MATEMATIKA EKONOMIPenerapan Ekonomi Hubungan Non-linear

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Ekonomi

Disusun oleh:

1. Agung Fitriantoro (07.214.3086)2. Eka Sri Nuryani (07.214.2953)3. Endah Yuliasih (07.214.3060)4. Priagung Ratmoko (07.214.3070)5. Sugeng Yulianto (07.214.3001)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

2010/ 2011

PENERAPAN EKONOMI HUBUNGAN NON-LINEAR

1. Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar

Selain berbentuk fungsi linear, permintaan dan penawaran dapat pula

berbentuk fungsi non-linear. Fungsi pemintaan dan penawaran yang kuadratik dapat

berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan

parabola. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs , pada

perpotongan antara kurva permintaan dan penawaran.

P

Qs Keseimbangan pasar :

Qd = Qs

Qd : jumlah permintaan

Qs : jumlah penawaran

Pe E E : titik keseimbangan

Pe : harga keseimbangan

Qd Qe : jumlah keseimbangan

0 Qe Q

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga

sama seperti pada kondisi linear. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang

ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan

penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta

di pasar juga berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih

tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya, subsidi

menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan

menjadi lebih banyak.

Contoh soal :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd=19−P2

sedangkan penawarannya Qs=−8+2 P2. Berapa harga keseimbangan dan jumlah

keseimbangan yang tercipta di pasar?

Jawab :

Keseimbangan pasar :

Qd = Qs

19−P2=−8+2 P2

1

Qd = Qs

19+8=P2+2P2

27=3P2

P2=9

P=3

Q=19−P2=19−32=10

Jadi, Pe=3 dan Qe=10

Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar

1 (rupiah) per unit maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :

Q's=−8+2 (P−1 )2=−8+2 ( P2−2P+1 )=−6−4 P+2P2

Keseimbangan pasar yang baru :

Qd=Q 's

19−P2=−6−4 P+2 P2

3 P2−4 P−25=0

Dengan rumus abc diperoleh P1=3,63 dan P2=−2,30. P2 tidak dipakai karena

harga negatif adalah irrasional.

Dengan memasukkan P=3,63 ke dalam persamaan Qd atau persamaan Q 's

diperoleh Q=5,82.

Jadi, dengan adanya pajak : P 'e=3,63 dan Q 'e=5,82.

Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan

produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah,

masing-masing :

tk=P 'e−Pe=3,63−3=0,63

tp=t−tk=1−0,63=0,37

T=Q 'e × t=5,82× 1=5,82.

2. Fungsi Biaya

Selain biaya tetap, biaya variabel, dan biaya total dalam konsep biaya

dikenal pula biaya rata-rata (average cost) dan biaya marginal (marginal cost).

Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk

atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang

dihasilkan. Biaya marginal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk

menghasilkan satu unit tambahan produk.

Biaya tetap : FC = k (k : konstanta)

Biaya variabel : VC = f(Q)

Biaya total : C = FC + VC = k + f(Q) = c(Q)

2

Biaya tetap rata-rata : AFC = FCQ

Biaya variabel rata-rata : AVC = VCQ

Biaya rata-rata : AC = CQ

=AFC+ AVC

Biaya marjinal : MC = ∆ C∆ Q

Bentuk non-linear dari fungsi biaya pada umumnnya berupa fungsi kuadrat

parabolik dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya

secara grafik adalah sebagai berikut :

a) Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = aQ2 – bQ+c

VC FC

Maka :

AC = CQ

=aQ−b+ cQ

AVC = VCQ

=aQ−b

AFC = FCQ

= cQ

C

Cc FC

VC0 Q

(a)

C

AFCAC

VC

0 Q

3

-b

(b)

Dari gambar, grafik C dan VC berbentuk parabola. Secara grafik, kurva C

dan VC sebangun, dengan perbedaan sejarak c. Dengan memanfaatkan rumus titik

ekstrim parabola, dapat dihitung tingkat poduksi (Q) pada C minimum dan VC

minimum serta besarnya C minimum dan VC minimumnya. C dan VC yang

berbentuk parabola membawa konsekuensi AC dan AVC berbentuk linear,

sementara AFC asimtotik terhadap kedua sumbu C dan sumbu Q, sebab FC linear.

Pada gamber grafik (a), C minimum dan VC minimum terjadi pada posisi Q yang

sama, tetapi C minimum tidak sama dengan VC minimum. Hanya jika FC≡ c=0

maka C minimum = VC minimum. Gambar grafik (b), AC = AFC pada posisi Q

dimana AVC = 0.

b) Biaya total merupakan fungsi kubik

Andaikan C = aQ3 – bQ2 + cQ + d

VC FCMaka :

AC = cQ

=a Q2−bQ+c+ dQ

AVC = VCQ

=a Q2−bQ+c

AFC = FCQ

= dQ

C CC

ACVC AVC

d FCAFC

0 Q 0 Q(a) (b)

Biaya total berfungsi kubik seperti di atas selalu membuahkan AC dan AVC

berbentuk parabola terbuka ke atas. Sedangkan AFC tetap asimtotik terhadap

sumbu C dan sumbu Q, sebab FC selalu konstanta yang kurvanya sejajar sumbu Q.

