LOGIKA MATEMATIKA

A. PERNYATAAN

a. Tujuan

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, anda diharapkan :

1). Memiliki pemahaman tentang pengertian pernyataan dan bukan

pernyataan

2). Dapat memberikan contoh suatu kalimat pernyataan

3). Dapat memberikan suatu contoh suatu kalimat yang bukan pernyataan

b. Uraian Materi

Dalam Matematika, bahasa komunikasinya dinamakan kalimat matematika,

yaitu kalimat yang menggunakan lambing-lambang matematika. Kalimat ini

terbagi menjadi dua :

1). Kalimat yang bermakna

Kalimat yang bermakna adalah kalimat yang dapat ditarik suatu pengertian

yang masuk akal dan berarti dalam fikiran.

Untuk lebih memahami perhatikan contoh berikut :

1. Ani pergi ke pasar

2. Pohon itu tinggi dan besar

3. 5 lebih dari 3

2). Kalimat yang tidak bermakna

Kalimat yang tidak bermakna adalah suatu kalimat yang tidak dapat diterima

akal. Untuk lebih memahami perhatikan contoh berikut ini :

1. Siang hari belum nanti

2. Tidak terbit gula gelap

Kalimat yang bermakna dibagi menjadi dua yaitu :

a). Kalimat pernyataan (statement)

Kalimat pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, baik

nilai kebenarannya benar atau nilai kebenarannya salah. Suatu kalimat

mempunyai nilai benar jika yang dikatakan kalimat tersebut sesuai dengan

keadaan yang sesungguhnya. Sedangkan suatu kalimat bernilai salah jika

yang dikatakan dalam kalimat tidak sesuai dengan keadaan sesungguhnya.

Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan itulah yang disebut dengan

nilai kebenaran.

Misalnya :

- Jakarta adalah ibukota negara Indonesia (Benar)

- 4 + 7 = 9 (salah)

Selain kalimat pernyataan bernilai benar atau salah, dikenal pula kalimat

Faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya belum tentu.

Perhatikan contoh kalimat berikut ini :

Hari ini cuaca cerah ( benar salahnya tergantung suasana pada saat

dibicarakan ).

Logika 1

b). Kalimat bukan pernyataan

Kalimat bukan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai arti, tetapi tidak

mempunyai nilai benar atau salah. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah

kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat tanya dan kalimat harapan.

Untuk lebih memahami perhatikan contoh berikut :

- 3x + 3 = 5

- Bersihkan lantai rumah kita !

- Mengapa kamu membolos kemarin ?

- x adalah biangan genap positif

c. Rangkuman

√ Kalimat bermakna adalah kalimat yang dapat ditarik suatu pengertian

yang masuk akaldan berarti dalam fikiran.

√ Kalimat yang tidak bermakna adalah kalimat yang tidak dapat diterima

akal.

√ Kalimat pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran.

√ Kalimat bukan pernyataan adalah kalimat yang mempunyai arti tetapi tidak

mempunyai nilai kebenaran.

d. Tugas

Diskusikan soal – soal berikut dengan anggota kelompok anda kemudian

presentasikan hasilnya.

1. Berilah contoh kalimat bermakna yang bukan suatu pernyataan (minimal 5).

2. Berikan contoh kalimat tidak bermakna (minimal 5).

3. Berikan contoh kalimat pernyataan (minimal 5).

4. Berikan contoh kalimat bukan pernyataan (minimal 5).

e. Tes Formatif

1. Manakah diantara kalimat berikut yang merupakan pernyataan ?

a. Semua perusahaan besar milik konglomerat

b. 236 habis dibagi 9

c. Bintang itu bersinar terang

d. Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180 derajat

e. Kerjakan tugasmu hari ini dengan baik

2. Tentukan benar atau salah pernyataan berikut !

a. 2 + 5 = 7

b. 3 adalah bilangan ganjil

c. Matahari terbit dari barat

d. Jakarta ada di Sumatra

Logika 2

B. INGKARAN, KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, DAN BIIMPLIKASI

a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan :

1. Dapat menuliskan Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi

2. Menggunakan tabel kebenaran untuk menggunakan konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi

3. Menerapkan masing – masing ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi dalam kalimat

4. Dapat membedakan bukti langsung dan tak langsung

5. Menentukan penarikan kesimpulan dari pembuktian

b. Uraian Materi

Dua kalimat tunggal dapat dihubungkan satu sama lain adalah kata

hubung logika ( logical connectives ), sehingga menjadi pernyataan majemuk

(compoun statement).

