TUGAS MAKALAH PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADAT

GAS FERMI ELEKTRON BEBAS

Disusun Oleh :

1. Resita Astika Jantu (3215096540)

2. Titi Mustikawati (3215096554)

3. Ismail Hamka Muhammad Zaid (3215097886)

4. Putri Ari Zuliyanti (3215097890)

5. Kusuando (3215086794)

Pendidikan Fisika Non-Reguler 2009

Jurusan Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2012

PENDAHULUAN

Telah diketahui banyak sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya

logam sederhana, namun juga berkaitan dengan model elektron bebas. Menurut

model ini, elektron valensi dari suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan

bergerak bebas pada keseluruhan volume logam. Bahkan ketika logam memiliki

model elektron bebas, distribusi pengisian elektron konduksi menggambarkan

kekuatan potensial elektrostatik dari inti ion. Kegunaan dari model elektron bebas

pada dasarnya merupakan sifat yang bergantung pada sifat kinetik dari elektron

konduksi. Interaksi dari elektron konduksi dengan kisi ion akan dibahas pada bab

selanjutnya.

Logam yang paling seberhana adalah logam alkali, misalnya litium,

sodium, potassium, cesium dan rubidium. Pada atom bebas elektron valensi dari

sodium adalah 3s. Pada logam, elektron ini menjadi elektron konduksi dalam pita

konduksi 3s.

Kristal tunggal yang terdiri dari N atom akan memiliki N elektron

konduksi dan N inti ion positif. Inti ion Na+ teridiri dari 10 elektron yang

menempati kulit 1s, 2s dan 2p pada ion bebas dengan distribusi ruang yang pada

dasarnya sama ketika logam dalam ion bebas. Inti ion menempati hanya 15%

volume kristal sodium, seperti pada gambar dibawah. Jari-jari ion bebas Na+

adalah 0.98 Å, sedangkan jarak tetangga terdekat logam adalah 1.83 Å.

Gambar 1. Skema model kristal dari logam sodium

Penjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah

lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. Teori klasik

memiliki beberapa keberhasilan, terutama penurunan dari Hukum Ohm dan

hubungan antara daya hantar listrik dan panas. Teori klasik tidak dapat

menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki

elektron konduksi. (Hal ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron

bebas, tetapi kegagalan pada fungsi distribusi kalsik Maxwell).

Selanjutnya adalah kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis

percobaan mengenai elektron konduksi dari logam yang dapat bergerak secara

bebas pada banyak lintasan lurus atom, tubrukan elektron konduksi terjadi satu

sama lain atau bahkan tubrukan dengan inti atom. Pada temperatur rendah,

lintasan bebas antar atom akan sepanjang 108 (lebih dari 1cm).

Mengapa zat yang terkondensasi secara transparan akan menjadi elektron

konduksi? Jawaban pertanyaan tersebut terdiri dari dua: (a) Elektron konduksi

tidak membelokkan inti ion yang menyusun kisi periodik karena gelombang zat

tersebut dapat menyebar bebas pada susunan periodik. (b) Elektron konduksi

tersebar hanya pada frekuensi tertentu antara elektron konduksi laiinya. Sifat

inilah yang dibahas pada Asas Pauli. Gas Fermi elektron bebas akan menjelaskan

bagaimana elektron bebas pada gas dengan menggunakan Asas Pauli.

A. Tingkat Energi Dalam Satu Dimensi

Gas elektron bebas dalam satu dimensi sesuai dengan perhitungan dari

teori kuantum dan asas Pauli. Sebuah elektron yang bermassa m terkurung

sepanjang L yang tak terhingga (Gambar 2). Fungsi gelombang (x) pada

elektron merupakan solusi persamaan Schrödinger dengan

mengabaikan energi potensial maka kita dapatkan dimana p

adalah momentum. Dalam teori kuantum p dapat direpresentasikan sebagai

– sehingga:

.....................(1)

dimana adalah energi pada orbital elektron.

