A. PENDAHULUAN Logika matematika merupakan bagian matematika yang membahas tentang hukumhukum, susunan atau pola pikir yang di hadapkan pada nilai kebenaran dari sudut pandang matematika. Definisi, teorema atau dalil yang terdapat dalam matematika dibangun berdasarkan logika matematika. Dengan demikian setiap masalah dalam matematika harus dibuktikan kebenarannya berdasarkan prinsip-prinsip logika matematika. Oleh karena itu penguasaan terhadap materi yang terdapat dalam pokok bahasan logika matematika menjadi syarat perlu untuk memahami materimateri matematika yang tingkatannya lebih tinggi. Melalui modul ini disampaikan bagaimana aturan-aturan yang ada dalam logika matematika untuk dapat digunakan dalam membuktikan suatu pernyataan. Adapun untuk dapat mahir dalam kegiatan pembuktian pernyataan-pernyataan matematika dibutuhkan banyak latihan pembuktian. B. TUJUAN Tujuan yang diharapkan dalam penulisan modul ini adalah untuk membantu guru memahami prinsip-prinsip logika matematika dan dapat menggunakannya dalam membuktikan suatu pola atau hubungan dalam matematika. Adapun model pembelajaran yang diterapkan dalam kagiatan pelatihan diharapkan dapat memberikan informasi bagi peserta tentang alternatif model pembelajaran yang dapat diterapkan dalam kegiatan pembelajaran bagi siswa di kelas. Setelah mempelajari modul ini peserta diharapkan dapat: 1. Menyimpulkan sah atau tidaknya suatu pembuktian 2. Menarik kesimpulan dengan modus ponen, modus tollen dan silogisme. 3. Membuktikan sifat matematika dengan bukti langsung 4. Membuktikan sifat matematika dengan bukti tak langsung C. PETUNJUK PEMBELAJARAN Pembelajaran yang dilaksanakan berorientasi pada pemahaman konsep-konsep dan prinsip-prinsip yang ada dalam logika matematika, dan penerapannya dalam pembuktian sifat-sifat yang ada pada matematika. Materi disajikan dengan banyak contoh, diharapkan peserta dapat memahami bagaimana membuktikan pola, sifat atau formula matematika dengan menggunakan prinsip logika matematika. Model pembelajaran yang digunakan adalah model pembelajaran koperatif yang diawali penjelasan tentang materi-materi yang ada dalam pokok bahasan logika matematika namun tidak disajikan di dalam modul ini. Penjelasan ini tidak secara mendalam, hanya bertujuan untuk mengingatkan tentang materi prasyarat saja. Perlu diketahui bahwa isi modul ini lebih difokuskan pada penarikan kesimpulan, dengan pertimbangan bagian-bagian sebelumnya tidak terlalu sulit untuk dipahami sehingga dianggap peserta pelatihan sudah memahaminya. Pada tahap berikutnya, peserta akan dikelompokkan dalam kelompok yang terdiri dari 4 sampai 5 orang dan akan mendiskusikan materi yang dan menyelesaikan tugas-tugas yang ada dalam modul. Di akhir kegiatan akan dilakukan diskusi secara klasikal untuk membuat kesimpulan dan membahas tugas-tugas yang gagal diselesaikan dalam kelompok.

D. KEGIATAN PEMBELAJAN I. Kalimat Terbuka dan Pernyataan pada Matematika Definisi merupakan suatu kesepakatan mengenai suatu istilah tertentu. Dengan demikian kebenaran definisi tidak perlu dibuktikan. Definisi menjelaskan dengan tepat apa yang didefinisikan. Namun demikian ada istilah-istilah dalam matematika yang tidak didefinisikan, misalnya bilangan, garis, titik dan himpunan. Dalam logika matematika kata kalimat, benar, dan salah adalah istilah yang tidak didefinisikan. Pengertian penting yang harus dipahami dalam mempelajari logika matematika adalah kalimat terbuka dan pernyataan. Kalimat terbuka adalah kalimat yang menggandung variabel (satu atau lebih) dan akan menjadi pernyataan jika variabelnya disubtitusi dengan nilai-nilai tertentu. Contoh: 1. p + 2 = 17 2. x > 3 3. 4 + m < 2 atau n 2 = 9 Kalimat yang sudah dapat dikatakan benar atau salah disebut pernyataan atau disebut juga proposisi. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa: Pernyataan adalah suatu kalimat yang benar, atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Perlu diketahui bahawa suatu pernyataan biasanya diberi nama dengan huruf kecil p, q, r, s, t, atau huruf yang lainnya. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p akan ditulis sebagai n(p). Sehingga jika nilai kebenaran dari suatu pernyataan p adalah benar maka akan ditulis bahwa n(p) = B. Pernyataan yang selalu bernilai benar disebut tautologi, sedangkan pernyataan yang selalu bernilai salah disebut kontradiksi. Contoh: 1. p : 10 x 5 = 15 (pernyataan yang salah : n(p) = S) 2. q : 100 5 = 95 (pernyataan yang benar n(q) = B) 3. r : 5 < 9 (pernyataan yang benar : n (r) = B) 4. s : 3 + 4 = 6 dan 6 > 2 (pernyataan yang salah : n(s) = S) Latihan I Yang manakah dari kalimat-kalimat di bawah ini yang merupakan kalimat terbuka, pernyataan, atau bukan pernyataan dan bukan kalimat terbuka? 1. 10 + 10 + 10 = 3 x 10 2. 4y 10 = 18 3. Kota Jakarta ada di Pulau Bali 4. Bacalah buku ini! 5. 10 + 5 > 15 6. Hati-hatilah bila menyeberang jalan. 7. jumlah besar sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah 180 8. 2n + 1 adalah bilangan ganjil untuk setiap bilangan asli n 9. 10x + 10 = 10 + 10y 10. Setiap balok mempunyai 8 buah rusuk. II. Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi.