Dalam logika matematika ada 5 macam kata hubung kalimat, yaitu:

1) Ingkaran / negasi symbol “ ~ atau – “ dibaca “ tidak / bukan “

2) Konjungsi symbol “ “ dibaca “ dan “

3) Disjungsi symbol “ “ dibaca “ atau “

4) Implikasi symbol “ “ dibaca “ jika…maka…”

5) Biimplikasi symbol “ “ dibaca “ jika dan hanya jika”

1. INGKARAN / NEGASI

Ingkaran dari suatu pernyataan nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai

kebenaran kalimat semula. Notasi Ingkaran suatu pernyataan P ditulis ~p atau – p

Tabel Kebenaran

P ~P

B

S

S

B

Contoh:

1). p: 2 + 6 = 8 ( B )

~p : 2 + 6 ≠ 8 ( S )

~p : tidak benar bahwa 2 + 6 = 8 ( S )

2). p: manusia berjalan dengan perut ( S )

~p : manusia berjalan bukan dengan perut ( B )

~p : tidak benar bahwa manusia berjalan dengan perut ( B )

Logika 3

3). p : Semua siswa memakai seragam ( B )

~P : ada siswa yang tidak memakai seragam ( S )

~P : tidak benar bahwa semua siswa memakai seragam ( S )

2. KONJUNGSI

Suatu pernyataan p dan q dapat dibentuk menjadi pernyataan majemuk “ p dan q

“ notasinya ditulis p ۸ q disebut konjungsi. Selain “ dan “ kata penghubung

konjungsi yang lain adalah “meskipun, tetapi, sedangkan, yang, juga, walaupun.

Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar .

Tabel Kebenaran

p q P ۸ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Contoh :

1. p : SMK adalah sekolah kejuruan ( B )

q : 7 bilangan ganjil ( B )

p ۸ q : SMK adalah sekolah kejuruan dan 7 bilangan ganjil ( B )

2. p : 2 + 3 = 5 ( B )

q : 2 + 3 > 7 ( S )

p ۸ q : 2 + 3 = 5 dan 2 + 3 > 7 ( S )

3. DISJUNGSI

Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk menjadi pernyataan majemuk dengan

kata hubung “ atau “ yang disebut disjungsi dari p dan q. Disjungsi “ p atau q “

dinotasikan dengan “ p V q “ . Disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan

tunggalnya bernilai salah.

Logika 4

Tabel Kebenaran

p q P V q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

Contoh :

1. p : 23 = 8 ( B )

q : 2 < 8 ( B )

p v q : 23 = 8 atau 2 < 8 (B)

2. p : garam rasanya asin ( B )

q : madu rasanya pahit ( S )

p v q : garam rasanya asin atau madu rasanya pahit (B)

4. IMPLIKASI

Dua pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk “ jika p maka q “ yang

ditulis dengan notasi “ p q “ disebut implikasi atau kondisional .

p disebut alasan / sebab /anteseden / hipotesis

q disebut kesimpulan / akibat / konsekuen / konklusi

P q dapat juga dibaca :

o p hanya jika q

o q jika p

o p syarat cukup bagi q

o q syarat perlu bagi p

Implikasi bernilai salah hanya jika antiseden bernilai benar dan konsekuen bernilai

salah.

Tabel Kebenaran

p q P q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

Logika 5

Contoh :

1. p : 20 = 1 ( B )

q : log 1 = 0 ( B )

p q : jika 20 = 1 maka log 1 = 0 ( B )

2. p : London ibu kota kerajaan Inggris ( B )

q : Jakarta ibu kota Malaysia ( S )

p q : Jika London ibukota kerajaan Inggris maka Jakarta ibukota

Malaysia ( S )

Implikasi yang berbentuk p(x) q(x). Jika P dan Q masing – masing

merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada

himpunan semesta S, maka p q benar jika P Q.

Contoh :

1. Jika x – 2 = 0 maka x2 = 4

p(x): x – 2 = 0 maka HP = P = {2}

q (x) : x2 – 4 = 0 maka HP = Q = {-2, 2}

Karena P Q maka implikasi tersebut bernilai benar.

2. Jika x bilangn prima maka x bilangan ganjil

P : himpunan bilangan prima

Q : himpunan bilangn ganjil

Karena P Q maka Implikasi tersebut bernilai salah.

5. BIIMPLIKASI

Dua pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk “ p jika dan hanya jika

q” yang ditulis dengan notasi “ p q “ disebut biimplikasi / bikondisional /

ekuivalen. Biimplikasi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan tunggalnya

bernilai sama (kedua pernyataan bernilai benar atau kedua pernyataan bernilai

sallah.

Logika 6

Tabel Kebenaran

P q P q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

Contoh :

P : 2 adalah bilangn genap (B)

q : 3 adalah bilangn ganjil (B)

p q : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 3 adalah bilangan ganjil.

Biimplikasi yang berbentuk p(x) q(x).

Jika P dan Q masing – masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada semesta pembicaraan S, maka p(x) q(x) bernilai benar jika P = Q.

Contoh :

1. x+2 = 0 jika dan hanya jika x2 – 4 = 0

p(x) : x+2 = 0 maka HP = P = {-2}

q(x) : x2 – 4 =0 maka HP = Q = { -2,2}

Karena p ≠ q maka biimplikasi tersebut bernilai salah.