Kita dapat menggunakan orbital untuk menunjukan solusi persamaan

gelombang hanya untuk sistem satu dimensi. Hal ini menunjukan perbedaan

antara persamaan gelombang secara pasti pada keadaan kuantum untuk N

elektron yang berinteraksi dan secara perkiraan pada keadaan kuatum yang

menyebutkan N elektron menjadi N orbital yang berbeda dimana setiap orbital

merupakan solusi persamaan gelombang untuk satu elektron. Model orbital

dapat tepat terjadi jika tidak ada interaksi antar elektron.

Dengan batasan ; yang merupakan batasan tak

terhingga pada energi potensial. Ini memenuhi fungsi gelombang sinus dengan

bilangan integral n dari setengah panjang gelombang antara 0 dan L :

…………………..……..(2)

dimana A, konstan.

Persamaan (2) merupakan solusi dari persamaan (1) karena,

,

dimana energi adalah

…………………………..…(3)

Jika kita ingin mendapatkan N elektron pada satu persamaan. Menurut

Asas Pauli, tidak dapat dua elektron memiliki bilangan kuantum yang sama.

Tiap orbital dapat ditempati lebih dari 1 elektron. Hal ini berlaku untuk

elektron pada atom, molekul dan zat padat.

Gambar 2. Tiga tingkat energi pertama

dan fungsi gelombang pada elektron

bebas dengan massa m yang terkurung

garis dengan panjang L

Pada zat padat, bilangan kuantum suatu orbital elektron konduksi adalah n

dan , dimana n adalah bilangan bulat positif dan bilangan kuantum magnet

menurut orientasi spin. Pasangan orbital ditandai dengan bilangan

kuantum n yang didapat dari dua elektron, satu dengan spin up dan satu lagi

spin down.

Jika terdapat enam elektron, maka keadaan dasar suatu system aka terisi

oleh orbital yang terlihat pada table dibawah:

Elektron yang

dimiliki

Elektron yang

dimiliki

1 1 3 1

1 1 3 1

2 1 4 0

2 1 4 0

Lebih dari satu orbital mungkin memiliki energi yang sama. Jumlah orbital

dengan energi yang sama disebut degenerasi.

Misalkan merupakan tingkat energi yang terisi paling atas, dimana kita

dapat mulai mengisi tingkatan tersebut dari bawah ( n = 1) dan selanjutnya

mengisi tingkat paling tinggi dengan elektron sampai semua N elektron

terpenuhi. Hal ini baik digunakan untuk N adalah bilangan genap. Keadaan

= N menunjukan , nilai n untuk tingkat yang terisi paling atas.

Energi Fermi merupakan definisi dari tingkat energi yang terisi paling

atas pada keadaan dasar dari N elektron. Dari persamaan (3) dengan n = ,

kita dapatkan energi dalam satu dimensi yaitu :

………………………..…(4)

B. Pengaruh Temperatur Pada Distribusi Fermi Dirac

Keadaan dasar merupakan dimana N elektron berada pada keadaan nol.

Apa yang terjadi jika temperatur meningkat? Ini adalah masalah biasa pada

statistik dasar mekanik dan solusi yang diberikan berupa distribusi fungsi

Fermi-Dirac.

Energi kinetik pada gas elektron yang meningkat seperti halnya temperatur

yang meningkat sehingga beberapa tingkat energi yang ditempati oleh

kekosongan berada pada keadaan nol, dan beberapa tingkat merupakan

kekosongan yang ditempati pada keadaan nol. Distribusi Fermi-Dirac

memberi kemungkinan mengenai orbital pada energi akan menempati

elektron gas ideal dalam keseimbangan termal:

Jumlah adalah fungsi dari temperatur, dapat dipilih menjadi masalah

utama dengan demikian jumlah total partikel dalam suatu sistem dapat

dihitung dengan tepat yaitu sama dengan N. Pada keadaan nol , karena

batas T 0 dengan fungsi berubah dari nilai 1 (terisi) menjadi nilai 0

(kosong) pada . Untuk seluruh temperatur sama dengan

ketika , maka untuk persamaan (5) akan memiliki nilai 2.

