LOGIKA MATEMATIKAA. PERNYATAANPernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah

Contoh:a : 2 adalah bilangan genap (bernilai benar)b : 4 habis dibagi 3 (bernilai salah)

Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah).

Kata nilai kebenaan dilambangkan dengan (tau).

Contoh:a: 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, (a)=Bp : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, (p)=S

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.

B. KALIMAT TERBUKAKalimat terbuka adalah yang memuat peubah/variable, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar/salah)

Contoh:1. 8112 x2. itu adalah benda cair

A. NEGASIJika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang ~p Dan dibaca bukan p atau tidak benar p.Contoh:p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan primaq : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6

p~

Tabel kebenaran

p

BS

SB

Hubungan ingkaran pernyataan dengan komplemen himpunan

~pp

S

B. DISJUNGSIDisjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:qp Dibaca p atau q

Tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut:

qp P q

BBSS

BSBS

BBBS

Kalimat untuk mengingat :

“ anak – anak besok kalian harus membawa pensil atau pulpen ”

Hubungan disjungsi pernyataan dengan gabungan dua himpunan

qpqp

qp

qp

qp

C. KONJUNGSIKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung dan.Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:

Tabel kebenaran

P qBBSS

BSBS

BSSS

Dibaca p dan q

Kalimat untuk mengingat :

“ anak – anak besok kalian harus membawa buku dan pulpen ”

Hubungan konjungsi pernyataan dengan irisan dua himpunan

qpqp

D. IMPLIKASIImplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q

Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang: qp

Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:

qp P q

BBSS

BSBS

BSBB

Kalimat untuk mengingat :

“ jika kamu lulus ujian maka kamu saya beri hadiah “

Hubungan implikasi pernyataan dengan himpunan bagian

Dibaca jika p maka q ataup hanya jika qq jika pp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi p

qpqp

E. BIIMPLIKASIBiimplikasi dari pernyataan-pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai berikut:

qp dibaca :p jika dan hanya jika qJika p maka q dan jika q maka

pp syarat perlu dan cukup bagi

qq syarat perlu dan cukup bagi

p

qp

Tabel kebenaran

P q

BBSS

BSBS

BSSB

Cara mengingat :

+ x − = −− x + = −− x − = +

+ x + = +

Hubungan biimplikasi pernyataan dengan kesamaan dua himpunan

PERNYATAAN MAJEMUKPernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.

qp ~pqp )~(

Contoh pernyataan majemuk: 1.

2.

Contoh:Tentukan nilai kebenaran dari pqp )~(

Untuk menentukan nilai kebenaran, biasanya menggunakan tabel kebenaran

q~ )~( qp pqp )~(

BS

BS

BBSS

qP

Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S

Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S

SBSB

BBSB

BBBS

(p ~ q) P

Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S

Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S

BBSS

BBSB

SBSB

BSBS

BBBS

BBSS

Urutan pengerjaan dalam operasi LOGIKA dari yang paling kuat sampai yang terlemah

~ , ,

)( qp )( qpp p q

BBSS

BSBS

BBBS

BBBB

Tabel

Jadi pernyataan merupakan tautologi)( qpp

TAUTOLOGITautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contoh:Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk )( qpp adalah sebuah tautologi

KONTRADIKSIKontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

)~(~)(~ qpqp

)~(~)(~ qpqp

)~()(~ qpqp

)~()~()(~ pqqpqp

)(~)( qpqp

Ekuivalen

DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALENDua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennyaLambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah qp

)~(~)(~ qpqp

p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar

(p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar

~(p V q) : (~p~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar

)~()(~ qpqp

p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah

pq : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah

~(pq) =(p~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah

Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah

Pada disjungsi dan konjungsi berlaku sifat komutatif, asososiatif dan ditributif

pqqp

pqqp

Sifat Komutatif

)()( rqprqp

)()( rqprqp

Sifat Asosiatif

Distributif konjungsi terhadap disjungsiSifat Distributif

)()()( rpqprqp

Distibutif konjungsi terhadap disjungsi

)()()( rpqprqp

qp

pq qp

qp ~~ qp

pq ~~ qp

. HUBUNGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DENGAN IMPLIKASI

, maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu

, disebut konvers dari implikasi

, disebut invers dari implikasi

, disebut kontraposisi dari implikasi

Jika kita mempunyai sebuah implikasi

qp pq ~~ pq qp ~~

≡

≡

Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya

Konvers ekuivalen dengan invers

p q ~p ~q pq ~q~p qp ~p~qB

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

B

S

B

B

B

B

S

B

B

B

S

B

IMPLIKASI LOGIS P(x) Q(x)

Implikasi logis adalah implikasi dimana antara P(x) dengan Q(x) ada hubungannya

Hubungan yang dimaksud yaitu tiap pengganti nilai x yang menyebabkan kalimat P(X) benar akan menyebabkan kalimat Q(X) benar juga

Contoh

1. Jika x > 2, maka x2 > 4

Implikasi diatas bernilai BENAR karena setiap kita mengambil nilai x > 2 maka pastilah x2 > 4

2-22

Tapi jika arahnya dibalik maka kalimat tersebut menjadi salah

2. Jika x2 > 4, maka x > 2 MENGAPA ???

3. Jika x – 1 = 0, maka x2 – 1 = 0

4. Jika x2 – 1 = 0, maka x – 1 = 0

)(, xpx)(, xpSx

KUANTOR UNIVERSAL Semua siswa Kelas X SMA Saint Peter pandai.Kata semua atau setiap merupakan kuantor universal (umum)Lambang dari kuator universal adalah:

dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau

dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x)

KUANTOR EKSISTENSIAL Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai.Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus)Misalkan:U=himpunan semua siswa SMA di JakartaA=himpunan semua siswa SMA Saint PeterB=himpunan semua siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandaiPernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai”, dapat ditulis dengan lambang berikut: BxAxx dan ,

dibaca: Beberapa siswa SMA Saint Peter pandai, atau Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandai.

INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR

)(~,)](,[~ xpxxpx

)(~,)](,[~ xpxxpx

p : Semua siswa Saint Peter rajin belajar

~p : Ada siswa Saint Peter yang tidak rajin belajar

q : Ada siswa Saint Peter yang rumahnya di Kelapa Gading

~q : Semua siswa Saint Peter rumahnya tidak di Kelapa Gading

r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang

~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang

~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang

Contoh:

Penarikan kesimpulan

qp

rq

rp

SILLOGISME

premis 1

premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat ke sekolah premis 1Jika saya tidak berangkat sekolah, maka ayah akan marah premis 2

Maka konklusinya adalah: Jika hari ini hujan, maka ayah akan marah

Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premisKemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (kesimpulan/ konklusi) Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasi

Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar

qp

p

q

Modus ponenpremis 1

premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah premis 1Saya punya uang banyak premis 2

Maka konklusinya adalah Saya akan membeli rumah

qp

q~

p~

Modus tolenpremis 1

premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu premis 1Saya tidak datang ke pestamu premis 2

Maka konklusinya adalah Hari ini cuaca tidak cerah

Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI