Makalah Lingkaran (Kelompok 1) Telaah Kurikulum Matematika SMP

DISUSUN OLEH:

KELOMPOK 1

OKTI ANGGUN PASESI (A1C013010)

NISA SETIAWATI (A1C013012)

MAISYAH RAHMA (A1C013030)

MELI DWI JAYANTI (A1C013040)

DESSY AGUSTINA (A1C013054)

ANDI MUTIARA WATI (A1C013068)

ADIKASUMA (A1C013070)

MAKALAH

TELAAH KURIKULUM MATEMATIKA SMP

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS BENGKULU

TAHUN AJARAN ��

MAKALAH LINGKARAN | KELOMPOK 1

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang berkat rahmat-Nyalah sehingga

makalah “Lingkaran” ini dapat terselesaikan. Makalah ini ditulis dan disusun berdasarkan

kebutuhan perkuliah yaitu sebagai tugas matakuliah “Telaah Kurikulum Matematika SMP”.

Dalam pembuatan makalah ini tidak sedikit hambatan dan kesulitan yang kami alami,

namun berkat dukungan dan dorongan dari orang terdekat sehingga kami mampu

menyelesaikan makalah ini meskipun masih banyak sekali kekurangan, oleh karena itu kami

mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah membantu terselesaikannya

makalah ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu

segala kritik dan saran yang membangun akan kami terima dengan baik. Akhir kata, semoga

makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bengkulu, 29 Mei 2014

Penulis


iii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

KATA PENGANTAR ......................................................................................... ii

DAFTAR ISI ....................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ............................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................... 2

C. Tujuan ............................................................................................. 2

BAB II ISI

A. Pengertian Lingkaran ..................................................................... 3

B. Unsur-unsur Lingkaran .................................................................. 3

C. Keliling dan Luas Lingkaran .......................................................... 5

D. Sudut Pusat, Sudut Keliling, Panjang Busur, Luas Juring dan

Luas Tembereng ............................................................................. 8

E. Garis Singgung Lingkaran ............................................................. 12

F. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar pada Segitiga .................... 19

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan ..................................................................................... 24

B. Saran ............................................................................................... 24

LAMPIRAN-LAMPIRAN

DAFTAR PUSTAKA


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Geometri merupakan salah satu cabang matematika yang sangat penting sebagai

ilmu dasar dan sudah dikenal anak-anak sejak kecil. Geometri telah dipelajari pada

jenjang pendidikan dasar, pendidikan sekolah menengah, sampai pendidikan tinggi.

Geometri berasal dari kata latin “ Geometria”, Geo yang berarti tanah dan metria berarti

pengukuran. Menurut sejarahnya geometri tumbuh pada zaman jauh sebelum Masehi

karena keperluan pengukuran tanah setiap kali sesudah sungai Nil banjir. Dalam bahasa

Indonesia Geometri dapat pula diterjemakan sebagai Ilmu Ukur. Banyak konsep geometri

yang lebih mudah dipahami jika pengenalannya disajikan melalui benda-benda di sekitar

lingkungannya yang memuat bentuk dan konsep geometri. Pada bagian lain geometri

masih dianggap momok bagi kebanyakan peserta didik untuk setiap jenjang pendidikan.

Sebagai ilmu dasar, maupun sebagai ilmu bantu dalam pelajaran lain dan begitu

banyak kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari, oleh sebab itu pengembangan

geometri sangat diperlukan. Untuk hal tersebut penguasaan terhadap aplikasi geometri

perlu diungkapkan. Selanjutnya agar dapat belajar geometri dengan baik dan benar,

peserta didik dituntut untuk menguasai kemampuan dasar geometri, ketrampilan dalam

pembuktian, ketrampilan membuat lukisan dasar geometri, dan mempunyai wawasan

pandang ruang yang memadai. Konsep awal peserta didik sangat berpengaruh terhadap

pembentukan konsep lainnya dan pemahaman terhadap materi yang menggunakan

konsep tersebut, seperti pemahaman konsep bangun-bangun datar seperti segiempat,

segitiga, dan lingkaran. Berdasarkan uraian tersebut di atas selanjutnya akan di

kemukakan tentang materi matematika (geometri) khususnya materi Lingkaran. Pada

jenjang pendidikan dasar (sekolah dasar) materi tentang lingkaran hanya sebatas

pengenalan bentuk dan unsur-unsurnya, contohnya mudah ditemukan dalam kehidupan

sehari-sehari. Selanjutnya meteri lingkaran di tingkat SMP sudah berada pada tingkatan

