LogInf-4

LOGIKA INFORMATIKATony Darmanto,ST / Smt III –TI / STMIK WIDYA DHARMA/ Hal 15

4. PROPOSISI MAJEMUK

A. Pendahuluan

Perangkai logika digunakan untuk mengombinasikan proposisi-proposisi atomikmenjadi proposisi majemuk. Untuk menghindari kesalahan tafsir akibat adanyaambiguitas satu sama dengan lainnya, proposisi majemuk yang akan dikerjakanlebih dahulu akan diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi denganperangkai-perangkai yang berada dalam tanda kurung disebut fullyparenthesized expression (fpe)

Proposisi majemuk yang sangat rumit dapat dipecah-pecah menjadi subekspresi-subekspresi. Subekspresi menjadi sub-subekspresi dan seterusnya tergantungtingkat kerumitannya. Teknik ini dinamakan Parsing. Akan tetapi, mungkin sajaproposisi majemuk tidak memiliki tanda kurung. Oleh karena itu, urutan prosespengerjaannya harus ditentukan terlebih dahulu dan harus ada ketentuan yangmengatur pengurutan tersebut.

B. Ekspresi Logika

Ekspresi logika sebenarnya adalah proposisi-proposisi yang dibangun denganvariabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen. Jadi,variabel logis berupa huruf-huruf tertentu yang dirangkai dengan perangkailogika, dapat dinamakan ekspresi logika atau formula.

Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk tergantung darivariabel prosposisional yang membentuknya bersama perangkai yang relevan.Proposisi atomik berisi satu variabel proposisional atau satu konstantaproposisional.Proposisi majemuk berisi minimum satu perangkai, dengan lebih dari satuvariabel proposisional.

Contoh 4-1Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapat hadiah istimewa.

Pernyataan di atas dapat diubah menjadi variabel proposisional :A = Dewi rajin belajar.B = Dewi lulus ujian.C = Dewi mendapat hadiah istimewa.

Dalam bentuk ekspresi logika berubah menjadi : A → B ∧ C

Persoalannya adalah ada dua kemungkinan pengerjaan, yakni :((A → B)∧C) atau (A → (B∧C))

Inilah pentingnya ketepatan pemberian tanda kurung biasa sehingga menjadisuatu ekspresi logika yang fpe dan dengan tepat melakukan pengoperasiansesuai aturannya.


C. SkemaSkema merupakan satu cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemukyang rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan satu subekspresiataupun sub-subekspresi.Suatu ekspresi logika tertentu, misalnya (A∧B) dapat diganti dengan Psedangkan (A∨B) dapat diganti dengan Q. Namun P dan Q tidak dapat dikatakansebagai variabel Proposisional.

Contoh 4-2P = (A ∧B) dan Q=(A∨B), maka (P→ Q) = ((A ∧B) → (A∨B))Perhatikan hal berikut:1. Ekspresi berbentuk ¬P disebut negasi2. Ekspresi berbentuk P∧Q disebut konjungsi3. Ekspresi berbentuk P∨Q disebut disjungsi4. Ekspresi berbentuk P→ Q disebut implikasi (conditional)5. Ekspresi berbentuk P↔ Q disebut ekuivalensi (biconditional)

Maka contoh di atas ((A ∧B) → (A∨B)) disebut implikasi yang berisi konjungsi(A∧B) dan disjungsi (A∨B).

Perhatikan aturan berikut :• Semua ekspresi atomik adalah fpe• Jika P adalah fpe, maka ¬P juga.• Jika P dan Q adalah fpe, maka (P∧Q), (P∨Q), (P→ Q) dan (P↔ Q).• Tidak ada fpe lainnya.Ekspresi-ekspresi logika yang dijelaskan di atas disebut well formed formulae(wff). Jadi, wff adalah fpe, demikian juga sebaliknya. Ekspresi logika disebut wffkarena penulisannya dilakukan dengan benar.

