Makalah Statistik Matematika I

N I L A I H A R A P A N

O l e h :

AHMAD SAHIDIN11 24 269

PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN YPUP

MAKASSAR 2012

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada yang Maha pemberi Nikmat kesehatan

jasmani dan rohani yakni Allah SWT, karena dengan Nikmat-Nya saya dapat menyelesaikan

tugas makalah dengan pokok bahasan “Nilai Harapan”. Makalah ini disusun untuk memenuhi

tugas mata kuliah Statistik Matematika I. Tidak lupa penulis ucapkan kepada Ibu Dosen

Statistik Matematika I, yang telah mengarahkan dan membimbing mata kuliah Statistik

Matematika I.

Penulis menyadari bahwa keterbatasan pengetahuan dan pemahaman tentang Konsep Nilai

Harapan, menjadikan keterbatasan itu pula untuk memberikan penjabaran yang lebih dalam

tentang masalah ini, kiranya mohon dimaklumi apabila banyak terdapat kekurangan dan

kesalahan dalam penyusunan makalah ini.

Sebagai harapan semoga makalah ini membawa manfaat bagi kita, setidaknya untuk sekedar

membuka cakrawala berpikir kita tentang konsep dari Nilai Harapan dalam kehidupan kita.

Makassar, 9 Juli 2012

PENULIS

DAFTAR ISI

KATA PENGATAR…………………………………………………………………… ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………….......... iii

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………… 1

A. Latar Belakang………………………………………………………………… 1

B. Rumusan Masalah……………………………………………………….......... 1

BAB II PEMBAHASAN………………………………………………………….. 2

A. Nilai Harapan Peubah Acak…………………………………………………… 2

B. Variansi dan Kovariansi……………………………………………………….. 5

C. Fungsi Pembangkit Momen…………………………………………………… 9

D. Teorema Chebyshev…………………………………………………………… 10

BAB III PENUTUP………………………………………………………………… 11

A. Kesimpulan……………………………………………………………………. 11

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk

mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata

hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (nilai harapan) dan variansi. Harapan

matematis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas.

Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal.

Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan ,

Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y

dinyatakan

B. RUMUSAN MASALAH

Adapan pokok permasalahan dalam pembuatan makalah ini adalah

1. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari nilai harapan dari peubah acak?

2. Bagaimanakan pengertian dan konsep dari variansi dan kovariansi?

3. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari fungsi pembangkit momen?

4. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari teorema chebyshev?

BAB IIPEMBAHASAN

A. Nilai Harapan Dari Peubah Acak

Nilai harapan perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik, dinyatakan sebagai E(X). Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas.

Contoh:

Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2

Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [nilai harapan matematik] adalah

E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atiasa disebut nilai harapan dari perubah acak X.

Definisi

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata-rata) perubah acak X adalah

Contoh:

Jika X merupakan peubah acak malar dengan fungsi kepekatan peluang

Hitunglah nilai harapan untuk fungsi g(x) = 2x – 1!

Penyelesaian:

TeoremaJika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah

Contoh :

1. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:

Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X

x 4 5 6 7 8 9

P(X=x)

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X – 1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

2. Jika X suatu perubah acak dengan fkp:

Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3

Penyelesaian:

Nilai harapan g(x) = 4X + 3 adalah

Teorema

Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah

- Untuk X dan Y peubah acak farik

- Untuk X dan Y peubah acak malar

Contoh

Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang

Penyelesaian:

Sifat-sifat nilai harapan:

- Jika a dan b konstanta, X dan Y peubah acak, maka E(aX+b) = a E(X) + b.

- Jika b suatu konstanta maka E(b ) = b

- Jika peubah acak X dikalikan dengan konstanta c, maka E(cX) = c E(X)

- Jika X dan Y peubah acak maka E(XY) = E(X) E(Y)

- Jika X dan Y peubah acak yang bebas, maka E(X,Y) = E(X) E(Y)

B. Variansi dan Kovariansi

1. Variansi

Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X.

Definisi

Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata , maka

variansi X adalah

Teorema

Variansi perubah acak X adalah

Contoh :

Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

Carilah rata-rata dan variansinya

Penyelesaian:

Teorema

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah

- Peubah acak farik

- Peubah acak malar

Contoh:

Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas:

Penyelesaian:

Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3

Y 0 1 2 3

f(y)

Menggunakan teorema di atas pada kasus ini diperoleh

2. Kovariansi

Untuk menentukan Var(X + Y) dua variabel acak X dan Y yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama perlu adanya pengertian mengenai apa yang di maksud dengan kovariansi.

Definisi

Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah

- Untuk X dan Y peubah acak farik

- Untuk X dan Y peubah acak malar

Teorema

Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus

Contoh:

Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb:

maka carilah kovariansi dari X dan Y!

Penyelesaian:

Menggunakan definisi distribusi marginal di dapat:

Dan dapat dinyatakan sebagai

Fungsi padat gabungan diperoleh

Jadi kovariansinya adalah

C. Fungsi Pembangkit Momen

Definisi

Misalkan h suatu bilangan real positif sehingga nilai E{etX} ada untuk setiap t di dalam

interval (–h,h). Fungsi M(t) = E{etX}; –h < t < h dinamakan fungsi pembangkit momen (fpm) dari X.

Teorema

Turunan pertama fpm untuk t = 0 sama dengan rerata peubah acak yang bersangkutan,

yakni M'(0) =

Teorema

Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu

Teorema

Misalkan menyatakan turunan ke-m dari M(t). Momen ke-m dari peubah acak X,

yakni E(Xm) dapat diberikan oleh E(Xm) = (0)

Contoh:

Jika fungsi idensitas dari X

Hitunglah Fungsi Pembangkit Momen dari X!

Penyelesaian:

D. Teorema Chebyshev

Teorema

Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rata-

rata adalah sekurang-kurangnya yaitu

Contoh:

Suatu perubah acak X mempunyai rata-rata dan sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah

a. P(-4 < X < 20)

b.

penyelesaian:

a.

b.

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

- Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata-rata) perubah acak X adalah

- Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata , maka

variansi X adalah

- Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus

- Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu

DAFTAR PUSTAKA

Tiro, Arif, Muhammad. 2008. PENGANTAR TEORI PELUANG. Makassar : Andira Publisher.

www.google.co.id/search