Makalah Bukti Tak Langsung

8/17/2019 Makalah Bukti Tak Langsung

1/10

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Matematika adalah sebuah studi mengenai keterkaitan antar objek. Matematika juga

dikenal sebagai ilmu yang mempunyai kerangka berpikir deduktif, tidak induktif. Artinya, dari

suatu hal yang bersifat umum menuju khusus. Akibatnya, dalam matematika tidak diperkenankan

untuk melakukan generalisasi. Contohnya, perhatikan beberapa data di bawah.

1+3=

3+=!+"=1#

"+$=1%

$+11=#&

'ari data di atas, kita lihat bahwa jika bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil, akan

menghasilkan bilangan genap. (amun dalam matematika tidak diperbolehkan mengatakan

penjumlahan dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan genap hanya berdasarkan data di atas.

)atu*satunya ara adalah dengan pembuktian.

Apa itu pembuktian 'alam matematika, pembuktian adalah kegiatan seseorang

untukmeyakinkan sesuatu itu benar melalui langkah*langkah logis. -ntuk menunjukkan

sesuatu itu salah, ukup menunjukkan ountre eample, yaitu menunjukkan bahwa ada satu

keadaan dimana suatu pernyataan tidak berlaku.

Ada berbagai maam teknik pembuktian dalam matematika. 'itinjau dari aranya, ada dua

jenis pembuktian, yaitu pembuktian langsung dan pembuktian tak langsung. -ntuk pembuktian

tidak langsung sendiri ada dua ara, yaitu dengan kontradiksi dan kontrapositif.

1.2. Rumusan Masalah• Apakah yang dimaksud dengan pembuktian tak langsung

• /agaimanakah pembuktian tak langsung dengan ara kontradiksi dan kontrapositif


2/10

1.3. TUJUAN PENULIAN• -ntuk menambah pengetahuan mengenai pembuktian tak langsung.

• Membantu kita dalam menyelesaikan soal mengenai bukti tak langsung baik seara

kontardiksi maupun kontrapositif.


3/10

BAB 2

PEMBAHAAN

2.1. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN"

-ntuk membuktikan dengan menggunakan bukti tidak langsung, digunakan ara

dengan membuat pernyataan pengingkaran dari yang harus dibuktikan. 0ika dari pernyataan

yang diingkari tersebut diperoleh suatu kontradiksi bertentangan dengan ketentuan yang

diberikan2 atau kemustahilan, berarti pernyataan yang harus dibuktikan adalah benar. -ntuk

membuktikan p benar, kita harus membuktikan jika p salah.

A. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN !#NTRAP#ITI$

)alah satu metode pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan

kontrapositif. 4embuktian dengan kontrapositif adalah salah satu metode pembuktian tidak

langsung selain pembuktian dengan kontradiksi. 4embuktian dengan kontrapositif ini didasarkan

pada nilai kebenaran pernyataan 5jika 4 maka 67 eki8alen dengan 5jika bukan 6 maka bukan 47.

0adi, yang perlu kita lakukan untuk membuktikan suatu implikasi dengan kontrapositif adalah

dengan menegasikan konklusinya, kemudian tunjukkan bahwa negasi dari konklusi

mengakibatkan negasi dari antisedennya.

%&nt&h '

1. /uktikan bahwa untuk bilangan*bilangan bulat m dan n 9 jika m+n ≥ "3, maka m ≥ 3"

atau n

≥

3".0awab 9

- 0ika p adalah pernyataan m+n ≥ "3

: adalah pernyataan m ≥ 3",

r adalah pernyataan n ≥ 3"

maka dalam symbol kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai p;: 8 r2

http://erankyas.blogspot.com/2010/08/pembuktian-tak-langsung-dengan.htmlhttp://erankyas.blogspot.com/2010/08/pembuktian-tak-langsung-dengan.html


4/10

- kontrapositifnya adalah ∼ : 8 r2; ∼ p atau ∼ : ∧ ∼ r2; ∼ p,

dengan demikian dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 3" dan n < 3" maka m+n <

"3

-

untuk m < 3" berarti m

≤

3% dan n < 3" berarti n

≤

3%, sehingga

m+n ≤ 3%+3%

m+n ≤ "#

m+n < "3- erbukti bahwa jika m < 3" dan n < 3" maka m+n < "3.

- dengan terbuktinya kontrapositif, maka berate kebenaran pernyataan awal, yaitu jika m+n

≥ "3, maka m

≥ 3" atau n

≥ 3".

#. 'iberikan , jika adalah genap mak ganjil

Ja(a)' Andai tidak ganjil, dengan kata genap, itu berati untuk suatu bilangan

bulat . 'iperoleh

)ubtitusi

diperoleh

0elas adalah ganjil. >tu berarti adalah genap, tidak ganjil

3. /uktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah

bilangan ganjil?

0awab 9

-ntuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung

dengan kontraposisi.

Misalnya p 9 n# adalah bilangan ganjil


5/10

: 9 n adalah bilangan ganjil

kemudian misalnya @: benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = #k

sehingga n# = #k2#

= k #

= ##k #2

= #m dengan m = #k#

Bang berarti n# adalah bilangan genap.

