LOGIKA MATEMATIKA

Tahukah kamu ?

Aristoteles adalah ahli filsafat pertama yang mengembangkan logika pada jaman Yunani kuno, sekitar tahun 400 SM. Kala itu logika dikenal dengan istilah Logika Tradisional.

A. Pernyataan (Proposisi)

adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Contoh : a. Rasa air laut asin. b. 2 adalah bilangan prima

c. Jakarta adalah ibukota Jawa Timur

• Pernyataan yang menyatakan pikiran tunggal disebut pernyataan sederhana (seperti contoh di atas), sedangkan pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan sederhana dengan bermacam-macam kata hubung disebut pernyataan majemuk.

• Contoh : Jakarta terletak di Pulau Jawa dan ibukota RI. (pernyataan majemuk)

Lambang-lambang yang umumnya dipakai untuk menyatakan suatu pernyataan dalam logika adalah :

Huruf p, q, r , … untuk menyatakan suatu pernyataan. Contoh => p : Hari ini cerah q : 2 + 3 = 5

B, T atau 1 untuk menyatakan nilai benar S, F atau 0 untuk menyatakan nilai salah

B. Kalimat Terbuka, Peubah (Variabel), Konstanta dan Penyelesaian Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya

Contoh : a. Kota P merupakan daerah wisata

b. 2 + x = 88

Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sebarang dari himpunan semesta

Contoh : x – 2 = 5 (x adalah variabel)

• Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta

Contoh : x – 2 = 5Jika x diganti dengan 7 maka pernyataan 7 – 2 = 5 bernilaibenar dan 7 disebut konstanta

Himpunan Penyelesaian Suatu Kalimat Terbuka

Contoh : 2x – 1 < 5, x { 1, 2, 3, 4, 5 } Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti 0, 1, 2. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0, 1, 2 }

Jadi penyelesaian suatu kalimat terbuka adalahkonstanta-konstanta pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yangbenar

C. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan

Jika p adalah suatu pernyataan maka ingkarannya dinotasikan sebagai –p atau

Apabila pernyataan p bernilai benar, maka pernyataan –p bernilai salah. Sebaliknya bila pernyataan p bernilai salah maka pernyataan –p bernilai benar.

p

Contoh : p : Putri memakai baju putih - p : Tidak benar bahwa putri memakai baju

putih - p : Putri tidak memakai baju putih

Contoh : q : 3 + 2 = 7 ……………. (S)-q : 3 + 2 ≠ 7 ……………. (B)

r : 5 + 6 ≥ 10 ……………. (B) - r : 5 + 6 < 10 …………….(S)

Definisi : Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan

–p yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p bernilai benar

p -p

B S

S B

TABEL KEBENARAN

LATIHAN 1

1. Manakah yang merupakan kalimat pernyataan, bukan pernyataan atau kalimat terbuka dari kalimat-kalimat berikut : a. G. Semeru terletak di Jawa Barat. b. Tokyo ibukota Jepang c. Pergilah engkau sekarang. d. x adalah bil.prima kurang dari 20 e. 7 adalah faktor dari 63

f. 5 + 3 = 10 g. 6 + a < 8 h. 75 habis dibagi 4

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :a. 2 adalah bilangan prima genap

b. √67 adalah bilangan rasional

c. 2 + (3 + 8) = (2 + 3) + 8

d. Sungai Kapuas adalah sungai terpanjang di dunia.

e. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil

f. 49 adalah bilangan kuadrat sempurna

g. Jepang adalah negara berkembang

h. Danau Toba terletak di Pulau Flores

i. Sin 30o = cos 60o

3. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka di bawh ini agar menjadi pernyataan yang benar :

a. 4p – 1 = 41

b. k adalah bilangan prima kurang dari 30

c. Untuk p dan q bilangan asli, p + q = 12

d. 3a + 1 = 7, a bilangan prima genap

e. y adalah bilangan kelipatan 3 dan kelipatan 5 yang kurang dari 100

f. X2 – 4 > 0

4. Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut ini serta tentukan pula nilai kebenarannya :

a. 5 + 6 = 11b. Bunga mawar berwarna merah

c. Ali mempunyai adik.

d. Segitiga lancip adalah segitiga yang salah satu sudutnya kurang dari atau sama dengan 90o

e. 5z + 32 = 0 adalah persamaan kuadrat

f. √625 bukan termasuk bentuk akar

g. Sin 235o bernilai negatif

h. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 8x + 21 = 0 adalah 4

D. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan

kata penghubung dan.