2. x ≥ -3 jika dan hanya jika 2x + 11 ≥ 5

p(x) : x ≥ -3 misalkan HP = P

q(x) : 2x + 11 ≥ 5

2x≥ 5 – 11

2x≥ -6

x≥ -3 , misalkan HP = Q

Karena P = Q maka biimplikasi tersebut bernilai benar.

Logika 7

6. NILAI KEBENARAN PERNYATAAN MAJEMUK

Untuk menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk digunakan tabel

kebenaran.

Contoh :

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ (p ۸ ~ q).

Jawab :

p q ~q P ۸ ~ q ~(p ۸

~q)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

B

Jadi nilai kebenaran dari ~(p ۸ ~q) adalah B S B B

2. Tentukan nilai kebenaran dari {(p q) ۸ p} q

Jawab :

p q p q (p q) ۸ p {(p q) ۸ p}

q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Jadi nilai kebenaran dari {(p q) ۸ p} q adalah B B B B

3. Tentukan nilai kebenaran dari (p ۸ q) ۸ (~p V ~q).

Jawab :

P q ~p ~q P ۸ q ~p V ~q (p ۸ q) ۸ (~pV ~q)

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

S

S

Logika 8

S

S

B

S

B

B

S

B

S

S

B

B

S

S

Catatan :

1. Pada contoh 1 nilai kebenaran pernyataan majemuk tersebut dapat

bernilai benar atau salah maka pernyataan majemuk tersebut disebut

kontingensi.

2. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan

nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan komponennya disebut

Taotologi. Seperti pada contoh 2.

3. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan

nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan komponennya disebut

Kontradiksi. Seperti pada contoh 3.

Tabel kebenaran dari pernyataan majemuk yang terdiri dari tiga pernyataan

tunggal.

Contoh :

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (p V q) ~r

Jawab :

p q r ~r p V q (p V q) ~r

B

B

B

B

S

S

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

S

B

B

B

Nilai kebenaran pernyataan majemuk (p V q) ~r adalah S B S B S B B B

7. DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Duabuah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan

majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan

nilai kebenaran pernyataan – pernyataan penyusunnya.

Tautologi yang berbebentuk a b dinamakan ekuivalen logis dan ditulis dengan

lambang a Ξ b (dibaca a ekuivalen b).

Logika 9

Contoh:

Buktikan bahwa (p q) Ξ (~p V q)

Jawab :

q ~p p p q ~p V q

B

S

B

S

S

S

B

B

B

B

S

S

B

S

B

B

B

S

B

B

Karena nilai kebenaran pq sama dengan nilai kebenaran ~ pVq maka (pq) Ξ

(~pVq).

Hukum De Morgan :

1. ~ (p V q) Ξ (~p ۸ ~q) merupakan ingkaran dari disjungsi

2. ~(p ۸ q) Ξ (~P V ~q) merupakan ingkaran dari konjungsi

3. Ingkaran dari Implikasi : ~(p q) Ξ p ۸ ~q

Contoh :

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini

a. Siswa kelas 1 rajin dan pandai

b. 3 atau 5 bilangan ganjil

c. Jika hari hujan maka angin bertiup kencang

d. P ۸ ~q

e. (p v q) r

Jawab :

a. Siswa kelas 1 tidak rajin atau tidak pandai.

b. 3 dan 5 bukan bilangan ganjil

c. Hari hujan tetapi angin tidak bertiup kencang

d. ~p v ~(~q) Ξ ~p v q

e. (p v q) ۸ ~ r

Logika 10

C. Rangkuman

Notasi Ingkaran ~p atau –p Tabel

Kebenaran

P ~P

B

S

S

B

Notasi konjungsi p ۸ q

Tabel Kebenaran

p q P ۸ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Konjungsi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan bernilai benar.

Notasi Disjungsi pvq

Tabel Kebenaran

p q P v q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

Disjungsi bernilai salah hanya jika kedua pernyataan bernilai salah

Notasi Implikasi p q

Tabel Kebenaran

p q p q

B

B

S

B

S

B

B

S

B

Logika 11

S S B

Implikasi bernilai salah hanya jika anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai

salah.

Logika 12

Notasi Biimplikasi p q

Tabel Kebenaran

p q p q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

Biimplikasi bernilai benar hanya jika kedua pernyataan bernilai benar atau kedua

pernyataan bernilai salah.

Ingkaran dari konjungsi ~(p ۸ q) Ξ~p v ~q

Ingkaran dari disjungsi ~(p v q) Ξ ~p ۸ ~q

Ingkaran dari implikasi ~(p q) Ξ p ۸ ~q

D. Tugas

Kerjakan secara berkelompok, kemudian presentasikan dengan bimbingan guru !