Hukum Negasi: Negasi p ditulis p ( dibaca: tidak p , bukan p ) Jika n(p) = B, maka n( p) = S; atau Jika n(p) = S, maka n( p) =B Contoh: Nyatakanlah negasi dari pernyataan-pernyataan dibawah ini: 1. 14 + 16 < 20 2. Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah ganjil Jawab: 1. Negasi dari 14 + 16 < 20 adalah tidak benar 14 + 16 < 20 atau 14 + 16 20 2. Negasi dari Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah ganjil adalah Tidak benar jumlah dua buah bilangan ganjil adalah ganjil Latihan II a. Nyatakan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini dan tentukan nilai kebenaran dari pernyataan dan ingkaran pernyataan tersebut. 1. 15 x 12 = 190 4. jumlah dua bilangan prima adalah genap 2. 45 80 25 5. ada bilangan prima yang genap 3. 41 bukan bilangan prima Hukum Konjungsi: Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p q (dibaca dan; tetapi; meskipu; sedangkan; padahal; sambil; juga; walaupun) bernilai benar jika p dan q kedua-duanya bernilai benar. (p q) (q p) Hukum Disjungsi: Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p q (dibaca atau; maupun) bernilai benar, kecuali jika p dan q kedua-duanya bernilai salah. (p q) (q p) Contoh . 1. Tentukan nilai-nilai x agar kalimat dibawah ini bernilai benar. a. (4 + 4 8) (4x + 1 = 9) b. (x - 2x 3 = 0 ) (10 x 10 < 10 ) 2. Lengkapi kalimat berikut sehingga diperoleh kalimat yang benar. a. jika n(p q) = B maka n(p) = . . . dan n(q) = . . . b. jika n( p q) = B dan n(q) = S maka n(p) = . . . Jawab: 1.a. karena (4 + 4 8) merupakan pernyataan yang salah, dan agar (4 + 4 8) (4x + 1 = 9) menjadi disjungsi yang benar maka harus dicari nilai x sehingga (4x + 1 = 9) menjadi pernyataan yang bernilai benar jadi nilai x yang memenuhi agar kalimat (4 + 4 8) (4x + 1 = 9) menjadi disjungsi yang benar adalah 2 b. Karena 10 x 10 < 10 merupakan pernyataan yang salah, maka untuk setiap nilai x akan menyebabkan kalimat (x - 2x 3 = 0 ) (10 x 10 < 10 ) selalu merupakan

pernyataan yang salah. Dengan demikian tidak ada satupun nilai x yang memenuhi sedemikian hingga kalimat (x - 2x 3 = 0 ) (10 x 10 < 10 ) menjadi pernyataan yang benar. 2. Pertanyaan di atas akan lebih mudah dijawab dengan menguraikan nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan; yaitu sebagai berikut: a. p q B ( merupakan n(p q) ) B B (sesuai dengan hukum konjungsi); Maka n(p) = B dan n(q) = B b. p q B ( merupakan n( p q) ) B S (sesuai dengan hukum disjungsi) Karena n( p ) = B maka n(p) = S Latihan IIb. Tentukan nilai x pada tiap kalimat berikut agar menjadi pernyataan yang benar. 1. (sin 45 = ) (x = 1) 4. (3x + 5 = 14) ( 3 adalah bilangan genap) 2. (2x 1 = 7) (4 x 5 = 20) 5. ( x - 4x = 0 ) ( 5 10 = 5 ) 3. (7 x 7 = 0) ( x adalah bilangan asli kurang dari 5) Jika n( p) = B, n( q ) = S dan n (r) = B. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan berikut ini. 6. ( q r) p 7. (q r) ( p r) 8. (p q) r Hukum Implikasi: Jika p dan q pernyataan-pernyataan, maka pernyataan implikasi: jika p maka q ditulis p q bernilai benar kecuali jika p benar dan q salah. Kalimat jika p maka q adalah kalimat implikasi atau kalimat kondisional dengan p sebagai anteseden (kondisi) dan q sebagai konsekuen (konklusi). Implikasi logis adalah suatu implikasi yang selalu bernilai benar atau suatu implikasi yang merupakan tautologi Hukum Biimplikasi Jika p dan q pernyataan-pernyataan, maka pernyataan biimplikasi dari p dan q ditulis p q bernilai benar, bila p dan q bernilai sama Biimplikasi logis adalah biimplikasi yang bernilai benar atau biimplikasi yang merupakan tautologi Contoh. Tentukan nilai-nilai x agar kalimat di bawah ini bernilai benar. 1. (x - 1 = 0 ) (10 x 5 = 15 ) 2. (2x 1 = 9) (5 adalah bilangan prima) Jawab: 1. untuk x = 1 maka kalimat terbuka (x - 1 = 0 ) akan menjadi pernyataan yang benar, sehingga bila x = 1 atau x = -1, maka (x - 1 = 0 ) (10 x 5 = 15 ) akan menjadi pernyataan yang salah. Dengan demikian agar kalimat (x - 1 = 0 ) (10 x 5 = 15 ) menjadi implikasi yang benar