yang lebih tinggi misalnya definisi lingkaran, garis singgung, bagian-bagian lingkaran

dan sebagainya. Dengan demikian materi geometri tentang bangun datar yaitu lingkaran

terdapat disetiap jenjang pendidikan mulai dari pendidikan dasar, pendidikan menengah

sampai pada pendidikan tinggi dan merupakan dasar untuk setiap jenjang yang lebih

tinggi baik pemahaman konsep lingkaran maupun penggunaan lingkaran dalam

pemecahan masalah matematika.


2

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah pada makalah ini, yaitu:

1. Apa yang dimaksud dengan lingkaran?

2. Apa saja unsur-unsur lingkaran?

3. Bagaimana cara menghitung Luas lingkaran, keliling lingkaran, sudut pusat, sudut

keliling, luas juring, besar sudut dan luas tembereng pada lingkaran?

4. Apa yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran dan bagaimana cara

menghitungnya?

5. Apa yang dimaksud dengan lingkaran dalam segitiga dan bagaimana cara

penghitungannya?

6. Apa yang dimaksud dengan lingkaran luar segitiga dan bagaimana cara

penghitungannya?

C. Tujuan

Adapun tujuan pembuatan makalah ini, yaitu:

1. Makalah ini dibuat agar kita lebih mengerti tentang materi Lingkaran

2. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas matakuliah TELAAH KURIKULUM

MATEMATIKA SMP


3

BAB II

ISI

A. PENGERTIAN LINGKARAN

Perhatikan gambar di bawah ini.

Siapa yang tidak tahu ban mobil dan uang logam? Itu merupakan barang-barang

yang mudah Anda temui dalam kehidupan sehari-hari. Ban mobil dan uang logam

merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris,

benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a),

Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik

sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut

memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan

titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan

tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik

pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.

Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang

merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik

tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat

lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling

lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).

B. UNSUR-UNSUR LINGKARAN

Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun

datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam

unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur,

tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Perhatikan gambar berikut

ini.

(b)(a)

O

A

C

B


4

Untuk lebih jelas, perhatikan uraian berikut ini.

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah

lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat

lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran

O.

b. Jari-Jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke

lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-

jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada

lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat.

Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran

tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai

diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat

ditulis secara matematis: d = 2r.

d. Busur

Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada

lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua

titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis

lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan

busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat

membayangkannya sebagai busur panah.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang

menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak

melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran

dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut

ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti

pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat

membayangkan seperti pada tali busur panah.

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh

busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan

oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur

AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran

dengan tali busur lingkaran.

rO

O

OBA

O

B

A

C

O

B

A


5

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi

oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh

kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring

lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-

jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema

Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat

lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk

bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas

secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran

O.

C. KELILING DAN LUAS LINGKARAN

Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui

pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian

tepi lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A

kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut

satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling

lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai π (pi).

1. Menemukan Pendekatan Nilai π (pi)

Untuk menemukan pendekatan nilai π (pi), kita bisa lakukan percobaan sederhana

berikut ini. Pertama, membuat lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm,

dan 3 cm. Kemudian mengukur diameter masing-masing lingkaran dengan

menggunakan penggaris. Kedua, mengkur keliling masing-masing lingkaran

menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi

lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. Terakhir

hitung nilai π (phi) dengan cara keliling lingkaran dibagi dengan diameter lingkaran,

kemudian catat hasilnya. Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti

maka nilai keliling dibagi diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk

selanjutnya, nilai keliling per diameter disebut sebagai konstanta π (π dibaca: phi).

Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah Anda dapatkan bilangan desimal

tak berhingga dan tak berulang? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang

bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, namun bilangan

irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b.

Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian

yang cermat ternyata nilai π= 3,14159265358979324836 ... Jadi, nilai π hanyalah suatu

pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua

tempat desimal, pendekatan untuk π adalah 3,14.

Coba bandingkan nilai π dengan pecahan 22/7. Bilangan pecahan 22/7 jika

dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi, bilangan 22/7 dapat

dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.