1. Tentukan nilai kebenaran dari :

a. Jika 5 x 5 = 10 maka 20 bilangan prima

b. Semarang ibu kota Jawa Tengah atau Surakarta kota kabupaten

c. Dolar mata uang Amerika jika dan hanya jika 25log x = -3, x = 5

d. Semua bilangan genap habis dibagi 3 dan 15 bilangan prima

e. Jika PR = PQ maka Δ PQR sama kaki

f. ABCD belah ketupat jika dan hanya jika AC tegak lurus BD

g. Jika 28 dan 30 habis dibagi 4 maka 7 atau 15 bilangan prima

h. 23 = 8 atau 123 + 622 – 35 = 51267

2. Diketahui p : 2 adalah bilangan prima dan q : 30 = 0 . Tentukan nilai kebenaran dari

a. ( p Λ q ) ~ q

b. ( ~ p q ) v ( q Λ~p )

c. (~P V ~ q ) (P ~ q )

3. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk berikut ini :

a. (p Λ~q) (q v r)

b. ~(p v q) ~r

Logika 13

4. Buktikan bahwa :

a. (p ۸ q) v r Ξ ( p v r ) ۸ ( q v r )

b. p Ξ ( p q ) ۸ ( q p )

5. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan berikut ini :

a. 2 adalah bilangan asli atau bilangan prima

b. (-2)2 > (-2)3 dan –2 adalah bilangan negatif

c. Jika harga barang naik maka permintaan turun

d. Jika siswa rajin dan disiplin maka bapak atau ibu guru bangga

e. (p ۸ q) v r

f. ( q p ) Λ ( p v q )

g. p q

E. Tes Formatif

a. Tulislah negasi atau ingkaran dari pernyataan dibawah ini :

1. 2-0,5 > 20,5

2. √2 bukan bilangan rasional

3. (-3)5 merupakan bilangan negatif

b. Bentuklah konjungsi dari pernyataan – pernyataan berikut ini, kemudian tentukan

nilai kebenarannya

1. p : 2 adalah bilangan genap

q : 2 adalah bilangan prima

2. p : 2 x 3 = 2 + 3

q : 4,5 = 4 x 0,5

3. p : es yang dipanaskan akan mencair

q : air adalah penghantar listrik

c. Lengkapilah tabel kebenaran dibawah ini :

p q ~

P

~q p q ~ (P q) ~P ~q p Λ ~q

B

B

S

S

B

S

B

S

Logika 14

d. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut ini

1. 6 adalah bilangan genap dan 7 > 8

2. 5 dan 7 bukan bilangan prima

3. Kambing adalah binatang menyusui atau harimau adalah binatang buas

4. Tidak benar bahwa 32 = 10 atau 32 = 6

5. Jika 5 adalah bilangan prima maka 5 = 2 x 3

6. Jika setiap bilangan ganjil habis dibagi 2 maka setiap bilangan bulat habis dibagi 2

7. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang berbeda jika dan hanya jika diskriminannya lebih dari nol

e. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk ( p ٨ ~ q ) ~ ( r v q )

f. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini

1. 4 dan 3 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 – 7x + 12 = 0

2. 2 bilangan genap atau 20 ≤ 3

3. Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2 atau 3

C. KONVERS, INVERS DAN KONTRA POSISI

A.Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan :

1. Dapat menentukan invers dari suatu implikasi

2. Dapat menentukan konvers dari suatu implikasi

3. Dapat menentukan kontraposisi dari suatu implikasi

4. Dapat menentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor

5. Dapat menentukan negasi pernyataan berkuantor

B. Uraian Materi

1. Invers, Konvers dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi p q dapat dibuat implikasi-implikasi baru, yaitu:

a. Konvers : q p

b. Invers ~p ~q

c. Kontraposisi ~q ~p

Logika 15

Untuk menentukan pernyataan – pernyataan yang ekuivalen, perhatikan tabel

kebenaran dibawah ini :

p q ~

p

~q p q q p ~p ~q ~q ~p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

B

Dari tabel diatas diperoleh kesimpulan :

a. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya p q Ξ ~q ~p

b. Konvers ekuivalen dengan invers q p Ξ ~p ~q

Contoh :

1. Jika x > 3 maka x2 > 9

Konvers : Jika x2 > 9 maka x > 3

Invers : Jika x ≤ 3 maka x2 ≤ 9

Kontraposisi : Jika x2 ≤ 9 maka x ≤ 3

2. Jika siswa rajin dan disiplin maka bapak atau ibu guru gembira

Konvers : Jika bapak atau ibu guru gembira maka siswa rajin dan disiplin

Invers : Jika siswa tidak rajin atau tidak disiplin maka bapak dan ibu guru tidak gembira

Kontraposisi : Jika bapak dan ibu guru tidak gembira maka siswa tidak rajin atau tidak disiplin

3. ( p ۸ q ) ~ r

Konvers : ~ r ( p ۸ q )

Invers : ~ ( p ۸ q ) ~ (~ r) Ξ (~p v ~q) r

Kontraposisi : r (~p v ~q)

2. Pernyataan berkuantor

Kuantor menyatakan kuantitas atau menyatakan “ berapa banyak “ yang

ditunjukkan dengan kata “ semua “ atau “ setiap “, beberapa atau “ada”.

