LOGIKA MATEMATIKA

Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

HIMPUNAN

Pendahuluan

Himpunan adalah materi dasar yang sangat penting dalam matematika dan teknik informatika/ilmu komputer.

Hampir setiap materi pada bidang tersebut berbicara tentang himpunan.

Walaupun himpunan sangat penting ahli matemtika tidak dapat memberikan definisi himpuan yang memuaskan .

Oleh karenanya, kita dapat menginginkan defnisi yang tegas, tetap kita cukup membahas pengertian himpunan secara intuisi.

Definisi 1.1

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang

mempunyai sifat-sifat yang jelas, sehingga setiap

objek dapat ditentukan dengan pasti masuk atau

tidak masuk ke dalam kumpulan tersebut.

Definisi 1.2

Objek dari suatu himpunan disebut elemen, atau titik,

atau unsur, atau anggota dari himpunan.

Penulisan Himpunan

Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf

besar dan elemennya dengan huruf kecil. Ada dua

cara penulisan himpunan, yaitu : pendaftaran

anggota dan himpunan pembentuk.

Pendaftaran anggota

Penulisan himpunan dengan cara mendaftarkan

semua anggota-anggotanya yang dipisahkan

tanda koma dalam tanda kurung kurawal.

Urutan penulisan anggota atau penulisan anggota

yang berulang (yang mungkin terjadi) tidak

mengubah himpunannya.

Contoh 1.1

Perhatikan himpunan dibawah ini dengan cara pedaftaran.

A1 = {1,2,3,4,5}

A2 = {5,2,1,4,3}

A3 = {1,1,1,2,3,4,4,5}

B1 = {1,3,5}

B2 = {1,5,3}

B3 = {,5,1,3,1,5,5,5}

Karena urutan anggota yang berbeda dan

pengulangan penulisan anggota tidak mengubah

himpunan maka disimpulkan

A1 = A2 = A3

dan

B1 = B2 = B3.

Nanti pada pembahasan kesamaan himpunan akan

dijelaskan lagi mengapa himpunan diatas sama.

Selanjutnya kita akan memprkenalkan penulisan

pendaftaran himpunan yang akan sering kita

gunakan, yaitu mengunakan titik tiga.

Titik tiga ini menggantikan anggota-anggota yang

tidak ikut idaftarkan. Perhatikan himpunan berikut :

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

dapat ditulis sebagai

{1,2,…,10}

Diperkenalkan sombol-simbol himpunan yang telah disepakati dan biasa digunakan pada bidang matematika.

Z = himpunan semua bilangan bulat

= {0,1,2,...}

N = himpunan semua bilangan bulat positip

= {1,2,3,…}

Q = himpunan semua bilangan rasional

R = himpunan semua bilangan real

= himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak

mempunyai anggota = { }

Keanggotaan

Sekarang kita akan memperkenalkan keanggotaan, yaitu antara objak- objek dan himpunan.

Perhatikan penulisan himpunan di bawah ini.

{a1,a2,…}

Maka kita menyebutkan setiap objek dalam daftar merupakan suatu anggota dari himpunan itu.

Jadi a1 anggota dari {a1,a2,…}, a2 anggota dari {a1,a2,…} dan seharusnya untuk setiap objek dalam daftar a1,a2,…

Simbolnya : a1 {a1,a2,…}

a2 {a1,a2,…}

Secara umum , jika A adalah nama yang kita

berikan untuk himpunan {a1,a2,…}, maka untuk

setiap objek x dalam daftar a1,a2,…, kita

menulis

x A

Contoh 1.2

1 { 1,2,3}

2 {1,2,3}

3 {1,2,3}

7 {1,2,…,10}

-100 {0, 1, 2,…}

Ketidak-anggotaan

Untuk menuliskan bahwa suatu objek y bukan anggota dari himpunan A, kita menulis

y A

Contoh 1.3

2 {1,3,5}

-1 {1,3,5}

-12 {1,2,…,10}

11 {1,2,…,10}

0 {1,2,…,10}

Selanjutnya setiap himpunan akan kita beri

namanya. Kita akan menggunakan huruf besar

sebagai nama himpunan.

Sebagai contoh A = {1,2,3,} maka kia menyatakan

1A, 2A, 3 A dan 4 A

Ada beberapa contoh untuk menyatakan

‘‘x anggota dari himpunan A’’

Kita dapat menyatakan

x elemen dari A

x titik di A

x unsur A

x termuat di A

Himpunan Khusus

Selain penulisan himpunan dengan cara pendaftaran, kita dapat mendefinisikan suatu himpunan sebagai suatu kumpulan objek-objek yang mempunyai sifat khusus

Misalnya himpunan semua bilangan bulat 1, 10 dan diantaranya digunakan untuk menggantikan penulisan pendaftaran {1,2,…,10}

Himpunan semua bilangan berbentuk 2 berpangkat bilangan bulat menggantikan

{…,2-3 =1/8 , 2-2 =1/4 ,2-1 =1/2 , 20=1, 2, 4,…}

Perhatikan:

‘‘ semua bilangan bulat 1,10 dan diantarnya’’

Secara matematika sifat tersebut dapat ditulis x

bilangan bulat dengan 1x10. kita akan menulis

sifat keanggotaan himpunan dengan

x Z dan 1x10

Penulisan ini akan kita mulai sekarang dengan

pernyataan

Himpunan semua xsedemikian sehingga xZ dan

1 x 10.