F

O

BA


6

2. Menghitung Keliling Lingkaran

Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai

perbandingan keliling (K) per diameter (d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap

disebut π. Karena K/d=π, sehingga didapat K = π d. Karena panjang diameter adalah 2 x

jari-jari atau d = 2r, maka K = 2πr.

Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r)

adalah:

Contoh soal

Hitunglah keliling lingkaran jika diameter lingkaran 14 cm!

Penyelesaian:

d = 14 cm, sehingga:

K = πd

= 22/7 x 14 cm

= 44 cm

Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.

Hitunglah keliling lingkaran jika jari-jarinya 35cm!

Penyelesaian:

r = 35 cm, sehingga:

K = 2πr

= 2(22/7) 35 cm

= 220 cm

Jadi, keliling lingkaran = 220 cm.

3. Menghitung Luas Lingkaran

Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-

langkah berikut.

1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.

2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama

besar dan arsir satu bagian

3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar

dengan cara membuat 12 juring sama besar dengan sudut

pusat 30° (Gambar (i)).

4. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua

sama besar.

5. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.

6. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring

sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang,

seperti pada Gambar (ii) di samping.

Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya,

kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka

hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang

mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling

lingkaran (3,14 x 10 cm = 31,4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10


7

cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan

p = 31,4 cm dan l = 10 cm.

Luas lingkaran = p x l

= 31,4 cm x 10 cm

= 314 cm

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama

dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh:

L = π rxr

= π r2

Karena r = ½d, maka

L = π(½d)2

= π (½d)2

= ¼ π d2

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau

diameter d adalah:

Contoh soal:

Hitunglah luas lingkaran yang memiliki jari-jari 7cm!

Penyelesaian:

Jari-jari = 7 cm, maka r = 7

L = πr2

= 22/7 x 72

= 154

Jadi, luas lingkaran = 154 cm2.

Hitunglah luas lingkaran dengan diameter 20cm!

Penyelesaian:

Diameter = 20 cm, maka d = 20

L = ¼ π d2

= ¼ x 3,14 x 202

= 314

Jadi, luas lingkaran = 314 cm2.

4. Hubungan Antara Keliling Dan Luas Lingkaran

Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas lingkaran Anda harus

paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran. Hubungan antara keliling

dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal ulangan umum dan

ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu

yang singkat.


8

Jika Anda mampu menguasai materi tentang hubungan keliling lingkaran dengan

luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari atau diameternya jika yang diketahui keliling

atau luasnya saja. Bagaimana caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan

berikut ini.

Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan mencari jari-jarinya, misalkan keliling

lingkaran K dan luasnya L, maka:

K = 2πr atau r = K/2π

Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke rumus luas lingkaran, maka:

L = πr2

= π(K/2π)2

= π(K2/4π2)

= K2/4π

Dari persamaan hubungan antara keliling lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari

hubungan kebalikannya yaitu hubungan antara luas lingkaran dengan kelilingnya,

yakni:

L = K2/4π

K2 = 4πL

K = √(4πL)

D. SUDUT PUSAT, SUDUT KELILING, PANJANG BUSUR, LUAS JURING DAN LUAS

TEMBERENG

1. Sudut Pusat

Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama!

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara

dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di atas Garis

OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik

pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.

2. Sudut Keliling

Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!

Sudut pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan

antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran.

Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang

berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB.

3. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Jika Menghadap Busur yang Sama

Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!


9

∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling

lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama,

yaitu AB.

Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang

menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA= OB= OC= OD= r.

Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β .

ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD!

∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama

kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar

∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠AOB atau

besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB.


10

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana

keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling

atau

Besar sudut keliling = ½ x besar sudut pusat

4. Panjang Busur

Busur adalah garis lengkung yang merupakan bagian dari keliling lingkaran, maka

untuk menentukan panjang busur lingkaran digunakan perbandingan dengan keliling

lingkarannya.

Perhatikan gambar. Jika sudut pusat busur AC adalah AOC, dan sudut pusat

keliling lingkaran adalah 360o , maka akan terdapat perbandingan senilai, yaitu :

5. Luas Juring

Sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas terdapat juirng lingkaran AOB (luas yang diarsir) dengan sudut

pusat α (baca: alfa) dan jar-jari r. Apa yang akan terjadi jika sudut pusat α diperbesar

menjadi β (baca: betta) seperti gambar di bawah ini?