Contoh 4-3A→ (B→ (¬ A ∨ ¬ B))

Contoh 4-4A→ (B → ¬A ∨¬B))A→ (B → (¬A ∨¬B)

Contoh 4-4 tidak menunjukkan suatu wff atau fpe yang baik karena tanda kurungbiasa tidak lengkap.

Jika ada suatu ekspresi logika (¬P), maka P disebut skop negasi denganperangkai ¬ disebut perangkai utama dari (¬P). Oleh karean itu, contoh 4-2dapat diuraikan sebagai berikut :

(P → Q)

skop kiri perangkai utama skop kanan

((A ∧ B) → (A ∨ B) )


D. Menganalisis Proposisi MajemukSetiap fpe akan mengekspresikan proposisi majemuk. Proposisi majemukmempunyai subproposisi yang bisa berupa konjungsi, disjungsi dan sebagainya.Tetapi, bagaimana membuat suatu proposisi majemuk dari suatu pernyataanyang cukup panjang.

Contoh 4-3[1] Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia

dapat segera bekerja, tetapi jika jika dia tidak lulus, semua usahanya akansia-sia.

Proposisi-proposisi yang membentuk pernyataan di atas adalah konjungsi,karena kata tetapi di tengah kalimat lebih sesuai dengan ‘dan’

Contoh di atas, jika di pisah menjadi skop kiri dan skop kanan adalah sebagaiberikut:

[1.1] Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dandia dapat segera bekerja.

dengan[1.2] Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

Kedua skop di atas, masih berupa proposisi majemuk. Kalimat pertama yangmasih memiliki skop kiri dan skop kanan, dapat dipecah lagi seperti berikut:

[1.1.1] Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika.dengan

[1.1.2] Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja.

Kalimat terakhir ini juga masih berbentuk proposisi majemuk, sehingga skop kiridan skop kanan dapat dipisah seperti berikut:

[1.1.2.1] Orang tuanya akan senang.dengan

[1.1.2.2] Dia dapat segera bekerja.

Kalimat di atas sudah tak dapat dipecah lagi.

[1.2] akan dipisah menjadi skop kiri dan skop kanan sebagai berikut :

[1.2.1] Dia tidak lulusdengan

[1.2.2] Semua usahanya akan sia-sia

Teknik memisah-misah kalimat menjadi proposisi-proposisi yang paling kecildisebut teknik Parsing dan hasilnya dapat ditampilkan pada Parse Tree.


Selanjutnya akan diubah menjadi ekspresi logika yang berbentuk proposisimajemuk menjadi fpe berikut:A = Dewi lulus sarjana teknik informatikaB = Orangtua Dewi senangC = Dewi bekerjaD = Usaha Dewi sia-sia

Maka pernyataan di atas yang berupa proposisi majemuk dapat diwujudkandalam fpe seperti berikut :

(A → (B ?C)) ?((¬ A) → D)

Jika pada ekspresi logika di atas dianggap M, maka M adalah ekspresi majemukyang dirangkai dari subekspresi-subekspresi.

Jika M berbentuk (P ?í Q), maka P dan Q masing-masing berupa subekspresi.Setiap subekspresi dinamakan immediate subexpressions dari M. P dan Qjuga dapat berbentuk ekspresi majemuk maka dapat mempunyai subekspresijuga.

Maka Contoh 4-3 di atas :M = (A → (B ?�C)) ?�((¬ A) → D)P = (A → (B ?' C))Q = ((¬ A) → D)

P masih mempunyai subekspresi A dan (B ?žC), sedangkan (B ?žC) masihmempunyai subekspresi B dan C. Hanya saja jika berbentuk ¬ A, makasubekspresinya A.

Salah satu bentuk yang banyak dibahas dari ekspresi logika adalah literal.Literal adalah proposisi yang dapat berbentuk A atau ?ìA dengan A adalahvariabel proposisional. Kedua ekspresi tersebut, yakni A dan ?7A disebut literalyang komplemen atau saling melengkapi.Jadi, misalnya A dan B merupakan variabel proposisional, maka A, ?ÚA, B , ?ÚBadalah literal-literal, tetapi jika berbentuk ?%(A ?%B), maka ini bukan literal.

