PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN PEMISAHAN VARIABELMetode 2 : Dengan Pemisahan VariabelJika persamaan yang diberikan berbentuk = f(x,y), variabel y di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diseleseikan dengan integrasi langsung. Sehingga kita harus menggunakan metode lain untuk menyelesaikannya.Mari kita tinjau persamaan berbentuk = f(x,y), dan berbentuk yaitu persamaan persamaan yang sisi kanannya dapat dinyatakan sebagai hasil kali atau hasil bagi dari fungsi x atau fungsi y.Beberapa contoh akan diberikan :CONTOH 1 Seleseikanlah Kita dapat menulisnya kembali sebagai ( y+1) = 2xSekarang di integrasikan kedua sisi terhadap x :

Sehingga didapat : 2 + cCONTOH 2Seleseikanlah ( 1 + x ) ( 1 + y )Untuk mengerjaka soal tersebut maka harus di pisah dulu variabelnya :

Integrasikan kedua sisi terhadap x :

ln ( 1 + y ) = x + + CMetode ini bergantung pada kemampuan untuk menyatakan persamaan yang diberikan dalam bentuk F( y ) . Jika ini dapat dilakukan , maka proses selanjutnya mudah. Karena didapatkan :

Jadi : F ( y ) dy = CONTOH 3 Selesaikanlah : Ini dapat ditulis bahwa Lalu intergrasikan kedua sisinya terhadap x :

Jadi : ln ( 1 + y ) = ln ( 2 + x ) + C Kita boleh menulis konstanta C sebagai logaritma dari suatu konstanta lain A :ln ( 1 + y ) = ln ( 2 + x ) + ln A = ln A ( 2 + x )Jadi : 1 + y = A ( 2 + x )

CONTOH 4 Selesaikanlah : Pertama tama nyatakan sisi kanan dalam faktor x dan faktor y :

Sekarang atur kembali persamaan dalam faktor y dan dy pada sisi kiri dan faktor x dan dx di sisi kanan. dy = dxSekarang kita tambahkan tanda integral lalu lengkapi persamaanya :

ln y + y-1 = ln x x-1 + CJadi : ln x + = ln x + C

Contoh 5 : Selesainkanlah : Dengan penyusunan kembali agar hasil dapat dikerjakan dengan sederhana :

Yang menghasilkan nilai seperti dibawah ini :

ln = 2 ln x + ln AJadi : = Ax2y-1 = Ax2 ( y + 1 )Contoh 6 :Selesaikan: sekarang adalah sebuah konstanta, sebut saja A Contoh 7Selesaikan : (dengan menyatakan konstanta 2C sebagai ln A)

(K.A Stroud. Matematika Teknik. Penerbit Erlangga. Hal 293 296.)Contoh 8Selesaikan : 9yy + 4x = 0.

Penyelesaian: Dengan pemisahan variabel akan diperoleh :9y dy = -4x dx.

Dengan pengintegralan pada masing-masing sisinya akan diperoleh selesaian umum : = -2x2 + c1Atau

(http://febroeldefila.files.wordpress.com/2012/04/persamaandifferensial.pdf)(http://www.syafii.staff.uns.ac.id/files/2011/02/bab-i.pdf)Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang berbeda. Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dengan mengintegralkan kedua ruas. Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:

Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:

Contoh :Diketahui Persamaan Diferensial , sebagai berikut :

a. Solusi umum Persamaan Diferensialb. Solusi khusus Persamaan Diferensial bila diberikan y (0) = 1Jawaban :a. PD dapat diseleseikan dalam bentuk = Sehingga , ln y = ( ln x+1 ) + ln C = ln C ( x+1 )Solusi umum , y = C (x+1)b. Dari solusi umum didapatkan C =1 , Solusi khususnya adalah y = x +1

(http://febrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/1.pdf)

Aplikasi Pada Bidang Telekomunikasi Sesuai dengan hukum kirchoff, rangkaian listrik sederhana (gambar dibawah) yang mengandung sebuah tahanan sebesar R ohm dan sebuah kumparan sebesar L Henry dalam rangkaian seri dengan sumber gaya elektromotif (sebuah baterai atau generator) yang menyediakan suatu voltase E(t) volt pada saat t memenuhi

Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.1. Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).Jawaban : Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi kita peroleh

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = -2 sehingga,

2. Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator arus bolak balik dengan E = 12 sin 9t volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).Jawaban :

Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi kita peroleh

Dengan integral parsial didapat hasil integralnya adalah

Jadi,

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan : Sehingga,

(http://yuliants.blog.ittelkom.ac.id/blog/files/2010/02/03-Persamaan-Diferensial-Orde-II.pdf)

Referensi : K.A Stroud. Matematika Teknik. Penerbit Erlangga. Hal 293 296.http://www.definis-PD_Pembentukan_Penyelesaian_Integrasi-Langsung_Pemisahan-var_Homogen.pdfhttp://febrizal.staff.unri.ac.id/files/2012/07/1.pdfhttp://febroeldefila.files.wordpress.com/2012/04/persamaandifferensial.pdfhttp://www.syafii.staff.uns.ac.id/files/2011/02/bab-i.pdfhttp://sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/definis-PD_Pembentukan_Penyelesaian_Integrasi-Langsung_Pemisahan-var_Homogen1.docxhttp://yuliants.blog.ittelkom.ac.id/blog/files/2010/02/03-Persamaan-Diferensial-Orde-II.pdf