Gambar grafik (b), AC minimum dan AVC minimum juga terjadi pada kedudukan Q

yang sama, perbedaan di antara keduanya adalah sebesar AFC.

4

Contoh soal :

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh

persamaan C=2 Q2−24 Q+102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini

minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut! Hitung pula besarnya

biaya tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel

rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi

dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marginal?

Jawab :

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan

Q=−b2a

=244

=¿6 unit

Besarnya C minimum ¿2 Q2−24 Q+102

¿2 (6 )2−24 (6 )+102

= 30

(C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

b2−4 ac−4 a

; hasilnya C minimum ¿(242−4 × 2× 102 )

−4×2=−240

−8=30)

Selanjutnya, padaQ=6 ini :

FC=102

VC=2Q 2−24 Q=2 (6 )2−24 (6 )=−72

AC=CQ

=306

=5

AFC= FCQ

=1026

=17

AVC=VCQ

=−726

=−12

Jika Q=7, C=2 (7 )2−24 (7 )+102=32

MC= ∆C∆ Q

=32−307−6

=2

Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya

tambahan (biaya marginal) sebesar 2.

3. Fungsi Penerimaan

Fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non-linear pada umumnya

berupa sebuah persamaan parabola yang terbuka ke bawah. Penerimaan total

merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali jumlah barang

dengan harga barang per unit. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) adalah

penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasilkali penerimaan total

5

terhadap jumlah barang. Penerimaan marginal (marginal revenue, AR) adalah

penerimaan tambahan yang diperoleh dari tiap tambahan satu unit barang yang

dihasilkan atau terjual.

Penerimaan total : R = Q x P = f(Q)

Penerimaan rata-rata : AR = RQ

Penerimaan marginal : MR = ∆ R∆ Q

Mengingat R=Q× P atau P= RQ

, sedangkan AR = RQ

, berarti penerimaan

rata-rata (AR) tak lain adalah harga barang per unit (P). Secara grafik, kurva AR

adalah juga kurva permintaan dalam bentuk P=g (Q ).

Contoh soal:

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis

ditunjukkan oleh P=900−1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya?

Berapa besar penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa

harga jual per unit? Hitunglah penerimaan marginal dari penjualan sebanyak 200

unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan

total maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut!

Jawab :

P=900−1,5 Q → R=Q× P=900 Q−1,5Q2

Jika Q=200,

R=900 (200 )−1,5 (200 )2=120.000

P=900−1,5 (200 )❑=600

Atau P= RQ

=120.000200

=600

Jika Q=250,

R=900 (250 )−1,5 (250 )2=131.250

MR = ∆ R∆ Q

¿ 131.250−120.000250−200

=225

R=−1,5Q 2+900Q

R maksimum pada Q=−b2a

=−900−3

=300

Besarnya R maksimum ¿−1,5 (300 )2+900 (300 )

6

¿135.000.

4. Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok

Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungm, kerugian dan keadaan

pulang pokok secara grafik dapat ditunjukan seperti grafik di bawah ini:

C, R

C = c(Q)

TPP

TPP : Titik Pulang Pokok (Break Even Point)

TPP R = r(Q)

0 Q1 Q2 Q3 Q4 Q

Titik Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok (R = C), area di

sebelah kiri Q1 dan sebelah kanan Q4 mencerminkan keadaan rugi (R<C),

sedangkan area di antara Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan untung (R>C), Q3

mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum.

Besar kecilnya kuntungan ditentukan oleh selisih antara R dan C. dari grafik dapat

dilihat jarak antar kurva R dan C, semakin lebar jarak positif maka semakin besar

keuntungan yang diperoleh.

Jarak positif terlebar antara kurva R dan kurva C tidak selalu terjadi pada

saat kurva R meencapai maksimum, juga tidak mesti terjadi pada saat kurva C

mencapai minimum.

Contoh soal :

Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh

persamaan R=−0,10 Q2+20Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan

C=0,25 Q3−3 Q2+7 Q+20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan

terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.

7

Jawab :

π=R−C=−0,10 Q2+20 Q−0,25 Q3+3Q2−7 Q−20

π=−0,25Q3+2,90Q2+13 Q−20Q=10 → π=−0,25 (1000 )+2,90 (100 )+13 (10 )−20

¿−250+290+130−20

¿150(keuntungan)

Q=20 → π=−0,25 ( 8000 )+2,90 (400 )+13 (200 )−20 ¿−2000+1160+260−20

¿−600(kerugian)

SOAL EVALUASI

1. Jika diketahui fungsi permintaan dan penawaran barang adalah sebagai berikut:

Pd=Q2−11Q+3 dan Ps=Q2+1, maka tentukan koordinat titik keseimbangan

pasarnya jika ada!

2. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan

C=2 Q2−2Q+102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum?

Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut! Hitung pula besarnya biaya

tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variabel rata-

rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan

dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marginal?

3. Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan

oleh P=800−2 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besar

penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual per

unit? Hitunglah penerimaan marginal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 300

unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum,

dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut!

4. Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan

R=−0,20+30 Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan

C=0,25 Q3−3 Q2+6 Q+20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan

terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit!

8

DAFTAR PUSTAKA

Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE-

Yogyakarta.

9