Gambar 3. Fungsi persamaan (5) distribusi Fermi-Dirac pada saat diberi

variasi temperatur saat

Jumlah merupakan potensial kimia dan kita dapat mengetahui keadaan

nol pada potensial kimia sama dengan energi Fermi, tetapan tesebut sama

seperti energi pada orbital terisi paling atas dalam keadaal nol.

Distribusi energi tinggi berada pada fungsi pada persamaan 5,

menjadi . Batasan ini disebut sebagai distribusi

Maxwell Boltzmann.

C. Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi

Persamaan partikel bebas Schrodinger pada 3 dimensi yaitu :

………………………(1)

Jika elektron-elektron itu diletakkan di dalam sebuah kubus dengan

panjang sisi-sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang

berdiri

…………………….(2)

dimana nx, ny, dan nz adalah bilangan bulat positif

Jika menggunakan sebuah fungsi gelombang yang periodik pada x,y,z dan

periodik L, maka

………………………………………(3)

Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schordinger dan yang

periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut:

……………………………………………..(4)

Nilai komponen-komponen k sebagai berikut:

……………………………………….(5)

begitu juga untuk ky dan kz

Setiap komponen dari k merupakan 2nπ/L yang merupakan bilangan bulat

positif atau negatif. Komponen-komponen dari k tersebut adalah merupakan

bilangan kuantum dari partikel tersebut. Disamping itu, bilangan kuantum

yang digunakan untuk menandai partikel tersebut yang dalam hal ini elektron

adalah bilangan kuantum magnetik ms yang berkaitan dengan spin elektron itu

sendiri.

Kita dapat menghitung nilai k sesuai persamaan (3) yaitu

………………………………………………………………….(6)

Substitusikan persamaan 4 ke 1 kita akan mendapatkan energi Єk dari

orbital dengan vector gelombang k :

……………………….......(7)

Besarnya vektor gelombang berhubungan dengan panjang gelombang

oleh k = 2π/

Momentum linier P dihasilkan pada mekanika kuantum oleh operator

untuk orbital persamaan (4)

…………………………….(8)

Maka pada gelombang berjalan merupakan fungsi eigen dari

momentum linear dengan nilai eigen . Kecepatan partikel pada orbital k

diberikan oleh

Dalam keadaan dasar semua tingkat energi yang terletak di bawah energi

Fermi dan energi Fermi itu sendiri akan ditempati elektron. Oleh karena itu,

vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang

berada pada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika kita misalkan vektor

gelombang Fermi dengan huruf kf , maka energi Fermi dapat ditulis sebagai

berikut :

………………….............................(9)

Dari persamaan (5) kita dapat lihat bahwa ada 1 mengikuti vector

gelombang ini berbeda dari bilangan kuantum untuk elemen volume

(2 /L)3

dari kulit k. Maka pada volume bola total jumlah orbital

adalah :

………………………………(10)

Dimana factor 2 berasal dari 2 mengikuti nilai dari ms, bilangan spin

kuantum, untuk masing-masing nilai k yaitu :

…………...……………………………(11)

Yang hanya tergantung pada konsentrasi partikel

Menggunakan persamaan (9)

………………………………………(12)

Hubungan dari energy Fermi untuk konsentrasi elektron N/V. Elektron

memberikan nilai jumlah TF yang didefinisikan sebagai (jumlah TF

tidak menentukan temperatur dari elektron gas)

Kita telah menemukan jumlah orbital per unit tingkat energy, D yang

disebut densitas. Kita gunakan persamaan 12 untuk jumlah bilangan orbital

energy ≤

………………………………………(13)

Maka densitas pada gambar disamping yaitu

(14)

Persamaan 13 dapat ditulis secara sederhana

yaitu

dimana

(15)

Nomor orbital per unit tingkat energy pada energy Fermi adalah total

nomor konduksi elektron yang dibagi oleh energy Fermi.

D. Kapasitas Panas dari Gas Elektron

Pada awal perkembangannya, teori elektron dalam logam menemui

kesulitan dalam menjelaskan kapasitas panas dari elektron konduksi.