E. Aturan PengurutanEkspresi-ekspresi logika yang bersifat majemuk yang memiliki banyaksubekspresi akan memiliki banyak tanda kurung biasa karena berbentuk fpe,sehingga memungkinkan fpe tersebut sulit dibaca.

1

1.1 1.2

1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2

1.1.2.1 1.1.2.2


Contoh 4-4:((A ?ØB) → (A ?ØB))((A ?i (B → A)) ?iB

Kedua fpe tersebut berbeda proses pengerjaannya. Maka harus ada aturanuntuk memprioritaskan penafsiran hasilnya. Aturan ini disebut aturan pengurutan.Aturan pengurutan digunakan untuk memastikan proses pengerjaannyasubekspresi.

Berkaitan dengan perangkai, urutan tersebut berdasarkan hirarki tertinggi sepertiberikut:1. ¬ (negasi)2. ∧ (konjungsi)3. ∨ (disjungsi)4. → (implikasi)5. ↔ (konjungsi)

Aturan tambahan: jika menjumpai lebih dari satu perangkai pada hirarki yangsama, maka akan dikerjakan mulai dari yang kiri.

Contoh 4-5• (¬A ?íB) harus dibaca ((¬A) ?íB), bukan (¬ (A ?íB))• A ?�B ?�C, harus dibaca ((A ?�B) ?�C), bukan (A ?�(B ?�C))• A → B ?0C, harus dibaca (A → (B ?0C)), bukan ((A → B) ?0C)• A ↔ B → C, harus dibaca A ↔ (B → C)), bukan ((A ↔ B) → C)

Pada contoh 4-3 di atas :(A → (B ?×C)) ?×((¬ A) → D)

Dapat lebih disederhanakan dengan mengurangi tanda kurung biasa, menjadi(A → B ?)C) ?)(¬ A → D)

Tetapi sebaiknya tetap memakai bentuk(A → (B ?{C)) ?{(¬ A → D)

Tanda kurung yang terlalu banyak dan jika ada tanda kurung yang sebenarnyatidak diperlukan, bahkan membuat salah tafsir disebut redundansi.

Contoh 4-6A → B → C

Manakah yang harus dikerjakan dahulu ?Aturan pengurutan menyebutkan: Jika hirarkinya sama, maka pengerjaan dimulaidari yang kiri. Jadi, harus dibaca (A → B) → C, bukan A → (B → C). Tetapi jikayang kanan yang ingin dikerjakan dahulu, berilah tanda kurung seperti ekspresiterakhir.

Soal-soal Latihan1. Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut menjadi ekspresi logika berupa proposisi

majemuk !a. Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak

mampu menangkapnya.b. Bowo membeli saham dan properti untuk investasinya, atau dia dapat

menanamkan uang di deposito bank dan menerima bunga uang.


2. Masukkan tanda kurung biasa ke dalam eksprei logika berikut sehingga tidakterjadi ambiguitas !a. A ?B ?C → Db. A ?™B ?™C ↔ ?™Dc. ?,A ?,B → ?,C ?,Dd. A → B ↔ ?½C ?½?½De. A ?OB ?OC → A ?OB ?OC

3. Buatlah tabel kebenaran untuk persamaan berikut !a. ((A ?�B) ?�C) ?�?�((A ?�B) ?�(B ?�D))b. (A ↔ C) ?¡(?¡B → D)c. ?4(A ↔ B) ?4(?4C → D)d. (?ÆA ?Æ(B ?Æ?ÆC) ?Æ(B ↔ ?ÆA)) → (D ?ÆC))e. (A ?U(B → (C ?UA))) ↔ ?U(B ?U?UD)

LogInf-4

Documents

Transcript of LogInf-4