11

Ternyata setelah sudut pusat α diperbesar menjadi β maka luas

juring AOB juga semakin membesar. Ini sesuai dengan konsep

perbandingan senilai atau seharga, di mana jika sudut pusat

lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga

ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika sudut

pusat lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga

akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut

diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)?

Jika sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh maka luas juringnya menjadi luas

lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara

besar sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran

sama dengan sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°)” Secara matematis

pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

��

�� =

��

��°

Luas Juring AOB = ��

��° ∙ ��

Luas Juring AOB = ��

��° ∙ ��

6. Luas Tembereng

Pemahaman dasar yang harus anda kuasai untuk bisa menghitung luas tembereng

suatu lingkaran yakni pengertian tembereng dan juring lingkaran (merupakan unsur

atau bagian lingkaran), cara menghitung luas segitiga, cara menghitung luaslingkaran,

dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran. Tanpa konsep dasar

tersebut Anda tidak akan mampu menghitung luas tembereng suatu lingkaran. Jadi

pastikan diri Anda sudah menguasai konsep dasar tersebut.

Tembereng merupakan luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan

tali busur, seperti contoh gambar di bawah ini.


12

Tembereng pada gambar di atas (yang diarsir) dibatasi oleh busur AB (garis

lengkung AB) dan tali busur AB (garis lurus AB), terlihat bahwa luas yang diarsir

(tembereng) sama dengan luas juring AOB dikurangi dengan luas segitiga AOB. Jadi

secara matematis mencari luas tembereng dapat ditulis:

E. GARIS SINGGUNG LINGKARAN

1) Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar di

bawah ini.

Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis

k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka:

pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB.

pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB.

pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung

lingkaran di B). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran.

Sekarang perhatikan Gambar di bawah ini!

Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB’ yang lebih

kecil dari busur AB maka kita peroleh ΔOAB’ sama kaki, karena ∠OAB = ∠OB’A

= ½ x (∠180 – AOB’)

Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi

maka ∠OAB’ = ∠OB’A akan makin besar dan ∠AOB’ makin kecil. Pada suatu saat

Tembereng = Luas Juring – Luas Segitiga


13

garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B’ berimpit dengan titik A

dan saat itu berlaku:

∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - ∠AOB’)

∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° - 0°)

∠OAB’ =∠OB’A = 90°

Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung K

dititik A.

“Jadi, garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran

di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik

singgungnya.”

Perhatikan gambar di bawah ini.

Pada Gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis

k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung

lingkaran.

Karena garis k ⊥ OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut

besarnya 90°. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang

dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90°.

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O. Lingkaran tersebut

bersinggungan dengan garis g dan h. Garis g memotong lingkaran di satu titik, yaitu di

titik A. Sedangkan garis h memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik B. Garis g dan

h inilah yang dinamakan garis singgung. Sedangkan titik B dan titik A dinamakan titik

singgung. Jadi yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang

memotong lingkaran tepat di satu titik.


14

Perhatikan kembali gambar di atas. Garis g dan garis h tegak lurus OB dan OA,

sedangkan OB dan OA adalah jari-jari lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran akan

tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Namun

bagaimanapun caranya, kita tidak akan bisa membuat garis singgung yang lain di titik A

dan di titik B. Dengan demikian, kita hanya dapat membuat satu garis singgung

lingkaran dari satu titik pada sebuah lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Garis c, e, dan f adalah garis singgung lingkaran karena memotong lingkaran di

satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari melalui titik singgungnya. Sedangkan garis a,

b, d, g, dan h bukan garis singgung lingkaran karena jika garisnya di perpanjang, akan

memotong lingkaran di dua titik.

2) Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran Untuk dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran, Anda harus

menguasai teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ⊥

garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.

Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku

OB2 = AB2 + OA2

AB2 = OB2 - OA2

AB2 = √(OB2 - OA2)

Jadi, panjang garis singgung lingkaran (AB) = √(OA2 - OB2)


15

3) Kedudukan Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan

jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat

beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam

hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).

2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam

L1 dan tidak konsentris.

3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di

dalam.

4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.


16

5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.

6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.

7. L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis

singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang

menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu

dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut.

1. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung

persekutuan.


17

2. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung

persekutuan.

3. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung

persekutuan.

4. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung

persekutuan.

5. Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung

persekutuan.


18

4) Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran,

Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah

ini.

Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-

jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis

SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°.

Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar

BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema

Pythagoras diperoleh:

QS2 = PQ2 - PS2

QS = √(PQ2 - PS2)

QS = √(PQ2 – (R + r)2)

Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam

dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-

jari lingkaran kecil r adalah


19

5) Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Perhatikan Gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut diperoleh bahwa:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan luar = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ.

Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°.

∠PQS siku-siku di S, sehingga berlaku

QS2 = PQ2 - PS2

QS = √(PQ2 - PS2)

QS = √(PQ2 – (R - r)2)

Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua

lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari

lingkaran kecil r adalah

F. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR PADA SEGITIGA

1) Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di

perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Sifat dari lingkaran dalam segitiga

adalah bahwa lingkaran tersebut memotong masing-masing sisi segitiga tepat pada satu

titik potong.


20

Melukiskan Lingkaran Dalam Segitiga

Untuk melukis lingkaran dalam segitiga, perhatikan gambar berikut ini.

Lingkaran O adalah lingkaran dalam dari segitiga ABC. Sekarang perhatikan bahwa EO = DO dan OA = OA, sehingga segitiga AEO dan segitiga ADO merupakan segitiga-segitiga yang kongruen. Sehingga sudut-sudut yang bersesuaian, yaitu sudut OAE dan sudut OAD sama besar. Oleh karena itu, garis AO merupakan garis bagi sudut DAE.

Dari uraian di atas, titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan perpotongan dari garis-garis bagi dari semua sudut segitiga tersebut. Berikut ini langkah-langkah dalam melukis lingkaran dalam segitiga.

1. Lukislah garis bagi dari dua sudut dalam segitiga. Titik perpotongan garis-garis bagi tersebut merupakan titik pusat dari lingkaran dalam segitiga tersebut.

2. Dari titik pusat tersebut, buatlah garis yang tegak lurus dengan salah satu sisi segitiga.

3. Dan selanjutnya, lukislah lingkaran yang berpusat di titik yang diperoleh pada

langkah 1 dan melalui titik perpotongan antara garis yang diperoleh pada poin 2 dan sisi segitiga yang tegak lurus dengan garis tersebut.


21

Menemukan Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Untuk

menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut, perhatikan gambar berikut.

Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara.

i. Cara pertama dengan menggunakan rumus L = √[s(s – a)(s – b)(s – c)] dengan

s adalah setengah keliling segitiga atau s = (a + b + c)/2.

ii. Cara kedua adalah dengan menjumlahkan daerah warna orange, hijau, dan biru.

Luas daerah warna orange adalah (a × r)/2,

Luas daerah warna hijau adalah (b × r)/2,

sedangkan luas daerah warna biru adalah (c × r)/2.

Sehingga,

Sehingga, untuk sembarang segitiga yang memiliki panjang sisi a, b, dan c, serta s adalah setengah dari kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalamnya dapat ditentukan sebagai berikut.


22

2) Lingkaran Luar segitiga

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut

segitiga.

Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Untuk melukis lingkaran luar segitiga kita membutuhkan jangka. Langkah-

langkahnya adalah sebagai berikut.

a. Lukislah garis sumbu dari salah satu sisi segitiga. Garis sumbu merupakan garis

yang tegak lurus dan membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama

panjang.

b. Lukis garis sumbu pada sisi lain segitiga. Garis sumbu kedua ini akan memotong

garis sumbu yang dihasilkan pada langkah 1.

c. Titik potong kedua garis sumbu merupakan titik pusat dari lingkaran luar

segitiga. Aturlah jangka sedemikian sehingga pusatnya ada di titik pusat

lingkaran luar dan bagian lainnya pada salah satu titik sudut segitiga. Kemudian

dengan pengaturan seperti itu buatlah lingkaran penuh.

Lingkaran yang dihasilkan pada langkah-langkah di atas merupakan lingkaran luar

dari segitiga yang diberikan.

Menentukan Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Untuk menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga, kita harus mengetahui panjang

dari semua sisi segitiga tersebut. Misalkan a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga

ABC, dan t adalah tinggi dari segitiga tersebut.


23

Pertama, lukislah ruas garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan titik pusat lingkaran. Misalkan ruas garis tersebut adalah ruas garis BD. Selanjutnya dari ujung ruas garis tersebut yang bukan titik sudut segitiga, yaitu titik B, tariklah ruas garis ke titik sudut segitiga yang lain. Misalkan kita tarik ruas garis dari titik B ke titik sudut A, sehingga terbentuk ruas garis AD.

