδωωωδψψ

ωωωδωωωδωωδωωδω

+++−−+

−+++−+++−=

( ) [ ])2()2(2

)(' pmpmpo

mpo gggg ωωωωψ

ωψω −+++=

Kemudian, dapat dituliskan dalam bentuk :

andhysetiawan

b. Karena ωp >> ωm , maka ωm << 2ωp − ωm ; berarti sinyal ψpo

gm(ω) dapat dipisahkan dengan tapis lolos rendah (lowpass

filter) dengan frekuensi pancung (cut off) ωco.

ωm < ωco < 2ωp − ωm

andhysetiawan