maka haruslah x 1 2. karena konsekuen dari kalimat (2x 1 = 9) (5 adalah bilangan prima) adalah (5 adalah bilangan prima) merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka untuk setiap nilai x, implikasi (2x 1 = 9) (5 adalah bilangan prima) selalu bernilai benar. Misalkan p(x) dan q(x) adalah kalimat terbuka, dengan selesaian p(x) adalah himpunan P dan selesaian q(x) adalah himpunan Q, maka: 1. Untuk menentukan nilai kebenaran implikasi berbentuk p(x) q(x) adalah sebagai berikut: Jika P Q maka p(x) q(x) bernilai benar 2. Untuk menentukan nilai kebenaran biimplikasi berbentuk p(x) q(x) adalah sebagai berikut: Jika P = Q maka p(x) q(x) bernilai benar. Contoh . Tentukan nilai kebenaran dari kalimat-kalimat berikut: 1. Jika x = 4, maka 2x = 8 2. Jika x < 1 maka x < 1 3. x < 4 x < 2 Jawab : 1. Untuk menentukan nilai kebenaran dari Jika x = 4, maka 2x = 8 , terlebih dulu diselesaikan antesedennya (p(x)), yaitu sebagai berikut: p(x) : x = 4 maka x = 2 atau x = - 2 untuk nilai x = 2 atau x = -2 tidak memenuhi 2x = 8 (konsekuen). Ini berarti bahwa kalimat Jika x = 4, maka 2x = 8 bernilai salah. Atau dapat juga dengan menentukan selesaian dari bentuk konsekuen, yaitu sebagai berikut: q(x) : 2x = 8, maka x = 4 Jadi P = {-2 , 2 } dan Q = { 4 }. Ternyata P Q Sehingga kalimat Jika x = 4, maka 2x = 8 bernilai salah. 2. Dari kalimat implikasi Jika x < 1 maka x < 1 adalah x < 1 dapat diurai menjadi: p(x) : x < 1 ; maka P adalah -1 < x < 1, yang berarti bahwa x > -1 dan x < 1 Jadi P = { x | -1 < x < 1, x R } q(x) : x < 1 ; jadi Q = ( x | x < 1, x R } Sehingga memenuhi P Q. Maka kalimat implikasi Jika x < 1 maka x < 1 bernilai benar 3. Dari kaliamt biimplikasi x < 4 x < 2 dapat diurai menjadi: p(x) : x < 4 ; maka P = { x | -2 < x < 2 ; x R } q(x) : x < 2 ; maka Q = { x | x < 2; x R } karena P Q sehingga x < 4 x < 2 bernilai salah. Latihan IIc. Tentukan nilai x yang real sehingga kalimat-kalimat di bawah ini menjadi pernyataanpernyataan yang benar. 1. (x - 4x = 0) (3 x 3 = 5)

2. (4x + 1 = 9) (3 adalah bilangan genap) 3. (3x = 10) ( 9 adalah bilangan prima) 4. (10 adalah bilangan genap) (x > 4 ) Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini. 5. sin x = 1 2x = x 6. x = 1 (x - 3x 4 = 0) 7. a < b 4a < 4b 8. 3x 2 = 7 4x 6 = 6 9. (x - 6x + 8 < 0) (2 < x < 4) 10. (x + 4x > 0) (x > 0) Berikut ini akan disajikan contoh untuk menyatakan bahasa sehari-hari ke dalam bahasa formal, yaitu dengan menggunakan notasi-notasi logika matematika. Nyatakanlah kalimat-kalimat di bawah ini dalam bentuk notasi: 1. Jika ada tikus, maka baik keadaan rumah tidak tenang maupun kucing tidak dapat tidur nyenyak 2. Jika hujan tidak turun atau tanggul tidak bobol, maka daerah tidak banjir 3. Hujan turun dan daerah akan banjir jika dan hanya jika tanggul bobol 4. Ia tidak mau makan karena ia belum lapar Jawab: Untuk menyelesaikan masalah di atas, kalimat-kalimat tersebut diurai menjadi kalimatkalimat tunggal penyusunnya. 1. Jika ada tikus, maka baik keadaan rumah tidak tenang maupun kucing tidak dapat tidur nyenyak diurai menjadi: p : ada tikus; q : keadaan rumah tidak tenang; r : kucing tidak dapat tidur nyenyak maka notasi untuk kalimat tersebut adalah : p (q r) 2. Jika hujan tidak turun atau tanggul tidak bobol, maka daerah tidak banjir Diurai menjadi: p : hujan turun; q : tanggul bobol; r : daerah banjir maka notasi untuk kalimat tersebut adalah : ( p q) r 3. Hujan turun dan daerah akan banjir jika dan hanya jika tanggul bobol Diurai menjadi: p : hujan turun; q : tanggul bobol; r : daerah banjir maka notasi untuk kalimat tersebut adalah : (p r) q 4. Ia tidak mau makan karena ia belum lapar Diurai menjadi: p : Ia mau makan; q : ia lapar dalam kalimat ini yang menjadi sebab adalah ia belum lapar yaitu q, maka notasi untuk kalimat tersebut adalah : q p 5. Ia tidak lulus, tetapi tidak menyesal bahkan ia tertawa geli Diurai menjadi: p : Ia lulus; q : Ia menyesal; r : ia tertawa geli maka notasi untuk kalimat tersebut adalah: p ( q r)