Mekanika statistika klasik meramalkan bahwa sebuah elektron bebas harus

memiliki kapasitas panas sebesar (3/2) kB, dimana kB adalah tetapan

Boltzmann. Jadi jika kita memiliki N buah elektron bebas, maka menurut

mekanika statistika klasik tersebut kapasitas panas elektron itu adalah sebesar

(3/2) NkB, untuk ato yang gas monoatomik. Tetapi kenyataannya menunjukan

lain, pada temperatur ruangan kapasitas panas elektron konduksi ternyata

kurang dari 0.01.

Kesulitan ini akhirnya terjawab setelah penemuan Prinsip Pauli dan fungsi

distribusi Fermi-Dirac. Fermi mengatakan menulis kalimat sebagai berikut:

“seseorang memahami bahwa panas jenis menghilang pada suhu nol derajat

Kelvin, dan pada suhu yang rendah panas jenis (atau kapasitas panas) itu

adalah sebanding dengan suhu mutlaknya”.

Jika kita memanaskan sebuah logam sampel dari suhu nol derajat Kelvin,

menurut distribusi Fermi-Dirac tidak semua elektron di dalam logam itu akan

memperoleh energi sebesar - kBT. Tetapai hanya sebagian kecil saja dari

elektron-elektron itu yang akan memperoleh energi sebesar kBT. Jadi jika kita

memiliki N buah elektron bebas, hanya fraksi dari T/Tf dapat dieksitasi

panasnya pada suhu T.

Setiap elektron dari N(T/Tf) akan memiliki energi sebesar kBT. Sehingga

total energi kinetik termal (U) dari elektron konduksid itu adalah sebesar

…………………………………………….…….(1)

Persamaan untuk kapasitas panas elektron konduksi, yaitu sebagai berikut

…………………………………………….(2)

Pada temperatur ruangan Cel lebih rendah nilai klasikal 3/2 NkB oleh

factor 0.01 atau kurang, dari Tf ~ 5 x 104 K

Kita memperoleh kuantitatif untuk kapasitas panas elektron pada

temperatur rendah kBT<<<Ef. Kenaikan pada total

energy dari system N buah elektron ketika dipanaskan dari 0 sampai T

………………………(3)

merupakan fungsi Fermi Dirac dan merupakan jumlah per

tingkatan energy. Sehingga

……………………………(4)

untuk memperoleh

…………………(5)

Persamaan 5 ke 3

………(6)

Kapasitas panas gas elektron ditemukan perbedaan berhubungan dengan

T. hanya temperatur mempengaruhi panas pada persamaan 6 yaitu ,

dimana kita dapat gabungkan panas menjadi

……………………………...(7)

Pada temperatur logam / < 0.01, kerapatan pada dapat ditulis

dalam integral

………………………………….(8)

gambar disamping menunjukan variasi

temperatur dari potensial kimia ,

untuk elektron bebas gas Fermi pada 1

dan 3 dimensi. Pada umumnya logam

/ 0.01 pada temperatur ruangan

sehingga mendekati .

Sehingga ,

…………………………………….(9)

Dengan

………………………………………………………..(10)

Sehingga persamaan 8 dan 9

………………………(11)

Kita dapat mengubah limit - karena faktor pada integral dapat diabaikan

jika kita ragu dengan suhu ~ 100 atau lebih, sehingga

menjadi

………………………………………...(12)

(eksperimen kapasitas panas pada potassium, grafik menunjukan C/T dan T2)

Kapasitas panas pada elektron gas yaitu

…………………………………………(13)

Dari persamaan densitas kita peroleh

…………………………………...(14)

Untuk gas elektron bebas dengan = maka persamaan 13 menjadi

…………………………………………(15)

Tf disebut suhu Fermi yang bukan suku sebenarnya teta

1. Eksperimen Kapasitas Panas dari Logam

Pada temperatur di bawah temperatur Debye dan temperatur Fermi ,

kapasitas panas logam dapat ditulis sebagai kontribusi jumlah elektron dan

phonon : , dimana dan A merupakan karakteristik

material konstan. Istilah elektronik yang linear pada T yaitu dominan pada

temperatur rendah. Untuk lebih mudah persamaannya menjadi :

…………………………………………………….(1)

Perbandingan nilai elektron bebas dari elektronik kapasitas panas

yaitu perbandingan dari massa panas efektiv mth untuk massa elektron m ,

yaitu :

………………………………………………..(2)

Bentuk ini muncul secara alami karena berbanding terbalik

dengan massa elektron, dimana . Hal ini melibatkan 3 efek :

1. Interaksi dari konduksi elektron dengan kecepatan periodic dari kisi

Kristal. Massa efektif sebuah elektron pada potensial ini disebut pita

massa efektif dan diperlakukan kemudian.

