Makalah Statistik Matematika I
N I L A I H A R A P A N
O l e h :
AHMAD SAHIDIN11 24 269
PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN YPUP
MAKASSAR 2012
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis ucapkan kepada yang Maha pemberi Nikmat kesehatan
jasmani dan rohani yakni Allah SWT, karena dengan Nikmat-Nya saya dapat menyelesaikan
tugas makalah dengan pokok bahasan “Nilai Harapan”. Makalah ini disusun untuk memenuhi
tugas mata kuliah Statistik Matematika I. Tidak lupa penulis ucapkan kepada Ibu Dosen
Statistik Matematika I, yang telah mengarahkan dan membimbing mata kuliah Statistik
Matematika I.
Penulis menyadari bahwa keterbatasan pengetahuan dan pemahaman tentang Konsep Nilai
Harapan, menjadikan keterbatasan itu pula untuk memberikan penjabaran yang lebih dalam
tentang masalah ini, kiranya mohon dimaklumi apabila banyak terdapat kekurangan dan
kesalahan dalam penyusunan makalah ini.
Sebagai harapan semoga makalah ini membawa manfaat bagi kita, setidaknya untuk sekedar
membuka cakrawala berpikir kita tentang konsep dari Nilai Harapan dalam kehidupan kita.
Makassar, 9 Juli 2012
PENULIS
DAFTAR ISI
KATA PENGATAR…………………………………………………………………… ii
DAFTAR ISI…………………………………………………………………….......... iii
BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………… 1
A. Latar Belakang………………………………………………………………… 1
B. Rumusan Masalah……………………………………………………….......... 1
BAB II PEMBAHASAN………………………………………………………….. 2
A. Nilai Harapan Peubah Acak…………………………………………………… 2
B. Variansi dan Kovariansi……………………………………………………….. 5
C. Fungsi Pembangkit Momen…………………………………………………… 9
D. Teorema Chebyshev…………………………………………………………… 10
BAB III PENUTUP………………………………………………………………… 11
A. Kesimpulan……………………………………………………………………. 11
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk
mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata
hitung yang biasa disebut “harapan matematis” (nilai harapan) dan variansi. Harapan
matematis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas.
Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal.
Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan ,
Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y
dinyatakan
B. RUMUSAN MASALAH
Adapan pokok permasalahan dalam pembuatan makalah ini adalah
1. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari nilai harapan dari peubah acak?
2. Bagaimanakan pengertian dan konsep dari variansi dan kovariansi?
3. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari fungsi pembangkit momen?
4. Bagaimanakah pengertian dan konsep dari teorema chebyshev?
BAB IIPEMBAHASAN
A. Nilai Harapan Dari Peubah Acak
Nilai harapan perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik, dinyatakan sebagai E(X). Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas.
Contoh:
Suatu percobaan dua uang logam yang dilantunkan 16 kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul per lantunan, maka X dapat berharga 0, 1, dan 2
Misalkan percobaan itu masing-masing menghasilkan sebanyak 4, 7, dan 5 kali, maka rata-rata banyaknya sisi muka per lantunan [nilai harapan matematik] adalah
E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya. Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atiasa disebut nilai harapan dari perubah acak X.
Definisi
Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata-rata) perubah acak X adalah
Contoh:
Jika X merupakan peubah acak malar dengan fungsi kepekatan peluang
Hitunglah nilai harapan untuk fungsi g(x) = 2x – 1!
Penyelesaian:
TeoremaJika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah
Contoh :
1. Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 – 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini:
Tabel 4.2. Distribusi Probabilitas X
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x)
Jika diketahui bahwa g(X) = 2X – 1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut.
Penyelesaian:
Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67
2. Jika X suatu perubah acak dengan fkp:
Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3
Penyelesaian:
Nilai harapan g(x) = 4X + 3 adalah
Teorema
Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah
- Untuk X dan Y peubah acak farik
- Untuk X dan Y peubah acak malar
Contoh
Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang
Penyelesaian:
Sifat-sifat nilai harapan:
- Jika a dan b konstanta, X dan Y peubah acak, maka E(aX+b) = a E(X) + b.
- Jika b suatu konstanta maka E(b ) = b
- Jika peubah acak X dikalikan dengan konstanta c, maka E(cX) = c E(X)
- Jika X dan Y peubah acak maka E(XY) = E(X) E(Y)
- Jika X dan Y peubah acak yang bebas, maka E(X,Y) = E(X) E(Y)
B. Variansi dan Kovariansi
1. Variansi
Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X) atau akar positip dari variansi, disebut simpangan baku X.
Definisi
Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata , maka
variansi X adalah
Teorema
Variansi perubah acak X adalah
Contoh :
Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
Carilah rata-rata dan variansinya
Penyelesaian:
Teorema
Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah
- Peubah acak farik
- Peubah acak malar
Contoh:
Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas:
Penyelesaian:
Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3
Y 0 1 2 3
f(y)
Menggunakan teorema di atas pada kasus ini diperoleh
2. Kovariansi
Untuk menentukan Var(X + Y) dua variabel acak X dan Y yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama perlu adanya pengertian mengenai apa yang di maksud dengan kovariansi.
Definisi
Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah
- Untuk X dan Y peubah acak farik
- Untuk X dan Y peubah acak malar
Teorema
Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus
Contoh:
Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb:
maka carilah kovariansi dari X dan Y!
Penyelesaian:
Menggunakan definisi distribusi marginal di dapat:
Dan dapat dinyatakan sebagai
Fungsi padat gabungan diperoleh
Jadi kovariansinya adalah
C. Fungsi Pembangkit Momen
Definisi
Misalkan h suatu bilangan real positif sehingga nilai E{etX} ada untuk setiap t di dalam
interval (–h,h). Fungsi M(t) = E{etX}; –h < t < h dinamakan fungsi pembangkit momen (fpm) dari X.
Teorema
Turunan pertama fpm untuk t = 0 sama dengan rerata peubah acak yang bersangkutan,
yakni M'(0) =
Teorema
Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu
Teorema
Misalkan menyatakan turunan ke-m dari M(t). Momen ke-m dari peubah acak X,
yakni E(Xm) dapat diberikan oleh E(Xm) = (0)
Contoh:
Jika fungsi idensitas dari X
Hitunglah Fungsi Pembangkit Momen dari X!
Penyelesaian:
D. Teorema Chebyshev
Teorema
Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rata-
rata adalah sekurang-kurangnya yaitu
Contoh:
Suatu perubah acak X mempunyai rata-rata dan sedangkan distribusi probabilitasnya tidak diketahui. Hitunglah
a. P(-4 < X < 20)
b.
penyelesaian:
a.
b.
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
- Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (rata-rata) perubah acak X adalah
- Jika X suatu peubah acak dengan fungsi massa peluang f(x), dengan rata-rata , maka
variansi X adalah
- Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus
- Variansi peubah acak X dapat dihitung dari turunan fpm M(t) untuk t =0, yaitu
DAFTAR PUSTAKA
Tiro, Arif, Muhammad. 2008. PENGANTAR TEORI PELUANG. Makassar : Andira Publisher.
www.google.co.id/search
Top Related