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang menggunakan kuantor. Ada dua

macam kuantor yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Logika 16

a. Kuantor Universal

Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang menggunakan kata

“semua” atau “ setiap”. Notasi atau lambang kuantor universal adalah .

Sehingga pernyataan berkuantor universal dapat dilambangkan dengan ( . x

) P(x) dibaca untuk “ semua x atau setiap x berlaku P(x) “ atau ( . x S )

P(x) dibaca untuk “ semua x atau setiap x anggota S berlaku P(x) “.

Nilai kebenaran ( . x ) P(x) selain bergantung pada kalimat terbuka P(x)

juga tergantung pada himpunan semesta.

Contoh :

1. Semua bilangan genap habis dibagi 2

Pernyataan ini bernilai benar. Dapat juga dinyatakan dalam bentuk implikasi

“ Jika x bilangan genap maka x habis dibagi 2 “

2. ( .x R) (x2 ≥ 0)

dibaca “ untuk semua x anggota himpunan bilangan real berlaku x2 lebih

dari atau sama dengan nol . Pernyataan ini bernilai benar.

b. Kuantor eksistensial

Pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan yang menggunakan

kata “beberapa” atau “ada”. Kata beberapa atau ada disini mengandung

pengertian“satu atau lebih”, bisa juga diartikan “ sekurang-kurangnya satu

“.Notasi atau lambang kuantor eksistensial adalah dibaca “beberapa” atau

“ada” atau “ sebagian “. Sehingga pernyataan berkuantor eksistensial dapat

dilambangkan dengan ( x) P(x). Dibaca “ beberapa x berlaku P(x)” atau “ ada

x berlaku P(x).

Contoh :

1). Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap.

Pernyataan ini bernilai benar, sebab 2 merupakan bilangan prima dan

bilangan genap.

2). ( x R) (2x + 1 ≥ 4)

Pernyataan ini bernilai benar, sebab dipenuhi untuk x≥ 1,5

3). ( x∈ R) (x2 +6 =0)

Pernyataan ini bernilai salah, sebab tidak ada bilangan nyata yang

memenuhi. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan

menggunakan kuantor.

Logika 17

Contoh :

Kalimat terbuka : 3x + 2 = 6

Dengan kuantor universal : ( x R) (3x + 2 = 6) merupakan pernyataan yang bernilai salah.

Dengan kuantor eksistensial : ( x R) (3x + 2 = 6) merupakan

pernyataan yang bernilai benar.

Untuk mengubah kalimat terbuka dengan dua variable sehingga menjadi

suatu pernyataan diperlukan dua buah kuantor. Perhatikan definisi-definisi

berikut ini :

1).( x) ( y) P (x,y) Ξ ( x) [ ( y) P (x,y) ] dibaca untuk setiap x terdapat

y sehingga x dan y mempunyai sifat P

2). ( y) ( x) P (x,y) Ξ ( y) [ ( y) P (x,y) ] dibaca terdapat y sehingga

untuk setiap x, x dan y mempunyai sifat P.

3). ( x) ( y) P(x.y) dibaca untuk setiap x dan setiap y,x dan y mempunyai

sifat P

4). ( x) ( y) P(x,y) dibaca ada x dan ada y sehingga x dan y berlaku sifat P

Contoh :

Kalimat terbuka : 2x + 3y > 5 dapat dinyatakan sebagai pernyataan, diantaranya sebagai berikut :

1). ( x E R) (y E R) (2x +3y > 5) pernyataan bernilai benar

2). ( x E R) ( y E R) (2x +3y > 5) pernyataan bernilai salah

3). ( x E R) ( y E R) (2x +3y > 5) pernyataan bernilai benar

4. Negasi Pernyataan Berkuantor

a. Negasi pernyataan berkuantor universal

Negasi dari pernyataan “semua siswa SMK gemar membaca” adalah “Tidak

benar semua siswa SMK gemar membaca” berarti sekurang-kurangnya satu

siswa SMK tidak gemar membaca, jadi dapat dinyatakan dengan “ada siswa

SMK yang tidak gemar membaca”.

Dari contoh diatas dapat disimpulkan :

Negasi dari “semua x berlaku P(x)” adalah “ada (beberaPA) X tidak berlaku

P(x)”. Jika dinyatakan dengan notasi : ~{( x) P(x)} Ξ ( x)~ {P(x)}

Contoh :

1). Semua bilangan genap adalah bilangan rasional

negasi : beberapa bilangan bulat bukan bilangan rasional.

Logika 18

2). ( x R) (x2 > 0)

negasi : ( x R) (x2 ≤ 0)

3). ( x R) (2x + 3 = 5)

negasi : ( x R) (2x + 3 ≠ 5)

b. Negasi pernyataan berkuantor eksistensial

Negasi dari pernyataan “ada siswa SMK yang malas” adalah “Tidak benar ada

siswa SMK yang malas”,Pernyataan ini ekuivalen dengan “Semua siswa SMK

tidak malas”.