2. Interaksi dari konduksi elektron dengan phonon. Sebuah elektron

cenderung untuk mempolarisasikan atau memputarbalikan kisi

terdekatnya, sehingga perpindahan elektron menyeret ion terdekat ,

dengan demikian menaikkan massa efektif elektron

3. Interaksi dari konduksi elektron dengan dirinya sendiri. Perpindahan

elektron menyebabkan reaksi di dalam lingkungan gas elektron,

sehingga menaikkan massa efektif elektron.

2. Fermion Berat

Beberapa senyawa logam telah ditemukan yang nilai besar, dua atau

tiga kali lipat lebih tinggi dari biasanya, dari kapasitas elektronik panas γ

konstan.

Senyawa fermion berat termasuk UBe13, CeAl 3, dan CeCu2Si2. Itu

telah mengemukakan bahwa f elektron dalam senyawa ini

mungkin memiliki massa inersia setinggi 1000 m, karena tumpang

tindih lemah dari fungsi gelombang dari elektron pada ion sebelahnya.

Senyawa fermion Berat membentuk tingkat superkonduktor dikenal

sebagai "superkonduktor eksotik".

E. Konduktivitas Listrik dan Hukum Ohm

Momentum dari elektron bebas ini berkaitan dengan vector gelombang

mv= ħk. Dalam medan listrik E dan medan magnet B gaya F pada sebuah

elektron dari muatan-e adalah

, sehingga hukum kedua Newton tentang

gerak menjadi

………….………(1)

Dengan tidak adanya tumbukan bola fermi (Gbr. 10) bergerak dalam

ruang k pada tingkat sama oleh medan listrik yang konstan.

Kita bisa mengintegrasikan persamaan (1) dengan B = 0 untuk

memperoleh

…………………….………....(2)

Jika gaya F = - e E diterapkan pada waktu t = 0 sampai gas elektron yang

mengisi bola Fermi berpusat pada sembarang jarak k kemudian pada waktu

t , bola akan dipindahkan ke pusat baru pada

……………………….………………(3)

Perhatikan bahwa bola fermi dipindahkan secara keseluruhan karena setiap

elektron digantikan oleh ħk yang sama.

Karena tumbukan elektron dengan( impurities,ketidaksempurnaan kisi)

dan fonon ,ruang jarak dapat dipertahankan dalam keadaan stabil dalam

medan listrik. Jika waktu tumbukan adalah ,perpindahan dari fermi dalam

steady state (3) dengan . Dengan arus listriknya adalah

……...........................…….(4)

Konduktivitas listrik σ didefinisikan bvJ= = t.E, dari persamaan (4)

Tahanan listrik p didefinisikan sebagai kebalikan dari konduktivitas,

sehingga

………………………………….(5)

Nilai konduktivitas listrik dan tahanan dari elemen diberikan dalam

Tabel 3. Dalam unitGaussian torsi memiliki dimensi frekuensi

1. Eksperimen Reisistivitas Listrik dari Logam

Tahanan listrik dari logam yang paling didominasi pada suhu (300 K)

oleh tumbukan dari elektron konduksi dengan fonon kisi dan pada

suhu cair (4K) dengan tumbukan atom pengotor ketidaksempurnaan

mekanika dalam kisi (Gbr. 11).

Tingkat tabrakan ini sering terikat pada satu pendekatan yang baik,

sehingga jika medan listrik yang dimatikan distribusi momentum akan

kembali ke keadaan dasar dengan waktu relaksasi.

Dimana dan saat tumbukan untuk hamburan fonon oleh dan

dengan ketidaksempurnaan, masing-masing. Resistivitas bersih diberikan

oleh

Gambar 11.