Sudut-sudut ADB dan ACB merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga kedua sudut tersebut kongruen. Sedangkan sudut BAD menghadap diameter, sehingga sudut tersebut memiliki besar 90° atau merupakan sudut siku-siku. Dengan menggunakan prinsip sudut, sudut (sd, sd), kita dapat memperoleh bahwa segitiga BAD sebangun dengan segitiga BEC. Sehingga dengan menggunakan aturan kesebangunan,

Perhatikan bahwa luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan menggunakan rumus L = (b ∙ t)/2. Atau dengan kata lain, t = 2L/b. Sehingga,

Apabila segitiga diketahui panjang ketiga sisinya, maka kita dapat menentukan luas segitiga tersebut dengan rumus, L = √[s ∙ (s – a)(s – b)(s – c)], dengan s adalah setengah dari keliling segitiga, s = (a + b + c)/2. Sehingga,


24

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-

titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-

jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua

ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas

lingkaran).

Lingkaran memiliki beberapa unsur, yaitu:

1. Titik Pusat Lingkaran

2. Jari-jari Lingkarang

3. Diameter Lingkaran

4. Busur Lingkaran

5. Tembereng

6. Juring Lingkaran

7. Apotema

Lingkaran memiliki garis singgung, yaitu garis yang memotong suatu lingkaran di

satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

Jika dihubungkan dengan suatu segitiga, akan ada dua macam lingkaran, yaitu:

Lingkaran dalam segitiga dan Lingkaran Luar segitiga.

B. Saran

Inilah makalah yang telah kami susun, meskipun penulisan makalah ini jauh dari

sempurna. Masih banyak kesalahan dari penulisan makalah kelompok kami ini, karna kami

manusia yang adalah tempat salah dan dosa, sehingga kami juga butuh saran/ kritikan agar

bisa menjadi motivasi untuk masa depan yang lebih baik daripada masa sebelumnya. Kami

juga mengucapkan terima kasih atas dosen pembimbing mata kuliah TELAAH

KURIKULUM MATEMATIKA SMP, Ibu Effie Efrida Muchlis, S.Pd, M.Pd. yang telah

memberi kami tugas kelompok demi kebaikan kami sendiri dan pembaca makalah ini.


25

SILABUS PEMBELAJARAN

Sekolah : SMP NEGERI 19 KOTA BENGKULU

Kelas : VIII (Delapan)

Mata Pelajaran : Matematika

Semester : II (dua)

GEOMETRI DAN PENGUKURAN Standar Kompetensi : 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya

Kompetensi

Dasar

Materi

Pembelajaran Kegiatan Pembelajaran

Indikator Pencapaian

Kompetensi

Penilaian Alokasi

Waktu

Sumber

Belajar Teknik Bentuk Contoh Instrumen

4.1 Menentu

kan unsur

dan bagian-

bagian

lingkaran

Lingkaran Mendiskusikan unsur-

unsur dan bagian-bagian

lingkaran dengan

menggunakan model

Menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran : pusat lingkaran, jari-jari, diameter, busur, talibusur, juring dan tembereng.

Tes lisan Daftar

pertanyaa

n

Disebut apakah ruas garis CD ?

2x40mnt Buku teks,

lingkaran,

dan

lingkungan

4.2 Menghitung keliling dan luas lingkaran

Lingkaran Menyimpulkan nilai phi

dengan menggunakan

benda yang berbentuk

lingkaran.

Menemukan nilai phi

Unjuk

kerja

Tes uji

petik kerja

Ukurlah keliling (K) sebuah benda

berbentuk lingkaran dan juga

diameternya (d).

Berapakah nilai ?d

k

2x40mnt

D

C


26

Kompetensi

Dasar

Materi



Kompetensi

Penilaian Alokasi

Waktu

Sumber


Menemukan rumus

keliling dan luas lingkaran

dengan menggunakan

alat peraga

Menentukan rumus keliling dan luas lingkaran

Tes lisan Daftar

Pertanyaa

n

Sebutkan rumus keliling lingkaran

yang berjari-jari p.

Sebutkan rumus luas lingkaran

yang berjari-jari q.

4x40mnt

Menggunakan rumus

keliling dan luas lingkaran

dalam pemecahan

masalah.

Menghitung keliling dan luas lingkaran.