1. Lambang yang digunakan adalah Λ (dan) p Λ q ( dibaca p dan q)

2. Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalah meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga, walaupun.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q p Λ q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh :

p : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat (B)

q : Bung Hatta meninggal di Jakarta (B)

p Λ q : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan meninggal di Jakarta (B)

p : Sekarang hari Rabu (S)

q : Saya belajar matematika (B)

p Λ q : Sekarang hari Rabu dan saya belajar matematika (S)

Tentukan nilai kebenaran dari kalimat :“ 2 + 3 = 5 walaupun Jakarta bukan Ibukota RI “ Gini aja kok

nggak bisa …

Jawab :

P : 2 + 3 = 5 ……………………………..(B)q : Jakarta bukan Ibukota RI ……….(S)

Jadi 2 + 3 = 5 dan Jakarta bukan Ibukota RI bernilai salah

Tentukan nilai x agar kalimat : “(2x + 1 = 11) Λ 5 adalah bilangan prima” bernilai benar

p : 2x + 1 = 11

q : 5 adalah bilangan prima

Agar kalimat p Λ q bernilai benar maka p harus benar.

p : 2x + 1 = 11

2x = 10 → x = 5

Untuk x = 5 maka p : 2x + 1 = 11 bernilai benar, sehingga p Λ q bernilai benar.

E. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata penghubung atau.

Lambang yang digunakan adalah ν (atau)

p ν q (di baca p atau q)

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q p ν q

B B B

B S B

S B B

S S S

CONTOH :

Tentukan nilai x agar kalimat :

x2 – 4 = 0 ν 1 – (-1) = 0 bernilai salah

Jawab:p : x2 - 4 = 0

(x – 2) (x + 2) = 0 x = 2 atau x = -2

q : 1 – (-1) = 0 …………….(S)

Kalimat p ν q bernilai salah jika p bernilai salah

Jadi agar x2 - 4 = 0 bernilai salah maka x ≠ ± 2

F. Implikasi

Implikasi adalah dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “ jika p maka q ”, dan dilambangkan sebagai p → q

1. p → q dibaca : Jika p maka q ; p hanya jika q ; q jika p atau

p berimplikasi q ; q asal saja p2. Pernyataan p disebut antesenden/hipotesa/sebab dan q disebut konsekuen/konklusi/akibat.3. q merupakan syarat perlu bagi p dan p merupakan syarat cukup bagi q4. Bermakna bahwa “ tidak benar bahwa p terjadi tetapi q tidak terjadi “, ditulis dengan lambang – (p Λ –q)

Tabel Kebenaran Implikasi

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

Jadi dua pernyataan p → q bernilai salah hanya jika p bernilai benar disertai q bernilai salah.

Buktikan bahwa p → q Ξ – (p Λ – q)

Implikasi Logis

1. p(x) implikasi logis q(x) jika dan hanya jika untuk setiap x memenuhi p(x) juga memenuhi q(x)

2. Implikasi yang berbentuk p(x) → q(x) yang selalu bernilai benar atau suatu tautologi disebut implikasi logis.

Contoh :Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa :

(p → q) → p implikasi logis p

Jawab :

Harus ditunjukkan bahwa ((p → q) → p) → p adalah tautologi

p q p → q (p →q) → p ((p →q) → p)→ p

B B B B B

B S S B B

S B B S B

S S B S B

TAUTOLOGI

G. Biimplikasi

Biimplikasi adalah dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan lambang p ↔ q (dibaca p jika dan hanya jika q).

p ↔ q mengandung makna bahwa p → q benar dan juga q → p benar.

Dengan kata lain p ↔ q merupakan singkatan dua implikasi p → q dan q → p

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Jadi dua pernyataan p ↔ q bernilai BENAR jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Buktikan bahwa p ↔ q Ξ (p → q) Λ (q → p)

Biimplikasi Logis

1. p(x) biimplikasi logis q(x) jika dan hanya jika untuk setiap x memenuhi p(x) juga memenuhi q(x), dan sebaliknya untuk setiap x memenui q(x) juga memenuhi p(x)

2. p(x) biimplikasi logis q(x) selalu bernilai benar atau suatu tautologi.