Gambar 11 resistivitas listrik di sebagian besar logam muncul

daritabrakan elektron dengan penyimpangan dalam kisi saya seperti

dalam (a) dengan fonon dan (b) dengan kotoran kisi kosong.

Dimana adalah resistivitas yang disebabkan oleh foton termal dan

ada;ah resistivitas yang disebabkan oleh hamburan gelombang elektron

oleh cacat statis yang mengganggu periodisitas. Sering tidak tergantung

pada jumlah cacat ketika konsentrasi mereka kecil dan sering tidak

bergantung pada suhu.

Bagian suhu tergantung dari tahanan listrik yang sebanding dengan

tingkat dimana sebuah elektron bertabrakan dengan fonon normal dan

elektron termal. Tingkat tabrakan dengan fonon sebanding dengan

konsentrasi fonon termal. Salah satu batas yang sederhana adalah pada

suhu lebih dari suhu Debye (θ): di sini konsentrasi Fonon sebanding

dengan suhu T,Sehingga p ∞ T untuk T > θ.

2. Hamburan Umpklapp

Hamburan elektron umklapp oleh phonons menjelaskan sebagian besar

tahanan listrik pada logam pada saat suhu rendah. Proses merupakan

proses hamburan elektron-phonon dimana timbal balik kisi vector G

terlibat, sehingga dalam proses ini mungkin saja terjadi perubahan

momentum elektron yang lebih besar dari proses hamburan normal

elektron-photon pada suhu rendah (dalam proses umclapp vector

gelombang satu partikel dapat terbalik).

Mempertimbangkan bagian tegak lurus melalui dua wilayah brillouin

yang bersebelahan pada kalium bcc, dengan bola Fermi setara dengan

yang tertera dalam masing-masing. Setengah bagian bawah dari gambar

menunjukkan terjadinya tabrakan normal elektron-phonon ,

sedangkan setengah bagian atas menunjukkan kemungkinan terjadinya

proses hamburan melibatkan phonon yang sama dan

berakhir di luar wilayah brillouin pertama, pada titik A. Titik ini persis

sama dengan titik A’ didalam wilayah asli, dimana AA’ adalah kisi

resiprokal vector G.

Hamburan yang terjadi tersebut merupakan proses umklapp, dengan

analogi phonon. Tabrakan tersebut merupakan hamburan yang kuat karena

sudut hamburan hampir mendekati π, dan tabrakan tunggal dapat

mengembalikan elektron ke dasar orbitalnya.

Ketika permukaan Fermi tidak berpotongan dengan batas wilayah, ada

beberapa gelombang vector pnonon minimal untuk hamburan umklapp.

Pada suhu yang cukup rendah jumlah phonon yang tersedia untuk

hamburan umklapp menurun ketika , dimana adalah suhu

karakteristik yang dapat dihitung dari geometri pada permukaan Fermi di

dalam wilayah brillouin. Untuk permukaan bola Fermi dengan satu orbital

elektron per atom di dalam wilayah Brilloouin BCC, dapat ditunjukkan

dengan geometri .

Data eksperimen untuk kalium memiliki perkiraan eksponensial

dengan dibandingkan dengan debye . Pada suhu yang

sangat rendah (sekitar di bawah 2 K pada kalium) jumlah proses umklapp

diabaikkan dan resistivitas kisi hanya disebabkan oleh hamburan sudut

kecil, yang merupakan hamburan normal.

Bloch memperoleh hasil analitik untuk hamburan normal

pada suhu yang sangat rendah. Ini merupakan hasil pembatasan

klasik. Proses normal ini berkontribusi terhadap resistivitas di semua

logam, tetapi belum secara jelas mengisolasi untuk setiap logam karena

besarnya efek persaingan ketidaksempurnaan hamburan, hamburan

elektron-elektron, dan hamburan umklapp.

F. Pergerakan Dalam Medan Magnetik

Persamaan gerak untuk perpindahan partikel bola Fermi ditindak

lanjuti oleh gaya (F) dan oleh gesekan yang diwakili oleh tabrakan.