Latihan IId. Nyatakanlah kalimat-kalimat di bawah ini dalam bentuk notasi: 1. Daerah akan banjir dan tanggul akan bobol kalau banyak hujan turun 2. Tidak benar bahwa akan banjir jika dan hanya jika tanggul bobol 3. Jika hujan turun, maka tanggul akan bobol, akibatnya daerah akan banjir 4. Jika awal bulan maka ia akan mendapat gaji, sehingga dapat membeli kebutuhannya 5. Perampok masuk rumah sambil melepaskan tembakan, sehingga tuan rumah ketakutan 6. Kalau ia bukan anak pintar, maka ia tentu anak yang berbakat dan bukan sekedar anak yang rajin 7. Andi masuk dan duduk, sedangkan Ima tetap berdiri 8. Ia pindah ke Jakarta dan bekerja di sana, sekaligus sambil melanjutkan pendidikannya. 9. Karena ikut main sepak bola, Ali disebut olahragawan 10. Ia tidak punya uang, sehingga ia tidak naik pesawat tetapi ia hanya naik kapal laut III. Pernyataan Berkuantor Kuantor (quantifier) adalah kata yang menunjuk pada kuantitas, yaitu ada dan semua. Simbol menyatakan untuk semua (untuk setiap atau untuk sembarang) disebut kuantor universal. Simbol menyatakan ada (ada paling sedikit satu, dapat ditemukan, atau untuk suatu)disebut kuantor eksistensi. Misalkan p(x) adalah kalimat terbuka dengan domain x adalah D, maka: 1. Pernyataan x D, p(x) didefinisikan benar jika p(x) benar untuk semua x D, dan salah jika p(x) salah untuk suatu x D. 2. Pernyataan x D, p(x) didefinisikan benar jika p(x) benar untuk paling sedikit satu x D, dan salah jika p(x) salah untuk semua x D. Contoh: Benar atau salahkah pernyataan-pernyataan di bawah ini? 1. misalkan D = { 3 , 4 , 5 } maka x D, x > 2x 2. misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat maka x Z, x > 2x 3. misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat maka x Z, 2x = x 4. misalkan D = { 3 , 4 , 5 } maka x D, 2x = x Jawab: 1. misalkan D = { 3 , 4 , 5 } diperiksa bahwa kalimat terbuka x > 2x benar untuk masing-masing x D: 3 > 2(3) ; 4 > 2(4) ; 5 > 2(5) sehingga x D, x > 2x adalah pernyataan benar 2. misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat ambil x = 1, maka 1 Z dan 1 > 2(1) sehingga x Z, x > 2x adalah pernyataan salah

3. misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat maka x Z, 2x = x karena 0 Z dan 2(0) = 0 maka kalimat terbuka 2 x = x benar untuk paling sedikit satu bilangan bulat x yaitu 0. Sehingga x Z, 2x = x adalah pernyataan benar. 4. misalkan D = { 3 , 4 , 5 } maka x D, 2x = x diperiksa kalimat terbuka 2x = x untuk masing-masing x D: 2(3) 3 ; 2(4) 4 ; 2(5) 5 Sehingga x D, 2x = x adalah pernyataan salah. Dalam pernyataan matematika, pernyataan kuantor belum tentu dinyatakan secara eksplisit, sebagai contoh: bilangan 24 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan bulat memuat kuantor eksistensi, yaitu : x,y Z, 24 = x + y demikian pula pernyataan jika x > 3 , maka x > 9 memuat kuantor universal, yaitu: x R, jika x > 3 maka x > 9 Di samping memahami bentuk-bentuk pernyataan berkuantor, diperlukan kemampuan mengubah bahasa formal (dengan simbol matematika) kedalam bahasa sehari-hari. Contoh: 1. Ubahlah pernyataan berikut ini (belum tentu benar) menjadi beberapa kalimat-seharihari tanpa menggunakan simbol maupun . a. x R, x 0 b. x R, x = x 2. Ubahlah pernyataan dibawah ini sehingga memuat lambang kuantor dan variabel. a. setiap kuadrat bilangan asli adalah bilangan asli b. ada bilangan real yang negatif c. tidak ada bilangan asli yang lebih besar dari kuadratnya Jawab : 1. a. x R, x 0 Semua bilangan real mempunyai kuadrat yang tidak negatif Setiap bilangan real mempunyai kuadrat yang tidak negatif Sembarang bilangan real mempunyai kuadrat yang tidak negatif Kuadrat bilangan real tidak negatif Untuk setiap bilangan real x, x adalah bilangan negatif b. x R, x = x ada bilangan real yang sama dengan kuadratnya ada paling sedikit satu bilangan real yang sama dengan kuadratnya untuk suatu x, x = x 2. a. x N, x N b. x R, x < 0 c. x N, x x