Dari contoh diatas dapat disimpulkan :

Negasi dari “ada (beberapa) x berlaku P(x)” adalah “Semua x tidak berlaku

P(x)”. Jika dinyatakan dengan notasi : ~{( x) P(x)} Ξ ( x) ~ {P(x)}.

Contoh :

1). Beberapa bilangan genap habis dibagi 3

Negas : Semua bilangan genap tidak habis dibagi 3

2). ( x R) (x – 2 ≤ 7)

Negasi : ( x R) (x – 2 > 7)

3). Ada siswa yang rajin dan disiplin

Negasi : Semua siswa tidak rajin atau tidak disiplin.

C. Rangkuman

Dari implikasi p⇒q dapat dibuat implikasi baru yaitu :

Konvers : q p

Invers : ~p ~q

Kontraposisi : ~q ~p

Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang menggunakan kata semua

atau setiap, Notasi kuantor universal adalah V.

Pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan yang menggunakan kata

beberapa atau ada. Notasi kuantor eksistensial adalah 3.

Negasi pernyataan berkuantor universal : ~{( x) P(x)} Ξ ( x)~ {P(x)}

Negasi pernyataan berkuantor eksistensial : ~{( x) P(x)} Ξ ( x) ~ {P(x)}.

D. Tugas

Logika 19

1. Buatlah sebuah implikasi kemudian tentukan konvers, invers dan kontraposisinya.

Diskusikan pekerjaan anda dengan anggota kelompok anda.

2. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi berikut ini :

a. Jika x > 0 maka x2 > 0

b. Jika siswa tidak mengerjakan tugas maka guru marah

c. Jika hari hujan maka Andre berteduh atau memakai paying.

d. Jika adik malas dan nakal maka ayah atau ibu marah.

e. Jika ada harga barang dan jasa naik maka semua orang resah.

3. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut ini jika x dan y bilangan nyata

a. ( x) (3x + 1 = 5)

b. ( x) (2 – 5x = 6)

c. ( x) (x2 = 4)

d. ( x) (x2 + 5 = 9)

e. ( x) (x0 = 1)

f. ( x y) (x2 + y2 ≥ 0)

g. ( x y) (x – 2y = 6)

h. ( x y) (x – 2y = 6)

i. ( x y) (xy = y)

j. ( x y) ( xy = y)

4. Tentukan negasi-negasi dari pernyataan-pernyataan berikut ini :

a. Semua siswa mengikuti upacara.

b. Ada bilangan genap yang tidak habis dibagi 4

c. Semua siswa berpakaian seragam dan memakai sepatu.

d. Beberapa bilangan nyata merupakan bilangan rasional atau bilangan irasional.

e. ( x R) ( x2 + 4x + 6 > 0)

f. ( x R) (3x + 3 > 6 atau x≤ -2)

g. ( x R ) (x + 2 = 5)

h. ( x R ) (x2 > 16 dan x < 0)

Logika 20

E. Test Formatif

1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi berikut ini :

a. Jika x bilangan genap dan habis dibagi 3 maka x habis dibagi 6.

b. Jika ada siswa yang tidak naik maka semua guru kecewa.

c. Jika semua siswa naik atau lulus maka ada bapak dan ibu guru yang bangga.

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut ini:

a. Semua bilangan ganjil tidak habis dibagi 4

b. Beberapa bilangan asli hanya mempunyai satu factor.

c. Ada bilangan bulat a sehingga a x 3 = 5

d. Setiap segitiga sama kaki kedua sudutnya sama besar.

e. ( x R ) (x2 – 1 < x)

f. ( x R ) (2x + 3 ≥ 6)

g. ( x R ) (x . 1 = x )

h. ( x R ) (x2 + 4x + 4 < 0

3. Tentukan negasi pernyataan – pernyataan berikut ini :

a. Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

b. Beberapa bilangan cacah tidak habis dibagi 5

c. Semua bilangan bulat atau pecahan merupakan bilangan rasional.

d. Beberapa guru dan semua siswa mengikuti seminar.

e. ( x R ) (x2 + 1 ≥ x – 2)

f. ( x R ) (x2 – 4 = 6)

Logika 21

D. PENARIKAN KESIMPULAN

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini anda diharapkan :

1). Dapat menjelaskan pengertian modus ponens

2). Dapat menjelaskan pengertian modus tollens.

3). Dapat menjelaskan pengertian silogisme.

4). Dapat membuktikan sah atau tidak suatu argumentasi.

B. Uraian Materi

Penarikan Kesimpulan.