Istilah percepatan partikel bebas adalah dan efek tabrakan

(gesekan) diwakili oleh oleh , dimana τ adalah waktu tabrakan.

Pada gerakan system dalam medan magnet statis B. gaya Lorentz pada

sebuah elektron adalah :

(CGS)

(SI)

Jika , maka persamaan geraknya :

(CGS)

Jika medan magnet statis B dibiarkan terletak disepanjang sumbu Z, maka

persamaan geraknya adalah :

(CGS)

Hasil dari SI diperoleh dengan mengganti c dengan 1

Dalam keadaan tetap dalam medan listrik statis turunan waktunya adalah

nol, sehingga kecepatannya adalah

Dimana adalah frekuensi siklotron (seperti resonansi

siklotron dalam semikonduktor).

1. Efek Hall

Bidang ruang adalah medan listrik yang melintasi dua permukaan

konduktor, dalam arah , ketika arus j mengalir melintasi medan

magnet B. Mempertimbangkan specimen berbentuk batang didalam

bidang listrik longitudinal dan medan magnet transversal. Jika arus tidak

dapat mengalir keluar dari batang dalam arah y kita harus memilki

. Dari persamaan sebelumnya hanya mungkin terjadi jika ada

medan listrik transversal.

(CGS)

(SI)

Persamaan di atas disebut koefisien ruang. Untuk mengevaluasi model

sederhana , digunakan :

(CGS)

(SI)

Ini adalah elektron bebas, untuk e positif.

Semakin rendah konsentrasi pembawa, semakin besar koefisien

bidangnya. Pengukuran RH merupakan cara yang penting untuk mengukur

konsentrasi carier. Symbol RH menunjukkan koefisien bidang

,

tetapi terkadang digunakan dengan makna yang berbeda, bahwa resistansi

bidang dalam masalah dua dimensi. Kita justru akan membiarkan

menotasikan resistensi bidang, dimana jx adalah rapatan arus

permukaan.

Hasil sederhana

mengikuti asumsi bahwa

semua waktu relaksasi adalah sama, tergantung pada kecepatan elektron.

Factor numeric kesatuan urutan masuk jika waktu relaksasi merupakan

fungsi dari kecepatan. Istilah tersebut menjadi lebih rumit jika kedua

elektron dan lubang berkontribusi pada konduktivitas. Teori efek bidang

menjadi sederhana dalam medan magnet tinggi dengan , dimana

merupakan frekuensi siklotron dan τ waktu relaksasi.

Pada tabel 4 nilai-nilai yang diamati dari koefisien bidang

dibandingkan dengan nilai-nilai yang dihitung dari konsentrasi pembawa.

Yang paling akurat sebagai suatu masalah delam bab 10. Dalam tabel

“conv” berdiri untuk “konvensional”

Nilai-nilai yang akurat untuk natrium dan kalium dalam kesepakatan

yang sangat baik dengan nilai-nilai yang dihitung untuk satu elektron

konduksi per atom, dengan menggunakan

.

Bagaimanapun, nilai-nilai eksperimental untuk element aluminium

trivalent dan indium : ini setuju dengan nilai-nilai yang dihitung untuk satu

pembawa muatan positif per atom dan tidak setuju dalam jumlah dan tanda

dengan nilai-nilai yang dihitung untuk perkiraan ketiga pembawa.

Masalah tanda positif terlihat juga untuk pembawa muatan Be dan As.

Seperti yang terlihat dalam tabel. Anomaly dari tanda itu dijelaskan oleh

Peierls (1928). Gerakan pembawa tampak tanda positif, yang kemudian di

sebut lubang oleh Heisenberg, tidak dapat dijelaskan oleh gas elektron

bebas, tetapi menemukan penjelasan alamiah dalam hal teori pita energy .

teori band juga menyumbang terjadinya nilai-nilai yang sangat besar dari

koefisien bidang, seperti untuk As, Sb, dan Bi.

G. Konduktivitas Termal Pada Logam

Pada bab 5 kita temukan persamaan

untuk konduktivitas

thermal pada sebuah partikel, dimana dengan kecepatan = v, kapasitas kalor =

C / volume, dengan konstanta . Maka persamaan konduktivitas termal gas,

dengan

Dimana :

n = konsentrasi elektron

T = waktu kolisi

Dalam logam murni, kontribusi elektron dominan di segala temperatur.