H. Negasi dari Pernyataan Majemuk

Negasi konjungsi : – (p Λ q) ≡ – p ν – q

Negasi disjungsi : ─ (p ν q) ≡ – p Λ – q

Negasi implikasi : ─ (p → q) ≡ p Λ – q

Negasi biimplikasi : ─ (p ↔ q) ≡ p ↔ ─ q ≡ ─ p ↔ q

Contoh :

Tentukan ingkaran dari “Jika saya rajin belajar maka saya naik kelas. “

Jawab :

Negasi implikasi : ─ (p → q) ≡ p Λ – q

Jadi Ingkarannya adalah “Saya rajin belajar tetapi tidak naik kelas”

I. Pernyataan Berkuantor

Ada dua macam kuantor yaitu :

a. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk setiap atau untuk semua)

b. Kuantor eksistensial dilambangkan dengan (dibaca terdapat atau ada beberapa)

Contoh :

x  Є R, x2 ≥ 0, artinya untuk setiap x  Є R berlaku x2 ≥ 0

Contoh :

x  Є R, x + 5 < 1 , artinya terdapat x Є R berlaku x + 5 < 1

Negasi Pernyataan Berkuantor

Negasi dari adalah sedangkan kalimat terbukanya menjadi ingkaran.

Negasi dari adalah sedangkan kalimat terbukanya menjadi ingkaran.

J. Konvers, Invers dan Kontraposisi

Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk :

a. q → p disebut konvers

b. ─ p → ─ q disebut invers

c. ─ q → ─ p disebut kontraposisi

CONTOH :

Buatlah konvers, invers, kontraposisi dan ingkaran dari implikasi :

“Jika hari hujan, maka matahari tidak bersinar.”

Jawab :p = hari hujan, - q = matahari tidak bersinar,

sehingga implikasi semula p → -q

• Konvers – q → p : “Jika matahari tidak bersinar maka hari hujan”

• Invers –p → q : “ Jika hari tidak hujan maka matahari bersinar”

• Kontraposisi q → -p : “Jika matahari bersinar maka hari tidak hujan”

• Ingkarannya p Λ q : “Hari hujan dan matahari bersinar”

K. PENARIKAN KESIMPULAN

a. MODUS PONENS

Premis (1) : p → q (B)

Premis (2) : p (B)

Konklusi : q (B)

CONTOH :

Jika tengah malam hujan, maka lapangan basah.

Tengah malam hujan.

Jadi, Lapangan basah.

b. MODUS TOLLENS

Premis (1) : p → q (B)

Premis (2) : ─ q (B)

Konklusi : ─ p (B)

CONTOH :

1) Jika sekarang hujan, maka saya memakai jas hujan

2) Saya tidak memakai jas hujan.

Jadi, sekarang tidak hujan.

c. SILOGISME

Premis (1) : p → q (B)

Premis (2) : q → r (B)

Konklusi : p → r (B)

CONTOH :

Jika rajin belajar, maka nilai ulangan bagus

Jika ulangan bagus, maka naik kelas.

Jadi, jika rajin belajar, maka naik kelas.

CONTOH :Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :

Jika hari sedang turun hujan, maka pejalan kaki memakai payung.

Pejalan kaki memakai payung.

Jadi, Hari sedang hujan.

Jawab :

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

p → q (B)

q (B)

p (S) (tidak sah)

CONTOH :Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :

Jika Alex orang Eropa, maka rambutnya pirang.

Aleks berambut hitam

Jadi, Alex bukan orang Eropa.

Jawab :

− p − q p → q

S S B

S B S

B S B

B B B

p → q (B)

− q (B)

− p (B) (sah)

CONTOH :Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :

p v q

p

q

Jawab :

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

p v q (B)

p (B)

q (S) (tidak sah)

CONTOH :Periksa sah atau tidak argumentasi berikut ini :

─ p Λ q

─ p

─ q

Jawab :

─ p Λ q (B)

─ p (B)

─ q (S) (tidak sah)

p q ─ p ─ q ─ p Λ q

B B S S S

B S S B S

S B B S B

S S B B S