Salah satu penerapan logika adalah penarikan kesimpulan. Dari beberapa pernyataan

yang diketahui bernilai benar ( disebut premis), dengan prinsip-prinsip logika dapat

dibuktikan suatu pernyataan baru yang bernilai benar(disebut kesimpulan atau

konklusi). Penarikan kesimpulan seperti ini disebut argumentasi. Argumentasi

dikatakan sah atau berlaku yaitu jika semua premisnya benar maka konklusinya

benar. Jika H adalah konjungsi dari semua premisnya dan K adalah konklusinya maka

argumentasi sah jika implikasi H K merupakan tautology (pernyataan yang selalu

bernilai benar). Berikut ini akan dibahas 3 cara penarikan kesimpulan yaitu :

1), Modus Ponens

Dari pernyataan-pernyataan p q dan p yang bernilai benar dapat disimpulkan bahwa q benar. Penarikan kesimpulan dengan cara demikian disebut sebagai Modus ponens atau kidah pengasingan. Jika dinyatakan dalam simbul logika sebagai berikut :

Premis 1 : p q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

Bukti : Cara 1

Premis 2 Kesimpulan Premis 1

p q p q

B B B

B

S

S

S

B

S

S

B

B

Pada baris pertama (bagian yang diarsir) tampak premis 1 yaitu p q benar dan

premis 2 yaitu p benar, maka konklusinya yaitu q juga bernilai benar, sehingga

argumentasi tersebut sah.

Logika 22

Cara 2 : Akan dibuktikan bahwa {( p q) Λp} q merupakan tautologi.

p q ( p q) (p q) Λ p {( p q) Λ p} q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

S

S

B

B

B

B

Dari tabel tersebut terbukti {( p q) Λ p } q merupakan tautology, jadi

argumentasi tersebut sah.

Contoh :

a). Jika x bilangan genap maka x habis dibagi 2

24 bilangan genap

Jadi 24 habis dibagi 2

b). Jika Gilang rajin belajar maka ia akan naik kelas

Gilang rajin belajar

Jadi Gilang naik kelas

2). Modus Tollens

Dari pernyataan-pernyataan p q dan~q yang bernilai benar dapat disimpulkan

bahwa ~p benar. Penarikan kesimpulan dengan cara demikian disebut sebagai

Modus Tollens atau Kaidah Penolakan Akibat.

Jika dinyatakan dengan notasi logika sebagai berikut :

Premis 1 : p q

Premis 2 : ~q

Kesimpulan : ~p

Bukti : Cara 1

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan

p q p q ~q ~p

B

B

S

B

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

B

S S B B B

Logika 23

Cara 2

Akan ditunjukkan bahwa { (p q) Λ ~q } ~p merupakan tautology

p q ~p ~q p q (p q) Λ~q

{ (p q) Λ ~q} ~p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

S

S

S

B

B

B

B

B

Contoh :

a). Jika Dido naik kelas maka ia gembira

Dido tidak gembira

Jadi Dido tidak naik kelas

b). Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2 dan 3

17 tidak habis dibagi 2 atau 3

Jadi 17 tidak habis dibagi 6

3). Silogisme

Dari pernyataan-pernyataan p q dan q r yang bernilai benar dapat

disimpulkan bahwa p r benar. Penarikan kesimpulan dengan cara demikian

disebut Silogisme.

Jika dinyatakan dengan notasi logika sebagai berikut :

Premis 1 : p q

Premis 2 : q r

Kesimpulan : p r

Bukti :

Premis 1 Premis 2 Kesimpulan

P q r p q q r p r

B B B B B B

B

B

B

B

S

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

S B B B B B

S B S B S B

S S B B B B

S S S B B B

Logika 24

Pada baris-baris yang diarsir (baris ke-1, ke-5, ke-7 dan ke-8) premis 1 yaitu p q

benar dan premis 2 yaitu q r benar, maka kesimpulannya yaitu pr juga bernilai

benar.

Contoh :

a). Jika x habis dibagi 2 maka x bilangan genap

Jika x bikangan genap maka x2 genap

Jadi jika x habis dibagi 2 maka x2 genap.

b). Jika Dea rajin belajar maka ia dapat mengerjakan soal ujian.

Jika Dea dapat mengerjakan soal ujian maka ia lulus.

Jadi jika Dea rajin belajar maka ia lulus.

Sah atau tidak suatu argumentasi tidak tergantung pada benar atau tidak makna

suatu kesimpulan sebagai pernyataan sebab ada argumentasi yang kesimpulannya

bermakna wajar tetapi cara menarik kesimpulannya salah sehingga argumentasi

tersebut tidak sah. Argumentasi yang demikian disebut kepalsuan.

Contoh :

Jika hari hujan maka pejalan kaki memakai payung

Pejalan kaki memakai payung

Jadi hari hujan

Kesimpulan itu mempunyai makna yang wajar tetapi tidak diperoleh dengan

menggunakan prinsip-prinsip logika yang benar, sehingga argumentasi tersebut

tidak sah.

Bukti :

Argumentasi tersebut dapat disusun dengan menggunakan lambang sebagai

berikut :

p q

q

P

p q p q

B B B

B S S

S B B

S S B

Pada baris ke 3 tampak, premis 1 yaitu p q benar dan premis 2 yaitu q benar

tetapi kesimpulannya yaitu p bernilai salah.