Secara metematika, menulisnya dengan simbol sebagai:

{x|1 x 10, xZ}

Dalam hal ini

Z disebut dominan dari x. (Dx}

1 x 10 disebut predikat, (P(x) )

Jadi himpunan ini didefinisi sebagai himpunan

semua titik-titik x dari domain di mana predikat

P(x) benar.

Ditulis: {x| x Dx.P(x)} atau sering ditulis

{x Dx | P(x)} atau {x| P(x)}

Penulisan himpunan seperti ini disebut penulisan

himpunan pembentuk.

Termuat

Mendefinisikan kata termuat sebagai relasi dua himpunan.

Definisi 1.3

Misalkan A dan B himpunan, A termuat di B jika untuk setiap anggota A juga anggota B.

Disimbolkan : AB.

Sering juga kita nyatakan dengan

‘‘ A himpunan bagian dari B’’.

Dapat menyebutkan ‘‘ B memuat A’’ dan ditulis B A.

Contoh 1.4

{1,2,3,1,1} { 4,3,2,1}

oleh karena setiap objek dari lima objek dalam

daftar 1,2,3,1,1 adalah suatu objek dalam daftar

4,3,2,1.

Negasi dari relasi termuat disimbolkan dengan .

AB berarti A tidak termuat di B.

Artinya ada suatu elemen di A yang bukan elemen di B.

Contoh 1.5

{1,2,4} {1,2,3,5,6} sebab ada objek 4 dalam daftar 1,2,4 yang tidak ada dalam daftar1,2,3,5,6.

Kesamaan

Definisi 1.4

Misalkan A dan B himpunan. A sama dengan B jika

AB dan BA.

Ditulis: A = B

Perhatikan contoh menyatakan

{1,3,1,2,2,1}{1,2,3} dan contoh menyatakan

{1,2,3} {1,3,1,2,2,1}. Maka menurut definisi

disimpulkan {1,3,1,2,2,1} = {1,2,3}.

Contoh 1.6

{1,2,3} = {3,1,2} dan {1,2,3} = {2,3,1}

{1,2,3} = {1,2,1,3,2,1}

Prinsip penting dari himpunan yaitu : Dua daftar objek-objek yang berbeda karena urutannya

berbeda menyatakan himpunan yang sama.

Dua daftar objek-objek yang berbeda karena pengulangan penulisan objeknya menyatakan himpunan yang sama.

Dengan memperhatikan prinsip (2) di atas, mulai sekarang kita akan menghindari pengulangan penulisan objek dari suatu himpunan untuk efisiensi.

Himpunan Kuasa

Definisi 1.5

Misalnya X himpunan. Himpunan Kuasa dari X adalah

himpunan-himpunan semua himpunan bagian dari X.

Himpunan kuasa biasanya disimbolkan dengan P(X)

Ditulis : P (X) = {A/ AX}

Berarti elemen dari himpunan kuasa adalah

himpunan.

Contoh 1.7

a. P() =

b. P({1}) = {,{1}}

c. P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}}

Perhatikan bahwa adalah anggota dari P(X) untuk setiap himpunan X, sebab himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Jumlah anggota himpunan disimbolkan dengan

Jika (x) = n maka (p(x) =2n

Hasil Kali Kartesius

Definisi 1.6

Misalkan A dan B dua himpunan . Hasil kali kartesius dari A dan B adalah semua pasangan berurut (a,b) di mana a anggota A dan b anggota B.

Simbolnya: A x B

Dapat ditulis A x B = { (a,b) / aA, bB }

Contoh 1.8

Misalkan A={1,2} dan {2,3,4}. Tuliskan himpunan A x B dan B x A

Penyelesaian :

A x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)}

B x A = {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}

DIAGRAM VENN

Definisi 1.7

Misalkan A dan B himpunan. Gabungan dari A dan B, disimbolkan dengan AB, adalah semua unsur x sedemikian sehingga x anggota A atau x anggota B.

Ditulis: AB= { x|x A atau x B}

Contoh 1.9

Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}. Tuliskan himpunan AB.

