MAKALAH PROGRAM DINAMIK Program Dinamik Probabilistik : Masalah Perencanaan Investasi

Disusun untuk memenuhi tugas kelompok mata kuliah Program Dinamik yang diampu oleh Suryoto, S.Si, M.Si

Nama Kelompok VIII Program Dinamik :

1. Anditia Nurroni NIM. 24010110130080 2. Wulan Bhakti Pertiwi NIM. 24010110120026 3. Rustania A. L. S. NIM. 24010110130072 4. Petrus Genggar E.K. NIM. 24010110141016 5. Mohammad Ervan S. NIM. 24010111130025 6. Eka Purnamasari NIM. 24010111130072

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO TAHUN 2012

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Program dinamik adalah metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan tahapan (stage), sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan. Program dinamik merupakan 'pendekatan' untuk penyelesaian persoalan dan bukan algoritma tunggal yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis persoalan. Jadi, diperlukan algoritma terpisah untuk menyelesaikan setiap jenis persoalan.

Macam-macam Program Dinamis sendiri dibagi menjadi 2 macam yaitu:

Programa Dinamis Deterministik

Adalah pendekatan programa dinamis sebagai persoalan deterministik dimana state pada stage berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini untuk mengkategorikan persoalan programa dinamis deterministik ini adalah dengan melihat bentuk fungsi tujuannya (kontribusi minimisasi atau maksimasi).

Programa Dinamis Probabilistik

Stage berikutnya tidak dapat seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan terjadi namun, distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini.

Pemograman dinamis probabilistik mempunyai perbedaan dengan pemrograman dinamis deterministik. Pada program dinamis deterministik, pada tahap berikutnya sepenuhnya ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap sebelumnya. Sedangkan pemrograman dinamis probabilistik, terdapat suatu distribusi probabilitas tentang keadaan mendatang. Akan tetapi, distribusi peluang ini tetap ditentukan oleh keadaan dan keputusan kebijakan pada keadaan sebelumnya.

Jadi, terdapat dua hal dalam pemrograman dinamis probabilistik, yaitu :

Stage berikutnya tidak seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini, tetapi ada suatu distribusi kemungkinan mengenai apa yang akan terjadi.

Distribusi kemungkinan ini masih seluruhnya ditentukan oleh state dan keputusan pada stage saat ini.

Struktur dasar yang dihasilkan pemrograman dinamis probabilistik dapat diuraikan melalui diagram pada Gambar berikut :

‘

Hubungan antara fn(sn, xn) dan fn+1*(sn, xn) agak lebih rumit daripada untuk pemrograman dinamis deterministik. Bentuk yang tepat dari hubungan tergantung pada bentuk fungsi secara umum. Misalkan tujuannya adalah meminimumkan jumlah yang diharapkan dari kontribusi tahap-tahap secara terpisah. Pada kasus ini fn(sn, xn) menggambarkan jumlah minimum yang diharapkan dari tahap n dan seterusnya, bila diketahui bahwa keadaan dan keputusan kebijakan pada tahap n adalah sn dan xn.

B. Permasalahan

Kami memiliki $ 10000 untuk berinvestasi dalam 3 tahun berikutnya. Investasi hanya dapat dilakukan selama 1 tahun pada awal setiap tahun dalam kelipatan $ 10000. Dua jenis peluang investasi yang tersedia adalah A dan B. Investasi B lebih konservatif dari pada investasi A.

Jika kita berinvestasi di A pada tahun tertentu, maka pada akhir tahun uang tersebut akan hilang dengan probabilitas 0,4 atau akan menjadi dua kali lipat dengan probabilitas 0,6. Jika investasi dilakukan dalam B, pada akhir tahun uang tersebut akan dikembalikan dengan probabilitas 0,9 atau akan dua kali lipat dengan probabilitas 0,1.

Tujuan dari masalah ini adalah untuk mencari kebijakan investasi yang memaksimalkan pengembalian total perkiraan pada akhir tahun ketiga. Untuk menyederhanakan prosedur solusi, diasumsikan bahwa hanya satu jenis investasi dapat dipilih pada tahun tertentu.

PEMBAHASAN

Formulasi dan Solusi Pemrograman Dinamis

Permasalahan investasi diatas dapat diselesaikan dengan menggunakan program dinamik dengan formulasi model sebagai berikut :

Dalam formulasi berikut set kemungkinan keputusan tergantung pada jumlah uang yang tersedia pada awal tahun. Jika kita memiliki kurang dari sama dengan $ 10000, satu-satunya kemungkinan adalah untuk menyimpan uang, tetapi jika uang yang tersedia untuk investasi adalah $ 10000 atau lebih, kelipatan $ 10.000 dapat diinvestasikan dalam A atau B.

Tahap (i) : tahun ke-i, dimana i=1,2,3

Keadaan (푆 ) : jumlah uang yang dimiliki pada awal tahun i

Pada tahun 1, 푆 = $ 10000

Keputusan Variabel (푥 = (푥 , 푥 )) : keputusan dalam tahap i terdiri dari jumlah uang untuk berinvestasi, 푥 , dalam kelipatan sebesar $ 10000, dan jenis investasi yang akan dibuat, , 푥 ∈ {0,퐴,퐵}, di mana 0 berarti tidak ada investasi yang dibuat.

Kebijakan Optimal (푓 (푆 ) = 푆 ) : investasi yang optimal merencanakan untuk tahun i, mengingat bahwa uang di tangan 푆 .

untuk menyederhanakan solusi, kita gunakan $1000 sebagai satuan uang, maka

Hubungan Berulang: Untuk 0 ≤ 푆 ≤ 10, 푥 = (푥 ,푥 ) = (0,0),푓 (푆 ) = 푆

푢푛푡푢푘푆 ≥ 10,

푘 =

⎩⎪⎨

⎪⎧

푓 (푆 ),푢푛푡푢푘(푥 , 푥 ) = (0,0)

max∈

{0,4 × 푓 (푆 − 푥 ) + 0,6 × 푓 (푆 + 푥 )} ,푢푛푡푢푘푥 = 퐴

max∈

{0,9 × 푓 (푆 ) + 0,1 × 푓 (푆 + 푥 )} ,푢푛푡푢푘푥 = 퐵

Dimana 퐴 = {푎:푎 = 10,20, … ;푎 ≤ 푆 } adalah himpunan jumlah investasi yang mungkin (dalam ribuan dolar).

Batas Kondisi :untuk 0 ≤ 푆 < 10, 푥 = (푥 , 푥 ) = (0,0), 푓 (푆 ) = 푆 .

푢푛푡푢푘푆 ≥ 10,

푘 =

⎩⎪⎨

⎪⎧

푆 ,푢푛푡푢푘(푥 , 푥 ) = (0,0)

max∈

{0,4 × (푆 − 푥 ) + 0,6 × (푆 + 푥 )} , 푢푛푡푢푘푥 = 퐴

max∈

{0,9 × (푆 ) + 0,1 × (푆 + 푥 )} , 푢푛푡푢푘푥 = 퐵

dimana 퐴 = {푎: 푎 = 10,20, … ; 푎 ≤ 푆 }

Jawaban : 푓 (10)

Numerik Solusi:

Tabel di bawah ini menganalisis semua peluang investasi yang mungkin untuk setiap tahun (tahap) tergantung pada uang yang ada ditangan pada awal tahun (keadaan). Keputusan yang diambil adalah yang memberikan pengembalian yang diharapkan maksimal pada akhir tahun ketiga dipilih.

tahap 3(i=3)

푆 푋 푆 ퟎ, ퟒ × (푺ퟑ − 풙ퟑퟏ) + ퟎ,ퟔ × (푺ퟑ + 풙ퟑퟏ) ퟎ,ퟗ× (푺ퟑ) + ퟎ,ퟏ × (푺ퟑ + 풙ퟑퟏ) 푥 ∗ 푥 ∗ 푓 (푆 ) 푋 =0 푋 =A 푋 =B

0 0 0 - - 0 0 0 10 0 10 - - 10 - 0,4x(10-10)+0,6x(10+10)= 12 0,9x(10)+0,1x(10+10)= 11 10 A 12