Tes

tertulis

Uraian Hitunglah luas lingkaran jika

ukuran jari-jarinya 14 cm.

4x40mnt

4.3 Mengguna-kan hu-bungan su-dut pusat, panjang busur, luas juring da-lam peme-cahan masalah.

Lingkaran Mengamati hubungan

sudut pusat dan sudut

keliling yang menghadap

busur yang sama

Menjelaskan hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang sama

Tes

tertulis

Isian

singkat

Jika sudut A adalah sudut pusat

dan sudut B adalah sudut keliling,

sebutkan hubungan antara sudut

A dan sudut B jika kedua sudut itu

menghadap busur yang sama.

2x40mnt

Menghitung besar sudut

keliling jika menghadap

diameter atau busur yang

sama.

Menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur yang sama.

Tes lisan Daftar

Pertanyaa

n

Berapa besar sudut keliling jika

menghadap diameter lingkaran?

2x40mnt

Menghitung panjang

busur, luas juring dan

Menentukan panjang busur, luas juring dan luas tembereng.

Tes

tertulis

Uraian Di dalam lingkaran dengan jari-jari

12 cm, terdapat sudut pusat yang

4x40mnt


27

Kompetensi

Dasar

Materi



Kompetensi

Penilaian Alokasi

Waktu

Sumber


tembereng. besarnya 900

Hitunglah: a. Panjang busur kecil

b. luas juring kecil

Menemukan hubungan

sudut pusat, panjang

busur, luas juring dan

menggunakannya dalam

pemecahan masalah

Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah

Tes

tertulis

Uraian Seorang anak harus minum tablet

yang berbentuk lingkaran. Jika

anak tersebut harus minum 1/3

tablet itu dan ternyata jari-jari

tablet 0,7 cm. Berapakah luas

tablet yang diminum?

4x40mnt

4.4 Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran

Lingkaran Mengamati sifat sudut

yang dibentuk oleh garis

singgung dan garis yang

melalui titik pusat.

Menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat.

Tes

tertulis

Uraian Perhatikan gambar!

Berapakah besar sudut P?

Jelaskan!

2x40mnt

Q

O P


28

Kompetensi

Dasar

Materi



Kompetensi

Penilaian Alokasi

Waktu

Sumber


Mencermati garis

singgung persekutuan

dalam dan persekutuan

luar dua lingkaran

Menjelaskan garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran.

Tes

tertulis

Isian

singkat

Perhatikan gambar!

Disebut apakah:a) garis AB?

b) garis KL?

2x40mnt

Menghitung panjang

garis singgung

persekutuan dalam dan

persekutuan luar dua

lingkaran

Menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar

Tes

tertulis

Uraian Panjang jari-jari dua lingkaran

masing-masing 7cm dan 1cm. Jika

jarak antara titik pusatnya 10cm,

berapakah panjang garis singgung:

a) persekutuan dalam b) persekutuan luar

4x40mnt

4.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga

Lingkaran Menggunakan jangka dan

penggaris untuk melukis

lingkaran dalam dan

lingkaran luar segitiga

Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga

Tes

tertulis

Uraian Dengan menggunakan jangka dan

penggaris, lukislah lingkaran:

a) dalam suatu segitiga b) luar suatu segitiga

4x40mnt

Karakter siswa yang diharapkan : Disiplin ( Discipline ); Rasa hormat dan perhatian ( respect ); Tekun ( diligence ); dan Tanggung jawab ( responsibility )

Q P

A B

K

L


25

DAFTAR PUSTAKA

Hidayanti. (2012). Lingkaran. [Online]. Tersedia : http://mafia.mafiaol.com/2014/02/

pengertian-lingkaran.html. [29 Mei 2014]

Priyadi, P. Gendra, dkk. 2008. Matematika Program Keahlian Seni, Pariwisata, Sosial,

Administrasi Perkantoran dan Tekhnologi Kerumahtanggaan untuk SMK dan MAK

Kelas XII. Jakarta : Erlangga

Yosep. (2013). Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga. [Online]. Tersedia:

http://yos3prens.wordpress.com/2013/07/17/lingkaran-luar-segitiga/. [29 Mei 2014]

Makalah Lingkaran (Kelompok 1) Telaah Kurikulum Matematika SMP

Documents

Transcript of Makalah Lingkaran (Kelompok 1) Telaah Kurikulum Matematika SMP