Logika 25

Demikian juga ada argumentasi yang diperoleh dengan menggunakan prinsip-

prinsip logika yang benar sehingga argumentasi tersebut sah tetapi kesimpulannya

tampak tidak wajar. Hal ini bisa dikatakan ada premis yang tidak wajar.

Contoh :

Jika Andi lapar maka ia makan.

Jika Andi makan maka ia kenyang.

Jadi jika Andi lapar maka ia kenyang.

Argumentasi diatas berdasarkan kaidah silogisme, jadi kesimpulannya adalah sah,

tetapi tampak tidak wajar karena premis 1 , belum tentu bernilai benar. Jadi

kebenaran suatu kesimpulan ditentukan oleh kebenaran premis-premisnya.

C. Rangkuman

Argumentasi adalah penarikan kesimpulan (konklusi) berdasarkan beberapa pernyataan yang diketahui bernilai benar yang disebut premis.

Argumentasi dikatakan sah atau berlaku jika semua premisnya benar maka konklusinya benar

Modus ponens atau kaidah pengasingan

Premis 1 : p q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

Modus tollens atau kaidah penolakan akibat

Premis 1 : p q

Premis 2 : ~q

Kesimpulan : ~p

Silogisme

Premis 1 : p q

Premis 2 : q r

Kesimpulan : p r

Logika 26

D. Tugas

1. Buktikan bahwa penarikan kesimpulan menurut kaidah silogisme adalah sah dengan menunjukan bahwa {( p q) Λ (q r)} (p r) merupakan tautology.

2. Buatlah masing-masing sebuah contoh penarikan kesimpulan modus ponens, modus tollens dan silogisme.

3. Buktikan sah atau tidak sah argumentasi berikut ini :

1). P q

~p

~q

2). P q

~q r

(p ۸ q) r

3). p V q

~p q

p

~q

4). q p

q V r

~ p r

5). Jika hari hujan maka Tina memakai payung.

Tina tidak memakai payung atau Tina memakai mantel.

Jadi Jika hari hujan maka Tina memakai mantei.

6). Jika hari hujan maka udara dingin.

Jika hari tidak hujan maka Gilang bermain diluar.

Jadi jika udara tidak dingin maka Gilang bermain diluar

7). Jika gunung meletus atau banjir maka penduduk mengungsi.

Gunung tidak meletus tetapi banjir.

Jadi penduduk tidak mengungsi.

8). Jika Anto lulus maka ia bekerja.

Jika Anto tidak beberja maka orang tuanya kecewa.

Jadi jika Anto tidak lulus maka orang tuanya kecewa.

Logika 27

E. Tes Formatif

1. Tentukan kesimpulan yang dapat ditarik dari premis-premis berikut ini :

a. Menggunakan modus ponens

Premis 1 : Jika dua garis sejajar maka kedua garis tersebut sebidang.

Premis 2 : Garis g sejajar garis h.

b. Menggunakan modus tollens.

Premis 1 : Jika x2 > 4 maka x < -2 atau x > 2.

Premis 2 : -2 ≤ x ≤ 2

c. Menggunakan silogisme

Premis 1 : Jika x ≥ 3 maka x2 ≥ 9

Premis 2 : Jika x2 ≥ 9 maka x2 + 1 ≥ 10.

2. Buktikan sah atau tidak sah argumentasi berikut ini :

a. Jika x sudut lancip maka cos x ≥ 0.

Sudut y tidak lancip

Jadi cos y < 0

b. Jika x = 4 maka x2 = 16

Jika x = -4 maka x2 = 16

Jadi 4 = -4

c. ~q p

q V ~p

q

d. p q

~q ~r

r ~p

Logika 28

EVALUASI

Evaluasi Kompetensi (waktu : 2 x 45 menit)

1.Jika p : √4 bilangan rasional.

q : 3 faktor dari 18

r : (-2)2 < (-4)2

Tentukan nilai kebenaran dari :

a. (p ٨ ~r) q

b. ~(~p Λ q) (p V r)

c. (q V ~r) Λ (p ~q

d. (~p V q) V (p ~r)

2. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk berikut ini :

a. (p Λ ~q) (~p q)

b. ~(p V q) Λ (p ~q)

3. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari “ Jika gaji pegawai negeri atau

swasta naik maka harga semua barang dan jasa naik”.

4. Tentukan negasi pernyataan –pernyataan berikut ini :

a. Semua diagonal ruang kubus berpotongan dan sama besar.

b. Beberapa bilangan genap merupakan bilangan prima atau komposit

c. Jika x habis dibagi 5 maka x habis dibagi 2 dan 3.

d. Jika semua siswa rajin dan disiplin maka ada guru yang gembira

e. ( x R) (x2 + 4 > 4x) dan ( x R) (x2 ≤ 16)

5. Buktikan sah atau tidak argumentasi berikut ini :

a. P V q

~q V r

p ۸ r

b. Jika siswa malas maka guru marah.

Jika siswa tidak disiplin maka guru marah

Jadi guru tidak marah jika dan hanya jika siswa disiplin dan tidak malal..

Logika 29