Negasi Pernyataan Berkuantor Perhatikan pernyataan : Semua matematikawan hidup mewah Banyak orang menyatakan bahwa negasinya adalah : Tidak ada matematikawan hidup mewah tetapi negasi yang benar adalah : beberapa matematikawan tidak hidup mewah ; atau ada matematikawan tidak hidup mewah artinya walaupun ada seorang matematikawan tidak hidup mewah, sudah menggugurkan pernyataan bahwa semua matematikawan hidup mewah. Untuk menentukan bentuk negasi pernyataan berkuantor ikutilah pola berikut ini: 1. negasi dari pernyataan x D, p(x) adalah pernyataan x D, p(x) 2. negasi dari pernyataan x D, p(x) adalah pernyataan x D, p(x) Contoh: Nyatakan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini tanpa memperhatikan nilai kebenarannya: 1. setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki 2. ada segitiga yang jumlah sudutnya sama dengan 200 3. setiap bilangan prima adalah bi;angan ganjil Jawab: 1. ada segitiga sama sisi yang bukan segitiga sama kaki atau ada segitiga sama sisi yang tidak sama kaki 2. setiap segitiga jumlah sudutnya tidak sama dengan 200 atau 3. ada bilangan prima yang tidak ganjil atau ada bilangan prima yang bukan bilangan ganjil Latihan III 1. Temukan contoh penyangkal untuk menunjukkan pernyataan berikut ini salah. a. x R, x b. x R, x > 0 c. x,y R, (x + y) = x + y 2. Nyatakanlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk uraian (tanpa simbol logika matematika) a. x R, x > 2 b. x Z, x genap x genap c. x Z, x < 0 x 0 d. x,y R, (x + y) = x + y e. x,y Z , x > y x > y 3. Tuliskan negasi dari pernyataan di bawah ini a. Jumlah dari dua bilangan rasional adalah rasional b. Untuk semua bilangan rasional x dan y, jika x = y maka x = y c. Untuk semua bilangan bulat n, jika n genap maka n genap

IV. Pernyataan yang Ekuivalen Dua pernyataan (majemuk) dikatakan ekuivalen ditulis p q jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama. Pernyataan-pernyataan yang ekuivalen ini diperlukan dalam kegiatan pembuktian. Berikut adalah beberapa bentuk pernyataan yang ekuivalen: 1. p ( p) 2. (p q) (q p) 3. (p q ) (q p ) 4. p (q r ) ( p q ) r 5. p (q r ) ( p q ) r 6. (p q) ( p q) ( q p) 7. (p q) ( p q ) 8. (p q) ( p q ) 9. (p q ) ( p q ) 10. (p q) ( p q) ( p q ) 11. (p q) ((p q) (q p)) 12. (p q) ((p q) (p q )) ((p q) ( p q ) V. Penarikan Kesimpulan Penarikan kesimpulan selalu didasarkan pada premis-premis yang diberikan yaitu merupakan pernyataan-pernyataan yang telah diterima kebenarannya. Beberapa pola penarikan kesimpulan yang sah akan disajikan berikut ini: 1. Modus Ponens: 2. Modus Tollens: pqpq pq qp 2. Silogisme: pq qr pr Contoh: Selidiki apakan sah atau tidak penarikan kesimpulan dibawah ini. 1. Ica jadi dosen Unsyiah atau melanjutkan S2 Ica tidak melanjutkan S2 Ica jadi dosen Unsyiah 2. Jika Najwa mempunyai IPK bagus, maka ia kuliah S2 di Boston Najwa mempunyai IPK bagus dan ia kuliah di Tokyo Najwa tidak kuliah di Boston

3. p q q rp sr s Untuk menjawab pertanyaan no 1. dan 2. di atas, kalimat-kalimat dalam bentuk uraian tersebut terlebih dahulu diterjemahkan dalam bentuk simbul atau notasi. 1. Ica jadi dosen Unsyiah atau melanjutkan S2; diterjemahkan menjadi : p q Ica tidak melanjutkan S2; diterjemahkan menjadi : q Ica jadi dosen Unsyiah; diterjemahkan menjadi : p Tidak terlihat adanya kesesuaian argumen dengan pola penarikan kesimpulan yang sah yang telah disajikan sebelumnya. Dengan demikian dibutuhkan suatu bentuk ekuivalen denga bentuk premis p q yaitu berdasarkan bentuk (p q) ( p q) ( q p) sehingga p q ( p q) ( q p) pola argumen menjadi : p q atau 1. p q Premis q 2. q Premis 3. p q ekuivalen 1 ( p) 4. ( p) 3. , 2. modus tollens 5. p ekuivalen 4. Dapat disimpulkan bahwa penarikan kesimpulan sah 2. Jika Najwa mempunyai IPK bagus, maka ia kuliah S2 di Boston p q Najwa mempunyai IPK bagus dan ia kuliah di Tokyo p q Najwa tidak kuliah di Boston q Pola pembuktian akan diuraikan sebagai berikut: 1. p q Premis 2. p r Premis 3. (p r) ekuivalen 2. ( berdasarkan (p q) ( p q) ( p q )) 4. q kesimpulan tidak sah, tidak ada pola kesesuaian dengan pola pembuktian yang sah yang disajikan diatas) 3. untuk menunjukkan argumen no 3. di atas sah atau tidak, perhatikan langkah-langkah berikut ini: 1. p q Premis 2. q Premis 3. r p Premis

