Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Sucesiones y...

MatematicasAvanzadas

paraIngenierıa:

Sucesiones ySeries

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lim zn

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Series

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Matematicas Avanzadas para Ingenierıa:Sucesiones y Series

Departamento de Matematicas

MA3002


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SucesionUna sucesion, representada matematicamente como {zn}, esuna funcion cuyo dominio son los enteros positivos(1, 2, 3, 4, . . .); en otras palabras, a cada entero n = 1, 2, 3 . . .se le asigna un numero complejo zn. Por ejemplo, la sucesion{1 + in} representarıa la funcion

n 1 2 3 4 5 . . .

zn 1 + i 0 1− i 2 1 + i . . .

z1 = z5

z2

z3

z4


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Lımite de una SucesionSe dice que una sucesion {zn} converge al valor L si paracualquier medida de cercanıa ε > 0 existe una posicion no apartir de la cual todos los terminos siguientes de la sucesionaproximan a L con un error menor que ε; es decir, distan de Len menos que ε:

∀i > no : |zi − L| < ε

Esto se simboliza como

limn→∞

zn = L


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EjemploLa sucesion

{in+1

n

}converge a 0.

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8z9z10


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Resultados sobre lımites

• Una sucesion {zn} converge al numero complejo L si y solosi Re(zn) converge a Re(L) y Im(zn) converge a Im(L).

Para la sucesion{zn = in+1

n

}n 1 2 3 4 5 6 7 8zn −1 −1/2 i 1/3 1/4 i −1/5 −1/6 i 1/7 1/8 i

Re(zn) −1 0 1/3 0 −1/5 0 1/7 0Im(zn) 0 −1/2 0 1/4 0 −1/6 0 1/8

Re(zn)

Im(zn)

n

n


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Ejemplos sobre sucesiones

• Escriba los primeros cinco terminos de la sucesion dada:

1. {5 in} 2.{

1 + en π i}

• Determine si la sucesion converge:

3.

{3 n i + 2

n + n i

}4.

{n i + 2n

3 n i + 5n

}• Calcule el lımite de:

5.

{4 n + 3 n i

2 n + i

}6.

{(1 + i

4

)n}


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Ejemplo, inciso 3 anterior

Para la sucesion{zn = 3 n i+2

n+n i

}n zn Re(zn) Im(zn)

1 5/2 + 1/2 i 5/2 1/22 2 + i 2 13 11/6 + 7/6 i 11/6 7/64 7/4 + 5/4 i 7/4 5/45 17/10 + 13/10 i 17/10 13/106 5/3 + 4/3 i 5/3 4/37 23/14 + 19/14 i 23/14 19/148 13/8 + 11/8 i 13/8 11/89 29/18 + 25/18 i 29/18 25/1810 8/5 + 7/5 i 8/5 7/5

Re(zn)

Im(zn)

n

n


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Series

• Una serie infinita de numeros complejos es una expresionde la forma

∞∑k=1

zk = z1 + z2 + z3 + · · ·+ zn + · · ·

• Una serie como la anterior se dice que es convergente si lasucesion de sumas parciales {Sn} dada por

Sn =n∑

k=1

zk = z1 + z2 + · · ·+ zn

converge. Si Sn → L cuando n→∞ diremos que la sumade la serie es L.


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Ejemplos sobre seriesDetermine la formula para la sucesion de sumas parciales de

∞∑k=1

[1

k + 2 i− 1

k + 1 + 2 i

]n Sn Re(Sn) Im(Sn)1 −1/20 − 3/20 i −1/20 −3/202 −2/65 − 16/65 i −2/65 −16/653 −3/10 i 0 −3/104 4/145 − 48/145 i 4/145 −48/1455 1/20 − 7/20 i 1/20 −7/206 18/265 − 96/265 i 18/265 −96/2657 7/85 − 63/170 i 7/85 −63/1708 8/85 − 32/85 i 8/85 −32/859 27/260 − 99/260 i 27/260 −99/26010 14/125 − 48/125 i 14/125 −48/125

Re(zn)

Im(zn)

n

n


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Serie Geometrica

• Una serie geometrica es una serie de la forma:∞∑k=1

a rk−1 = a + a r + a r2 + a r3 + · · ·+ a rn−1 + · · ·

• Primera ventaja de las series geometricas: Si Sn es lan-esima sima parcial

Sn = a + a r + a r2 + · · ·+ a rn−1

entonces Sn =a (1− rn)

1− r

• Segunda ventaja de las series geometricas: Resultadossobre la convergencia: Si |r | < 1, entonces la seriegeometrica converge y converge al valor

∞∑k=1

a rk−1 → a

1− r

Si |r | ≥ 1,entonces la serie geometrica diverge.


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Ejemplos sobre series geometricasDetermine si existe el valor de cada serie:

1

∞∑k=1

4 i

(1

3

)k−1

: a = 4 i, |r = 1/3| = 1/3, convergente

2

∞∑k=1

(i

2

)k

: a = i/2, |r = i/2| = 1/2 < 1, convergente

3

∞∑k=1

1

2ik

: a = i/2, |r = i| = 1, no se sabe

4

∞∑k=0

3

(2

1 + 2 i

)k

=∞∑k=1

3

(2

1 + 2 i

)k−1, convergente

Observe que la serie geometrica inicia en k = 1 y que elexponente de r debe ser k − 1. Esto es equivalente si inicia enk = 0 y el exponente es k.


