Logika (Matematika)

23
Logika

Transcript of Logika (Matematika)

Page 1: Logika (Matematika)

Logika

Page 2: Logika (Matematika)

Logika

• Arti & Peranan Logika• Konjungsi• Disjungsi• Hubungan Konjungsi dan Disjungsi• Implikasi, Konvers, Invers, Kontraposisi, dan

Ingkarannya• Penarikan Kesimpulan• Pembuktian Sifat Matematika

Page 3: Logika (Matematika)

Arti & Peranan Logika

Logika adalah ilmu yang mempelajari cara-cara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang beralasan dengan menggunkan yang logis.Pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya adalah suatu rangkaian bunyi (bahasa) yang tersusun secara baik dan bermakna utuh.

Page 4: Logika (Matematika)

Arti & Peranan Logika

Dapat dikategorikan dalam dua jenis yaitua) Kalimat Deklaratif

Disebut juga (pernyataan / proposisi) adalah kalimat yang dapat ditentukan kebenarannya, yakni dapat dinilai benar atau salah.

b) Kalimat NonDeklaratif (bukan pernyataan)Adalah kalimat yang tidak dapat dipastikan kebenarannya.

Page 5: Logika (Matematika)

Arti & Peranan Logika

1.Kalimat TerbukaAdalah suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah).

2.Kalimat tertutup (peryataan)Adalah suatu kalimat nilai kebenarannya dapat dipastikan secara langsung (benar atau salah). Notasi untuk suatu pernyataan ditulis dengan huruf kecil seperti p, q, r.

3.Kalimat Berkuator (Quantifier)Suatu kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan, yaitu dengan mengganti variable dari suatu kalimat dengan suatu nilai tertentu (konstanta).

Page 6: Logika (Matematika)

Arti & Peranan Logika

a) Kuantor universalMisalkan p(x) adalah kalimat terbuka yang didefenisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataan :“ untuk setiap x didalam S, maka p(x) benar “

b) Kuantor EksistensialMisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka yang didefenisikan pada himpunan semesta S, maka pernyataannya“ ada x didalam S sedemikian sehingga p(x) benar.

c) Ingkaran / negasi suatu pernyataanDari suatu pernyataan p, dapat dibuat pernyataan lain yang disebut ingkaran/negasi dari p, yaitu dengan cara menuliskan kata

Page 7: Logika (Matematika)

Konjungsi

Notasi :Konjugsi dari pernyataan p dan q, dinyatakan dengan notasi : p q (dibaca: p dan q)Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini.Jika p benar dan q benar maka p q benar, dalam hal lain p q salah. Dengan perkataan lain konjugsi dari dua pernyataan adalah benar jika masing-masing komponennya benar.

Page 8: Logika (Matematika)

Konjungsi

Dapat ditulis dengan bentuk tabel kebenaran.P Q P^QB B BB S SS B SS S S

Page 9: Logika (Matematika)

Disjungsi

Notasi :Disjugsi dari pernyataan p dan q dinyatakan dengan notasi : p q ( dibaca p atau q).Perangkai “ ” bersifat penggabung atau disfungsi.Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :Jika p benar atau q benar atau kedua p dan q benar, maka p q benar, dalam hal lain p q salah. Dengan perkataan lain disjungsi dari dua pernyataan adalah salah jika masing-masing komponennya salah.

Page 10: Logika (Matematika)

Disjungsi

Ketentuan tersebut dapat ditulis dalam tabel kebenaran berikut ini :P Q P v QB B BB S BS B BS S S

Page 11: Logika (Matematika)

Hubungan Konjungsi dan Disjungsi

Konjungsi dan disjungsi saling berhubungan, hubungan antara keduanya merupakan saling negasi dan oleh De Morgan dituliskan dalam hokum De Morgan berikut ini :1) Hukum De Morgana. ~(p q) ~p ~qb. ~(p q) ~p ~q2) Hukum DistributifHubungan Konjungsi dan Disjungsi sering dalam hukum distributive berikut ini :Untuk setiap pernyataan p, q, dan r selalu berlaku :a. p (q r) (p q) (p r)b. p (q r) (p q) (p r)

Page 12: Logika (Matematika)

Implikasi atau Pernyataan Bersyarat

Notasi :Implikasi “jika p maka q” sering dinotasikan dengan : p q.Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :Implikasi p q benar, kecuali jika p benar dan q salah. Dengan perkataan lain, suatu pernyataan benar tidak dapat berimplikasi suatu pernyataan salah.

Page 13: Logika (Matematika)

Implikasi atau Pernyataan Bersyarat

Dapat pula ditulis dengan tabel :P Q P→QB B BB S SS B BS S B

Page 14: Logika (Matematika)

Implikasi, Konvers, Invers, Kontraposisi, dan Ingkarannya

Implikasi atau Pernyataan BersyaratBimplikasi (Implikasi Dua arah)Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

Page 15: Logika (Matematika)

Bimplikasi (Implikasi Dua arah)

Notasi :Equivalensi p jika dan hanya jika q (p jhj q) sering dinotasikan dengan : p qNilai kebenaran dari pernyataan majemuk p q selalu mengikuti ketentuan berikut ini :Jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama maka p q benar ; jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang berbeda maka p q salah.

Page 16: Logika (Matematika)

Bimplikasi (Implikasi Dua arah)

Dapat pula ditulis tabel kebenaran berikut :P Q P↔QB B BB S SS B SS S B

Page 17: Logika (Matematika)

Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

Dari pernyataan p q dapat disusun pernyataan-pernyataan implikasi baru yang berbentuk :a. q→p di sebut Konversb. ~p → ~p disebut Inversc. ~q → ~p disebut Kontraposisi

Page 18: Logika (Matematika)

Penarikan Kesimpulan

Adalah suatu penarikan bahwa dari beberapa pernyataan benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis dapat diturunkan, suatu pernyataan yang benar (disebut kesimpulan atau konklusi).

Page 19: Logika (Matematika)

A. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)

Modus Ponens adalah suatu argumentasi yang bentuknya dapat dinyatakan sebagai berikut :Premis 1 : p qPremis 2 : pKontruksi : q

Page 20: Logika (Matematika)

B. Modus Tollens (Kaidah penolakan akibat)

Adalah argumentasi yang mempunyai bentuk :Premis 1 : p qPremis 2 : ~pKontruksi : ~p

Page 21: Logika (Matematika)

C. Silogisme (kaidah penelusuran sebab)

Disebut juga sifat transitif dari implikasi. Silogisme adalah suatu argumentasi yang berbentuk :Premis 1 : p qPremis 2 : p rKontruksi : p r

Page 22: Logika (Matematika)

Pembuktian Sifat Matematika

Bukti LangsungBukti tidak LangsungPembuktian tidak langsung dikenal dalam dua macam, yaitu bukti tidak langsung dengan kontraposisi dan bukti tidak langsung dengan kontradiksi.Induksi Matematika* Tunjukkan kebenaran p(1) untuk n = 1* Anggap untuk n = k, p (k) benar* Berdasarkan p(k) benar, harus ditunjukkan bahwa p (k+1) benar (kesimpulan).

Page 23: Logika (Matematika)