Penyelesaian

AB = {1,3,5,2,4,7,9}, atau

AB = {1,2,3,4,5,7,9}

Definisi 1.8

Misalkan A dan B himpunan. Irisan dari A dan B, disimbolkan dengan AB, adalah himpunan semua unsur x sedemikian sehingga x anggota A dan juga x anggota B.

ditulis AB = {x|xA dan x B}

Contoh 1.10

Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}. Tuluskan himpunan AB.

Penyelesaian :

Anggota 2,4 bukan anggota B, anggota 7,9 bukan anggota A dan hanya anggota 1,3,5 yang menyatakan A sekligus anggota B. Maka

AB = {1,3,5}

Jika A dan B tidak mempunyai tiik persukutuan maka kita mengatakan Adan B disjoint dan ditulis AB = .

Kadang-kadang kita menyajikan suatu himpunan dngan skema sbagai bagian dalam lingkaran atau persegi panjang.

Misalkan A dan B himpunan. Maka hal yang mungkin terjadi :

Anggota A juga anggota B, yaitu A B.

Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A dalam lingkaran B

Anggota B juga anggota A, yaitu BA.

Diagram vennnya adalah gambar lingkaran B dalam lingkaran A.

A dan B mempunyai anggota persekutuan dan

anggota yang bukan persekutauan .

Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A

berpotongan dangan lingkaran B.

A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan

(disjoint), yaitu AB = .

Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A dan

lingkaran B tidak berpotongan.

A

B

A

B

A B A B

Hasil operasi himpunan dapat digambarkan pada diagram venn dengan cara mengarsir daerah yang dimaksud.

AB AB

(A B)A

(AB)B

A(AB)

B(AB)

(A B) A (AB)

(A B) B (AB)

A = {1,2,3,4,5}

B = {1,3,5,7,8}

AB = {1,3,5}

A B

2

4

1

3

5

7

8

Sifat Distributif

Misalkan A,B dan C himpunan , maka berlaku

A (BC) = (AB) (AC)

Sifat ini disebut distributif gabungan terhadap

irisan.

Sifat distributif yang lain adalah sifat distibutif

irisan terhadap gabungan yaitu:

A (AC)= (AB) (AC).

Komplemen

Komplemen ditulis dengan simbol

A – B (lama), A\ B (baru)

A-B = A\B = komplemen relatif B dalam A.

Kita akan mengguanakan simbol baru..

Definisi 1.9

Komplemen relatif B dalam A adalah himpunan semua anggota dari A yang bukan anggota dari B

A\ B = {x|x A dan x B}

Contoh :

Jika A={1,2,3} dan B={2,3,4,5}, tentukan A\B dan

B\A

Penyelesaian :

A\ B = {x|x A dan x B} ={1}

B\ A = {x|x B dan x A} ={4,5}

Jika kita telah menyepakati semesta S maka kita dapat

menyebutkan komplemen relatif dari A dalam S

dengan cukup mengatakan komplemen dari A.

Ditulis Ac = S\A

Hukum De Morgan adalah dua rumus penting akan diperkenalkan di sini, tetapi bukti yang lebih teliti akan dibahas pada Bab selanjutnya .

Hukum tersebut adalah : untuk A,B himpunan berlaku

(AB)c = AcBc

(AB)c = AcBc

Aturan Aljabar Himpunan

1. Hukum identitas

A = A

A U = A

2. Hukum dominasi

A =

A U = U

3. Hukum komplemen

A Ac = U

A Ac =

Aturan Aljabar Himpunan ….

4. Hukum idempoten

A A = A

A A = A

5. Hukum involusi

= A

6. Hukum penyerapan (absorpsi)

A (AB) = A

A (AB) = A

( )c

cA

Aturan Aljabar Himpunan ….

7. Hukum komutatif

A B = B A

A B = A B

8. Hukum asosiatif

A (B C) = (AB) C

A (B C) = (AB) C

9. Hukum distributif

A (B C) = (AB) (AC)

A (B C) = (AB) (AC)

Aturan Aljabar Himpunan ….

10. Hukum de Morgan

(AB)c = Ac Bc

(AB)c = Ac Bc

11. Hukum 0/1

c =U

Uc =

Pembuktian Himpunan

Pembuktian dalam himpunan mengacu pada

aturan/hukum yang berlaku pada himpunan (aturan

aljabar himpuna)

Pembuktian Himpunan ….

Contoh 1.12

Jika A dan B himpunan, buktikan (AB) (ABc) = A

Jawab

(AB) (ABc) = A (BBc) hukum distributif

= A U hukum komplemen

= A hukum identitas

Pembuktian Himpunan ….

Contoh 1.13

Jika A dan B himpunan, buktikan A (B – A) =A B

Jawab

A (B – A) = A (B Ac) definisi komplemen relatif

= (A B) (A Ac) hukum distributif

= (A B) U hukum komplemen

= A B hukum identitas

FB : altien jonathan rindengan

Email : jonathan_alt@yahoo.co.id

altien@unsrat.ac.id