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Ejemplos sobre series geometricasDetermine si existe el valor de cada serie:

1

∞∑k=1

4 i

(1

3

)k−1: a = 4 i, |r = 1/3| = 1/3, convergente

2

∞∑k=1

(i

2

)k

: a = i/2, |r = i/2| = 1/2 < 1, convergente

3

∞∑k=1

1

2ik : a = i/2, |r = i| = 1, no se sabe

4

∞∑k=0

3

(2

1 + 2 i

)k

=∞∑k=1

3

(2

1 + 2 i

)k−1, convergente

Observe que la serie geometrica inicia en k = 1 y que elexponente de r debe ser k − 1. Esto es equivalente si inicia enk = 0 y el exponente es k.


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Resultados

• Si∑∞

k=1 zk converge, entonces limk→∞ zk = 0.

• La contrapositiva de la implicacion anterior es tambiencierta: Si limk→∞ zk 6= 0, entonces

∑∞k=1 zk diverge.

ConceptoSe dice que una serie

∑∞k=1 zk es absolutamente convergente si∑∞

k=1 |zk | converge.


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Prueba de la RazonSuponga que

∑∞k=1 zk es una serie geometrica de terminos

complejos no nulos tales que

limn→∞

∣∣∣∣zn+1

zn

∣∣∣∣ = L

entonces:

1 Si L < 1, entonces la serie es absolutamente convergente.

2 Si L > 1 o bien L =∞, entonces la serie diverge.

3 Si L = 1, la prueba no es concluyente.


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Prueba de la RaızSuponga que

∑∞k=1 zk es una serie geometrica de terminos

complejos tales que

limn→∞

n√|zn| = L

entonces:

1 Si L < 1, entonces la serie es absolutamente convergente.

2 Si L > 1 o bien L =∞, entonces la serie diverge.

3 Si L = 1, la prueba no es concluyente.


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Series de PotenciasUna serie de potencias en z − zo es una serie infinita de laforma

∞∑k=0

ak (z − zo)k = a0 + a1 (z − zo) + a2 (z − zo)2 + · · ·

Diremos que la serie esta centrada en zo y que el centro de laserie es zo . Todas las series de potencias complejas tienen unradio de convergencia R. El equivalente al intervalo deconvergencia para series de potencias reales es el cırculo deconvergencia definido por |z − zo | = R para cuando0 < R <∞. El radio de convergencia puede ser

1 R = 0, en cuyo caso solo hay convergencia para z = zo .

2 R =∞, en cuyo caso la serie converge para cualquier z .

3 R es un numero finito, en cuyo caso la serie converge en elinterior de los puntos del cırculo |z − zo | = R.


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EjemploDetermine la region de convergencia de

∞∑k=1

1

kzk+1

Aplique el criterio de la razon.

limk→∞

∣∣∣∣ 1k+1

zk+2

1kzk+1

∣∣∣∣ = limk→∞

∣∣∣ kk+1 z

∣∣∣=

(limk→∞

∣∣∣ kk+1

∣∣∣) · |z | = 1 · |z | = |z |

La convergencia requiere que |z | < 1; el radio de convergenciaes 1. Se debe interpretar que para que exista convergencia dela serie de potencias el valor de z debe tener modulo menor que1.


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Radio de convergenciaPara una serie de potencias

∞∑k=0

ak (z − zo)k = a0 + a1 (z − zo) + a2 (z − zo)2 + · · ·

al aplicar el criterio de la razon

limn→∞

∣∣∣∣an+1(z − zo)n+1

an (z − zo)n

∣∣∣∣ = |z − zo | · limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = |z − zo | · L

podemos concluir que si

1 L 6= 0, el radio de convergencia es R = 1/L.

2 L = 0, el radio de convergencia es infinito. Hayconvergencia para todo valor de z .

3 L =∞, el radio de convergencia es R = 0.


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Ejemplos sobre series de potenciasDetermine la ROC de cada serie:

1

∞∑k=1

(−1)k+1

k!(z − (1 + i))k

2

∞∑k=1

(6 k + 1

2 k + 5

)k

(z − 2 i)k


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Desarrollo de TaylorSea f (z) una funcion analıtica en un dominio D y sea zo unpunto de D. Entonces f (z) se representa como la seerie depotencias:

f (z) =∞∑k=0

f (k)(zo)

k!(z − zo)k

Cuando zo = 0 el desarrollo se llama la Serie de Maclaurin.Series a conocer:

1 ez =∞∑k=0

1

k!zk

2 sen(z) =∞∑k=0

(−1)k

(2 k + 1)!z2 k+1

3 cos(z) =∞∑k=0

(−1)k

(2 k)!z2 k


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Ejemplos sobre series de potenciasDetermine los series de

1 f (z) =z

1 + zen zo = 0

2 f (z) = e2 z en zo = 0

3 f (z) =1

zen zo = 1

A veces es conveniente usar:

1

1− z= 1 + z + z2 + z3 + · · ·


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Transformada zDada una sucesion de numero complejos {cn}∞n=0 se construyela funcion compleja:

C (z) = co + c11

z+ c2

1

z2+ c3

1

z3+ · · ·


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Ejemplos sobre Transformada zDetermine la transformada z de cada una de las sucesiones:

1 cn = {ea n}Propiedad 1:Suponga que la senal discreta {cn} tiene como transformada zla funcion compleja C (z) entonces la senal {n cn} tendra comotransformada:

−z dC (z)

dz

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