4. s r Premis 5. q p ekuivalen 1. 6. q p ekuivalen 5 7. p 6. , 2. modus ponens 8. s p 4. , 3. silogisme 9. s 8. , 7. modus tollens ini menunjukkan bahwa argumen di atas sah. Latihan V. Tunjukkan bahwa setiap argumen di bawah adalah sah. 1. Saudara rajin atau saudara pandai. Saudara tidak rajin. Jadi saudara pandai 2. Saudara rajin atau saudara tidak pandai. Jika saudara kaya maka saudara pandai. Saudara tidak rajin. Maka saudara tidak kaya 3. Produksi pangan cukup atau ada peledakan penduduk. Tidak ada peledakan penduduk. Maka produksi pangan cukup 4. Kalau harga di toko rendah, tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu dekat dengan pemukimnan penduduk. Jadi harga di toko itu tidak rendah 5. Jika adik sehat maka ia tidak akan menangis. Adik menangis atau bolos sekolah. Adik tidak sehat. Maka adik bolos sekolah. 6. Jika kamu rajin maka kamu tidak akan tinggal kelas. Jika kamu tidak tinggal kelas kamu dapat hadiah. Jika kamu dapat hadiah maka orang tua mu akan bangga. Kamu rajin. Maka oreang tua kamu akan bangga. 7. Jika hujan deras maka toko buku itu tidak dibuka. Toko buku itu dibuka tetapi tidak ada pembelinya. Jadi toko buku itu buka. 8. Ima sekolah sambil bekerja. Ima tidak sekolah dan adiknya sakit. Ima bekerja dan ayahnya ke kantor. Jadi ima sekolah. Tentukan argumen manakah yang sah dan yang tidak sah. Beri penjelasan. 9. Jika a + b = 0 maka a = 0 dan b = 0. a 0 atau b 0. maka a + b 0 10. Jika hasil kali dua bilangan adalah 0 maka di antara bilangan tersebut ada yang 0. (x 1) 0 dan (x + 1) 0. Maka (x 1) (x + 1) 0. 11. Jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. c dan d adalah bilangan rasional. maka c + d adalah bilangan rasional 12. Jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. c + d adalah bilangan rasional. c dan d adalah bilangan rasional. 13. Jika suatu bila`gan adalah genap, maka dua kalinya juga genap. Bilangan 2n adalah genap. Maka n adalah genap. 14. Jika suatu bilangan adalah genap, maka dua kalinya juga genap. Bilangan n adalah genap. Maka 2n adalah genap. 15. Jika a dan b adalah bilangan ganjil maka a + b adalah genap. a + b tidak genap maka a dan b tidak ganjil INDUKSI MATEMATIKA A. PENDAHULUAN

Induksi matematika merupakan salah satu metode pembuktian dalam matematika. Penggunaan prinsip induksi matematika adalah untuk membuktikan kebenaran hasilhasil dalam matematika, baik hasil elementer maupun hasil-hasil tingkat lanjut yaitu membuktikan berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil. Penguasaan metode pembuktian dengan induksi matematika dan konsep-konsep yang diturunkan merupakan hal yang penting dan sebagai materi pendahuluan yang akan digunakan untuk mempelajari materi-materi dalam pokok-pokok bahasan yang lain yang berada dalam lingkup matematika. B. TUJUAN Tujuan yang diharapkan dalam penulisan modul ini adalah untuk membantu guru memahami prinsip induksi ,matematika dan dapat menggunakannya dalam membuktikan suatu pola atau hubungan dalam matematika. Adapun model pembelajaran yang diterapkan dalam kagiatan pelatihan diharapkan dapat memberikan informasi bagi peserta tentang alternatif model pembelajaran yang dapat diterapkan dalam kegiatan pembelajaran bagi siswa di kelas. Setelah mempelajari modul ini peserta diharapkan dapat: 1. Menjelaskan prinsip induksi matematika 2. Membuktikan bentuk-bentuk matematika dengan induksi matematika C. PETUNJUK PEMBELAJARAN Pembelajaran yang dilaksanakan berorientasi pada pemahaman prinsip induksi matematika dan penerapannya dalam pembuktian bentuk-bentuk matematika. Materi disajikan dengan banyak contoh, diharapkan peserta dapat memahami bagaimana membuktikan pola, sifat atau formula matematika dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Model pembelajaran yang digunakan adalah model pembelajaran koperatif yang diawali penjelasan prinsip dan contoh oleh fasilitator, kemudian kelompok peserta yang terdiri dari 4 sampai 5 orang akan mendiskusikan materi yang dan menyelesaikan tugas-tugas yang ada dalam modul. Di akhir kegiatan akan dilakukan diskusi secara klasikal untuk membuat kesimpulan dan membahas tugas-tugas yang gagal diselesaikan dalam kelompok. D. KEGIATAN PEMBELAJAR I. Prinsip Induksi Matematika Prinsip induksi matematis sering digunakan sebagai satu cara (di samping cara yang lain) untuk membuktikan berlakunya suatu hubungan atau suatu dalil. Prinsip induksi matematis menyatakan bahwa : Misalkan P(m), P(m+1), P(m+2), . . . , adalah barisan pernyataan, dan m adalah bilangan bulat, jika: 1. P(m) benar 2. Untuk semua bilangan bulat k m berlaku : jika P(k) benar berakibat P(k+1) benar, maka P(n) untuk semua bilangan bulat n m. II. Penggunaan Prinsip Induksi Matematika dalam Pembuktian Matematika Berikut ini akan diuraikan beberapa contoh pembuktian dengan menggunakan prinsip

induksi matematika. Contoh 1. Buktikan : = 1 + 2 +3 + ..+ n = untuk setiap n N ( Petunjuk: yang akan dibuktikan adalah untuk setiap n bilangan asli, P(n) benar, dengan P(n) adalah pernyataan = untuk setiap n N) Bukti : 1. Jelas bahwa P(1) = = 1 = adalah benar 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah suatu bilangan asli sembarang, yaitu : = 1 + 2 +3 + ..+ k = akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: = 1 + 2 +3 + ..+ k + (k+1) = atau : 1 + 2 +3 + ..+ k + (k+1) = karena : 1 + 2 +3 + ..+ k = maka : 1 + 2 +3 + ..+ k + (k+1) = = = = 1 + 2 +3 + ..+ k + (k+1) = Karena P(1) benar, dan untuk sembarang bilangan asli k m berlaku jika P(k) benar berakibat P(k+1) benar, maka sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n, yaitu : = 1 + 2 +3 + ..+ n = untuk setiap n N Contoh 2 Buktikan : 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3n 1) = untuk setiap n N ( Petunjuk: yang akan dibuktikan adalah untuk setiap n bilangan asli, P(n) benar, dengan P(n) adalah pernyataan 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3n 1) = untuk setiap n N) Bukti : 1. Jelas bahwa P(1) = 2 = adalah benar 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah suatu bilangan asli sembarang, yaitu : 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3k 1) = akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3k 1) + = = Karena 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3k 1) = Maka : 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3k 1) + = = + 3k + 2 = = = = Maka sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n, yaitu : 2 + 5 + 8 +11 + 14 + + (3n 1) = untuk setiap n N Contoh 3