Dalam logam yang campuran, elektron berarti jalan bebas dikurangi dengan

tabrakan dengan campuran, dan kontribusi foton mungkin sebanding dengan

kontribusi elektronik.

1. Rasio Termal Terhadap Konduktivitas Listrik

Hukum Wiedermann-Franz menyatakan bahwa logam yang berada

pada suhu yang tidak sangat rendah, rasio termal terhadap konduktivitas

listriknya sebanding dengan suhu, dengan nilai konstanta yang bergantung

pada jenis logam. Hasil ini sangat penting dalam eksperimen mencari nilai

yang ditampilkan pada tabel Landolt-Bornstein.

Tabel Perbandingan Koefisien Hall Dengan Teori Kebebasan Elektron

Loga

m Metode

Eksperimental

dalam

CGS units

Membawa

atom

(asumsi)

Perhitungan -

1/nec dalam

CGS Units

Li Conv -1,89 1 elektron -1,48

Na Helicon

Conv

-2,619

-2,3 1 elektron -2,063

K Helicon

Conv

-4,946

-4,7 1 elektron -4,944

Rb Conv -5,6 1 elektron -6,04

Cu Conv -0,6 1 elektron -0,82

Ag Conv -1,0 1 elektron -1,19

Au Conv -0,8 1 elektron -1,18

Be Conv +2,7 - -

Mg Conv -0,92 - -

Al Helicon +1,136 1 lubang +1,135

In Helicon +1,774 1 lubang +1,780

As Conv +50 - -

Sb Conv -22 - -

Bi Conv -6000 - -

Tabel Eksperimen Nilai Lorentz

L* watt.-ohm/

Logam 0˚C 100˚C

Ag 2,31 2,37

Au 2,35 2,4

Cd 2,42 2,43

Cu 2,23 2,33

Mo 2,61 2,79

Pb 2,47 2,56

Pt 2,51 2,6

Sn 2,52 2,49

W 3,04 3,2

Zn 2,31 2,33

Untuk mencari nilai gaya Lorentz (L) dapat menggunakan rumus:

Nilai eksperimen L pada suhu 0˚C dan 100˚C yang ditmapilkan pada

tabel di atas merupakan pendapat yang baik jika dibandingkan dengan

nilai L = . Pada suhu yang rendah (T<<<θ)

nilai Lorentz akan cenderung berkurang (lihat buku Zyman).

H. Struktur Nano

Struktur materi yang memiliki dimensi yang sangat kecil antara 1nm

(10Å) and 10nm (100Å). Struktur ini mungkin dapat berupa partikel, kawat,

atau film yang tipis. Tipikal partikel yang baik terdiri dari antara 10 sampai

1000 atom. Teknologi semikonduktor telah memungkinkan untuk membuat

polling kecil dari elektron yang disebut dengan berbagai cara: transistor

elektron tunggal, titik kuantum, atom buatan, hukum Coulumb , atau kandang

kuantum. Sifat fisik dari struktur nano unsual dibandingkan dengan padatan

massal yang disebabkan oleh beberapa faktor yang melibatkan sifat dirawat di

atas dan dalam bab kemudian:

- Ratio jumlah atom pada permukaan dengan jumlah atom pada bagian

dalam, mungkin merupakan suatu kesatuan

- Ratio energi pada bagian permukaan dengan total energi, mungkin

merupakan suatu kesatuan

- Konduksi atau elektron valensi berubah menjadi lebih kecil, maka panjang

gelombang kuantum pada keadaan elektrostatis terendah dipengaruhi dan

akibatnya panjang gelombang minimum menjadi lebih pendek dibanding

dengan di zat padat Bulk

- Panjang gelombang atau pemantulan kondisi akan mengubah resapan

optikal spektrum

- Penggunaan nanoclusters logam mungkin memiliki kekerasan yang besar

dan kekuatan hasil, karena sulit untuk membuat dan memindahkan

dislocasions di daerah spasial terbatas