'engan demikian, *p 9 n# adalah bilangan genap

*: 9 n adalah bilangan genap

'an karena @: = *p adalah benar dan p = : D *: = *p

Maka terbukti p = : adalah benar.

0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.

B. PEMBU!TIAN TA! LAN"UN" DEN"AN %ARA !#NTRADI!I

4embuktian dengan kontradiksi Reductio de Absordum2 dilakukan dengan ara

mengandaikan bahwa ingkaran kalimat yang akan dibuktikan bernilai benar. 0adi, jika ingin

membuktikan kebenaran p, langkah yang dilakukan adalah dengan mengandaikan bahwa p

benar.

Contoh 9

1. /uktikan bahwa 7jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil7 dengan bukti

tak langsung?

0awab 9

Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = #k, k E /.

Farena n = #k

Maka n# = #k2# = k # =##k#2

= #m dengan m = #k #


6/10

)ehingga n# adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n# adalh bilangan ganjil.

0adi, terbukti bahwa jika n# adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.

#. /uktikan kebenaran pernyataan berikut 9

0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y adalah bilangan irrasional

0awab 9

'engan /ukti Fontradiksi p = :2 ekui8alen dengan p dan :

Andaikan :2 benar

Andaikan # * y adalah bilangan rasional, maka # * y dapat dinyatakan dengan aGb dengan

a,b elemen H H = bilangan bulat2 , dan b tidak sama dengan nol b = & 2

'iasumsikan p benar, diperoleh

bilangan rasional dan y bilangan irrasional

)ehingga ketika bilangan rasional, haruslah y bilangan irrasional

Farena tidak ada identifikasi y bilangan irrasional

Iunakan permisalan adalah bilangan rasional

bilangan rasional, dapat dinyatakan dalam pG: dengan p,: elemen H dan : tidak sama

dengan nol : ?= & 2

)ehingga,

# * y = aGb dengan = pG:

#pG:2 * y = aGb

*y = aGb2 * #pG:2

y = #pG:2 * aGb2

y = #bp*a:2Gb:2

dengan a,b,p,: elemen H dan b ?= & dan : ?=& sehingga b: juga tidak sama dengan nol

Maka, menurut sifat sebelumnya, y teridentifikasi sebagai bilangan rasional

y bilangan rasional, bertentangan FJ(KA'>F)>2 dengan pernyataan awal bahwa y adalah


7/10

bilangan rasional

)ehingga pengandaian diingkar p dan : terbukti salah2 dan sebaliknya p = : sebagai

negasinya2 /ernilai /L(AK

)ehingga erbukti bahwa 0ika bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka # * y

adalah bilangan irrasional

A>NA( ???

1. /uktikan pada segitiga sama kaki dua sudut pada kakinya sama besar.

Petun*uk Ja(a) Lat+han

1. Anda ermati kembali teori tentang pembuktian tidak langsung. -ntuk membuktikan

soal nomor 1, perhatikan gambar berikut

A

B D %

'iketahui segitiga A/C sama kaki, panjang sisi A/ =panjang sisi AC, harus dibuktikan

besar

µ ∠

A/C =

µ ∠

AC/.

'ibuat garis bagi A' di mana ' pada /C.

An,a+kan

µ ∠

ABC

≠ µ ∠

ACB

4erhatikan∆

A/' dan∆

AC'


8/10

4anjang sisi A/ = AC ∆

A/C samakaki 2 µ

∠

/A' =

µ ∠

CA' A' garis bagi2

A' = A' berimpit2

Fesimpulan

∆

A/' dan

∆

AC' kongruen.

/erarti

µ ∠

A/C =

µ

∠

AC/. 4adahal pengandaian

µ ∠

ABC

≠ µ ∠

ACB. erjadi

kontradiksi. Apa yang dapat anda simpulkan


9/10

BAB 3

PENUTUP

3.1. !EIMPULAN

/elajar matematika dengan ara memahami bukti tidaklah mudah. 'ibutuhkan waktu

untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. 0uga, dibutuhkan wawasan matematika

yang luas untuk belajar membuktikan fakta*fakta yang lebih rumit. 'i dalam bukti termuat nilai*

nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir seara logis. Feindahan matematika juga banyak

terdapat pada harmonisasi penalaran*penalaran dalam bukti. 'engan memahami bukti kita dapat

mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak padakekaguman terhadap para in8entor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu

sendiri. /erlatih memahami bukti merupakan langkah awal yang baik untuk menjadi peneliti di

bidang matematika.


10/10

DA$TAR PUTA!A

http9GGariaturns.wordpress.omG#&11G&3G&"Gpembuktian*dengan*kontrapositifG

http9GGyntiae8er*yntia.blogspot.omG#&1#G&3Gpembuktian*matematika.html
http://ariaturns.wordpress.com/2011/03/07/pembuktian-dengan-kontrapositif/http://cyntia4ever-cyntia.blogspot.com/2012/03/pembuktian-matematika.htmlhttp://ariaturns.wordpress.com/2011/03/07/pembuktian-dengan-kontrapositif/http://cyntia4ever-cyntia.blogspot.com/2012/03/pembuktian-matematika.html

Makalah Bukti Tak Langsung

Documents

Transcript of Makalah Bukti Tak Langsung