20 0 20 - - 10 - 0,4x(20-10)+0,6x(20+10)= 22 0,9x(20)+0,1x(20+10)= 21 20 A 24 20 - 0,4x(20-20)+0,6x(20+20)= 24 0,9x(20)+0,1x(20+20)= 22

30 0 30 10 - 0,4x(30-10)+0,6x(30+10)= 32 0,9x(30)+0,1x(30+10)= 31 20 - 0,4x(30-20)+0,6x(30+20)= 34 0,9x(30)+0,1x(30+20)= 32 30 - 0,4x(30-30)+0,6x(30+30)= 36 0,9x(30)+0,1x(30+30)= 33 30 A 36

40 0 40 10 - 0,4x(40-10)+0,6x(40+10)= 42 0,9x(40)+0,1x(40+10)= 41 20 - 0,4x(40-20)+0,6x(40+20)= 44 0,9x(40)+0,1x(40+20)= 42 30 - 0,4x(40-30)+0,6x(40+30)= 46 0,9x(40)+0,1x(40+30)= 43 40 - 0,4x(40-40)+0,6x(40+40)= 48 0,9x(40)+0,1x(40+40)= 44 40 A 48

Tahap 2(i=2)

푆 푋 푓 (푆 ) ퟎ,ퟒ × 풇ퟑ(푺ퟐ − 풙ퟐퟏ) + ퟎ,ퟔ × 풇ퟑ(푺ퟐ + 풙ퟐퟏ) ퟎ, ퟗ× 풇ퟑ(푺ퟐ − 풙ퟐퟏ) + ퟎ,ퟏ × 풇ퟑ(푺ퟐ + 풙ퟐퟏ) 푥 ∗ 푥 ∗ 푓 (푆 ) 푋 = 0 푋 =A 푋 =B

0 0 푓 (0)= 0 - - 0 0 0

10 0 푓 (10)= 12 - -

10 - 0,4xf3(10-10)+0,6x f3 (10+10) = 0,4 x 0 + 0,6x24=14,4

0,9xf3(10)+0,1x f3 (10+10) = 0,9x12 + 0,1x24=13,2 10 A 14,4

20 0 푓 (20)= 24 - -

10 - 0,4xf3(20-10)+0,6x f3 (20+10) = 0,4 x12 + 0,6x36=26,4

0,9xf3(20)+0,1x f3 (20+10) = 0,9x24 + 0,1x36=25,2

20 - 0,4xf3(20-20)+0,6x f3 (20+20) = 0,4 x0 + 0,6x48=28,8

0,9xf3(20)+0,1x f3 (20+20) = 0,9x24 + 0,1x48=26,4

20 A 28,8

Tahap 1(i=1)

푆 푋 푓 (푆 ) ퟎ,ퟒ × 풇ퟐ(푺ퟏ − 풙ퟏퟏ) + ퟎ,ퟔ × 풇ퟐ(푺ퟏ + 풙ퟏퟏ) ퟎ, ퟗ× 풇ퟐ(푺ퟏ − 풙ퟏퟏ) + ퟎ,ퟏ × 풇ퟐ(푺ퟏ + 풙ퟏퟏ) 푥 ∗ 푥 ∗ 푓 (푆 ) 푋 = 0 푋 =A 푋 =B

10 0 푓 (10)= 14,4 - - 0 0 0

10 - 0,4xf2(10-10)+0,6x f2(10+10) = 0,4 x0 + 0,6x28,8=17,28

0,9xf2(10)+0,1x f2(10+10) =0,9x14,4+0,1x28,8=15,84 10 A 17,28

Solusi Optimal :

푥 ∗ (푥 ∗, 푥 ∗) = (10,퐴) ≡Investasi $10000 dalam A

푓 (10) = 17,28 ≡Jumlah uang yang diharapkan pada akhir tahun ketiga akan menjadi $17280

Daftar Pustaka

Ravindra, A.Rani. 2009. “Operations Research Methodologies”. New York: CRC Press.

Bellman, R.E. 1952, “On the Theory of Dynamic Programming”. Proceedings of the National Academy of Sciences, 38, pp.716-719.