Buktikan : 2n (1 + n) untuk setiap n N (Petunjuk: P(n) adalah pernyataan 2n (1 + n) untuk setiap n N) Bukti : 1. Jelas bahwa P(1) yaitu 21 (1 + 1) benar 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah suatu bilangan asli sembarang, yaitu : 2k (1 + k) akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: (2k+1) {1 +( k +1)} atau (2k+1) ( k +2) karena 2k 1 + k, maka 2k+1 = 2k .2 (1 +k).2 Karena (1 +k).2 = 2 k + 2 >(k + 2) dan (2k+1) (1+ k).2), maka : (2k+1) ( k +2) Sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n, yaitu : 2n (1 + n) Contoh 4 Buktikan : n ! nn untuk setiap n N (Petunjuk : P(n) adalah pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) Bukti : 1. P(1) yaitu . . . . . . . . . . . . . . (bagaimana nilai kebenarannya? . . . . . . . . ) 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah suatu bilangan asli sembarang, yaitu : . . . . . . . ...... akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: ................................................ perhatikan bahwa: (k+1)! = 1 . 2 . 3. ..k.(k+1) = (k!) (k+1) kk (k+1) (sebab k! kk) < (k+1)k (k+1) (sebab (k+1) > k sehingga (k + 1)k > kk) dengan demikian (k+1)! < (k+1)k+1 artinya juga memenuhi (k+1)! (k+1)k+1 Sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti P(n) benar untuk sembarang bilangan asli n, yaitu : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dari dua contoh terakhir yang diuraikan di atas terlihat bahwa dibutuhkan kemampuan untuk memanipulasi bentuk-bentuk aljabar sehingga diperoleh hubungan yang benar dari pernyataan-pernyataan yang diberikan. Hal ini akan lebih jelas terlihat bada contoh-contoh selanjutnya. Prinsip induksi matematika dapat diperluas dengan sebarang himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat yang memenuhi prinsip urutan, artinya dapat dikembangkan berlaku dalam himpunan B Z asalkan B mempunyai elemen terkecil.yaitu B Contoh 5 Buktikan : 4n < (n2-7) untuk sebarang n B = { 6,7,8,.} (Petunjuk : P(n) adalah pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) Bukti : 1. P(6) yaitu 4.6 = 24 < 29 = (6 - 7) adalah benar

2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah bilangan bulat dan k 6 , yaitu : . . . . . . . . . . . . . akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: ................................................ Karena 4(k+1) = 4 k + 4 dan 4k < (k2- 7), maka 4(k+1) < (k2- 7)+4} atau 4(k+1) < (k2-3) Karena (k-6) 0 untuk k 6 dan -3 k) 4(k+1) < (k2 +2k + 1-7) 4(k+1) < {(k+1)2-7} Sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti P(n) benar untuk sebarang n B = { 6,7,8,.}, yaitu : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contoh 6 Buktikan : 32n-1 habis dibagi oleh 8 untuk semua n C = { 0, 1, 2,.} (Petunjuk : P(n) adalah pernyataan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) Bukti : 1. P(0) yaitu . . . . . . . . . . . . . . (bagaimana nilai kebenarannya? . . . . . . . . ) 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah bilangan bulat dan k . . . , yaitu : . . . . . . . . . . . .. akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: ................................................ 32 ( k + 1) -1 = 3 - 1 = 9 . 32k 1 = 9 . 32k 9 + 8 = 9 (32k 1) + 8 Karena 32k 1 habis di bagi 8 dan 8 juga habis dibagi 8 maka 9 (32k 1) + 8 = 32 ( k + 1) -1 habis dibagi 8. Sesuai dengan prinsip induksi matematika terbukti bahwa 32n-1 habis dibagi oleh 8 untuk semua n C = { 0, 1, 2,.} Contoh 7 Buktikan : 2n3-3n2 + n + 31 0 untuk semua n D = { -2, -1, 0,.} Bukti : P(n) adalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. P(-2) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 (bagaimana nilai kebenarannya? . . . . . . . . . . . ) 2. Andaikan P(k) benar, dengan k adalah bilangan bulat dan k . . . , yaitu : . . . . . . . . . . . .. akan ditunjukkan P(k+1) juga benar, yaitu: ................................................ (seterusnya, cobalah diskusikan) Prinsip induksi matematika dapat juga dinyatakan dalam bentuk lain, yaitu:

Prinsip induksi matematis menyatakan bahwa : Misalkan P(m), P(m+1), P(m+2), . . . , adalah barisan pernyataan, dan m adalah bilangan bulat, jika: 1. P(m), P(m+1), P(m+2), . . . , P(b) semuanya benar 2. Untuk semua bilangan bulat k b berlaku : jika P(n) benar untuk semua bilangan bulat n dengan m n k , berakibat P(k+1) benar maka P(n) untuk semua bilangan bulat n m. Contoh 8 Setelah berlangsung n bulan banyaknya tanaman dalam suatu persemaian memenuhi persamaan: P(0) = 3, P(1) = 7, dan P(n) = 3P(n-1)-2P(n-2), n 2 Buktikan : P(n) = 2n+2-1 untuk semua n Z dan n 0 Bukti : 1. P(0) benar sebab untuk n = 0, 2n+2-1 = 20+2 -1 = 22-1=3 P(1) benar sebab untuk n =1, 2n+2-1 = 21+2 -1= 23-1 =7 2. Anggaplah P(0), P(1), P(2),..,P(k-1), P(k) semua benar, berarti: P(k) = 2k+2 -1 P(k-1) = 2(k-1)+2 -1 = 2(k+1) -1 P(1) = 21+2 -1 = 7 P(0) = 20+2 -1 = 3 Akan ditunjukkan bahwa P (k+1) benar untuk (k+1) 2, yaitu P(k+1) = 2(k+1)+2-1=2k+3-1 P(k) = 3 P(k-1) 2 P(k-2) P(k+1) = 3 P{(k+1) -1} 2P{(k+1) 2 } = 3P(k) - 2P(k-1) = 3 (2k+2 - 1) 2 (2(k-1)+2 - 1) = 3 (2k+2) 3 2(2k+1 - 1) = 3 (2k+2) 3 2k+2 + 2 = 3 (2k+2) - (2k+2) -1 = 2(2k+2) -1 = 2k+3 1 = 2(k+1)+2 -1 Jadi P(n) = 2n+2 -1 benar untuk semua n Z dan n 0 Contoh 9 Diketahui suatu barisan R(n) yang memenuhi hubungan R(0) = 7, R(1) = -4, R(2)dan R(n) = 2R(n-1)-5R(n-2) 6R(n-3) untuk n 3 Tunjukkan : R(n) = 5 (1)n (3)n + 3(-2)n untuk semua n Z dan n 0 Jawab: 1. R(0) benar sebab 5(1)0 (3)0 + 3(-2)0 = 5 1 + 3 = 7 R(1) benar sebab 5(1)1 (3)1 + 3(-2)1 = 5 3 - 6 = -4 R(2) benar sebab 5(1)2 (3)2 + 3(-2)2 = 5 9 + 12 = 8 2. Anggaplah R(0), R(1), R(2),..,R(k-2), R(k-1), R(k) semua benar, yaitu : R(k) = 5(1)k (3)k + 3(-2)k R(k-1) = 5(1)k-1 (3)k-1 + 3(-2)k-1 R(k-2) = 5(1)k-2 (3)k-2 + 3(-2)k-2 R (2) = 8

R (1) = -4 R (0) = 7 Akan ditunjukkan bahwa R(k+1) = 5(1)k+1 (3)k+1 + 3(-2)k+1 R(k) = 2R(k-1) + 5R(k-2) 6R(k-3) R(k+1) = 2R{(k+1)-1}+ 5R{(k+1)-2}- 6R {(k+1)-3} = 2R(k)+ 5R(k-1)- 6R(k-2) = 2 {5(1)k- (3)k + 3 (-2)k}+ 5{5(1)k-1 - (3)k-1 + 3(-2)k-1}- 6{5(1)k-2-(3)k-2 + 3(-2)k-2} = 10 + 25 30 2(3)k- 5(3)k-1 + 6(3)k-2 + 6(-2)k + 15(-2)k-1-18(-2)k-2 = 5 - (3)k {2 + 5(3)-1 + 6(3)-2}+(2)k{6+15(-2)-1 + 18(-2)-2} = 5 (3)k(2 + + (-2)k (6 = 5 (3)k(3) + (2)k(-6) R(k+1) = 5 (1)k+1- (3)k+1+ 3(-2)k+1 Jadi R(n) = 5(1)n (3)n + 3 (-2)n untuk semua n Z dan n 0 Latihan Buktikanlah pernyataan-pernyataan di bawah ini dengan menggunakan induksi matematika. 1. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n 1 ) = n ( 2n 1 ) (2n + 1 ) 2. 1 + 4 + 7 + 10 + . . . + (3n 2 ) = n (3n 1 ) 3. 1 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 - 1 4. = n(n+1)(2n+1) untuk setiap n Z 5. = { n(n+1)} untuk setiap m Z 6. = y(y+1) (y+2) untuk setiap x Z 7. n < 2 untuk setiap n Z 8. 2 (2 + n ) untuk setiap n Z dan n 1 9. n - n habis dibagi oleh 3 untuk n 0 10. n + n habis dibagi oleh 5 untuk n 0 11. n + 2n habis dibagi oleh 3 12. 2 < n untuk n Z dan n > 4 13. n! < n untuk n Z dan n > 1

14. n! < 4 untuk n Z dan n > 8 15. 76 mempunyai angka puluhan 7 dan angka satuan 6 16. Jika P(0) = 2 , P(1) = 7 , dan P(n) = P(n-1) 2P(n-2), Maka P(n) = 3(2 ) (-1) untuk setiap bilangan bulat n 0 17. Jika F(0) = 2, F(1) = 5 , F(2) = 15 dan F(n) = 6F(n-1) 11F(n-2) + 6F(n-3) maka F(n) = 1 2 + 2(3 ) untuk setiap bilangan bulat n 0